Prueba análisis de sistemas eléctricos

7/24/2019 Prueba anlisis de sistemas elctricos

1/30

1 Prueba de ASEP 2

Pregunta 1.

En el SEP de la figura se han medido los valores que se indican en la tabla. Los parmetros

de las lneas son todos iguales a pujzL 1.!= "en base 1!!#$A

#edidas % $arian&as en p.u.

$1 $2 $' P1(2 )2(1 P1(' )'(1 P'(2!.*+ 1.!2 1.!' 1.! (!., !.- (!.2 !.21

!.!!1 !.!!1 !.!!1 !.!1 !.!1 !.!1 !.!1 !.!1

a ) Considerando el modelo lineal, estime el estado de operacin del SEP aplicando

mnimos cuadrados ponderados y evalu la calidad de la informacin disponibledetectar la posible presencia de medidas errneas)!

onsiderando el modelo lineal se definen las potencias medidas en funci/n de losngulos de barra 0luo 3 solo considera Potencia Activa4" considerando conocido516! 07arra de referencia48

( )2''2

2''2

'

1'

'11'

2

12

2112

1!

1!

1!

==

==

==

"P

"P

"P

9 vector de medidas es8

=

=

21.!

-.!

!.1

'2

1'

12

P

P

P

z

A continuaci/n se muestran las ecuaciones de las mediciones que caracteri&an la lecturade los medidores al a:adir los t;rminos de error al modelo del sistema8

''2'2

2'1'

1212

1!1!

1!

1!

eP

eP

eP

++=

+=

+=

#ediciones $alores verdaderos delmodelo sistema

Errores


2/30

Si los coeficientes de las ecuaciones anteriores de denominan de manera obvia" seobtiene8

+

=

=

'

2

1

'

2

'''2

2'22

1'12

'

2

1

e

e

e

##

##

##

z

z

z

z

$zverdadero=

Escribiendo de una manera compacta sera8ezzverdadero = 0a.1

Para representar los errores entre las medidas reales & % los valores verdaderos &verdadero0pero desconocidos4 se tiene8

$zzze verdadero == 0a.2. ?na ve& ponderados los erroresse seleccionan los meores estimados de las variables de estado" que dan como resultadoque la funci/n obetivo%0=4 tenga su valor mnimo. La funci/n obetivo esta compuesta

con el cuadrado de los residuos 0

== $zre 4 % ponderada 0&4 de acuerdo a los

errores de los instrumentos de medici/n.

3e acuerdo con las condiciones usuales que son necesarias para minimi&ar la funci/nobetivo" los estimados son aquellos que satisfacen la siguiente ecuaci/n8

!=

=

$z&$e&$ tt 0a.,

Si se resuelven las multiplicaciones de esta ecuaci/n % se despea el valor de

=

'2 "

" se obtiene8

ErroresEstimados

Estimado de & 6

z

@ 5

#ediciones


3/30

( ) z&$'z&$$&$ ((( ==

=

11

'

2

0a.+

3onde

=

'2 " son los estimados obtenidos de los mnimos cuadrados ponderados

de las variables de estado.

3ebido a que @ es una matri& rectangular" la matri& sim;trica @>@ 0recuentementedenominada matri& de ganancia B4 se debe invertir como una Cnica identidad para as

obtener ( ) 11 = $&$' ( " que es tambi;n sim;trica.

Para nuestro eercicio las ponderaciones de las mediciones son iguales" de manera que sepuede obviar su efecto" obteniendo8

z$' ( =

=

1

'

2

on ello obtenemos los valores estimados de las variables de estado son8

=

=

!D*EE.!

1!!''.!

'

2

F el valor estimado de las medidas reales es8

=

==

2!EE.!

D*EE.!

!!''.1

G

'2

1'

12

P

P

P

$z

eteccin de datos errneos

El anlisis de los residuos se pueden usar para evaluar la calidad del conunto demedidas 0decidir si se debe sospechar de la e=istencia de datos err/neos4.

Para nuestro problema identificaremos los errores a trav;s del est de 2 puesto que los

residuos de las medidas siguen una distribuci/n 2con m(n grados de libertad" siendo n

% m el nCmero de variables de estado % medida respectivamente" el est se reali&a comosigue8

Hesolver el estimador de mnimos cuadrados % calcular la funci/n obetivo dondees el estimado.

=

=

'

2

'''2

2'22

1'12

'

2

1

'

2

1

##

##

##

z

z

z

e

e

e

r 6

!D*EE.!

1!!''.!

1!1!

1!!

!1!

21.!

-.!

!.1

6

!!''.!

!!',.!

!!''.!


4/30

unci/n obetivo8%0

4 6 [ ] '2ED.!1

2

2

12

2

==

==

m

i i

im

i i

iii r$z

0a.

