Instituto Tecnologico de la Laguna

Departamento de Estudios de Posgrado e Investigacion

Maestrıa en Ciencias en Ingenierıa Electrica

Tarea 1:Matrices de transformacion homogeneas

Alumno:Carlos Icazbalceta Saavedra

Profesor:Dr. J. Alfonso Pamanes Garcıa

Fecha:25 de Septiembre del 2015

1

1 Problema:

La pinza de un robot debera extraer una flecha que esta ensamblada en otra pieza, como se observa enla Figura 1. Para ello la pinza debera desplazarse de tal manera que el marco {P} unido a ella coincidacon el marco {F} unido a la flecha. La escena es registrada mediante una camara de video, a cuyo marco{C} se refiere la situacion de la flecha a traves de la matriz de transformacion homogenea C

FT . Por otraparte, la situacion de la pinza se especifica con respecto a la base del robot mediante la matriz B

P T . A suvez, la ubicacion de la base del robot esta definida con respecto a la camara mediante la matriz C

BT .

CBT =

0 1 0 −201 0 0 −200 0 −1 1400 0 0 1

CFT =

1√6

1√6− 2√

650

1√2− 1√

20 50

− 1√3− 1√

3− 1√

320

0 0 0 1

BP T =

1√2

0 − 1√2

30

− 1√2

0 − 1√2

30

0 1 0 1000 0 0 1

2 Determinar

a) La distancia que habra que desplazarse el punto OP de la pinza para lograr coincidir con el puntoOF .

b) Los angulos que deben girar los tres eslabones de la muneca del robot, alrededor de sus respectivosejes de rotacion, para hacer que el marco {P} coincida con el marco {F} a fin de realizar la extraccionde la flecha. Notese que los ejes de las articulaciones 4,5 y 6 son paralelos a los vectores XP , YP yZP , respectivamente del marco {P}.

c) Los angulos que deben girar los tres eslabones de la estructura de orientacion del robot, alrededorde sus respectivos ejes de rotacion, para hacer que el marco {P} coincida con el marco {F} a fin derealizar la extraccion de la flecha, considerando ahora que la ubicacion de las articulaciones 4 y 6 seinvierten, como se muestra en la Fig. 2.

Figure 1: Escena de una estacion robotizadaFigure 2: Arquitectura de la muneca considerada en el inciso c

2

a) Obtener la distancia entre la pinza y la flecha

Se busca obtener la matriz de transformacion homogenea PFT para conseguir la distancia que va desde la

pinza hasta la flecha. Para esto se sacaron las matrices inversas de CBT y B

P T , es decir, BCT y PBT para

multiplicar todas las matrices de transformacion homogeneas y ası obtener la matriz PFT .

−CBRT CrCB = −

0 1 01 0 00 0 −1

−20−20140

=

2020140

BCT =

0 1 0 201 0 0 200 0 −1 1400 0 0 1

−BPRT BrBP = −

1√2− 1√

20

0 0 1− 1√

2− 1√

20

3030100

=

0−100

60√2

PBT =

1√2− 1√

20 0

0 0 1 −100− 1√

2− 1√

20 60√

2

0 0 0 1

PFT =P

B T BCT

CFT

PCT =

1√2− 1√

20 0

0 0 1 −100− 1√

2− 1√

20 60√

2

0 0 0 1

0 1 0 201 0 0 200 0 −1 1400 0 0 1

=

− 1√

21√2

0 0

0 0 −1 40− 1√

2− 1√

20 20√

2

0 0 0 1

PFT =

− 1√

21√2

0 0

0 0 −1 40− 1√

2− 1√

20 20√

2

0 0 0 1

1√6

1√6− 2√

650

1√2− 1√

20 50

− 1√3− 1√

3− 1√

320

0 0 0 1

=

0.2113 −0.7886 0.5773 0

1√3

1√3

1√3

20

−0.7886 0.2113 0.5773 − 80√2

0 0 0 1

PFT =

0.2113 −0.7886 0.5773 0

1√3

1√3

1√3

20

−0.7886 0.2113 0.5773 − 80√2

0 0 0 1

←Matriz de transformacion homogenea

3

Lo siguiente es obtener la distancia entre la pinza y la flecha, esto se consigue con la norma del vector deposicion de la matriz P

FT .

r =

√(20)2 + (− 80√

2)2 = 59.9999

r = 59.9999

b) Angulos de Bryant

λ = atan2(− 1√3, 1√

3) = −45◦

µ = atan2( 1√3, 1√

3/cos(− 1

4π)) = 35.2644◦

ν = atan2(0.7886, 0.2113) = 75.0003◦

c) Angulos de Euler

α = atan2( 1√3, 0.2113) = 69.8983◦

β = atan2(0.7886, 0.2113cos(α) ) = 52.0596◦

γ = atan2(0.2113, 1√3) = 20.1017◦

4