R3 b15 valor absoluto

Bloque 15

Valor absoluto: funciones lineales y cuadráticas

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 15 Valor absoluto: Funciones lineales y cuadráticas

Presentación El bloque tiene como propósitos centrales (i) Determinar el dominio y contradominio de funciones

lineales y cuadráticas a las que se les aplica la función valor absoluto.

(ii) Expresar como intervalos el dominio y contradominio de funciones a las que se les aplica la función valor absoluto.

(iii) Realizar traslaciones verticales y horizontales, reflexiones y analizar los efectos de la variación de los coeficientes en las gráficas de funciones a las que se les aplicó la función valor absoluto.

La principal actividad de las hojas de trabajo es aplicar la

función valor absoluto a funciones lineales y cuadráticas. De hecho esta aplicación corresponde a la composición de una función lineal o cuadrática con la función valor absoluto. La calculadora es un apoyo imprescindible debido a que nos permite apreciar a simple vista las modificaciones en las gráficas ocasionadas por las modificaciones en las reglas de correspondencia de las funciones y también nos facilita identificar visualmente su dominio y contradominio. El uso de intervalos para expresar el dominio y contradominio de una función induce la aplicación de conceptos como intervalo abierto, intervalo cerrado e intervalo semiabierto.

La capacidad de la calculadora para producir gráficas hace más

accesible abordar el estudio de las transformaciones rígidas en el plano cartesiano y nos permite centrar la atención en la relación entre la regla de correspondencia de una función y su gráfica, lo cual coadyuva el desarrollo de habilidades de traducción entre una y otra forma de representación.



HOJA DE TRABAJO 145 VALOR ABSOLUTO (1)

1. Construye en la calculadora la gráfica

de 𝑦 = 𝑥 y reprodúcela en el plano de la derecha.

2. Observa la gráfica que construiste y responde lo siguiente.

a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los de valores de x son negativos? ______________________________________________

b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son positivos? ______________________________________________________

3. Busca la tecla que te permita editar la siguiente ecuación en la calculadora y construye su gráfica sin borrar la anterior.

y = abs(x)

También puede ser 𝑦 = |𝑥|

Esta expresión se lee “y igual al valor absoluto de x”

4. Dibuja la gráfica en el siguiente plano cartesiano.

5. Observa la gráfica construida y responde. c) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son negativos?

____________________________________________________ d) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son positivos?

____________________________________________________ 6. Construye en la calculadora la gráfica

de 𝑦 = −𝑥 y dibújala en el plano de la derecha.

7. Dibuja cómo crees que aparecerá la gráfica de y = abs (-x) en la calculadora.

8. Comprueba que la gráfica que dibujaste coincide con la de la calculadora. 9. Escribe tus conclusiones acerca de los cambios que produce el valor absoluto

en los valores de y así como en la gráfica correspondiente. _____________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________El valor absoluto de un número real a se define como: |𝑎| = � 𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0

−𝑎, 𝑠𝑖 𝑎 < 0�

Nota que el valor absoluto de un número real siempre será positivo.



HOJA DE TRABAJO 146 TRASLACIÓN Y SIMETRÍA

1. Observa la siguiente gráfica.

2. Reprodúcela en la calculadora y anota la ecuación que usaste.

y = _______________

3. Construye las siguientes gráficas en la calculadora y anota las reglas de

correspondencia que usaste.

y =__________ y =__________ y =__________

4. Observa la gráfica de la derecha. 5. ¿Qué signo tienen todos los valores

de y? _____________ 6. Anota la función que te permite

reproducir esa gráfica en la calculadora.

y=________________

7. Explica cómo razonaste para encontrar la regla de correspondencia de esa función. __________________________________________

8. Observa la siguiente gráfica.

9. Encuentra la función con la que puedas construir en la calculadora la gráfica de la izquierda, y anota la ecuación que utilizaste.

y=________________ 10. Construye gráficas como la del inciso (8) cuyos vértices se encuentren en los

puntos resaltados en los siguientes planos cartesianos. Anota sus reglas de correspondencia.

y =_________ y =_________ y =_________



HOJA DE TRABAJO 147 COEFICIENTES DISTINTOS DE 1

1. Construye en la calculadora las gráficas de las siguientes funciones y dibújalas en el plano de la derecha.

Y = 4abs(x)

y = 0.3abs(x)

y = 2abs(x)

Observa que el coeficiente en las reglas de correspondencia es diferente de 1.

2. ¿Qué cambios observas en las gráficas que construiste con respecto a la gráfica de y = abs(x)? __________________________________________________ _________________________________________________________

3. La gráfica de y = abs(x)+1.5 se muestra a la derecha. Construye dos gráficas que coincidan con el vértice de la gráfica de y = abs(x)+1.5. La condición es que una de ellas esté más abierta y otra más cerrada. Anota sus reglas de correspondencia.

y =_________ y =_________

4. Construye dos gráficas que pasen entre las gráficas de la derecha, de tal modo que todas coincidan en el vértice. Anota abajo las funciones que usaste.

y =_________

y =_________

5. La siguiente gráfica corresponde a la ecuación y = -abs(x)-1.

6. Construye dos gráficas que coincidan con su vértice. La condición es que una de ellas esté más abierta y otra más cerrada. Anota sus reglas de correspondencia.

