Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

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Sistemas eléctricos polifásicos Una de las razones para estudiar el estado senoidal permanente es que la mayor parte de la energía eléctrica para la industria y los hogares se usa en forma de corriente alterna. Una fuente polifásica, como la mostrada en la figura 1, se estudia porque casi toda la energía eléctrica se genera y distribuye como potencia polifásica con una frecuencia de 60 Hz.

Figura 1

El sistema polifásico más común es el sistema trifásico balanceado. La fuente tiene tres terminales con voltajes senoidales de igual amplitud. Sin embargo, esos voltajes no están en fase; sino cualquiera de los voltajes está 120° desfasado con cualquiera de los otros dos, donde el signo del ángulo de fase dependerá del sentido de los voltajes. Véase la Figura 2.

Figura 2. El uso de un mayor número de fases como sistemas de 6 y 12 fases, se limita casi por completo al suministro de energía a grandes rectificadores. Aquí, los rectificadores transforman la corriente alterna en corriente directa, que se necesita para ciertos

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

124

procesos como la electrólisis. La salida del rectificador es una corriente directa más una componente pulsante más pequeña, o rizo, que disminuye conforme aumenta el número de fases. Casi sin excepción, en la práctica, los sistemas polifásicos contienen fuentes que se aproximan muy de cerca a las fuentes ideales de voltaje o a las fuentes ideales de voltaje en serie con pequeñas impedancias internas. Las fuentes de corriente trifásica son muy poco comunes. Notación de doble subíndice Para describir corrientes y voltajes polifásicos se utiliza una notación de doble subíndice. Con esta notación, un voltaje o una corriente, como Vab o IaA tiene más significado que si se indican simplemente como V3 o Ix. Por definición, Vab es el voltaje del punto a con respecto al punto b. Así, el signo más se localiza en el punto a. Por tanto, los subíndices dobles equivalen a un par de signos más-menos. También se aplica la notación de doble subíndice a las corrientes. La corriente Iab se define como la corriente que circula de a hacia b a través de la trayectoria directa. De hecho, cuando se hace referencia a esta corriente no se necesita la flecha de dirección; los subíndices indican la dirección. Fuente trifásica Y Las fuentes trifásicas tienen tres terminales llamadas de línea y pueden tener o no tener una cuarta terminal denominada la conexión neutra. Se analizará una fuente trifásica que sí tiene una conexión neutra. Puede representarse como tres fuentes ideales de voltaje conectadas en Y, como se ve en la figura 3. Sólo se considerarán fuentes trifásicas balanceadas, que son tales que an bn cnV = V = V y

Van + Vbn + Vcn = 0 Estos tres voltajes, cada uno definido entre una línea y el neutro, reciben el nombre de voltajes de fase. Si arbitrariamente se escoge a Van como referencia, o

an pV = V 0 donde Vp representa la amplitud rms de cualquiera de los voltajes de fase; entonces, la definición de la fuente trifásica indica que o o

bn p cn pV = V -120 V = V -240 o bien o o

bn p cn pV = V 120 V = V 240

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

125

La primera se llama secuencia de fase positiva, o secuencia de fase abc, y se muestra en la figura 4a; la segunda recibe el nombre de secuencia de fase negativa, o secuencia de

+-

+-

+ -VanVbn

Vcn

a

c

b

n

A

B

N

CFigura 3.

fase cba, y se indica por medio del diagrama fasorial de la figura 4b. Siempre pueden elegirse de manera que se tenga una secuencia de fase positiva, y se supondrá que esto se ha hecho en la mayor parte de los sistemas que se consideren.