7uscar en la taba de distribuci/n 2

para m(n grados de libertad el valorcorrespondiente a la probabilidad. Sea 20m(n4"peste valor" donde8

=

pnm%p 4"02

40Pr0 0a.D

on grados de libertad6 n medidas I n variables 6 ' I 2 6 1. 3e la tabla de distribuci/n2 con un grado de libertad % una probabilidad de **J.

E'+.E2

1 =

omprobarpnm% 4"0

240

. Si la respuesta es afirmativa" se sospecha que puede

e=istir algCn dato err/neo. En caso contrario" las medidas son consideradas e=entasde errores gruesos" validando la estimaci/n.

Para nuestro casopnm% 4"0

240

. Entonces podemos concluir que nuestras

estimaciones estn libres de errores gruesos.

b ) Con la solucin del estimador C, usando las ecuaciones de flujo de potencia *C,

calcule los flujos de potencia activa y reactiva en las lneas!

Las medidas de fluo a trav;s de una lnea o transformador del nudo ialj8

( )

( ) ( )pijijiijijijijjiij

iijijijijijjiij

b+,+sen',,-

,'sen+',,P

+=

+=2

2

4cos040

404cos0

p

ij

jiij

b

=

Para nuestro problema !=ij' % por lo tanto8

ijiijijjiij

ijijjiij

+,+,,-

sen+,,P

24cos0

40

+=

=

Hempla&ando los valores obtenidos anteriormente para G % con 1!=ij+ 8

luo de potencia activa luo de potencia reactiva

Ponderaci/n delinstrumento de

medici/n.

8 3esfase entre nudos i%j

8 Admitancia paralelo del modelo Klnea que une iconj!


5/30

1221

12

12122112

PP

.)u.p(9706.0P

)(senBVVP

=

=

=

4pu0E1E'.!)

7$412cos07$$)

.4u.p0DE2D.!)

7$4cos07$$)

12

12

2

1122112

21

21

2

221211221

=

+=

=

+=

1331

13

13133113

PP

.)u.p(7786.0P

)(senBVVP

=

=

=

D2*!.!)

7$4cos07$$)

.4u.p0-++!.!)

7$4cos07$$)

1'

1'

2

11'1''11'

'1

'1

2

''1'11''1

=

+=

=

+=

3223

32

32322332

PP

.)u.p(2171.0P

)(senBVVP

=

=

=

!**D.!)

7$4cos07$2$)

.4u.p01!+2.!)

7$4cos07$$)

2'

12

2

11212'2'

'2

'2

2

''2'22''2

=

+=

=

+=

c ) Considerando el modelo *C, estime el estado de operacin del SEP aplicando mnimos

cuadrados ponderados y evalu la calidad de la informacin disponible!

El estado estimado del circuito simple de 3 del planteamiento anterior 0pregunta 1a4 estadado por la soluci/n en forma cerrada de la Ec. a.+" porque las ecuaciones del circuito sonlineales. Para un sistema de potencia de A" las ecuaciones de mediciones no son lineales %se requieren soluciones iterativas como el procedimiento de fluos de potencia de


6/30

,. Obtener @ % calcular @>@B t =@ se define como8

.

.#.$

= 40

40 6

'

'2

2

'2

1

'2

'

'2

2

'2

'

'1

2

'1

1

'1

'

'1

2

'1

'

1'

2

1'

1

1'

'

1'

2

1'

'

21

2

21

1

21

'

21

2

21

'

12

2

12

1

12

'

12

2

12

'

2

'

1

'

'

'

2

'

'

2

2

2

1

2

'

2

2

2

'

1

2

1

1

1

'

1

2

1

'

,

P

,

P

,

PPP

,

-

,

-

,

---

,

P

,

P

,

PPP

,

-

,

-

,

---

,

P

,

P

,

PPP

,

,

,

,

,

,,,

,,

,,

,,,,

,

,

,

,

,

,,,

+. resolver /t/ 0$'. = 1

. Actuali&ar el vector de estado /// ... +=+1 % hacer M6M1 0Actuali&ar los valores de

ngulo % m/dulos de voltae4.

D. si . Q!.!!!1 detener el proceso" en caso contrario volver al paso 2.

El resultado obtenido aplicando este proceso iterativo es el siguiente8

Estimador

=

=

!!+-.1

**!'.!

!!,D.1

!DD1.!

!*D*.!

'

2

1

'

2

,

,

,.

F el valor estimado de las medidas reales es8


7/30

=

==

2!D2.!

!,12.!

DD-E.!

!*,D.!

*D2-.!

!!+-.1

**!'.!

!!,D.1

40

'2

'1

1'

21

12

'

2

1

P

-

P

-

P

,

,

,

.#z

Para evaluar la calidad de la informaci/n utili&aremos el mismo test utili&ado enPregunta 1a8

Hesolver el estimador de mnimos cuadrados % calcular la funci/n obetivo donde

. es el estimado.

