PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA … Kontrol-sistema baten diseinua 9 1.7 Instalazio kimiko...

Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso du

PROZESU KIMIKOEN

INSTRUMENTAZIO ETA

KONTROLA

Unai Iriarte Velasco

EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO

ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

Egilea: Unai Iriarte Velasco EHUko Zientzia eta Teknologia Fakultateko irakaslea Ingeniaritza Kimikoa Saila [email protected] ISBN: 978-84-692-3020-6 Leioa, 2009ko maiatza

i

AURKIBIDEA 1 GAIA: SARRERA 1.1 Sarrera 1 1.2 Kanpo-eraginak konpentsatzea 3 1.3 Egonkortasuna ziurtatzea 7 1.4 Prozesua optimizatzea 7 1.5 Prozesu kimiko bateko aldagaien sailkapena 8 1.6 Kontrol-sistema baten diseinua 9 1.7 Instalazio kimiko sinple baten kontrola 12 1.8 Kontrol-sistema baten osagaiak 13 2 GAIA: EREDU MATEMATIKOAK INGENIARITZA KIMIKOAN 2.1 Eredu motak 15 2.2 OINARRIAK: eredu teorikoak 16 2.3 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN KONSTANTEA 18 2.4 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN ALDAKORRA 20 2.5 BEROTURIKO BI GORDAILU SERIEAN 21 2.6 CSTR ez-isotermoa 22 3 GAIA: LAPLACE TRANSFORMATUA 3.1 Ekuazio motak 26 3.2 Definizioa 27 3.3 Oinarrizko funtzioen Laplace transformatua 28 3.4 Ekuazio diferentzialen ebazpena Laplace transfo rmatua erabiliz 31 3.5 Erroen esanahi fisikoa 38 3.6 Laplace transformatuaren beste propietate batzu k 39 4 GAIA: LEHEN MAILAKO SISTEMEN ERANTZUN DINAMIKOA 4.1 Transferentzia-funtzioa 43 4.2 Maila-aldaketako perturbazio baten aurreko eran tzuna 46 4.3 Bulkada baten aurreko erantzuna 47 4.4 Perturbazio sinusoidala 48 4.5 Bode-ren diagrama 50 4.6 NYQUIST-en diagrama 51 4.7 Lehen mailako sistemen adibideak 52

ii

5 GAIA: LINEALIZAZIOA ETA SISTEMEN ARTEKO INTERAKZIOA 5.1 Linealizazio-teknikak 58 5.2 Lehen mailako sistemen erantzuna 66 5.3 Maila-aldaketa batekiko erantzuna 71 6 GAIA: BIGARREN MAILAKO SISTEMAK 6.1 Maila-aldaketa motako perturbazio baten aurreko erantzuna 74 6.2 “Sistemaren identifikazioa” 79 6.3 Bulkada baten aurreko erantzuna 82 6.4 Erantzun frekuentziala 84 6.5 Sistema linealen erantzun frekuentziala. Metodo orokorra 85 6.6 Bode-ren diagrama 88 6.7 Nyquist-en diagrama 89 7 GAIA: DENBORA HILA 7.1 Perturbazioekiko erantzuna 90 8 GAIA: SEINALEEN NEURKETA ETA TRANSMISIOA 8.1 Osagai nagusiak 93 8.2 Neurketaren ezaugarriak 93 8.3 Neurgailuen sailkapena 93 8.4 Transmisioa 94 8.5 Kalibrazioa 94 8.6 Diagramak 95 9 GAIA: AZKEN KONTROL-ELEMENTUA 9.1 Eragileak 101 9.2 Azken kontrol-elementua 101 9.3 Kontrol balbula 102 10 GAIA: ATZERAELIKADURAZKO KONTROL-SISTEMAK ETA KONTROL-AKZIOAK 10.1 Kontrol proportzionala 107 10.2 Akzio integrala 108 10.3 Akzio deribatua 109 10.4 Kontrol proportzional eta integrala 110 10.5 Kontrol proportzional deribatua 112 10.6 Kontrol proportzionala akzio integral eta deribatuarekin 114

iii

11 GAIA: KONTROL-BEGIZTA ITXIKO TRANSFERENTZIA-FUN TZIOA. EGONKORTASUN KONTZEPTUA 11.1 Kontrol-akzio proportzionalaren eragina KONTRO L-BEGIZTA itxian 118 11.2 Kontrol-akzio integralaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian 121 11.3 Kontrol-akzio deribatuaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian 123 11.4 Kontrol-akzio KONBINATUEN eragina KONTROL-BEGI ZTA itxian 123 11.5 Egonkortasunerako irizpideak 123 12 GAIA: PID kontroladoreen sintonizazioa 12.1 Atzeraelikadurazko kontroladoreen sintonizazio a 125 12.2 Irizpide motak 126 12.3 Erantzun-irizpide sinpleak 126 12.4 Denboraren eremuko erantzunean oinarritutako i rizpideak 128 12.5 Kontroladorearen parametroak sintonizatzeko me todoak 132 12.6 Kontroladoreak sintonizatzeko metodoak 143 13 GAIA: ROUTH-EN IRIZPIDEA ETA ERROEN KOKAPENA 13.1 Routh-en irizpidea 146 13.2 Erroen kokapena 147 13.3 Erroen kokapenaren eskema marrazteko arauak 15 0 13.4 Denbora hilaren eragina erroen kokapenaren mar razketan 152 14 GAIA: ERANTZUN FREKUENTZIALA. BODE-REN ETA NIQUI ST-EN EGONKORTASUN-IRIZPIDEAK 14.1 Bode-ren egonkortasun-irizpidea 153 14.2 Irabazi- eta fase-marjinak 156 14.3 Niquist-en egonkortasun-irizpidea 159

Prozesu kimikoen instrumentazio eta kontrola

1

1 GAIA: SARRERA

1.1 Sarrera

Instalazio kimiko bat hainbat prozesuren konbinazioa baino ez da (erreaktorea, bero-trukagailua,

destilazio-zutabea, absorbatzailea, gordailu, eta abar). Edozein lantegiren helburu nagusia da

erreaktibo batzuk produktu bihurtzea. Prozesu hori modu kontrolatu batean egin behar izaten da.

Zergatik?

- Instalazioak kanpo-eraginak jasaten dituztelako (erregulazio-arazoa)

- Operazio-baldintzak aldatu nahi izaten direlako (serbo-arazoa)

- Automatizazioak hauxe dakar:

efizientzia handiagoa, segurtasun gehiago, langile gutxiago, garestiagoa, konplexuagoa

(adituak),...

Zertarako?

- Kontrol-sistemaren (KS) betebeharrak:

• segurtasuna (presioa, tenperatura, likido-maila,...)

• kalitatea (produktuaren purutasuna)

• ingurumena (ISO 14001)

• operazio-baldintzak (gordailuen maila, tenperatura, ponpen kabitazio-presioa, eta abar)

• optimizazio ekonomikoa

Nola?

Atzeraelikadura: kontrolatu behar den irteera neurtu, eta sarrerako erreferentziarekin

konparatzen da. Bien artean errorerik agertzen bada, errore hori erabiltzen da

kontrolatutako irteerak erreferentziari jarrai diezaion.


2

- Oro har, kontrol-sistema baten betekizunak hauek dira:

• kanpo eraginak konpentsatzea

• prozesuaren egonkortasuna ziurtatzea

• optimizazioa

IKASGAIAREN HELBURUAK

- Kontrol-teoriaren oinarrizko ezagutzak lortzea.

- Edozein adituk proposaturiko sistema konplexuak ulertzeko gaitasuna lortzea.

- Prozesuaren kontrol-arazo sinpleak ebazteko gaitasuna garatzea (“Lehen artea zena orain

zientzia da…”).

- Etorkizunean aditu-mailako ezagutza lortzeko gaitasuna izatea.


3

1.2 Kanpo-eraginak konpentsatzea

- Egoera ohikoena.