y =_________ y =_________

7. Reproduce en tu calculadora las gráficas que se muestran en la siguiente figura.



HOJA DE TRABAJO 148 VALOR ABSOLUTO (2)

1. Construye en la calculadora la gráfica de 𝑦 = 𝑥 + 2 y dibújala en el siguiente plano.

2. Observa la gráfica y responde.

a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (−∞,−2)? ______________________

b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (−2,∞)? ______________________

3. Ahora construye en la calculadora la gráfica de 𝑦 = 𝑎𝑏𝑠(𝑥 + 2) y dibújala en el siguiente plano.

4. Observa la gráfica y responde.

a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (−∞,−2)? _______________________

b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x están en el intervalo (−2, +∞)? _______________________

5. Explica con detalle a qué se debe la diferencia entre las gráficas de los incisos (1) y (3). ______________________________________________________ __________________________________________________________

6. Reproduce en la calculadora las siguientes gráficas y anota las funiciones que usaste.

y= __________________

y= __________________

y= __________________

7. Construye en la calculadora una gráfica empleando la función y = abs(x) cuyo vértice sea el punto (4.5, 0) y pase por los otros dos puntos marcados en el plano de la derecha. Anota la función que usaste.

y=_____________________



HOJA DE TRABAJO 149 TRASLACIÓN VERTICAL

1. Construye en la calculadora la

siguiente gráfica y anota la función que usaste.

2. Agrega lo que sea necesario a la expresión anterior para trasladar la gráfica del inciso (1) como se muestra a continuación.

y=________________ y=________________

3. Encuentra ecuaciones de y = abs(x) con las cuales sea posible construir gráficas cuyos vértices coincidan con el punto resaltado en los siguientes planos cartesianos.

y = ____________ y = ____________

y = ____________ y = ____________ 4. Construye en la calculadora una gráfica

de y = abs(x), de tal modo que el vértice de la gráfica esté en el punto A y cruce al eje X en los puntos B y C. Dibújala en el plano cartesiano de la derecha y anota la función que usaste.

y=_____________________



HOJA DE TRABAJO 150 GALERÍA

1. Reproduce las siguientes figuras construyendo gráficas en la calculadora y

anota las funciones que usaste.



HOJA DE TRABAJO 151 VALOR ABSOLUTO Y PARÁBOLAS

1. La gráfica de la derecha corresponde

a la función 𝑦 = 𝑥2 − 4.

2. Constrúyela en la calculadora.

3. Observa la gráfica y anota el signo que

tienen los valores de 𝑦 en la gráfica cuando los valores de 𝑥 están en los intervalos que se indican.

a) (−∞,−2) _____________ b) (−2, 2) _____________ c) (2, +∞) _____________

4. Dibuja en el plano de la derecha cómo

crees que es la gráfica de: 𝑦 =𝑎𝑏𝑠(𝑥2 − 4)

5. Construye en la calculadora la gráfica de: 𝑦 = 𝑎𝑏𝑠(𝑥2 − 4) y compárala con la que

dibujaste. 6. Observa la gráfica y anota el signo que

tienen los valores de la gráfica cuando los valores de 𝑥 están en los intervalos que se indican.

d) (−∞,−2) _____________ e) (−2, 2) _____________ f) (2, +∞) _____________

7. Reproduce en la calculadora las siguientes gráficas y anota las funciones que usaste.

y=_______________

y=________________

8. Construye en la calculadora la gráfica de la siguiente función y dibújala en el plano cartesiano.

𝑦 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)

9. Dibuja cómo piensas que es la gráfica de:

𝑦 = 𝑎𝑏𝑠((𝑥 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2))

10. Comprueba tu respuesta construyendo

la gráfica en la calculadora.



Actividades que se sugieren para el futuro docente 1. Indaga en diversas fuentes matemáticas acerca del concepto del valor

absoluto y los contenidos matemáticos relacionados con él. Prepara una presentación y revísala con tu grupo escolar.

2. Indaga en fuentes bibliográficas en qué consiste la composición de funciones y ejemplifica tus hallazgos explicando por qué la función 𝑦 = 𝑎𝑏𝑠(𝑥2 − 4) es la composición de las funciones 𝑦 = |𝑥| y 𝑦 = 𝑥2 − 4.

3. Selecciona una o más hojas de trabajo para ponerlas en práctica con un grupo de alumnos de educación básica. Haz las modificaciones que consideres convenientes antes de ponerlas en práctica. Registra las observaciones que surjan al usarlas en una práctica en el aula y presenta un reporte a tu grupo.

4. Elabora un ensayo en el que analices las ventajas y desventajas de la propuesta didáctica que se presenta en este bloque para abordar el estudio del concepto del valor absoluto con apoyo de una calculadora con capacidad gráfica.

5. Elabora actividades que incluyan al menos dos funciones distintas a la lineal y cuadrática a las que les apliques la función valor absoluto para estudiarlas a partir de sus gráficas y ecuaciones.

6. El siguiente reactivo corresponde a la aplicación de la función valor absoluto a una función. Respóndelo y elabora otros cinco reactivos relacionados al tema.

1. 𝑓(𝑥) es representada por la siguiente gráfica ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a ?

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