=

==

!!2-.!

2,12.!

!21,.!

'!+'.!

!2D2.!

!2,2.!

!2*D.!

!+,D.!

2!D2.!

!,12.!

DD-E.!

!*,D.!

*D2-.!

!!+-.1

**!'.!

!!,D.1

21.!

2.!

-.!

,.!

1

!'.1

!2.1

*+.!

-

D

E

+

,

'

2

1

zz

r

r

r

r

r

r

r

r

unci/n obetivo8%0

. 4 6[ ] '

12

2

1!+"1

=

=m

i i

ir

0a.

7uscar en la taba de distribuci/n 2 para m(n grados de libertad el valor

correspondiente a la probabilidad. Sea 20m(n4"peste valor" donde8

=

pnm.%p 4"0240Pr0 0a.D

on grados de libertad6 n medidas I n variables 6 - I + 6 '. 3e la tabla de distribuci/n2 con un grado de libertad % una probabilidad de **J.

',+.112

1 =

omprobarpnm.% 4"0

240

. Si la respuesta es afirmativa" se sospecha que puede

e=istir algCn dato err/neo. En caso contrario" las medidas son consideradas e=entasde errores gruesos" validando la estimaci/n.


8/30

Para nuestro casopnm.% 4"0

240

. Entonces podemos concluir que nuestras

estimaciones estn libres de errores gruesos.

d ) 1dentifi2ue la o las) medidas errneas del conjunto de informaciones!

La identificaci/n de datos err/neos se refiere al proceso que permite seleccionar o aislarla medida incorrecta 0o varias medidas incorrectas4 entre un conunto de medidasdisponibles cuando se sospecha que e=isten tales datos" para ello utili&aremos el est delma%or residuo normali&ado 0r3)!

Algoritmo De Residuos Normalizados

1.( resolver el estimador de mnimos cuadrados % obtener los elementos del vector de

residuos8

=

=

!!2-.!

2,12.!

!21,.!

'!+'.!

!2D2.!

!2,2.!

!2*D.!

+,D.!

.#zr iii

2.( calcular los residuos normali&ados8

iiii

i3

iS4

rr

= 6

=

,-'*.!

+,*!.'*

D'E1.'

'2+1.,*

EE,'.,

'D,,.'*

1-,*.,*

12D,.DD

'2

'1

1'

21

12

'

2

1

-

D

E

+

,

'

2

1

P

-

P

-

P

,

,

,

r

r

r

r

r

r

r

r

3onde8

& 6 H(1


9/30

( ) &$$&$$5 (( = 1

R 6#atri& identidad

S 6 0R(4 Sensibilidad residual

'.( Encontrar el ma%or residuo normali&ado3/r % definir una constante para el umbral

de identificaci/n 0tpicamente 6 '4.

,.( si3/r T c" entonces la medida M(esima se considera err/nea. En caso contrario" parar 0no

ha% datos err/neos4.

+.( eliminar la medida sospechosa del conunto de datos 0limpiar los datos de entrada4 %volver al paso 1.Hesiduos Obtenidos

=

,-'*.!

+,*!.'*

D'E1.'

'2+1.,*

EE,'.,

'D,,.'*

1-,*.,*

12D,.DD

'2

'1

1'

21

12

'

2

1

-

D

E

+

,

'

2

1

P

-

P

-

P

,

,

,

r

r

r

r

r

r

r

r

e ) 4ealice nuevamente el proceso de estimacin estimador 6 procesamiento deerrores) descartando las medidas identificadas como errneas! Comparare

soluciones con resultados de parte a, b y c!

3e acuerdo al anlisis anterior las medidas err/neas" son las relacionadas a los m/dulosde voltae de barra % los fluos de potencia reactiva. 3ebido a esto se eliminar la medida$1 % )21%a que son las que tienen ma%or residuo normali&ado.

?na ve& descartado las mediciones antes mencionadas 0$1 % )214 se obtiene8

Puede demostrarse 2ue si #ay una medida errnea no crticael mayor residuo normalizado corresponde precisamente a

dic#a medida! En nuestro caso La medida de 7 se debeconsiderar como una medida errnea no critica! Este

resultado tambin se aplica a m8ltiples medidas errneas

siempre 2ue la interaccin entre las misma sea despreciable!Para el resultado obtenido podemos observar 2ue debido a

2ue los modulo del voltaje de barra depende mayormente de

la potencia reactiva 2ue se inyecta a las barras, esto #ace 2uelas medidas errneas no criticas se pueden considerar los

modulo del voltaje de barra y los flujos de potencia reactiva

del sistema!


10/30

=

',E-.!

',E-.!

',E-.!

',E-.!

',E-.!

',E-.!