- Prozesuan beharrezko aldaketak egin beharko dira.

Condensado

F, T

Vapor deagua

Fst

TQ

F , Ti i

h

Ur-lurruna

KondentsatuaCondensado

F, T

Vapor deagua

Fst

TQ

F , Ti i

h

Ur-lurruna

Kondentsatua

1.1 irudia. Berotutako nahasketa perfektuko erreaktore jarraitua (CSTR).

1.1 irudian gordailu bateko tenperatura erregulatzeko sistema ageri da. Gordailuko T tenperatura,

sarrerako jarioaren tenperaturaren (Ti), emariaren (Fi) eta gehitutako beroaren (Q) menpekoa

izango da.


4

F, T

Fst

TQ

Termoparea

Kontroladorea

T

Ts ε

-

+

Kontsigna-puntua

Ti, Fi = Konstante

F, T

Fst

TQ

Termoparea

Kontroladorea

T

Ts ε

-

+

Kontsigna-puntua

Ti, Fi = Konstante

1.2 irudia. Berotutako CSTRa, tenperaturaren atzeraelikadurazko kontrol-sistema duena.

1.2 irudian tenperatura erregulatzeko erabiltzen den begizta itxiko kontrol-sistema ageri da.

Neurgailuak T irteera-aldagaia neurtu, eta Ts erreferentziarekin konparatzen du. Bien artean

errorerik bada, balbularen posizioa mugitzen du, eta, horrenbestez, Q bero-fluxua aldatzen da.


5

TQ

F i

Likido-mailaren

neurgailua

Kontroladorea

Kontsigna-

puntua

h

h

+

-T = konstantei

s

ε

TQ

F i

Likido-mailaren

neurgailua

Kontroladorea

Kontsigna-

puntua

h

h

ε+

-

T = konstantei

s

TQ

F i

Likido-mailaren

neurgailua

Kontroladorea

Kontsigna-

puntua

h

h

+

-T = konstantei

s

ε

TQ

F i

Likido-mailaren

neurgailua

Kontroladorea

Kontsigna-

puntua

h

h

+

-T = konstantei

s

ε

TQ

F i

Likido-mailaren

neurgailua

Kontroladorea

Kontsigna-

puntua

h

h

ε+

-

T = konstantei

s

TQ

F i

Likido-mailaren

neurgailua

Kontroladorea

Kontsigna-

puntua

h

h

ε+

-

T = konstantei

s

1.3 irudia. Berotutako CSTRa, bolumenaren atzeraelikadurazko kontrol-sistema duena. Bi kontrol estrategia posible.

1.3 irudian, aldagai kontrolatua berbera izanik, aldagai manipulatua ezberdina izan daitekeela

ikusten da.


6

T

Q

Fi

Kontroladorea

i

Termoparea

= Konstante

T

F, T

Ti

T

Q

Fi

Kontroladorea

i

Termoparea

= Konstante

T

F, T

Ti

1.4 irudia. Berotutako CSTRa, tenperaturaren feedforward kontrol-sistema duena.


7

1.3 Egonkortasuna ziurtatzea

Edozein prozesutako aldagai batean perturbazio bat gertatzen bada:

Prozesua egonkorra izatea nahi da.

Ezegonkorra bada → kontrol-sistema (KS) beharrezkoa.

Tenperatura

Ene

rgia

, cal

/den

bora

T1 T2 T3

Tenperatura

Ene

rgia

, cal

/den

bora

Tenperatura

Ene

rgia

, cal

/den

bora

T1 T2 T3T1 T2 T3

1.5 irudia. Erreakzio exotermiko bat, hozte-atorra daukan CSTR batean.

1.4 Prozesua optimizatzea

- Betebehar garrantzitsuenak: segurtasuna eta kalitatea.

- Ondoren, errentagarritasuna hobetzea.


8

1.5 Prozesu kimiko bateko aldagaien sailkapena

- Bi talde bereiz daitezke:

� Sarrera-aldagaiak: inguruaren eragina prozesuan

Manipulatuak: langileek doitu/manipulatu ditzaketenak

Perturbazioak: ez dira KSren ondorio

Neurgarriak: zuzenean neur daitezke

Neurgaitzak: ezin daitezke zuzenean neur

� Irteera-aldagaiak: prozesuaren eragina inguruan

Neurgarriak: zuzenean neur daitezke

Neurgaitzak: ezin daitezke zuzenean neur

Irteera-aldagai

neurgarriakAldagai

manipulatuakProzesua

. . . . .

. . .

Perturbazioak

Kontroladorea

Irteera-aldagai

neurgaitzak

Irteera-aldagai

neurgarriakAldagai

manipulatuakProzesua

. . . . .

. . .

Perturbazioak

Kontroladorea

Irteera-aldagai

neurgaitzak 1.6 irudia. Prozesu kimiko bateko sarrera- eta irteera-aldagaiak.


9

1.6 Kontrol-sistema baten diseinua

- Kontrol-sistema (KS) prozesuarekin batera diseinatu behar da. Bestela, kontrola kaskarra da,

bideraezina.

- Helburu orokorra da sistemaren erantzun azkarra lortzea eta perturbazioen magnitude eta

maiztasuna txikia izatea. (Instalazioaren izaera eta diseinuaren arabera).

- Eman beharreko pausoak:

1. Helburuak finkatu: kanpo-eraginak konpentsatzea, egonkortasuna lortzea, optimizazio

ekonomikoa iristea ala denak batera.

2. Neur daitezkeen aldagaiak identifikatu (helburuaren arabera)

Irteera neurgaitza (aldagai sekundarioak, KS inferentziala)

3. Manipula daitezkeen aldagaiak identifikatu.

Kontrolaturiko eta neurturiko aldagaiak finkatu ondoren, horien eragina nola

konpentsatuko den erabaki behar da.

4. KSren konfigurazioa aukeratu.

Feedforward/atzeraelikadura Manipulatu berdina / neurketa ezberdina

Feedforward/atzeraelikadura Neurketa berdina / manipulatu ezberdina

(1.3,1.4, 1.7 irudiak)

Aldagai manipulatu/neurtuen kopuruaren arabera:

SISO (single input / single output).

Adibidez: likido-maila, irteerako edo sarrerako emaria manipulatuz.

MIMO (multiple input / multiple output).

Adibidez: likido-maila eta tenperatura, sarrerako emaria eta lurrun-emaria

manipulatuz.


10

a) b)

c)

1.7 irudia. Hainbat kontrol-konfigurazio. Kontrolaren helburua: destilatuaren kontzentrazioa. a) atzeraelikadurazkoa, b) feedforward, c) atzeraelikadurazko inferentziala.

Kondentsadorea

Elikadura

Errefluxua

Destilatua

Hozte-ura

Kontsigna-

puntua

Irakingailua

Ur-lurruna

Osagai astunak

Destilazio-zutabea

Konposizio-

analisia

Kontroladorea

Kondentsadorea

Elikadura

Errefluxua

Destilatua

Hozte-ura

Kontsigna-

puntua

Irakingailua

Ur-lurruna

Osagai astunak

Destilazio-zutabea

Konposizio-

analisia

Kontroladorea

Errefluxua

Kontroladorea

Konposizio-

analisia

Elikadura

Destilatua

Osagai astunak

Errefluxua

Kontroladorea

Konposizio-

analisia

Elikadura

Destilatua

Osagai astunak

Kontrola: destilatuarentzat

estimaturiko kontzentrazio

balioak

Ordenagailua: destilatuaren

kontzentrazioa estimatzen

da tenperaturaren araberaT1 ,T2 eta T3

T1

T2

T3

Kontsigna-

puntua

Errefluxua Destilatua

Osagai astunak

Elikadura

Kontrola: destilatuarentzat

estimaturiko kontzentrazio

balioak

Ordenagailua: destilatuaren

kontzentrazioa estimatzen

da tenperaturaren araberaT1 ,T2 eta T3

T1

T2

T3

Kontsigna-

puntua

Errefluxua Destilatua

Osagai astunak

Elikadura


11

5. Kontroladoreak diseinatu/sintonizatu.

Manipulazioaren magnitudea eta iraupena, abiadura egokitzeko.