(a)

ocn pV = V -240

oan pV = V 0

obn pV = V -120

secuencia (+)

ocn pV = V 240

oan pV = V 0

obn pV = V 120

secuencia (-)

(b)

Figura 4. Los voltajes de línea a línea (o simplemente voltajes de línea) son aquellos que se miden entre los puntos a, b y c o entre los puntos A, B y C. Véase la figura 5. Se pueden obtener de diversas maneras. Utilizando la notación rectangular y de acuerdo a la figura 5a, se obtiene que Los tres voltajes dados y la construcción del fasor Vab se muestran en el diagrama fasorial de la figura 5a. ab an nb an bnV = V + V = V - V

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

126

o oab p pV = V 0 - V -120

o o o oab p pV = V (cos0 + jsen0 ) - V ((cos(120 ) - jsen(120 ))

ab p pV = V (1 + j0) - V (1/2 - j 3/2) ab pV = V (3/2 + j 3/2) Convirtiendo a polar nuevamente, se obtiene o

ab pV = 3V 30 (1.1) Similarmente, para el voltaje Vbc se obtiene que bc bn nb bn cnV = V + V = V - V o o

bc p pV = V -120 - V -240 bc pV = V (-j 3/2) o

bc pV = 3V -90 (1.2) Siguiendo el mismo procedimiento, para Vca se obtiene ca pV = V (-3/2 + j 3/2) o

ca pV = 3V -210 (1.3) La ley de voltajes de Kirchhoff requiere que ab bc caV + V + V = 0 y puede verificarse al hacer la suma. En la figura 5b se muestra el diagrama de fase asociado a los voltajes de línea y los voltajes de fase. Los voltajes de fase son Van, Vbn, Vcn. Los voltajes de línea son Vab, Vbc, Vca.

Vca

Vbc

Van

Vcn

Vbn

Vab

(b)(a)

Van

Vcn

Vbn

VabVnb

Figura 5

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

127

Si la amplitud rms de cualquiera de los voltajes de línea se denota por VL entonces una de las características importantes de una fuente trifásica conectada en Y puede expresarse como L pV = 3V (1.4) La conexión Y-Y Ahora considérese que se conecta a la fuente una carga trifásica balanceada conectada en Y, usando tres líneas y un neutro, como se ve en la figura 6.

A B

N

C

Zp

Zp Zp+

-

+-

+ -VanVbn

Vcn

a

c

b

n

IaA

IbB

IcC

Figura 6.

Considerando una secuencia de fase positiva, las fuentes de voltaje tienen la forma

oan pV = V 0

obn pV = V -120

ocn pV = V -240

La carga está representada por una impedancia Zp conectada entre cada línea y el neutro. Las tres corrientes de línea se calculan muy fácilmente, ya que en realidad se tienen tres circuitos monofásicos con una conexión común

p oaAaA

p p

VVI = = 0Z Z

o

p p obBbB

p p p

V -120 VVI = = = -120Z Z Z

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128

o

p p ocCcC

p p p

V -240 VVI = = = -240Z Z Z

En notación rectangular

p p paA bB cC

p p p

V V VI = I = (-1/2 + j 3/2) I = (-1/2 - j 3/2)

Z Z Z

y por lo tanto nN aA bB cCI = I + I + I = 0 Así, el neutro no lleva corriente si tanto la carga como la fuente están balanceadas y si los cuatro alambres tienen una impedancia igual a cero. ¿Cómo cambiaría esto si se insertara una impedancia ZL en serie con cada una de las tres líneas y una impedancia Zn en el neutro? Si no se producen cambios en el sistema con un cortocircuito o un circuito abierto entre n y N, puede insertarse cualquier impedancia en el neutro y la corriente en el neutro seguirá siendo igual a cero. Si se tienen fuentes balanceadas, cargas balanceadas e impedancias de línea balanceadas, un alambre neutro de cualquier impedancia puede remplazarse por cualquiera otra impedancia, incluyendo un cortocircuito y un circuito abierto. El reemplazo no afectará los voltajes ni las corrientes del sistema. A menudo es útil visualizar un cortocircuito entre los dos puntos neutros, ya sea que en realidad esté presente o no un alambre neutro; así, el problema se reduce a tres problemas monofásicos, todos idénticos excepto por las diferencias de fase. En este caso se dice que el problema se resuelve "por fases". Ejemplo 1. En el circuito de la figura 8 considere que Van = 200|_0o y que la impedancia Zp = 100|_60o. Calcular las corrientes, los voltajes en el circuito, y la potencia total. Solución: Como uno de los voltajes de fase está dado, y como se supone una secuencia de fase positiva, los tres voltajes de fase son o o o

an bn cnV = 200 0 V = 200 -120 V = 200 -240 El voltaje de línea vale 200 3 Vrms = 346 Vrms y o

abV = 346 30 V . En la fase A, la corriente de línea es

o

oanaA rmso

p

V 200 0I = = = 2 -60 AZ 100 60

y la potencia absorbida por esta fase es, por lo tanto, PAN = 200(2) cos (0° + 60°) = 200 W