'2

'1

1'

12

'

2

-

D

E

,

'

2

P

-

P

P

,

,

r

r

r

r

r

r

?na ve& eliminado las medidas err/neas no critica" se obtiene los residuos normali&adosmenores a '. on esto podemos resolver que los valores obtenidos con estas medicionesson confiables8

=

=

!'!!.1

!2!!.1

!+2'.1

!D'D.!

!*'+.!

'

2

1

'

2

,

,

,.

%

=

==

2!-!.!

2!!!.!

!!2.1

*D2-.!

!'!!.1

!2!!.1

40

'2

'1

1'

12

'

2

P

-

P

P

,

,

.#z

A continuaci/n se muestra la comparaci/n de los resultados obtenidos en la parte a4"b4 % c48

$ector de Estado

$ariables a4 b4 c4

on luo 3 on luo A on luo Ameorado

52 (!.1!!'' (!.!*D* (!.!*,'

5' (!.!D*D (!.!DD1 (!.!D,!

$1 1.!! 1.!!,D 1.!+2'

$2 1.!! !.**!' 1.!2!!

$' 1.!! 1.!!+- 1.!'!!

luos de Potencia

$ariables

a4 b4 c4

on luo 3 on luo Aon luo A

meorado

P12 1.!!'! !.*D2- 1.!!2!

P1' !.D* !.DD- !.D*-!

P'2 !.2! !.2!D2 !.2!-!

)21 ! (!.!*,D (

)'1 ! !.!,12 (!.2!!!


11/30

9&P:

9&P:

2!!2!

'!!'!

'

1

Pregunta 2)

En el SEP anterior, considere las si:uientes funciones de costo para los :eneradores;

4U0V!!1+.!'2!!40

4U0V!!1.!21+!40

2''''

21111

#rPPPC

#rPPPC

:::

:::

++=

++=

a ) Para una car:a total 2ue varia entre ?= 9&, obten:a el despac#oeconmico sin considerar prdidas!

Los costos marginales asociados son8

1

1

1 !!2.!2 P:P:

C+=

'

'

' !!'.!' P:P:

C+=

Aplicando el criterio de i:ualdad en los costos mar:inalesde cada generador" para elmnimo costo total de generaci/n" obtenemos nuestra primera ecuaci/n8

'1 !!'.!'!!2.!2 P:P: +=+Heordenando8

1!!'.!!!2.! '1 = P:P:

Para que la demanda del sistema sea abastecida por los generadores

)PP:P: =+ '1

Por lo tanto el sistema a resolver es8

)PP:

P: 1

11

!!'.!!!2.!

'

1 =

Para una demanda P36+! #>" Pg162'! #> % Pg'6(1-! #>.


12/30

costo marginal es el generador Pg'"por lo tanto empe&amos abasteciendo la demanda conPg1 que presenta menor costo marginal.

9UV!E.2min1 =

9UV!E.'min' =

El ma%or costo marginal entre los generadores el costo marginal del sistema.

ostoVUh

sist

VU#>h1

VU#>h'

VU#>h

Pg1#> Pg'#> P3 #>

2+' 2"1! 2"1! !"!! +! ! +!

'! 2"2! 2"2! !"!! 1!! ! 1!!

+*! 2",! 2",! !"!! 2!! ! 2!!

-,! 2"! 2"! !"!! '!! ! '!!

3ebido a que la demanda aumenta por sobre el m=imo que puede entregar Pg1" se hacenecesario que entre a generar Pg' como apo%o en la generaci/n" debido a esto aumentabruscamente el costo marginal del sistema. uando la demanda sobre pase los '!! #> Pg1disminuir su generaci/n no menor a 2-! #> entrando simultneamente P g'. La reducci/nde Pg1es debido a que el mnimo de generaci/n de Pg' es de 2! #>.

Por lo tanto8

ostoVUh

sist

VU#>h1

VU#>h'

VU#>h

Pg1#>

Pg'#>

P3#>

1.!+2 '"! 2"+2 '"! 2-1 2! '!1

1.!2 '"! 2"+D '"! 2-+ 2! '!+

1.!D+ '"! 2"+- '"! 2*! 2! '1!

1.1!1 '"! 2" '"! '!! 2! '2!

1.1*, '"1+ 2" '"1+ '!! +! '+!

1.22+ '"1- 2" '"1- '!! ! '!

b ) Para el caso estudiado en el punto anterior se determina el despac#oeconmico considerando las prdidas!

La ecuaci/n que describe las p;rdidas del sistema es8

9&PPPPP ::::LE2

'21

2

1 1!4*D'.D+'-.-D+-.2E0 ++=

ostos marginales para rango mnimo degeneraci/n de cada generador.


13/30

El despacho considerando las p;rdidas debe satisfacer a la demanda adicionando lasperdidas correspondientes. Es decir" las perdidas incrementan la demanda neta %modifica la relaci/n entre generadores % demanda de lineal a no lineal.Se usa proceso iterativo % como base el caso sin perdidas.