Kontroladore gabe

Denbora

Errorea

(Tsp-T)

Errorea

(Tsp-T)

Kontroladore gabe

(α=0)

Denbora

b)

a)

Kontroladore gabe

Denbora

Errorea

(Tsp-T)

Kontroladore gabe

Denbora

Errorea

(Tsp-T)

Errorea

(Tsp-T)

Kontroladore gabe

(α=0)

Denbora

b)

a)

1.8 irudia. Tenperaturaren erantzuna hainbat kontrol-legetarako. a) Kontrol-akzio proportzionala, b) Kontrol-akzio integrala.

Kontrol-akzio proportzionala ( )spQ T T Qs= α − +

Kontrol-akzio integrala ( )t

spQ T T dt Qs,

0

= α − +∫

6. Instrumentazioa aukeratu.

Sentsoreak, transmisoreak, azken kontrol-elementua, eta abar.


12

1.7 Instalazio kimiko sinple baten kontrola

Destilazio

zutabea

Hozte-

ura

Ur-

lurruna

Kondentsatua

Ur-

lurruna

Destilazio

zutabea

Hozte-

ura

Ur-

lurruna

Kondentsatua

Ur-

lurruna

1.9 irudia. Instalazio kimiko sinple bat.

- Helburuak:

Kalitatea: C emaria eta purutasuna

Segurtasuna:

Erreaktoreko likido-maila mantendu (ez lehortzeko, ez urak gainezka egiteko

moduan)

Destilazio-zutabean likido-maila zaindu

- Perturbazioak:

Erreaktiboen emariak, kontzentrazioa eta tenperatura

Destilazio-zutabeko presioa

Hoztailearen tenperatura

- Aldagai manipulatuak:

Destilazio-zutabeko errefluxua

Erreaktoreko FA/FB erlazioa


13

1.8 Kontrol-sistema baten osagaiak

Prozesu-unitateak (erreaktorea, bero-trukagailua, ponpatze-sistema,...)

- Sentsoreak (aldagai kontrolatua, perturbazioa, aldagai sekundarioak, manipulatuak,...)

Termopareak, venturimetroak, kromatografoak, ...

- Transduktoreak

Neurketa transmititzeko seinalea eraldatu behar da.

Adibidez: venturimetro batean sortutako karga-galera, Bar-etik V-ra

- Transmisio-lerroak (anplifikadoredunak)

- Kontroladorea

Neurtutako seinalearen arabera kontrol-akzioa erabakiko du

- Azken kontrol-elementua

Kontroladoreak erabakitakoa egingo duten elementuak: balbulak, abiadura aldakorreko

ponpak,...

- Erregistradorea

Neurketak grabatzeko, prozesuaren egoeraren jarraipena egiteko

Tenp.

erregistradoreaLikido-mailaren

erregistradorea

KontroladoreaKontroladorea

Tenp. Kontsigna-puntua

Transmisio-lerroak

Kontrol-

balbulaKontrol-

balbula

Transmisio-lerroak

hs Kontsigna-puntua

Presio dif.

neurgailuaTermoparea

Tenp.


erregistradorea



Transmisio-lerroak

Kontrol-

balbulaKontrol-

balbula

Transmisio-lerroak

hs Kontsigna-puntua

Presio dif.


Tenp.


erregistradorea



Transmisio-lerroak

Kontrol-

balbulaKontrol-

balbula

Transmisio-lerroak

hs Kontsigna-puntua

Presio dif.


1.10 irudia. Beroturiko gordailu bateko kontrol-begiztaren osagaiak.


14

Oro har:

- Ez da prozedura/metodologia zeharo matematikoa,

erabakiak fenomeno fisiko-kimikoen ezagutzan oinarrituta baitaude.

- Kontrol-teoria ezagutzea beharrezkoa da, hain zuzen,

prozesuaren erantzun dinamikoa, KSren konfigurazioa eta kontroladoreak

sintonizatzeko teknikak ezagutzea.

- Instrumentazioaren ezagutza zabala.


15

2 GAIA: EREDU MATEMATIKOAK INGENIARITZA KIMIKOAN

ZERTARAKO? Sistemaren erantzun dinamikoa adierazteko.

- Prozesua ulertzeko

Ikerkuntza

Prozesuaren garapena

Optimizazio ekonomikoa

- Aldagai manipulatu/kontrolatu bikoteen erlazioa ezartzeko

Manipulatuaren aldaketa batek zenbat aldatuko du aldagai neurtua?

Zer abiaduratan gertatuko da aldaketa hori?

I)

Korronte

hotza

Korronte beroa

Korronte

hotza

Korronte beroa

II)

Korronte hotza

Korronte beroa

Korronte hotzaren

by-pass-a

Korronte hotza

Korronte beroa

Korronte hotzaren

by-pass-a

2.1 irudia. Bi kontrol-konfigurazio posible. Kontrol-helburua: bero-trukagailuko irteera-tenperatura.

- Aldagai manipulatuaren mugek ezarriko dituzte aldagai kontrolatuaren mugak

- Kontrol-begiztaren ezaugarriak finkatzeko: kontrol zuzena/alderantzizkoa (noranzkoa),

magnitudea, abiadura

2.1 Eredu motak

Teorikoak (ebazpen analitiko konplexua)

Enpirikoak (fidagarritasun-eremu mugatua, esperimentazio mugatua)


16

2.2 OINARRIAK: eredu teorikoak

2.2.1 Materia/energia/higidura kantitate-balantzeak

Materia-balantzea orokorra edo osagai batekiko izan daiteke:

Masa/energia-emaria –

sistemara SARTU

Masa/energia-emaria=

sistematik IRTEN

Sistemako masa/energiaren

METATZE-abiadura

2.2.2 Garraio-legeak:

2.1 taula. Garraio-legeak. Beroa Masa Higidura kantitatea

Emaria q NA τrz

Maila molekularrean

Indar eragilea ∂T∂z

∂CA∂z

∂vz∂r

Legea Fourier Fick Newton Propietatea Eroaletasun Difusibitatea Biskositatea termikoa kT DA µ

Maila makroskopikoan Indar eragilea ∆T ∆CA

(1) ∆P

Erlazioa q=hT∆T NA=kL∆CA (2) (1) Presio partziala edo frakzio molarra ere erabil daitezke. (2) Eskuarki, marruskadura-koefizientea izaten da: f=(gd∆P/L)/2vρ2.

2.2.3 Termodinamika

- Egoera-ekuazioak: gas idealen ekuazioa

- Oreka-ekuazioak: oreka kimikoa, fase arteko oreka, lurrunkortasun erlatiboa

Oreka kimikoa

1

0n

j jj=

ν µ =∑ (2.1)

1

2

k

a bkA B→ν ν← (2.2)

µj = µj0 + RT ln Pj (2.3)

νb(µB0 + RT ln PB) - νa(µA0

+ RT ln PA) = 0 (2.4)

RT ln(PB)νb - RT ln(PA)

νa = νa µA0 - νb µB0

(2.5)


17

ln

PB

νb

PAνa

= νa µA0 - νb µB0

RT (2.6)

Kp = PB

νb

PAνa

(2.7)

2.2.4 Zinetika kimikoa

Erreakzio motaren arabera

-A+B→R

1,0exp− =

−

a b

A A B

ar k C CE

RT (2.8)

ATSR rR = 0,5

rS = CA/2rT = 3CA

2A

TSR rR = 0,5

rS = CA/2rT = 3CA

2

A ↔ B

1,0exp 1− =

− −

A

a AAo

Ae

r C kE X

RT X (2.9)


18

2.3 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN KONSTANTEA

FAo

CAo

Qo

XAo(0)To

FA1

CA1

FA2

CA2

FA3

CA3

FAo

CAo

Qo

XAo(0)To

FA1

CA1

FA2

CA2

FA3

CA3

2.2 irudia. CSTR erreaktore sorta seriean.

