Universidad de ChileEscuela de Gobierno y Administracion PublicaSegundo semestre de 2010

MATEMATICAS II ? PRUEBA 1

1. Si no se toman medidas para controlar el aumento del parque automotriz de Santiago, la ciudad simplemente va a colapsar. “Con los actualesaumentos del parque automotriz en Santiago el deterioro de todo el sistema de transporte de superficie, tanto privado como publico, es inminente. De

aca a cuatro aos mas, con los actuales crecimientos, la ciudad va a colapsar”

(Louis De Grange Ingeniero experto en transportes en www.cooperativa.cl el 08/07/2010)

Estudios del Instituto Nacional de Estadısticas han confirmado que el numero de vehıculos motor-izados crece de manera exponencial. Segun sus estadısticas, el ano 2001 existıan aproximadamente1,2 millones de vehıculos en el Gran Santiago y el ano 2009 estos subieron a 1,8 millones.Usted esta realizando su practica profesional como administrador publico en el Departamento deEstudios del INE y el jefe le encomienda la siguiente tarea:a) Encontrar una formula de la forma Q(t) = Q0ekt millones, que permita predecir la cantidad

de automoviles, t anos despues del 2001, que existiran en el Gran Santiago y estimar Cuantosvehıculos se espera que existan para el ano 2017?

Solucion:Despues de t anos, se espera que la cantidad de vehıculos que existan, responda a la formula decrecimiento exponencial:

Q(t) = Q0ekt

Por tanto, considerando el ano 2001 como el ano de partida, se cumple que :

Q(0) = Q0ek·0 = Q0 = 1, 2millones

que corresponde por tanto a la cantidad inicial de vehıculos.

En el ano 2009, es decir, 8 anos despues, la cantidad de vehıculos ascendera a:

Q(8) = Q0ek·8 = 1, 2ek·8 = 1, 8

millones (tras reemplazar el valor de Q0 encontrado anteriormente.)

Como se necesita el valor de k, basta despejar de la segunda ecuacion, quedando:

1, 2ek·8 = 1, 8⇒ e8k = 1, 81, 2

= 1, 5

Tomando logaritmos resulta:

8k = ln (1, 5)⇔ k = ln (1, 5)8

.

Por lo tanto se puede concluir que el aumento de vehıculos al ano t responde a la expresion:

Q(t) = 1, 2(eln (1,5)t/8) = (1, 2)(1, 5)t/8

De aquı se deduce que para el ano 2017, la cifra aumentara a:

Q(16) = (1, 2)(1, 5)16/8 = 2, 7

.Luego, en el ano 2017, es decir, en 16 anos el numero de vehıculos estimados en el Gran Santiagosera de 2,7 millones.

b) Determinar en que ano el numero de vehıculos se duplicara. Aproxime al entero mas cercano.

Solucion:

Q(t) = (1, 2)(1, 5)t/8 = 2, 4⇔ (1, 5)t/8 = 2, 41, 2

= 2⇔ t8

ln (1, 5) = ln 2⇔ t = 8 · ln 2ln 1, 5

≈ 14

Por tanto, el numero de automoviles, se vera duplicado en el ano 2015 tras 14 anos.

2. En esta pregunta elige SOLO UNA DE LAS DOS POSIBILIDADES:FORMA 2.1:

a) Partiendo de la funcion g(x) = cos(x) , indique las transformaciones en las ordenadas y/o abscisas,correspondientes hasta llegar a la funcin:f(x) = 3cos(1

2x + 1)

b) En base a dichos pasos grafique la funcion:f(x) = 3cos(12x + 1).

c) Determine el dominio y recorrido de f(x).

Solucion:(a),(b), y (c) Tal y como se ve en el grafico, los pasos de la transformacion son los indicados en lasformulas progresivas. Por tanto segun la grafica, tambien se puede concluir, que el Dom(f(x)) = R, yRec(f(x)) = [−3, 3]

FORMA 2.2:

a) Partiendo de la funcion g(X) = x3 indique las transformaciones en las ordenadas y/o abscisas,correspondientes hasta llegar a la funcion:f(x) = (−x + 3)3 − 2.

b) En base a dichos pasos grafique la funcin:f(x) = (−x + 3)3 − 2.c) Determine el dominio y recorrido de f(x).

Solucion:(a),(b), y (c) Tal y como se ve en el grafico, los pasos de la transformacion son los indicados en lasformulas progresivas. Por tanto segun la grafica, tambien se puede concluir, que el Dom(f(x)) = R, yRec(f(x) = R

3. Calcule y justifique los resultados para los siguientes lımites:

a) lımx→2

16− x(4− x2)(

√x + 4)

Solucion:lımx→2

16− x(4− x2)(

√x + 4)

= 140

.

Luego hay que observar que sucede a la derecha y a la izda del 2 (tomando valores proximos por laderecha y por la izda).

Finalmente se llega a que :

lımx→2−

16− x(4− x2)(4 +

√x)

= +∞

ylım

x→2+

16− x(4− x2)(4 +

√x)

= −∞

luego no existe el lımite en ese punto.

b) lımx→∞

−3x(x− 3)(x + 3)(−x + 1)(x− 1)(x + 5)

.

Solucion:

lımx→∞

−3x(x− 3)(x + 3)(−x + 1)(x− 1)(x− 6)

= lımx→∞

−3x3 + 27x−x3 + 8x2 − 13x + 6

= lımx→∞

−3 + 27x2

−1 + 8x− 13

x2 + 6x3

= 3

4. Para la siguiente funcion encuentre su dominio. Indique, si es que existen, los puntos de discontinuidady decida si es o no reparable, especificando los puntos donde se puede reparar.

f(x) =

x−1

x3−x2 si x < 3, x 6= 00 si x = 0x− 26

9 si x ≥ 3

Solucion:Primero encontraremos el dominio de la funcion. Notemos que, para x < 3, x 6= 0, podemos factorizar lafuncion. Obtenemos:

x− 1x3 − x2 = x− 1

x2(x− 1)

Entonces el punto x = 1 no tiene imagen por f .No hay otro punto que no tenga imagen, entonces el dominio de la funcion es: R \ {1}Ahora estudiaremos la continuidad de la funcion.Para la primera parte (x < 3), debemos estudiar el punto x = 0. Calculamos entonces el lımite cuandox tiende a 0 por ambos lados:

lımx→0−

x− 1x3 − x2 = lım

x→0−

x− 1x2(x− 1)

= lımx→0−

1x2 = +∞ = lım

x→0+

x− 1x3 − x2

Ambos lımites son distintos de 0, que es la imagen de 0 por f , por lo que la funcion es discontinua en 0.La funcion no tiene imagen en x = 1, pero

lımx→1−

x− 1x3 − x2 = lım

x→1−

x− 1x2(x− 1)

= lımx→1−

1x2 = 1 = lım

x→0+

x− 1x3 − x2

por lo que la funcion es reparable en x = 1.Estudiaremos ahora la continuidad en el punto x = 3, pues la funcion esta definida de otra forma en esepunto. Veamos los lımites laterales:

lımx→3−

f(x) = lımx→3−

x− 1x3 − x2 = lım

x→3−

1x2 = 1

9y

lımx→3+

f(x) = lımx→3+

x− 269

= 19

= f(3)

Por lo tanto lımx→3− f(x) = lımx→3+ f(x) = f(3), ası que la funcion es continua en 3.