Sea el caso 7ase8

4U0V1.2

!

+!

2

1

9

9&P

9&P

===

Para 61

4U0V1!!1''-.2

40!40!EE-*+.+!

40!EE-*+.!

'

1

!1

9

9&P:9&P:

PLP:P:

9&PL

===

+==

Para 62

4U0V1!!1''-.2

!

40!ED!D.+!

40!ED!D,+.!

'

1

!1

9

P:

9&P:

PLP:P:

9&PL

===

+==

Para 6'

4U0V1!!1',.2

!

40!ED!D,E.+!

40!ED!D,E.!

'

1

!1

9

P:

9&P:

PLP:P:

9&PL

===

+==

As para una demanda de +!#>" considerando las p;rdidas" la soluci/n es8


14/30

4U0VE,.2+2

4U0V!

4U0VE,.2+2

4U0V1!!1',.2

!

40!ED!D,E.+!

40!ED!D,E.!

'

1

'

1

!1

#C

#C

#C

9

P:

9&P:

PLP:P:

9&PL

t===

===

+==

Para Pd6'!!#>" se asigna generaci/n mnima para Pg' % se reduce potencia a Pg1. Asel caso base es8

1+.'

4#>02!Pg

4#>02-!Pg

2

1

===

Las p;rdidas la asume Pg1 hasta que alcance su lmite m=imo de operaci/n.

Para 61

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01,--'.2-2Pg

PLPgPg

4#>01,--'.2PL

'

1

!1

===

+==

Para 62

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01-1+1-D.2-2Pg

PLPgPg

4#>01-1+1-D.2PL

'

1

!1

===

+==

Para 6'

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01-2!1D*-.2-2Pg

PLPgPg

4#>01-2!1D*-.2PL

'

1

!1

===

+==


15/30

Para 6,

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01-2!2+.2-2Pg

PLPgPg

4#>01-2!2+.2PL

'

1

!1

===

+==

As el despacho /ptimo es8

4hU0V+*.1!+,

4hU0VE.2E!

4hU0V**.D*'

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01-2!2+.2-2Pg

PLPgPg

4#>01-2!2+.2PL

t

'

1

'

1

!1

===

===

+==

Para demanda 6'1!#>

aso base8

4#>02!Pg

4#>02*!Pg

2

1

==

Para 61

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>0'!'!.2-2Pg

PLPgPg

4#>0'!'!.2PL

'

1

!1

=

==

+==

Para 62


16/30

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01-'*.2-1Pg

PLPgPg

4#>01-'*.2PL

'

1

!1

===

+==

Para 6'

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01-2!.2-2Pg

PLPgPg

4#>01-2!.2PL

'

1

!1

===

+==

Para 6,

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01-2!2+.2-2PgPLPgPg

4#>01-2!2+.2PL

'

1

!1

===

+=

=

El despacho optimo de carga para Pd6'1! #> considerando las perdidas es8

4hU0V+,!D.1!+,

4hU0VE.2E!

4hU0V**!D.D*'

4#>hU0V1+.'

2!Pg4#>01-2!2+.2-2Pg

PLPgPg

4#>01-2!2+.2PL

t

'

1

'

1

!1

===

===

+==

Para demanda 6'!#>"el caso base es 8

1-.'

4#>0E!Pg4#>0'!!Pg

2

1

===

Para 61


17/30

4#>hU0V1-DD.'

+*!E.E2Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0+*!E.2PL

'

1

!1

===

+==

Para 62

4#>hU0V1-DD.'

+**D.E2Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0+**D.2PL

'

1

!1

===

+==

Para 6'

4#>hU0V1-DD.'

+**-.E2Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0+**-.2PL

'

1

!1

===

+==

El despacho optimo de carga considerando las perdidas es8

4hU0VEDD.12''

4hU0VEDD.'*'

4hU0V-,!

4#>hU0V1-DD.'

+**-.E2Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0+**-.2PL

t

'

1

'

1

!1

===

===

+==

En sntesis8

ostoVUh

sist

VU#>h1

VU#>h'

VU#>h

Pg1#>

Pg'#>

PL#>

P3#>

2+2., 2.1!!1 2.1!!1 ( +!.!D!D ! 2.1!!1', +!

1!+,.+, '.1+ '.1+ '.!' 2-2.1-2! 2! 2.1-2! '!!


18/30

1!+,.+, '.1+ '.1+ '.!' 2-2.1-2! 2! 2.1-2!2+ '1!

12''.DD '.1-DD '.1-DD '.!*'- '!! 2.+* 2.+**- '!

c ) Considere a#ora 2ue los consumos en barras @ y > son ;

S@A7?=6jB= 9&

S> A@==6j?= 9&

las impedancias de las lneas son i:uales a 0A=!=76j=!7 pu!