Balantze orokorra:

1d( V )

dt

ρ = ρFo - ρF1 = 0 (2.10)

F1,s = Fo,s (2.11)

Era berean, F3,s

= F2,s

= F1,s

= Fo,s

= F

Materia-balantzea A osagaiarekiko:

V1 dCA1

dt = F(CAo - CA1) - V1k1CA1 (2.12)

V2 dCA2

dt = F(CA1 - CA2) - V2k2CA2 (2.13)

V3 dCA3

dt = F(CA2 - CA3) - V3k3CA3 (2.14)

Erreakzio-abiadura, kn, Arrhenius-en arabera adieraz daiteke:

kn = α e-E/RTn (2.15)

n = 1,2,3


19

Emariak, tenperaturak eta bolumenak konstante eta berdinak badira hiru erreaktoreetan:

dCA1

dt + (k + 1

τ) CA1 =

1t CA0 (2.16)

dCA2dt + (k +

1

τ) CA2 =

1t CA1 (2.17)

dCA3dt + (k +

1

τ) CA3 =

1t CA2 (2.18)

Horrela, sistemak 3 ezezagun ditu, eta 3 ekuazioren bitartez deskribatu da.


20

2.4 CSTR SERIEAK: ISOTERMOAK ETA BOLUMEN ALDAKORRA (grabitatez

hustea)

FAo

CAo

Qo

XAo

To

FA1

CA1

FA2

CA2

FA3

CA3V3

V2

V1

2.3 irudia. CSTR erreaktore sorta seriean, grabitatez hustea.

1 erreaktorea: 1dVdt

= Fo - F1

( )1 1Ad V C

dt= FoCAo - F1CA1 - V1k1(CA1)n (2.19)


= F1 - F2

( )2 2Ad V C

dt= F1CA1 - F2CA2 - V2k2(CA2)n (2.20)


= F2 - F3

( )3 3Ad V C

dt= F2CA2 - F3CA3 - V3k3(CA3)n (2.21)

Tenperatura ezaguna denez, K1, K2 eta K3 ezagunak(*) dira.

Beraz, 6 ekuazio eta 9 ezezagun(**) ditu sistema horrek: CA1, CA2, CA3, V1, V2, V3, F1, F2 eta

F3.

Beste 3 ekuazio (eredu) behar dira. Irteera-emaria eta -bolumena erlazionatzen dituztenak erabil daitezke.

F1 = f(V1) F2 = f(V2) F3 = f(V3)

* Ez dira aldagaiak. Haien balioa ezaguna eta konstantea da, eta haien araberakoak izango dira ezezagunen azken balioak, hau da, sistemaren operazio-baldintzak (V1-3, CA1-3, F1-3). ** Sistemaren aldagaiak dira; sarrera- edo irteera-aldagai izan daitezke. Horrela, adibidez, F1 maila-aldaketa (sarrera) gisa aldatuz, V3 (irteera) nola aldatzen den aurrez esan liteke eredu horien bitartez.


21

2.5 BEROTURIKO BI GORDAILU SERIEAN (bolumen konstan tea)

Emaria, bolumena, dentsitatea konstante badira,

bero-transmisioa lehen gordailuan bakarrik, Q1:

FAo

CAo

Qo

XAo(0)To

FA1

CA1

FA2

CA2

Q1

FAo

CAo

Qo

XAo(0)To

FA1

CA1

FA2

CA2

Q1 2.4 irudia. Beroturiko bi gordailu seriean.

Energia-balantzea 1 gordailuan: 1 1d CpVT

dt

( )ρ= ρCp(Fo To - F1 T1) + Q1 (2.22)

Energia-balantzea 2 gordailuan: 2 2d CpV T

dt

( )ρ= ρCp(F1 T1 - F2 T2) (2.23)

Emariak, dentsitateak eta bolumenak konstante direnez:

CpV1 dT1dt = ρCpF(To - T1) + Q1 (2.24)

ρCpV2 dT2dt = ρCpF(T1 - T2) (2.25)

Ezagunak: ρ, Cp, V1, V2 , F, Q1, To.

Beraz, 2 ezezagun (T1 , T2) eta 2 ekuazio ditugunez, sistema osoa deskribatuta dago. Hau da,

irteera-aldagai guztien(*) erantzun dinamikoa azter genezake.

* Gogoratu irteera-aldagaiak T1 eta T2 direla, adibide honetan horrela aukeratu baita. Irteera-aldagai gehiago

kontrolatu nahi izanez gero, noski, bakoitzarentzat beste ekuazio/eredu bat eratorri beharko litzateke.


22

2.6 CSTR ez-isotermoa (hozte-atorra)

Demagun hau dugula:

A → B n ordenakoa A-rekiko.

Erreakzio beroa: λ (exotermikoa)

Bero-galera baztergarriak

Pareten altzairu-masa baztergarria

FA1

CA1

FJ

TJo

FJ

TJ

FA2

CA2

V T CA

FA1

CA1

FJ

TJo

FJ

TJ

FA2

CA2

V T CA

2.5 irudia. CSTR ez-isotermoa. 2.6.1 Jarraitutasunaren legeak

ERREAKZIOETAN:

Materia-balantzea:

Materia-balantze orokorra:

dVdt = Fo – F (2.26)

A materia-balantzea:

d(VCA)

dt = Fo CAo - F CA - Vk(CA)n (2.27)

Energia-balantzea:

ρ Pd(VC T)dt

= ρ(Fo CpTo - F CpT) + λVk(CA)n - UAH(T - TJ) (2.28)

non k=α exp(-E/RT) egiaztatzen baita.


23

ATORREAN:

a) Nahasketa perfektua izanik

(emaria oso handia bada, TJ kte → fluxu motak ez du eraginik)

ρJ VJ P Jd(C T )dt

= FJ ρJ(CpTJo - CpTJ) + UAH(T - TJ) (2.29)

Ezagunak: T0, TJ0, F0, CA0 eta FJ.

Ezezagunak: V, AH, F, CA, T eta TJ.

Beraz, 4 ekuazio (2.26-2.29) eta 6 ezezagun!!!

Beste bi ekuazio behar dira. Erreaktore-irteerako emaria honela adieraz daiteke:

F = KV·V (2.30)

Gainera, AH likido-mailaren (bolumenaren) menpe dago: AH = 4D V.

b) Atorrako pistoi-fluxua

TJA =

TJ0 + TJs2 (2.31)

Bero-balantzea:

ρJ VJ CJ dTJA

dt = FJ ρJ CJ(TJo - TJs) + UAH(T - TJA) (2.32)

Hau da,

bi aldagai berri ditugu: TJA, TJs;

eta beste bi ekuazio berri: (2.31) eta (2.32).


24

c) Atorran “eredu elkartua” erabilirik

Atorra banaturik V bereko nahasketa perfektuko 4 ontzitan:

FA1

CA1

FJ

TJo

FJ

TJ

FA2

CA2

V T CA

TJ4

TJ3

TJ2

TJ1

FA1

CA1

FJ

TJo

FJ

TJ

FA2

CA2

V T CA

TJ4

TJ3

TJ2

TJ1

14 ρJ VJ CJ

dTJ1dt = FJ ρJ CJ(TJo - TJ1) +

14 UAH(T - TJ1)

14 ρJ VJ CJ

dTJ2dt = FJρJ CJ(TJ1 - TJ2) +

14 UAH(T - TJ2)

14 ρJ VJ CJ

dTJ3dt = FJ ρJ CJ(TJ2 - TJ3) +

14 UAH(T - TJ3)

14 ρJ VJ CJ

dTJ4dt = FJ ρJ CJ(TJ3 - TJ4) +

14 UAH(T - TJ4)

2.6 irudia. CSTR ez-isotermoa. Atorrako jario-eredu elkartua.