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

129

Considerando la simetría del circuito, la potencia total absorbida por la carga trifásica es de 600 W. Ejemplo 2. Supóngase que se tiene un sistema trifásico balanceado con un voltaje de línea de 300 Vrms, y que está alimentando a una carga balanceada conectada en Y con 1200 W a un FP de 0.8 adelantado. ¿Cuál es la corriente de línea y la impedancia de carga, por fase? Solución: Es evidente que el voltaje de fase vale rms300/ 3 V y que la potencia por fase es de 400 W. Entonces la corriente de línea puede obtenerse a partir de la relación de potencia promedio,

L rmsrms

P 400 3I = = = 2.89 AV cos(θ-φ) 300(0.8)

La impedancia de fase está dada por

pp

L

V 300/ 3Z = = = 60 ΩI 2.89

Como el FP es de 0.8 adelantado, el ángulo de fase de la impedancia es -36.9° y

opZ = 60 -36.9 Ω

Pueden manejarse cargas más complicadas con facilidad, ya que los problemas se reducen a problemas monofásicos más simples. Ejemplo 3. Supóngase que una carga balanceada de alumbrado de 600 W se añade (en paralelo) al sistema del ejemplo 2. Determine de nuevo la corriente de línea. Solución: Por la simetría, solo es necesario estudiar una fase, como muestra la figura 7.

+- 200W

400WFP = 0.8adelantadorms

300 V3

IL

I1

I2

Figura 7.

La amplitud de la corriente de alumbrado está dada por

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

130

1 rmsrms

P 200 3I = = = 1.155 AV cos(θ-φ) 300(1)

En forma análoga, la amplitud de la corriente de la carga capacitiva no varía respecto a su valor anterior 2 rmsI = 2.89 A Si el voltaje de fase tiene un ángulo de 0°, entonces o o

1 2I = 1.155 0 I = 2.89 +36.9 y la corriente de línea es o o o

L 1 2 rmsI = I + I = 1.155 0 + 2.89 +36.9 = 3.87 26.6 A La potencia generada por esta fase es

orms rms

300P = V I cos(θ - φ) = (3.87)cos(+26.6 ) = 600 W3

lo cual está de acuerdo con la hipótesis original. Si una carga conectada en Y desbalanceada está conectada a un sistema trifásico que por lo demás está balanceado, el circuito aún puede analizarse por fases si el alambre neutro está presente y si tiene una impedancia igual a cero. Si cualquiera de estas dos condiciones no se cumple, deben usarse otros métodos, tales como el análisis de mallas o el de nodos. La conexión Y-∆ Es más probable encontrar cargas trifásicas conectadas en ∆ que conectadas en Y. Una razón para ello, al menos en el caso de una carga desbalanceada, es la facilidad con la que pueden añadirse o quitarse cargas en una sola fase. Esto es difícil (o imposible) de hacer en una carga de tres conductores conectada en Y. Considérese una carga balanceada conectada en ∆ que consiste en una impedancia Zp insertada entre cada par de líneas. Obsérvese que en este circuito no hay un cable conectado a n, véase la figura 8. Supóngase que los voltajes de línea son conocidos, es decir

VL = IVabI = IVbcl = IVcal O bien los voltajes de fase son conocidos

Vp = IVanl = IVbnl = IVcnI

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

131

donde L pV = 3V

oab pV = 3V 30

obc pV = 3V -90

oca pV = 3V -210

A B

C

Zp

Zp Zp

+-

+-

+ -VanVbn

Vcn

a

c

b

n

IaA

IbB

IcC

Figura 8. Como el voltaje en cada rama de la ∆ es conocido, se pueden encontrar las corrientes de fase,

ab bc caAB BC CA

p p p

V V VI = I = I = Z Z Z

En los nodos A, B y C de acuerdo con la LKC aA AB ACI = I + I bB BA BCI = I + I cC CA CBI = I + I las tres corrientes de fase tienen la misma amplitud p AB BC CAI = I = I = I Las corrientes de línea también son iguales en amplitud debido a que las corrientes de fase son iguales en amplitud y están 120o fuera de fase.

