Método de la SecanteRaíces de ecuaciones No Lineales

LuciaLucio Cesar Vázquez Sánchez

Introduccion

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso.

Sin embargo, la forma funcional de f (x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada.

El método de la secante es casi idéntico al de regla falsa salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto.

Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante.

Puntos a considerar

• No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima).

• Necesita dos puntos iníciales.

• Puede no converger.

Idea General

Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Una forma de evitar el cálculo de f '(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta)

Esta ultima formula tiene la forma de la ecuación de la pendiente de una que pasa por 2 puntos.

Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

Representación Grafica

La sucesión queda expresada en términos generales como:

Procedimiento

Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1

Calcular la recta que pasa por esos puntos

El corte con el eje de abcisas da el nuevo punto estimado. Volver a calcular la recta.

Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

Ejemplo 1

En el siguiente ejemplo calcularemos las raíces de la siguiente ecuación usando el método de la secante y los siguientes puntos de inicio:

Iteración 1 (P0=1 , P1=.9):

Iteración 2 (P1=0.9, P2=0.4557507564):

Iteración 3 (P2=0.4557507564, P3=0.3207305333):

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Ejercicio

Calcular las siguientes 2 iteraciones Puede comprobar sus resultados con

los siguientes: P5= 0.2552935134 P6= 0.2548531742

Algoritmo Entradas:  Aproximación inicial de x0 y x1

                 Tolerancia T                 Máximo número de iteraciones N

                Salidas: Un valor aproximado de la raíz

                 o un mensaje de error                   Paso1:    Asigne i = 1

            q0 = f(x0)            q1 = f(x1)

Paso2:    Mientras i <=  N  haga Pasos 3-6

Paso3:  Encuentre x =  x1 - q1* (x1 -x0) / (q1-q0)          Paso4:  Si |x -  x1 | < T

                                       Entonces OUTPUT(x); STOP.                       

Paso5:  Asigne i = i+1              

Paso6:  Asigne   x0 = x1 y x1 = x                    q0 = q1 y q1 = f(x)                                         

Paso7:  OUTPUT("Método falló luego de N0 iteraciones").                STOP 

Implementacion en Java

Ecuaciones algebraicas no lineales

“ A t t h e f i r s t i t e r a t i o n , b o t h m e t h o d s p r o d u c e t h e s a m e e s t i m a t e . A f t e rt h a t , e a c h m e t h o d h a s a d i f f e r e n t e s t i m a t e ” .

x1

x0x3 x2

y

x x1x0

x3x2

y

x

False-position Secant method

La primera iteración da el mismo resultado, luego cada uno obtiene un nuevo punto estimado diferente