Era berean,

4 ezezagun berri agertzen dira (atorraren tarte bakoitzean tenperatura aurrez esatea lor

genezake) eta 4 ekuazio berri ere planteatu dira.

Sistema ebatzi egin daiteke.


25

d) Pareten masa kontuan harturik

Zehaztasun osoz deskribatu nahi izanez gero sistema, denbora eta posizioarekiko deribatu

partzialak ebatzi beharko lirateke:

Tm=f(t,z,r)

T hurbilketa ez da posizioarekin aldatzen, denborarekin bakarrik:

Tm=f(t)

Erreaktorean, ρ Cp d(VT)

dt = ρ Cp(Fo To - F T) + λ V(CA)n α e-E/RT - hi Ai(T - TM) (2.33)

Atorran, ρJ VJ CJ dTJdt = FJ ρJ CJ(TJo - TJ) + h0 A0(TM - TJ) (2.34)

Paretan , ρM VM CM dTM

dt = hi Ai(T - TM) - ho Ao(TM - TJ) (2.35)

Hor ezezagun hauek ditugu:

ho: beroaren transmisiorako koefizientea kanpo-geruzan

hi: beroaren transmisiorako koefizientea barne-geruzan

ρm: metalaren dentsitatea

CM: metalaren bero espezifikoa

VM: paretaren bolumena

Ai: beroaren transmisiorako paretaren barne-gainazala

Ao: beroaren transmisiorako paretaren kanpo-gainazala

INGENIARI KIMIKOAREN EGINBEHARRA

KONPROMISOA EDO OREKA BILATZEA BEHARREZKOA DA!!!

Eredu zehatzenek ebazpen konplexua dute.

Eredu sinpleenek ebazpen zehaztugabea emango dute.

Eta horretarako hainbat sinplifikazio edo suposizio onartu behar dira.


26

3 GAIA: LAPLACE TRANSFORMATUA

Sistema linealen erantzun dinamikoa aztertzeko tresna.

Eredu matematikoko ekuazio diferentzialak → ekuazio aljebraikoak.

TRANSFERENTZIA-FUNTZIO kontzeptua

Egonkortasuna

Erantzun kualitatiboa

Bloke-diagramak (blokeen aljebra)

3.1 Ekuazio motak

3.1.1 Ekuazio diferentzial arruntak

Mendeko aldagai bat edo gehiago, eta

aske bakarra:

1

1 1 01

n n

n nn n

d y d y dya a ... a a y x(t)

dt dt dt

−

− −+ + + + = (3.1)

3.1.2 Ekuazio diferentzial partziala

Mendeko aldagai bat edo gehiago, eta

aldagai aske anitz:

T Tk

x t∂ ∂=∂ ∂

(3.2)

3.1.3 Ekuazio diferentzial lineala

Lehen mailako terminoen batuketa da.

T Tk

x t∂ ∂=∂ ∂

(3.3)

3.1.4 Ekuazio diferentzial ez-lineala

Lineala ez dena.

0ydt

dy2

=+

edo

2

20

d yCosy

dt+ = edo

2

2

d y dyx y 0

dt dt+ + =


27

Ekuazio hauek egoeren espazioan (espacio de estados) ebatz daitezke.

Kontrolean, hain zuzen, Laplace eremuan ebazten dira.

Laplace transformatuak erabiltzen dira ekuazio diferentzial arrunt linealak ebazteko.

Esan bezala:

ekuazio diferentzialak → ekuazio aljebraikoak

3.2 Definizioa

f(t) funtzio baten Laplace transformatua:

{ } st

0L u(t) e f(t)dt

∞ −= ∫ (3.4)

Laplace transformatuaren ezaugarriak:

- s aldagaia zenbaki konplexu bat da (alde erreala eta alde konplexua ditu). t (denbora)

eremutik s (Laplace) eremura pasatzen garela esaten dugu.

- Laplace transformatuak, f(s)-k, ez dauka f(t)-ri buruzko informaziorik t<0 denerako.

Kontrolean ez du garrantzirik. Izatez, f(t)=0, t<0 izanik, egiaztatzeko definitzen dira

aldagaiak.

- Laplace transformatua integral inpropio batek definitzen duenez, f(t) funtzio guztiek ez dute

Laplaceren transformaturik.

- Laplace transformatua lineala da. Matematikoki adierazita:

L{af1(t) + bf2(t)} = aL{f1(t)} + bL{f2(t)} (3.5)

- f(t) funtzioak eta haren f(s) Laplace transformatuak bikote bakana osatzen dute. Hau da, ez

dago Laplace transformatu bera duten bi f(t) eta g(t) funtzio.


28

3.3 Oinarrizko funtzioen Laplace transformatua

3.3.1 Maila-aldaketa

0 t 0f(t)

1 t 0

<= ≥

(3.6)

Maila-aldaketa unitarioa denean [aurrerantzean, u(t)], anplitudeak 1 balio du, eta haren Laplace

transformatua hauxe da:

{ }st

st

00

e 1L u(t) 1 e dt

s s

∞−∞ −

= = − =

∫ (3.7)

Anplitudea A izanez gero: As

3.3.2 Funtzio esponentziala

atat

0 t 0f(t) u(t)e

e t 0−

−

< = = ≥

(3.8)

(s a)tat (s a)t

00

e 1L{u(t)e } = e dt

s a s a

∞− +∞− − +

= − = + + ∫ (3.9)

s+a > 0 bete behar da; hau da, s > -a.

3.3.3 Arrapala-funtzioa

0 t 0f(t) tu(t)

t t 0

< = = ≥

(3.10)

st

0L{t u(t)} = t e dt

∞ −⋅ ∫ (3.11)

Zatika integratuz: t = u ⇒ du = dt

e-stdt = dv ⇒ v = -e-st/s

st st st st2 20

0 0 0

t 1 t 1 1L{t u(t)} = e e dt e e 0

s s s s s

∞ ∞ ∞∞− − − − ⋅ − − − = − + − = + ∫ = (3.12)


29

3.3.4 Sinu-funtzioa

0 t 0f(t) u(t)senkt

senkt t 0

< = = ≥

(3.13)

{ } st

0L u(t) sen kt = sen kt e dt

∞ −∫ (3.14)

Zatika integratuz: u = e-st ⇒ du = -se-stdt

dv =senkt dt ⇒ v = - 1

kcoskt

{ } st st

00

1 sL u(t) sen kt e coskt e cosktdt

k k

∞∞− − = − − = ∫

st st

00

1 s 1 se senkt e senktdt

k k k k

∞∞− −

− + = ∫

2 2st

2 20

1 s 1 se senktdt L{u(t)senkt}

k k k k∞ −− = −∫ (3.15)

Beraz:

2

2

11

sL{u(t)senkt}

k k

+ =

(3.16)

2 2 2 2

1

1

/ k kL{u(t)senkt}

s /k s k= =

+ + (3.17)

3.3.5 Kosinu-funtzioa

ktcos)t(u0t

0t

ktcos

0)t(f =

≥<

= (3.18)

Aurreko kasuan bezala:

2 2

sL{u(t)coskt}

s k=

+ (3.19)


30

3.3.6 Deribatuen Laplace transformatua

Oso ezaugarri baliagarria da, deribazioa biderketa bihurtzen baitu.

df(t)L sf(s) f(0)

dt = −

(3.20)

non f(s) baita f(t)-ren Laplace transformatua (f(s) = L{f(t)}) eta f(0) aldiz f(t) funtzioaren balioa t =

0 betetzen denerako.

st

0

df(t) dfL e dt

dt dt∞ − =

∫ (3.21)

Zatika integratuz: u = e-st ⇒ du = -se-stdt

dv= df

dtdt ⇒ v =f

Beraz: st st

00

df(t)L fe s fe dt = -f(0)+sf(s)

dt

∞ ∞− − = + = ∫ (3.22)

Kontrolean, normalean, f(0) = 0 betetzen denez,

lehen deribatuaren Laplace transformatua sf(s) izaten da.