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Si la carga está conectada en ∆, entonces el voltaje de fase y el voltaje de línea son indistinguibles el uno del otro, pero la corriente de línea es mayor que la corriente de fase por el factor 3 ; con una carga conectada en Y, sin embargo, la corriente de fase y la corriente de línea se refieren a la misma corriente, y el voltaje de línea es mayor que el voltaje de fase por el factor 3 . La solución de problemas trifásicos se puede efectuar rápidamente si 3 se usa en forma apropiada. Considérese un ejemplo numérico frecuente. Ejemplo 4. Determine la amplitud de la corriente de línea en un sistema trifásico de 300 Vrms que entrega 1200 W a una carga conectada en ∆ con un factor de potencia de 0.8 atrasado. Solución: De nuevo se considerará una sola fase. En esta fase, la carga absorbe 400 W; con un factor de potencia de 0.8 atrasado, a un voltaje de línea de 300 Vrms. Entonces, 400 = 300(Ip)(0.8) de donde Ip = 1.667 Arms y la relación entre corrientes de fase y corrientes de línea da IL = 3 (1.667) = 2.89 Arms El ángulo de fase de la carga es cos-1(0.8) = 36.9° y por lo tanto, la impedancia en cada fase debe ser

o op

300Z = 36.9 = 180 36.9 Ω 1.667

Ahora se cambiará un poco el enunciado del problema. Ejemplo 5. La carga del ejemplo 4 está conectada en Y, en vez de en ∆. De nuevo determine las impedancias de fase. Solución: En un análisis por fase, se tiene un voltaje de fase de 300/ 3 Vrms, una potencia de 400 W y un FP = 0.8 atrasado. Entonces,

p300400 = (I )(0.8)

3

p rms L rmsI = 2.89 A o I = 2.89 A El ángulo de fase de la carga es otra vez 36.9°, por lo que la impedancia en cada fase de la Y es

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

133

o op

300/ 3Z = 36.9 = 60 36.9 Ω2.89

El factor 3 no sólo relaciona cantidades de fase y de línea, sino que también aparece en una expresión útil de la potencia total absorbida por cualquier carga trifásica balanceada. Si se supone una carga conectada en Y con un ángulo θ del factor de potencia, entonces la potencia que toma cualquier fase es

Lp p p p L L

VP = V I cosθ = V I cosθ = I cosθ3

y la potencia total es p L LP = 3P = 3V I cosθ En forma similar, la potencia entregada a cada fase de una carga conectada en ∆ es

Lp p p L p L

L

IP = V I cosθ = V I cosθ = V cosθ3

lo que da una potencia total p L LP = 3P = 3 V I cosθ (1.5) La ecuación (1.5) permite calcular la potencia total entregada a una carga balanceada si se conoce la magnitud de los voltajes de línea, de las corrientes de línea y el ángulo de fase de la impedancia (o admitancia) de la carga, independientemente si la carga está conectada en Y o en ∆. Ahora puede obtenerse la corriente de línea en los ejemplos 4 y 5 en dos pasos sencillos:

LL

PI = 3 V cosθ

(1.6)

L rms1200I = = 2.89 A

3 300(0.8)

La fuente también puede conectarse en una configuración ∆. Pero esto no es común, ya que un ligero desbalance en las fases de la fuente puede provocar que circulen grandes corrientes en el lazo en ∆. Debe observarse que las fuentes trifásicas balanceadas pueden transformarse de Y a ∆, o viceversa, sin afectar las corrientes o los voltajes de la carga. Las relaciones necesarias entre los voltajes de línea y de fase se muestran en la figura 5b para el caso en el que Van tiene un ángulo de fase de referencia de 0o. Esta transformación permite usar la conexión de fuentes que se prefiera, y todas las relaciones de la carga serán correctas. Por supuesto, no se puede especificar ninguna corriente o voltaje dentro de la fuente sino hasta que se sepa cómo está conectada realmente.