Dbten:a la condicin de operacin de este caso usando el modelo lineal y lue:odetermine el despac#o econmico con prdidas utilizando los coeficientes de

penalizacin obtenidos a partir de las ecuaciones del sistema! Compare este resultado

con el calculado anteriormente!

onsiderando el despacho obtenido en a4 para una carga en el sistema de '! #> 0Pg16'!!#> % Pg'6! #>4" la potencia neta en las barras 2 % ' son8

P16 '!! 6 '!! #> 6 'puP26 (1! 6 (1! #> 6 (1.puP'6 !(2!! 6 (1,! #> 6 (1.,pu

onsiderando las tensiones planas" es decir 1pu % como referencia la barra 1" donde 51 6 !"se formula las siguientes ecuaciones para un fluo 38

2'

'2

21

122'212

""PPP +=+=

'2'22

2 1!2!1.!1.!1.!

=+=P on E.12 =P

'2

2'

'1

1'

'2'1'""

PPP +=+=

2'2''

' 1!2!1.!1.!1.!

=+=Pon

,.1' =P

Entonces


19/30

=

'

2

2!1!

1!2!

,.1

E.1

=

rad

rad

1,ED.!

1+''.!

'

2

=

,!+'.-

D-',.-

'

2

inalmente la condici/n de operaci/n del sistema es8

!11

=,

D-',.-12 =,

,!+'.-1'

=,

Para obtener los coeficientes de penali&aci/n del sistemas" usaremos la formula de Beorgequien reduce el sistema 0ecuaciones de corrientes4 a las barras de generaci/n" en la cual sepuede plantear la forma general de la ecuaci/n de potencia % con ello obtener los elementos

+ij0oeficientes de la ecuaci/n de p;rdidas4. La e=presi/n resultante depende del punto deoperaci/n del sistema 0caso base4" para el cual se determina los coeficientes+ij!

Beorge de basa en un sistema de WrX ramas 0corrientes conocidas4.

La cada de tensi/n en la rama WrX es8

omando como referencia la barra 18 $H6$1

Luego8

==

==r

i

iL

r

i

iL 1"-14P

1

2

1

1

2

1

=

=+=r

i

iLLL 10-PS1

2

1

=+=== iLLL1iRii ZQPSIZVVV


20/30

Empleando Y78

La e=presi/n para SL8 0forma lineal4

0forma cuadrtica4

O bien8

Las p;rdidas de potencia activa son8

Pero" para despacho econ/mico8

Para la soluci/n de nuestro problema seguiremos el siguiente planteamiento83ebido a que tenemos una barra con carga % generaci/n al mismo tiempo agregaremos unabarra ficticia que simulara ser solo barra de generaci/n 0barra ,4. Entonces" Y se e=pandepara incluir una fila % una columna para la barra '" con id;nticos elementos fuera de ladiagonal a los de la fila 2 % columna 2" % as Y ,, 6 Y''. ?saremos la barra 1 comoreferencia" es por esto que no se inclu%e en la matri& Y.

Ecuaci/n del Sistema8

orrientes in%ectadas a la red 0 para los generadores % I para las cargas4.

.4.0,1.-E.!,!+'.-1

E.!

.4.0-*.1+,!--.2,!+'.-1

4E.!20

.4.0+E.1+DE,*.1D-',.-1

4,.!E.10

.4.0!'!1

'

Z

,

,,

Z

'

''

Z

2

22

Z

1

11

up,

S1

upj

,

S1

upj

,

S1

up,

S1

=

=

=

=

+

=

=

=

+=

=

=

=

=


21/30

=

=

=

12,1+*'.!

12,1+*'.!

1'.1211E''.!

2*.-,!ED.!2*.-,!ED.!2*.-,!'+.!

2*.-,!ED.!2*.-,!ED.!2*.-,!'+.!

2*.-,!'+.!2*.-,!'+.!2*.-,!ED.!

,

'

2

,

'

2

,,,',2

','''2

2,2'22

,

'

2

1

1

1

1

1

1

000

000

000

EE

EE

EE

4

4

4

7! Eliminacin de variables de barra de car:a

Las corrientes de carga se pueden considerar como una fracci/n constante de la carga totaldel sistema" de la forma8

3onde RLcorresponde a la corriente de la carga total %

En forma general se define8 121

=+++

= in

ii donde

111

1

oncluido esto" se formula las ecuaciones para R[8

[ ]

=

=

,

'

2

,

'

2

1

1!

!

!

\1

1

1

1

1

1C1 L

@! eterminacin de un vector EF;

[ ]

=

=

=

12,1+*.!

1.12,1E1.!

1!!