Bigarren deribatuaren Laplace transformatua kalkulatzeko:

[ ]2

2t 0

d f(t) d df df df(t)L L sL s sf(s) - f(0) - f'(0) =

dt dt dt dt dt =

= = − =

2 =s f(s) - sf(0) - f'(0) (3.23)

eta t = 0 denean, f = 0 eta df/dt = 0 betetzen bada, orduan:

2

2

2d f(t)L = s f(s)

dt

=

(3.24)

Ekuazio orokorra honela idatz daiteke, n-garren (n>3) deribatuaren Laplace transformatua kalkulatzeko:

nn n-1 n-2 (1) (n-2) (n-1)

n

d f(t)L s f(s)-s f(0)-s f (0)-...-sf (0)-f (0)

dt

=

(n>3 izanik) (3.25)

non f(i)(0) baita f(t)-ren i-garren deribatua t-rekiko, t=0 baliorako.


31

3.4 Ekuazio diferentzialen ebazpena Laplace transfo rmatua erabiliz

1. Laplace transformatua kalkulatu ekuazioaren bi aldeetarako. Hasierako balioak (t=0)

kontuan hartu.

2. Lortutako berdinketa ebatzi, funtzio ezezaguna, f(s), askatuz.

3. Lortutako Laplace transformatuari dagokion f(t) funtzioa kalkulatu. Azken hori da alderik

konplexuena, Laplace transformatuaren alderantzizkoa kalkulatzea. Teknika ugari erabil

daitezke. Ikasgai honetan frakzio partzialetan hedaturik egingo dugu.

3.4.1 3.1 adibidea:

funtzioa:

dyy 1

dt

y(0) 0; y´(0) 0

+ =

= = (3.26)

1. Laplace transformatua bi aldeetan:

1sy(s) +y(s) =

s (3.27)

2. Ekuazioa ebatzi, funtzio ezezaguna, f(s), askatuz:

1y(s)

s(s 1)=

+ (3.28)

3. Frakzio partzialetan hedatu:

1 A By(s)

s(s 1) s s 1= = +

+ + (3.29)

non A eta B konstante baitira. Taulaturiko Laplace transformatu zuzenei erreparaturik:

ty(t) A Be−= + (3.30)

A eta B kalkulatuz sistema ebatzita legoke.

A eta B kalkulatzeko, (3.29) berdinketa erabiliko da.

1s

B

s

A

)1s(s

1

++=

+ (3.29)


32

3.29 ekuazioaren bi aldeetan “s” biderkatuz:

1s

BsA

)1s(

1

++=

+

(3.31)

Eta s-ren balio guztietarako betetzen denez, s=0 denean ere betetzen da.

s=0 ordeztuz: A=1.

B kalkulatzeko, (s+1)-z biderkatu:

B)1s(s

A

s

1 ++= (3.32)

eta s=-1 eginez: B =-1.

Beraz, 1s

1

s

1

)1s(s

1

+−=

+

(3.33)

1ty(t) - e−= (3.34)

3.4.2 3.2 adibidea:

funtzioa:

1dt

yd;0

dt

dy;1)0(y 0t

e4y2dt

dy

dt

yd2

dt

yd

2

2

t2

2

2

3

3

−===⇒=

+=−−+

(3.35)

Laplace transformatua kalkulatuz eta y(s) askatuz:

4 26 9 8

2 1 2 1

s s sy(s)s(s )(s )(s )(s )

− + −= =− + + − 1s

E

2s

D

1s

C

2s

B

s

A

−+

++

++

−+

(3.36)


33

A kalkulatzeko, s biderkatuz eta s=0 eginez: A =-2.

Gainerakoak era berean.

biderkatu s berdindu emaitza

B s-2 2 B = 1/12

C s+1 -1 C = 11/3

D s+2 -2 D = -17/12

E s-1 1 E = 2/3

Emaitza:

4 26 9 8

2 1 2 1

s s sy(s)s(s )(s )(s )(s )

− + −= =− + + −

11 17 212 3 312 12

2 1 2 1s s s s s

−− + + + +− + + −

2 21 11 17 22

12 3 12 3

t t t ty(t) e e e e− −= − + + − +

(3.37)


34

3.4.3 Erro konplexuak

funtzioa:

0dt

dy;0)0(y 0t

2y2dt

dy2

dt

yd

2

2

==⇒=

=++

(3.38)

Laplace transformatua:

2

2 2

2 2 1 1 1 1

A B Cy(s)

s(s s ) s(s j)(s j) s (s j) (s j)= = = + +

+ + + + + − + + + − (3.39)

Erro konplexuek ez dute prozedura aldatzen.

A kalkulatzeko, s biderkatuz 3.39 ekuazioaren alde bietan eta s = 0 eginez:

21

1 1A

( j)( j)= =

+ −

B kalkulatzeko, (s+1+j) biderkatuz eta s = (-1-j) eginez:

2 1

1 2 2

jB

( j)( j)− −= =

− − −

C lortzeko, (s+1-j) biderkatuz eta s = (-1+j) eginez:

2 1

1 2 2

jC

( j)( j)− += =

− +

Beraz, 3.39 ekuazioan A, B eta C ordeztuz:

1 1 1 1 1

2 1 2 1

j jy(t) =

s (s j) (s j)− − − + + + + + + −

(3.40)


35

1 1 1 1 1

2 1 2 1

j jy(s) =

s (s j) (s j)− − − + + + + + + −

Alderantzizkoa kalkulatuz, 1/(s+a) → e-at jakinik:

1 11 11

2 2

( j)t ( j)tj jy(t) = e e− + − −− − − + + +

(3.41)

)btsenjbt(cosee att)bja( +=+ berdinketa erabiliz, denboraren eremuko erantzuna kalkula daiteke:

1 ty(t) = e (cos t sen t)−− + (3.42)

Oro har, erro konplexuak konjugatuak badira, y(t) erreala da, jakina, eta oszilakorra.


36

3.4.4 Erro errepikatuak

3.3 adibidea:

0dt

yd;0

dt

dy;0)0(y 0t

1ydt

dy3

dt

yd3

dt

yd

2

2

2

2

3

3

===⇒=

=+++

(3.43)

Laplace transformatua aplikatuz:

3 2 3

1 1

3 3 1 1y(s) =

s(s s s ) s(s )=

+ + + + (3.44)

Frakzioetan hedaturik:

3 3 2

1

1 1 1 1

A B C Dy(s)

s(s ) s (s ) (s ) (s )= = + + +

+ + + + (3.45)

A kalkulatzeko, s biderkatuz eta s=0 eginez.

3 3 2

1

1 1 1 1

Bs Cs Dsy(s) A

(s ) (s ) (s ) (s )= = + + +

+ + + + (3.46)

3.46 ekuaziotik, A = 1.

B kalkulatzeko, (s+1)3 biderkatuz:

321 1

1 1A(s )

B C(s ) D(s )s s

+= + + + + + (3.47)

eta s=-1. 3.47 ekuaziotik, B = -1.

C kalkulatzeko, 3.45 ekuazioan, (s+1)2 biderkatuz eta s=-1 eginez,

21 11

1 1

A(s ) By(s) C D(s )

s(s ) s (s )+= = + + + +

+ + (3.48)

Baina batugaietariko bat infinitu bihurtzen da.

Ezin daiteke ebatz prozedura honen bidez.

Berdin D kalkulatzeko.

Indeterminazio hori saihesteko, 3.46 ekuazioa deribatu behar da:


37

)1s(D2Cs

)1s2()1s(A

s

1

2

2

2+++−+=− (3.49)

B desagertzea eta C askatzea lortu da.

s=-1 eginez, C = -1 kalkulatzen da.

D kalkulatzeko, 3.49 ekuazioa berriz deribatuko da:

D2s

)1ss)(1s(A2

s

2

3

2

3++−+= (3.50)

s=-1, D = -1.

