LOS NÚMEROS IRRACIONALES

RADICALES: Operaciones1) Simplifica los siguientes radicales:

a)

b)

c)

Solución:

a) b) c)

2) Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda:

a)

b)

c)

Solución:

a) b) c)

3) Calcula las siguientes raíces factorizando cuando sea necesario:

a) b) Página 1 de 13

9√83

3√163√73

6√73=(73)16=7

12=√7

9√83=9√ (23 )3=9√29=23√16=3√24=2

3

√2

5√310

7√214

√76

√76=762=73=3437√214=2

147 =22=45√310=3

105 =32=9

7√5285√32243

c) d)

Solución:

a) b)

c) d)

4) Calcula los valores de las siguientes potencias:

a) b) c) d)

Respuestas: a) 64 b) 4 c) 2 7 d) 2

5) Realiza las siguientes operaciones:

c) d)

e) f)

g) 1/2 √75 + 4 √27 - 3/7 √147 + 7/2 √12=

h) 5√12 + 7 √48 - 1/4 √108 -3/4 √192 + 1/10 √3=

Página 2 de 13

11√105

10163√343

1331

32=25 , 243=35⇒ 5√ 25

35 =5√25

5√35=

23

7√528=5287 =54=625

11√105

1016 =11√10−11=10

−1111 =10−1= 1

10343=73 , 1331=113⇒ 3√ 73

113 =3√73

3√113=

711

a ) 3 4√162−15

4√1250 ; b) 3√343−25 √175−5 √28 .

i) 1/4 3√81 + 3/8 3√192 - 10-1 3√24=

Solución:

c) −8√3 d) 6 √6 e) 7 √5 f) 63√2 g) 18,5 √3

h) 30,6 √3 i) 41/20 3√3

6) Racionaliza:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l) m)

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a ) 4√162=4√2⋅34=3 4√2 ; 4√1250=

4√2⋅54=5 4√2⇒3 4√162−15

4√1250=3⋅3 4√2−15⋅5 4√2=

¿9 4√2−4√2=8 4√2 .

b ) √343=√73=7√7 ; √175=√52⋅7=5√7 ; √28=√22⋅7=2√7⇒3⋅7√7−25⋅5√7−5⋅2√7=

¿21√7−2√7−10√7=9√7 .

4 √23√16

√5−√33√6

2−5√34√6

6√25√3

2+√3√2

3√2+5√32√7

√5+√6√2+√6

1+√21−√3

9√5+√7

n)

2√3√5−√3

+ 3√2√5−√2

+ 2√7−√5

ñ) Soluciones:

a) b) c)

d) e) f)

g)

h)

i)

j) 1 k) l) m)

n) (5+√15+√10+√7+√5) ñ) ( 2√2+√3)

7) Resuelve:

Página 4 de 13

1√3+1

+ 1√2+1

+ 1√3−1

+ 1√2−1

4 √23√162

3√16 3√162= 4 √2 ·22 3√4

16=√2· 3√4 (√5−√3 ) 3√62

3√6 3√62=

(√5−√3 ) 3√62

6(2−5√3 ) 4√63

4√6 4√63=

(2−5√3 ) 4√63

6

(3√2+5√3 )√72√7 √7

=( 3√2+5√3 )√714

6√2√35√3√3

=6√615

=2√65

(2+√3 )√2√2√2

= 2√2+√62

(1+√2 ) (1+√3 )(1−√3 ) (1+√3 )

=1+√3+√2+√61−3

=−1+√3+√2+√62

9 (√5−√7 )(√5+√7 ) (√5−√7 )

=9 (√5−√7 )

5−7=−

9 (√5−√7 )2

(√5+√6 ) (√2−√6 )(√2+√6 ) (√2−√6 )

=√10−√30+√12−62−6

=−√10−√30+√12−64

3√93

3−√33

5 √24

Respuesta

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1)

2)

3) √20+√45−√80=

4) √16+√54+√250=

5) 4 √12−3√48+2√27+3√75=

6) 3√2−3√8+√18=

7) 3√54−2 3√16=

8) √32−4√50+√8=

9)

3√81−2 3√24+5 3√375=

10)

3√2 . 4√8=

11)

12)

13)

14)

15)

1

1a−b

√5

4+3 √6+5 √10

17 √3

0

−3√2

−14 √2

24 3√3

12√213

9−2 √14

7−4 √3

1

2

2+ √6

√2Página 6 de 13

8) Extrae todos los factores posibles:

Soluciones

9) Variado: Exponentes y radicales

a) Simplifica. Expresa los resultados con exponentes positivos.

1¿( 3a2bc )

5

2) x3 y−2

x−5 y3 3) ( 3 x4 y−1

2 z5 )4

4) ( x12 y0

z−5 )−2

5) x−2+ y−2

6) x−2

x−1− y−1 7) 8 x0−(7 x )0 8) −42 9) (−4 )−3 10) (−4 )2

11) ( x−3 y2

x−5 y−4 )−2

12) (8m−3n2 )23 13) (−3ab )2 (−2a3b−1 )3

b) Efectúa cada una de las siguientes operaciones con radicales y simplifica los resultados.