!\

,

'

2

'2

,

Z

1

4

4

4

4

4Lt

EE

EE

EE

EE

EEECE

>! Dbtener una nueva matriz 0F para el sistema reducido;

.1+E.!+.1,,.! '''

2 =+====1

yi

L 1y1 ''22 ==


22/30

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

=

==

2*.-,1!D.E+-.-+1!2*.+

-'1!2*.+'.-,1!12.+\

1!

!

!

1!!

!\

22

22

'

2

'21

Z

1

0

0C0C0 t

3e esta forma obtenemos el valor del vector E]8

[ ] [ ]

=

==

,,

\\\\1

10

EE

EE10E

L

4

4L

B! introducir la barra de referencia y cambiar la referencia de G4H a GLH! *umentando la

matriz 0F en una lnea;

=

3

L

R

'

44

'

L4

'

4L

'

1L

R4

RL

RR

I

II

ZZ0

ZZ0000

EE

EEEE

40,

1114L

+=

?sando la matri& 2" solo para barras de generaci/n.

[ ]

=

==

,

,

2

1!

11

!1

\\\1

1

1

1

1

1C1 4

L

4

?! (ambin la transformacin de tensin;

=

=

L4

LR

R4

RL

RR

EE

EE

EE

EE

EE

110

011''E

As" la matri& Y]] transformada es8


23/30

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

=

==

2*.-,1!2,.1'D.E!1!!+.2

1.1'11!!+.2'.-,1!12.+\\

1!

11

!1

!

!

!!!

11!

!11\\\

2'

22

\

,,

\

,

\

,

\

12

Z

2

0

00

00C0C0

L

LL

t

3onde8

[ ]

=

=

98.200052.0

6.84153.0

I

I''Z

EE

EE

3

R

L4

LR

I! las transformaciones de tensin y corriente estJn basadas en la invariabilidad de lapotencia, por lo 2ue las prdidas de potencia son;

puPL !,+-.!=

Los ,. #> de potencia p;rdida solo es valida para este punto de operaci/n 0Pg16'!! #>% Pg'6! #>4.

K! Escribir PLen trminos de la potencia en barras de :eneracin, considerando, en

:eneral, el si:uiente dia:rama fasorial;

3onde representa al generador WiX en el $ector R]].


24/30

r!1468.041.898.20r!513.039.29

r!006.84r!477.16.84

344

111

=====

=====

Rnclu%endo todas las variables" e=cepto P en la matri& de la impedancia" resulta8

[ ]

[ ] [ ]

=

=

2

1

21

+1'.!

'

,DD.1

1+1'.!

'

,DD.1

1

'*.2*!1.1!

!E'.-,1\\

'*.2*!1.1!

!E'.-,1

4,*-.!cos01

4E+.1cos01\\

41,E-.!cos014!cos01

P

P0PPP

eP

eP

0ePeP

P

L

j

j

jj

L

?na ve& obtenido el valor de _7`" se rescatan los valores reales % obtenemos8

[ ]

[ ]

=

=

'

1

''

''

'1

''

''

1!2+.11!!+.2

1!!E.21!!*.+

1!2+.11!!+.2

1!!E.21!!*.+

P

PPPP

+

L

F finalmente obtenemos la ecuaci/n que describe las perdidas de acuerdo al despacho decarga de los generadores8

( '2''12

1 1!2+.1!1'.!!*.+ += PPPPPL

Para reali&ar los clculos se ingresan a la formula" los valores de potencia en 0pu4

Sea el caso 7ase8

4U0V1.2!

+!

2

1

9&P

9&P

==

=

Para 61

+


25/30

4#>hU0V1!!12+,+.2

4#>0!Pg

4#>012D2+.+!Pg

PLPgPg

4#>012D2+.!PL

'

1

!1

===

+==

Para 62

4#>hU0V1!!2++.2

!Pg

4#>012D+*.+!Pg

PLPgPg

4#>012D+*.!PL

'

1

!1

===

+==

Para 6'

4#>hU0V1!!2E.2

!Pg

4#>01'!E-E.+!PgPLPgPg

4#>01'!E-E.!PL

'

1

!1

===

+=

=

Para M6,

4#>hU0V1!!2+.2

!Pg

4#>012D*1.+!Pg

PLPgPg

4#>012D*1.!PL

'

1

!1

===

+==

As para una demanda de +!#>" considerando las p;rdidas" la soluci/n es8

4hU0VDE.2+2

4hU0V!

4hU0VDE.2+2

4#>hU0V1!!2+.2

!Pg

4#>012D*1.+!Pg

PLPgPg

4#>012D*1.!PL

t

'

1

'

1

!1

===

=

==

+==


26/30

Para Pd6'!!#>" se asigna generaci/n mnima para Pg' % se reduce potencia a Pg1. Asel caso base es8

1+.'

4#>02!Pg

4#>02-!Pg

2

1

=

==

Las p;rdidas la asume Pg1 hasta que alcance su lmite m=imo de operaci/n.