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Ejemplo 6 Una carga equilibrada conectada en Y, formada por tres impedancias, cada una de 16|_30o Ω, se alimenta con los siguientes voltajes equilibrados de fase a neutro: Ean = 240|_0o V, Ebn = 240|_240o V, Ecn = 240|_120o V. (a) Encontrar la corriente de fasorial en cada línea; (b) Encontrar los voltajes fasoriales entre líneas; (c) Encontrar las potencias activas y reactivas totales suministradas a la carga.

Solución (a) Recordando que en una conección Y-Y, IL = Iϕ. La corriente Ian está dada por

o0an

an 0an

E 240 0I = = = 15 30 AZ 16 30

La corriente Ibn está dada por

00bn

bn 0bn

E 240 240I = = = 15 210 AZ 16 30

La corriente Icn está dada por

0

0cncn 0

cn

E 240 120I = = = 15 90 AZ 16 30

(b) Los voltajes entre líneas

ab an nbV = E + E

0 0ab an bnV = E - E = 240 0 - 240 240 abV = 240 + j0 - (120 - j207.8)

0abV = 360 + j207.8 = 415.7 30 V

ca cn na cn anV = E + E = E - E

0 0caV = 240120 - 240 0

ca

1 3V = 240 - + j - (240 + j0)2 2

0

caV = -360 + j207.8 = 415.7 150 V.

bc bn nc bn cnV = E + E = E - E 0 0

bcV = 240 240 - 240 120

bc

1 3 1 3V = 240 - -j - - +j2 2 2 2

0

bcV = 0 - j415.7 = 415.7 270 V.

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135

(c) La potencia reactiva Q:

2 2φQ = I X = 15 8 = 1800 VAR

La potencia total reactiva

T φQ = 3Q = 3(1800) = 5400VAR La potencia activa P:

0 0 0φZ = 16 30 = 16cos(30 ) + 16sen(30 ) φZ = (13.8 + j8) Ω

La potencia activa Pφ, se calcula tomando la parte real de la impedancia de carga

2 2φP = I R = 15 13.8564 = 3117.79 W

La potencia total activa PT = 3 Pφ

T φP = 3P = 3(3117.79) = 9353.1 W. Ejemplo 7 Cada rama de una carga equilibrada conectada en ∆, consta de una impedancia Z =(7 + j4) Ω. Las tensiones entre fases son Eab = 2360|_0o V, Ebc = 2360|_240o V y Eca =2360/120°V. Determinar (a) Las corrientes fasoriales Iab, Ibc, e Ica; (b) Cada corriente de línea y su ángulo de fase asociado; (c) El factor de potencia de la carga.

A a

bc

7Ω

7Ω

7Ω

4Ω

4Ω

4ΩB

C

EAB ECA

EBC

Figura 9 Solución (a) Las corrientes de fase Considerando que la impedancia de las cargas es

Zp = (7 + j4) Ω = 8.1 |_27.7o Ω

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

136

la corriente de fase está dada por

00ab

ab 0ab

E 2360 0I = = = 292.7 -29.74 = (254.2 - j145.2) AZ 8.1 29.74

0

0bcbc 0

bc

E 2360 -120I = = = 292.7 -149.74 = (-252.84 - j147.5) AZ 8.1 29.74

0

0caca 0

ca

E 2360120I = = = 292.7 90.26 = (-1.33 + j292.7) AZ 8.1 29.74

Las corrientes de línea. Aplicando la LKC al nodo a de la figura 9

aA ab ac ab caI = I + I = I - I aAI = 254.2 - j145.2 - (-1.3 + j292.7)

0aAI = 255.5 - j437.9 = 507.0 -59.74 A

Aplicando la LKC al nodo b de la figura 9

bB bc ba bc abI = I + I = I - I bBI = -252.84 - j147.5 - (254.17 - j145.2)

0bBI = -507 - j2.3 = 507.01180.2 A

Aplicando la LKC al nodo c de la figura 9

cC ca cb ca acI = I + I = I - I cCI = -1.3 + j292.7 - (-252.8 - j147.5)