Eta azken emaitza:

3 2

1 1 1 1

1 1 1y(s)

s (s ) (s ) (s )= − − −

+ + + (3.51)

Eta denboraren eremuan:

2

1 12

-t ty(t) - e t

= + +

(3.52)


38

3.5 Erroen esanahi fisikoa

Y(t)-ren itxura y(s)-ren izendatzailearen erroen araberakoa izango da.

3.1 irudia. Laplace transformatuaren izendatzailearen erroen esanahi fisikoa.

3.1 taula. Erroen balioaren eta denboraren eremuko erantzunaren arteko erlazioa.

Erroak y(t), t > 0 izanik

s1 C1e-a1t

s2,s2* e-a2t

(C1 cosb2t + C2 senb2t)

s3,s3* C1 cosb3t + C2 senb3t

s4,s4* ea4t(C1 cosb4t + C2 senb4t)

s5 C1ea5t

s6 C1


39

3.6 Laplace transformatuaren beste propietate batzu k

3.6.1 Azken balioaren teorema

f(s) bada f(t)-ren Laplace transformatua:

[ ] [ ])s(sflim)t(flim0st →∞→

= (3.53)

Teoremaren baliagarritasun-eremua:

sf(s) ez denean infinitu bihurtzen s-ren edozein balio erreal positibotarako, Re(s)≥0.

Baldintza hori betetzen ez bada, f(t)-k ez dauka limiterik t→∞ doanean.

3.4 adibidea:

3 2

1

3 3 1sy( )

s(s s s )=

+ + +. (3.54)

Azken balioaren teorema aplikatuz y(s) funtzioari:

[ ]( )33 20

1 11

3 3 1 1t slim y(t) lim

s s s s→∞ →= = =

+ + + +

sy(s), s =-1 egiaztatzen denean, infinitua denez, BETE egiten da teorema hau.

3.5 adibidea:

4 2

3 2

6 9 8

2 2 2

s s sy(s) =

s(s )(s s s )− + −

− + − −

(3.55)

sy(s) eralda daiteke: 4 2

6 9 8

2 1 2 1(s)

s s ssy

(s )(s )(s )(s )− + −=

− + + −

(3.56)

s=1 eta s=2 betetzen denean, sy(s) infinitu denez, ez da teoremaren baliagarritasunerako

baldintza betetzen, eta, beraz, y(s) funtzioak ez dauka limiterik.


40

3.6.2 Hasierako balioaren teorema


[ ] [ ])s(sflim)t(flims0t ∞→→

= (3.57)

Teorema hau edozein f(t)-rentzat betetzen da.

3.6.3 Transformatuaren translazioa


{ } )as(f)t(feL at +=− (3.58)

Laplace transformatuaren aldagaia a unitate transladatu da.

3.6.4 Funtzioaren translazioa


{ } )s(fe)tt(fL 0st0

−=− (3.59)

t<0 izanik, f(t)=0 bada.

f(t-t0)-ren eta f(t)-ren arteko erlazioa irudian adierazitakoa da. f(t)-ren translazio horizontala

baino ez da f(t-t0), t0 distantzia batera dagoena.

3.2 irudia. f(t-to)-ren eta f(t)-ren arteko erlazioa.


41

3.6 adibidea. Kalkulatu Laplace transformatua

=

h> t0

h<t<0 h

10< t 0

)t(f

f(t) bi funtzioren arteko kenketa gisa adieraz daiteke:

[ ]1f(t) u(t) - u(t - h)

h=

(3.60)

non u(t-h) baita maila-aldaketa unitarioko funtzioa h unitate transladatua (atzeratua).

Beraz:

1 1 1 1-hs -hse - ef(s) -

h s s h s

= =

(3.61)

Bulkada unitarioari dagokion Laplace transformatua kalkulatzeko baliagarria.

3.6.5 Bulkada unitarioa

h → 0 denean, puntu guztietan zero balio duen funtzioa lortzen da, jatorrian izan ezik, han

infinitu balioa baitu. Funtzio horri δ(t) deritzo, Dirac-en delta. Haren azpiko azalera unitatea da.

∫∞+∞− =δ 1dt)t(

(3.62)

δ(t)-ren Laplace transformatua kalkula daiteke, h → 0 denean (L’Hopital aplikatuz):

0 0

11

hs hs

h h

e seL{ (t)}= lim lim

hs s

− −

→ →

− = = (3.63)

Bulkada-funtzioa oso baliagarria da kontrol-sistemen diseinurako.

f(t)

0 h t

1/h


42

3.6.6 Integral baten transformatua


{ }0

( )( )

t f sL f t dt

s=∫

(3.64)

Integrazioa deribazioaren alderantzizkoa da!!!


43

4 GAIA: LEHEN MAILAKO SISTEMEN ERANTZUN DINAMIKOA

Oinarrizko sistemen dinamika aztertuz gero, sistema konplexuagoen azterketa erraztu daiteke.

Horretarako, sistema konplexuak oinarrizkoen konbinazioa direla joko da. Maila honetan ikasiko

diren oinarrizko dinamikak lehen eta bigarren ordenakoak dira.

Sistema bat lehen ordenakoa da (bere dinamika lehen ordenakoa da), hura deskribatzen duten

ekuazio diferentzialak lehen mailako deribatuak direnean.

4.1 Transferentzia-funtzioa

Demagun merkuriozko termometro bat dugula egoera ezegonkorrean.

4.1 irudia. Merkuriozko termometro baten ebakidura-gainazala.

Demagun giro-tenperatura (x) denboran zehar aldatzen ari dela.

Kalkulatu beharrekoa hau da:

Tenperatura-aldaketa denborarekiko, y(t), x(t)-ren aldaketa mota (maila-aldaketa, bulkada,

sinusoidala) kontuan izanda.

Hurbilketak:

1. Bero-transmisiorako erresistentzia konbekzio-geruzan gertatzen da. Hau da, merkurio- eta

beira-masa osoan zehar tenperatura uniformea da.

2. Merkurioak dauka bero-ahalmen osoa.

3. Pareta ez da uzkurtzen, ezta dilatatzen

beirazko pareta

merkurioa

konbekzio-geruza

x = giro-tenperatura

y= neurtutako tenperatura

y


44

Energia-balantzea egoera ezegonkorrean:

dyhA(x - y) mCp

dt= (4.1)

A: termometroaren azalera (m2) Cp: merkurioaren bero espezifikoa (kcal/kgºC) m: merkurioaren masa (kg) t: denbora (h) h: beroaren transmisiorako koefiziente indibiduala (kcal/hm2ºC).

Orekan:

0 0s shA(x - y ) t= < (4.2)

4.1 eta 4.2 ekuazioen arteko kenketa eginez:

[ ] ss s

d(y - y )hA (x - x ) - (y - y ) mCp

dt= (4.3)

Laburtzeko:

X = x-xs eta Y = y-ys

Beraz:

[ ] dYhA X - Y mCp

dt= (4.4)

mCphA

= τ , definituz:

dYX - Y

dt= τ (4.5)


X(s) Y(s) sY(s)− = τ

(4.6)

Berrantolaturik:

1

1

Y(s)X(s) s

=τ +

(4.7)

Eskuineko funtzioari transferentzia-funtzio deritzo. Laplace eremuan, termometroaren neurketa

/ irteera-aldagaia eta giro-tenperatura / sarrera (maila-aldaketa, arrapala, eta abar) erlazioak

adierazten ditu.


45

Haren alderantzizkoa kalkulatuz gero, denboraren eremuan erlazio bera lor daiteke, erantzun

dinamikoa alegia.

Edozein sistema aztertzean helburua izango da haren transferentzia-funtzioa lortzea.

