6

4 P

y

x

COORDENADAS de un PUNTO

(6,4)

y DISTANCIA entre DOS PUNTOS María Pizarro Aragonés

eje de las abscisas x

y Eje de las ordenadas

SISTEMA DE COORDENADAS EN ELPLANO

Los ejes constituyen un sistema de referencia en el plano llamado SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO.

- 2 -1 0 1 2 3 x -1

-2

y 2 1

ORIGEN

El punto de intersección de los ejes se llama ORIGEN del sistema.

A cada punto del plano le corresponde le corresponde un

único par ordenado de R² (reales) y viceversa. Ese par ordenado se llama coordenadas del punto. P ( x , y) primero la abscisa y después la ordenada.

6

4 P

P ( 6, 4) P ( x , y)

y

x

COORDENADAS DEL PUNTO P

CUADRANTES Y

X

Los ejes coordenados determinan , en el plano, cuatro cuadrantes.

II I

III IV

- 2 -1 0 1 2 3 x -1

-2

y 2 1

PUNTOS EN LOS EJES

(o,2)

(-2,0) (3,0)

(0,-2)

En general : (0 , y)

(x , 0)

¿Qué valor debe tomar k para

que A (2 , 3k – 12 ) , esté sobre el eje X?

3k – 12 = 0 3k = 12 k = 4

COORDENAQDAS DE LOS PUNTOS

(3 , 0)

( 0, - 2) ( -3, -1)

Este ejercicio se puede resolver de varias maneras.Lo resolveremos representando los puntos en los ejes coordenados.

-1 0 1 2 3 4 5 6 x

54

3

2

1

y

-1

-2

C (5 , 3)

A(-1, -2) B( 5, -2)

-1 0 1 2 3 4 5 6 x

54

3

2

1

y

-1

-2

I) AB ⊥ BC V

II) AB // eje X V

III (0,5) ∈ BC FALSO

(5,0)

( 0, 5)

C

A B

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

B d

A

0 1 2 3 4 5 6 x

Y

3

2

1

2 6 – 2 = 4

6

3 1

3 – 1 = 2

d 2

4

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Para calcular la distancia d , se aplica el teorema de Pitágoras. d es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

0 1 2 3 4 5 6 x

Y

3

2

1

d 2

4

d² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20 d² = 20 d = √20

0

x

Y

d

y₂

y₁

x₁ x₂

y₂ - y₁

x₂ - x₁

En general

FÓRMULA DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

d = √(x₂ – x₁)² + (y₂ - y₁)²

Calcular la distancia entre los puntos A (3, 1) B ( 5, 2) d = √(x₂ – x₁)² + (y₂ - y₁)²d = √(5 – 3)² + (2 - 1)² d = √( 2 )² + ( 1 )² d= √ 4 + 1 d = √ 5

Se puede empezar por cualquier punto A ó B.

Demuestra que los puntos dados son vértices de un triángulo isósceles. A( - 6 , 2) B ( 4 , -8) C ( 6 , 4)

Se calculan las distancias entre los puntos para determinar las medidas de lo lados.

d AB = √(- 6 – 4)² + (2 - (- 8) )² d AB = √(- 6 – 4)² + (2 + 8 )²d AB = √(-10)² + (10 )²

d AB = √ 100 + 100 = √200

A(- 6 , 2) B( 4, - 8)

d AC = √(- 6 – 6)² + (2 - 4 )² d AC = √(-12)² + (- 2 )²

d AC = √ 144 + 4 = √148

A( - 6 , 2) C (6, 4)

d BC = √(4 - 6)² + ( - 8 - 4 )² d BC = √( -2 )² + (- 12 )²

d BC = √ 4 + 144 = √148

B ( 4 , - 8) C (6 , 4)

Medidas de los lados del triángulo.

√200 √148 √148

tiene dos lados iguales , luego es isósceles

( 0, 3)

(4,0) X

Y

d = √(0 – 4)²+(3 – 0)² =√(- 4)²+(3)² = √ 16 + 9 = √25 = 5

d

FINBibliografía 1) Wikipedia 2) “Geometría Analítica Plana” JulioOrellana y Gladys Bernard Ediciones Pedagógicas Chilenas