0cCI = 251.5 + j440.2 = 507 60.23 A

El factor de potencia de la carga es: La potencia activa es: 2P = 7(292.724 ) = 599.8 KW La potencia reactiva es 2Q = 4(292.724 ) = 342.75 KVAR La potencia aparente es 2 2S = 599.81 +342.75 = 690.8 KVA El factor de potencia es P 599.8Fp = = = 0.87 en atraso

S 690.8

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137

Problemas 1. En la gráfica de circuito que se muestra en la figura 11, algunas corrientes son I14 =5|_0o, I15 = 2|_90o, I13 = 4|_120o; I25 = 3|_30o; I23 = -j4 e I34 = 1- j1, todas en amperes. Encuentre (a) I35; (b) I24. Respuesta: 3.04|_171.2o A; 6.33|_-152.1o A.

Figura 11 2. En la gráfica de circuito que se muestra en la figura 11, algunos voltajes son V12 = 100|_0o, V45 = 60|_75o, V42 = 80|_120o y V35 = -j120, todos en voltios. Encuentre (a) V25; b) V13. 3. Un sistema de tres alambres trifásico balanceado tiene una carga conectada en Y, Cada una de las fases contiene tres cargas en paralelo: -j100 Ω, 100 Ω y 50 + j50 Ω, Suponga una secuencia de fases positiva con Vab = 400|_0o V. Encuentre (a) Van; (b) IaA; (c) el factor de potencia de la carga balanceada; (d) la potencia total consumida por la carga. Respuesta: 231|_-30o; 4.62|_-30o; 1.0; 3200 W. 4. Un sistema trifásico balanceado de tres alambres tiene un voltaje de línea de 500 V. Dos cargas balanceadas se encuentran conectadas en Y. Una de ellas es una carga capacitiva con 7 - j2 Ω por fase y la otra es una carga inductiva con 4 + j2 Ω por fase. Encuentre (a) el voltaje de fase; (b) la corriente de línea; (c) la potencia total que consume la carga; (d) el factor de potencia al que está operando la fuente. Respuesta: 289 V; 97.5 A; 83.0 kW; 0.983 atrasado 5. Tres cargas balanceadas conectadas en Y se instalan sobre un sistema trifásico balanceado de cuatro alambres. La carga 1 obtiene una potencia total de 6 kW con FP unitario, la carga 2 requiere 10 k VA con FP = 0.96 atrasado, y la carga 3 necesita 7 kW con FP = 0.85 atrasado. Si el voltaje de fase en las cargas es de 135 V; la resistencia en cada línea es 0.1 Ω y la resistencia del neutro es de 1 Ω , encuentre (a) la potencia total que obtienen las cargas; (b) el FP combinado de las cargas; (c) la potencia total perdida en las tres líneas; (d) el voltaje de fase de la fuente; (e) el factor de potencia al que está operando la fuente. Respuesta: 22.6 kW; 0.954 atrasado; 1027 W; 140.6 V; 0.957 atrasado 6. Cada fase de una carga balanceada trifásica conectada en ∆ consiste en un inductor de 0.2 H en serie con la combinación en paralelo de un capacitor de 5 µF y una

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resistencia de 200 Ω. Suponga una resistencia de línea igual a cero y un voltaje de fase de 200 V con w = 400 rad/s. Encuentre (a) la corriente de fase; (b) la corriente de línea; (c) la potencia total absorbida por la carga. Respuesta: 1.158 A; 2.01 A; 693 W 7. Un sistema trifásico balanceado de tres alambres está terminado con dos cargas conectadas en ∆ en paralelo. La carga 1 obtiene 40 k VA a un FP atrasado de 0.8, mientras que la carga 2 absorbe 24 kW con un FP adelantado de 0.9. Suponga que no hay resistencia en línea y sea Vab = 440|_30o V. Encuentre (a) la potencia total que obtienen las cargas; (b) la corriente de fase IAB1 para la carga atrasada; (c) IAB2; d) IaA . Respuesta: 56.0 kW; 30.3|_ -6.87° A; 20.2|_55.8o A; 75.3|_-12.46° A 8. La figura 12 muestra un sistema trifásico balanceado de tres alambres con una secuencia de fase positiva. Sea VBC = 120|_60o Vrms y Rw = 0.6 Ω. Si la carga total (incluso la resistencia del alambre) absorbe 5 kVA a un FP = 0.8 atrasado, encuentre (a) la potencia total que se pierde en la resistencia de las líneas y (b) Van.