Para 61

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>0**,2.2-'Pg

PLPgPg

4#>0**,2.'PL

'

1

!1

===

+==

Para 62

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01!*,-.2-,Pg

PLPgPg

4#>01!*,-.,PL

'

1

!1

===

+==

Para 6'

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>0112-1D.2-,Pg

PLPgPg

4#>0112-1D.,PL

'

1

!1

===

+==

Para 6,

4#>hU0V1+.'2!Pg

4#>0112*.2-,Pg

PLPgPg

4#>0112*.,PL

'

1

!1

==

=+=

=

As el despacho /ptimo es8


27/30

4hU0V+,+*.1!+*

4hU0VE.2E!

4hU0V*,+*.D*-

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>0112*.2-,Pg

PLPgPg

4#>0112*.,PL

t

'

1

'

1

!1

===

===

+==

Para demanda 6'1!#>

aso base8

4#>02!Pg

4#>02*!Pg

2

1

=

=

Para 61

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>0'!,*.2-,Pg

PLPgPg

4#>0'!,*.,PL

'

1

!1

===

+==

Para 62

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>011-,.2-,Pg

PLPgPg4#>011-,D.,PL

'

1

!1

===

+==

Para 6'

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>011'!D.2-,Pg

PLPgPg

4#>011'!D.,PL

'

1

!1

===

+==

Para 6,


28/30

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01'2*2.2-,Pg

PLPgPg

4#>01'2*2.,PL

'

1

!1

===

+==

Para K=5

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01',*+.2-,Pg

PLPgPg

4#>01',*+.,PL

'

1

!1

===

+==

El despacho optimo de carga para Pd6'1! #> considerando las perdidas es8

4hU0VE!2,.1!+*

4hU0VE.2E!

4hU0V!!2,.D**

4#>hU0V1+.'

2!Pg

4#>01',*.2-,Pg

PLPgPg

4#>01',*+.,PL

t

'

1

'

1

!1

=

==

===

+==

Para demanda 6'!#>"el caso base es 8

1-.'

4#>0E!Pg

4#>0'!!Pg

2

1

===

Para 61

4#>hU0V1*'*.'

E+'EE.E,Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0E+'EE.,PL

'

1

!1

===

+==

Para 62


29/30

4#>hU0V1*'-*.'

E'!D'.E,Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0E'!D'.,PL

'

1

!1

=

==

+==

Para 6'

4#>hU0V1*E*E.'

E2+E+.E,Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0E2+E+.,PL

'

1

!1

===

+==

El despacho optimo de carga considerando las perdidas es8

4hU0V1,1E.12,!

4hU0V1,1E.,!!

4hU0V-,!

4#>hU0V1*E*E.'

E2+E+.E,Pg

4#>0'!!Pg

PLPgPg

4#>0E2+E+.,PL

t

'

1

'

1

!1

=

==

===

+==

En sntesis8

ostoVUh

sist

VU#>h1

VU#>h'

VU#>h

Pg1#>

Pg'#>

PL#>

P3#>

2+2.D 2.1!!2+ 2.1!!2+ ( +!.12D*1 ! !.12D*1 +!

1!+*.+,* '.1+ '.1+ '.! 2-,.112* 2! ,.112* '!!

1!+*.+, '.1+ '.1+ '.! 2-,.1',* 2! ,.1',* '1!

12,!.1,2 '.1-DD '.1** '.!*'- '!! ,.2++ ,.2+ '!

omparaci/n de Hesultado.

Pg10Beorge4 Pg10Parte 74 Pg'0Beorge4 Pg'0Parte 74 PL0Beorge4 PL0Parte 74 Pd

+!.12D*1 +!.!D1 ( ( !.12D* !.!D1 +!


30/30

2-,.112* 2-2.1-2! 2! 2! ,.112* 2.1-2! '!!

'!! '!! ,.2+ 2.+* ,.2+ 2.+**- '!

Para la demanda de energa 0+! % '! #>4 podemos ver que el error entre las perdidas essignificativo pero en la generaci/n" el error no pasa los 2J.

sist

VU#>h0Parte 74

sist

VU#>h0 Beorge4

P3#>

2.1!!1 2.1!!2+ +!

'.1+ '.1+ '!!

'.1-DD '.1-DD '!

El costo marginal de este sistema se ve afectado principalmente por la maquina '" que es lams cara. omo es la maquina 1" la ms barata" que asume la potencia perdida % la otra quemarca costo marginal. omparando los dos casos" no presentan diferencia.

on este resultado podemos decir que ambos m;todos entregan un valor final correcto" %los coeficientes de perdidas calculados por el m;todo de Beorge dan una apro=imaci/n realal modelo del sistema.3ebemos considerar que el m;todo de Beorge contiene errores %a que la apro=imaci/ninicial del sistema fue reali&ado con luo lineal 3.

Prueba análisis de sistemas eléctricos

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