1¿√3+5 √2−√2+4√3 2) 5√3−√27+6 √12 3) 8√24−2√36+7 √32

4) √ x y3−2 y √xy 5) 3√2 (5√2−√6−7 ) 6) (2√3−8√2 ) (√3+4 √2 )

7) (√3+√2 )2 8) ( 4√5−7√10 )2 9) 8√30+5 √20√10

10) (5√ x−√ y ) ( 4√ x+3√ y )

11) 3√8+2√32+ 7√50−6 √162+9√98+7√242=

Página 7 de 13

a )7√513⋅323⋅215 ; b) 3√5400 ; c )

4√115⋅136⋅177 ; d ) 4√6480 .

a ) 7√513⋅323⋅215=5⋅33⋅22 7√56⋅32⋅2=540 7√56⋅32⋅2 ;b ) 3√5400=

3√23⋅33⋅52=2⋅3 3√52=6 3√25 ;c )

4√115⋅136⋅177=11⋅13⋅174√11⋅132⋅173=2431

4√11⋅132⋅173 ;d ) 4√6480=

4√24⋅34⋅5=2⋅3 4√5=6 4√5 .

c) Simplifica cada radical.

1) √24 x2 y5 2) 3√24ab6 c8 3) √144 x15 y17

d) Racionaliza el denominador.

1) 5√2 2) 7√3

8√5 3¿ 53√R 4)

1√3+√2

5) √3√5−2√3 6) 7−√2

7+√2 7) 8√5−2√64 √5−3√6 8) √ x

√x−√2

RESPUESTAS

a) 1) 243a10b5

c5 2) x8

y5 3) 81x16

16 y4 z20 4) 1x z10 5) y

2+x2

x2 y2 6) y

xy−x2 7)

7

8) −16 9¿− 164 10) 16 11)

1x4 y12 12) 4n

43

m2 13) −72a11

b

b) 1¿5√3+4√2 2) 14√3 3) 16√6 + 28√2−¿12 4) − y √xy 5) 30 −6√3−21√2 6) −58

7) 5+2√6 8) 570−280√2 9) 8√3+5√2 10) 20 x−3 y+11√xy

11) 135√2

c) 1) 2 x y2 √6 y 2) 2b2 c2 3√3ac2 3) 12 x7 y8 √xy

d) 1) 5√22

2) 7√1540

3) 53√R2

R 4) √3−√2 5) −

(6+√15 )7

6) 51– 14√247

7) 2(31+√2 )

13 8) x+√2 x

x−2

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10) Piensa:

a) b) c)

d)

3√6427

+ √32x5 y5

√2x3 y3+√18 xy

25:√ 9 xy

5a2=

e) =

f) =

g) (3√7+√2)2−(2√7+√2)(2√7−√2)=

h) (√5−1 )(√2+1 )−(√5+1 )(√2+1 )+√2 =

i) (2+ =

j) (6 =

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√( x2−2xy+ y2 )(a+b)2

(√a2−b2

√a−b+ √(a+b)3

√(a+b )2 )4 3√16−6 3√54+8 3√128 ):2 3√2

√2)(2−√3 )−√2(2−√3 )

√7−5 √7+2√7 )( 8√2−5√2 )√2

√18 :√9+√27 : √9−√32: √8−√3+2)√2

k) (

l)

3√278

−3√12564

+ 3 3√278

) :( 3√6427

+√8164

)=

m) =

n) 23√4√ab+ 6√√ab−4

4√3√ab+√6√ab =

ñ) (x+y) = Respuesta: a) b) c) (x-y) (a+b)

d)

43+4 xy+a√ 2

5 e) 2√a+b ) f) 11 g) 39+6√14

h) -2 - √2 i) 4 - 2√3 j) 18√7 k) 2

l) 114/59 m) 6 6√ x n) 0 ñ) √ x2+ y2

11) Ecuaciones (Cuidado! No siempre los valores hallados responden a la ecuación)

a)√ x2+5=x+5 b) √2 x−6+1=x−2

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√3√x−2 3√√ x+5 6√x

√ x2+ y2

x2+2xy+ y224√211 24√2

c) √8 x−7−2=3 d)

e) √ x+19+1= √2x+4 f)

g) h) i)

j) k) √ x+5+√x+2=6

l) √ x+3x

=√ x−3x+3 m) √ x+1−√ x=√x

n) √5+x2+2=7+x ñ) √5−x−√x+3=0

o)

5+√ x7+√ x

=4−√x5−√ x p)

q) √4+√7x−10=3 r) 3 x+2+√9x2−1=1

s) t) √6 x−2+√2x+4=0

Respuestas a) x = −¿ 2 b) x1 = 5 x2 = 3 c) x = 4 d) x = 7 e) x = 30 (6 no es solución)

f) x = 64 g) x =−¿ 2 h) No hay solución i) m = 9 j) f = −¿ 25

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3√4 x−1+52 =4

√ x−3=5√m−4=2 √m−7√ x−5=−2√ x2+3 x+11+x=1

−3=3√ f−2

√ x+5= x+3√x+2

√9 x−2= 3 x+1√ x−3

k) x= 89/16 l) No hay solución m) x = 1/2 n) x = -- 2 ñ) x = 1 o) x = 1

p) x = -- 1 q) x = 5 r) x = -- 1/3 r) x = 5 s) No hay solución (x = 1/7)

t) No hay solución (x = 3/2)

RECUERDA:Los conjuntos numéricos

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Sabías que….?La palabra: “ARITMÉTICA” se usa para definir la Ciencia que estudia los números y las operaciones entre ellos. Es una palabra que deriva de la griega “ARITMOS” que significa Número.

La palabra “CÁLCULO” es el conjunto de procedimientos matemáticos encaminados a resolver un problema. Es una palabra que deriva del latín pues los romanos utilizaban piedras pequeñas para realizar sus cuentas, a estas piedras se les denomina en latín “CALCULUS”.

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