Figura 12 9. Sea V = 2300|_10° Vrms en el sistema balanceado que se muestra en la figura 12 y sea Rw = 2 Ω. Suponga una secuencia de fases positiva con la fuente suministrando una potencia compleja total de S = 100 + j30 kVA Encuentre (a) IaA; b) VAN; c) Zp; d) la eficiencia de transmisión. Respuesta: 15.13|_-16.7o A; 2270|_0.219o V; 143.6 + j43.7 Ω; 98.6% 10. En el sistema trifásico balanceado de la figura 12, sean Zp = 12 + j5 Ω e IbB = 20|_0o Arms con la secuencia de fase positiva. Si la fuente opera con un FP = .935, encuentre (a) Rw; (b) Vbn; (c) VAB; (d) la potencia compleja suministrada por la fuente. 11. La impedancia de fase Zp en el sistema mostrado en la figura 12 consiste en una impedancia de 75|_25o en paralelo con una capacitancia de 25 µF Sean Van = 240|_0o Vrms a 60 Hz y Rw = 2 Ω. Encuentre (a) IaA; (b) Palambres; (c) Pcarga; d) el factor de potencia de la fuente. Respuesta: 2.97|_16.99o A; 52.8 W; 1991 W; 0.956 adelantado

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

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12. Se instala un conductor neutro libre de pérdidas entre los nodos n y N en el sistema trifásico que se muestra en la figura 12. Suponga un sistema balanceado con secuencia de fase (+), pero que se conecta con cargas desbalanceadas: ZAN = 8 + j6 Ω, ZBN = 12 -j16 Ω y ZCN = 5 Ω. Si Van = 120|_0o Vrms y Rw = 0.5 Ω, encuentre InN. 13. El sistema trifásico balanceado que se muestra en la figura 12 tiene Rw = 0 y Zp = 10 + j5 Ω por fase. (a) ¿A qué valor del factor de potencia está operando la fuente? (b) Suponga que f = 60 Hz, ¿cuál es el tamaño del capacitor que debe colocarse en paralelo con cada impedancia de fase para elevar el FP a 0.93 atrasado? (c) ¿Cuánta potencia reactiva absorbe cada capacitor si el voltaje de línea en la carga es de 440 Vrms? Respuesta: 0.894 atraso; 22.2 µF; +541VAR 14. La figura 13 muestra un circuito trifásico balanceado de tres alambres. Sean Rw = 0 y Van = 200|_60o Vrms. Cada fase de la carga absorbe una potencia compleja, Sp = 2 - j1 kVA. Si se supone una secuencia de fase (+), encuentre (a) Vbc; (b) Zp; (c) IaA

Figura 13

15. La carga balanceada en ∆ de la figura 13 requiere 15 kVA con un FP de 0.8 atrasado. Suponga una secuencia de fase (+) con VBC = 180|_30o Vrms. Si Rw = 0.75 Ω, encuentre (a) Vbc; (b) la potencia compleja total generada por la fuente. Respuesta: 233|_20.7o V; 17.21 + j9.0 kVA 16. La carga en el sistema balanceado de la figura 13 absorbe una potencia compleja total de 3 + j1.8 kVA, mientras que la fuente genera 3.45 + j1.8 kVA. Si Rw = 5 Ω, encuentre (a) IaA (b) IAB; (c)Van. 17. La fuente trifásica balanceada conectada en y de la figura 13 tiene Van = 140|_0o Vrms con secuencia de fase (+). Sea Rw = 0. La carga trifásica balanceada absorbe 15 kW y +9 kVAR. Encuentre (a) VAB; (b) IAB; (c) IaA. Respuesta: 242|_30o V; 24.0|_-0.964o A; 41.6|_-31.0o A; 6.10 + j3.34 kVA 18. La fuente en la figura 14 está balanceada y exhibe una secuencia de fase (+). Encuentre (a) IaA; (b) IbB; (c) Icc; (d) la potencia compleja total proporcionada por la fuente.

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Figura 14