Oro har, lehen mailako sistema batentzat:

1

Y(s) KG(s)

X(s) s= =

τ + (4.8)

G(s): transferentzia-funtzioa adierazteko sinboloa

K: sistemaren irabazkina, (dimentsioa du). Sarrera-aldagaian maila-aldaketa unitario bat

gertatzean, egoera egonkor berrian irteera-aldagaiak jasandako aldaketa da

τ: denbora konstantea (denbora-unitateak)

Transferentzia-funtzioak sistemaren portaera dinamikoa OSOKI deskribatzen du.

X(t) sarrera batentzat X(s) kalkula daiteke, eta, ondoren, sistemaren erantzuna, Y(s). Azken hori

honela kalkulatzen da:

Y(s) G(s)X(s)=

(4.9)

Y(s)-ren alderantzizkoa den Y(t) kalkulatuz.

Grafikoki adierazita, bloke-diagrama baten bitartez:

G(s) X(s) Y(s)


46

4.2 Maila-aldaketako perturbazio baten aurreko eran tzuna

Demagun sarrera maila-aldaketa gisa gertatu dela.

AX(s)

s=

Lehen mailako sistema baten transferentzia-funtzioa:

1

Y(s) KX(s) s

=τ +

(4.10)

X(s) = A/s moduan adieraz daitekeen sarrera bat (A anplitudeko maila-aldaketa), lehen mailako

dinamika duen sistema bati (lehen mailako transferentzia-funtzioa bati) eraginez, sistemaren

erantzuna, Y(s), honela adieraz daiteke,

1Y(s)

K As s

=τ + (4.11)

Laplace eremuan ebatziz gero, frakzioetan hedaturik:

1 2

1 1

AK / C CY(s)

s(s / ) s s /τ= = +

+ τ + τ (4.12)

C1=AK eta C2 =-AK kalkula daitezke.

Ordeztuz eta alderantzizkoa kalkulatuz:

Y(t) = 0 t<0

Y(t) = AK(1-e-t/τ) t≥0

1. ordenako sistemen ezaugarri batzuk:

� t=τ denean, erantzuna azken balioaren %

63,2 da.

� t=2τ,3τ, 4τ denean, erantzunak, hurrenez

hurren, hauek izango dira % 86,5, % 95 eta

% 98.

� Erantzunaren malda jatorrian: AK/τ.

4.2 irudia. Lehen ordenako sistema baten erantzuna maila-aldaketa baten aurrean.


47

4.3 Bulkada baten aurreko erantzuna

Demagun A magnitudeko bulkada bat dugula:

X(t) = Aδ(t)

Errealitatean, bulkada perfektua ezinezkoa da. Ahalik eta iraupen laburreneko maila-aldaketa

bat gertatu ohi da.

Maila-aldaketaren kasuan bezala ebatziz, X(s) = 1 sarrera lehen mailako transferentzia-funtzio

bati eraginez, sistemaren erantzun hau lortzen da:

1

KY(s)

s=

τ + (4.13)

Berrantolaturik: 1

K /Y(s)

s /τ=

+ τ

Eta alderantzizkoa kalkulatuz:

-t /KY(t) e τ=

τ (4.14)

4.3 irudia. Lehen ordenako sistema baten erantzuna bulkada baten aurrean.


48

4.4 Perturbazio sinusoidala

Sarrera sinusoidal bat matematikoki honela adieraz daiteke:

X(t) = 0 t<0

X(t) = A senωt t≥0 (4.15)

Laplace eremuan:

2 2

AX(s)

sω=

+ ω (4.16)

Sarrera mota horren aurrean sistemak duen erantzuna aztertzea oso baliagarria da kontrol-

teorian. Erantzun frekuentzialean oinarritutako hainbat diseinu-teoria daude.

X(s) ordeztuz transferentzia-funtzioan:

2 21

K/ AY(s) G(s)X(s)

s / sτ ω= =

+ τ + ω (4.17)

2 2 2 2 2 21 1 1

-t /A K e A K AKY(t) - cos t sen t

τω τ ω τ= ω + ωτ ω + τ ω + τ ω +

(4.18)

Honako baliokidetasun trigonometriko hauek erabiliz:

p cosA + q senA = r sen(A+ )θ

(4.19)

non 2 2 p

r p q tanq

= + θ =

4.17 ekuazioa garatuz, adierazpen hau lortzen da:

2 2 2 21 1

-t /A K AKY(t) e sen( t )τω τ= + ω + φ

τ ω + τ ω + (4.20)

non φ = tan-1(-ωτ)=- tan-1(ωτ) betetzen baita.


49

Sistemaren erantzun dinamikoa aurrera doan heinean (t→∞), lehen batugaia zerorantz doa.

Horregatik, egoera egonkorrean bigarren batugaia da erantzuna.

2 2 1s

AKY(t) sen( t )= ω + φ

τ ω + (4.21)

Sarrera eta irteera konparatuz:

X(t) = 0 t< 0

X(t) = A senωt t ≥ 0

2 2 1s

AKY(t) sen( t )= ω + φ

τ ω + (4.21)

Lehen ordenako sistema baten erantzun frekuentziala azterturik, ondorio nagusi hauek atera

daitezke:

1. Erantzuna/irteera ere funtzio sinusoidala da, eta sarreraren frekuentzia (ω) berdina du.

2. Anplitude-erlazioa K/ 122 +ωτ da, beti prozesuaren irabazkina (K) baino txikiagoa.

3. Erantzuna atzeratua izango da, angelu-fasea (φ) negatiboa delako, φ = -tan 1(ωτ).

K eta τ ezagunak dituen lehen mailako sistema batean,

anplitude-erlazioa eta erantzunaren fase-atzerapena

w frekuentziaren menpekoak dira bakarrik.


50

4.5 Bode-ren diagrama

Grafikoki sistema baten erantzun frekuentziala laburtzeko metodoa da.

- log(anplitude-erlazioa) vs log(τω)

- φ (fase-atzerapena) vs log(τω)

Bode-ren diagrama, K-ren eta τ-ren hainbat baliotarako marraztu ohi da.

( ) ( )arctan arctanφ = −τ ⋅ ω = − τ ⋅ ω (4.22)

Anplitude-erlazioa:

2 2 1

B KA

=τ ω +

(4.23)

Fas

e-an

gelu

a, ϕϕ ϕϕ

Anp

litud

e-er

lazi

oa, B

/A/K

τ1

Fas

e-an

gelu

a, ϕϕ ϕϕ

Anp

litud

e-er

lazi

oa, B

/A/K

Fas

e-an

gelu

a, ϕϕ ϕϕ

Anp

litud

e-er

lazi

oa, B

/A/K

τ1

4.4 irudia. Lehen mailako sistema bateko Bode-ren diagrama.

Ohartu: w→0 B/A=K w→∞ B/A=0


51

4.6 NYQUIST-en diagrama

G(iw)-ren alde erreal eta konplexuaren adierazpen grafikoa.

Bode-ren informazio bera (anplitude-erlazioa hainbat frekuentziatarako) jasotzen da, baina

irudian ez da adierazten B/A bakoitzari dagokion w-ren balioa.

Angelu-fasea (φ) eta anplitude-erlazioa (B/KA) koordenatu polarretan adierazita daude.

B/A/K

Alde erreala

Ald

e im

agin

ario

a

B/A/K

Alde erreala

Ald

e im

agin

ario

a

4.5 irudia. Lehen mailako sistema baten Nyquist-en diagrama.


52

4.7 Lehen mailako sistemen adibideak

4.7.1 Gordailu bateko likido-mailaren aldaketa

4.6 irudia. Gordailu bateko likido-mailaren aldaketa. Balbulako emaria (q0) altuerarekiko linealki proportzionala dela jota:

o

hq

R= , 3 1

2

mm s

s m

−−

⋅ = ⋅ (4.24)

Sistema honentzat kalkula dezagun transferentzia-funtzioa:

Materia-balantzea:

0

dhq(t) - q (t) A

dt= (4.25)

Aurreko bi ekuazioak konbinatuz:

h dhq(t) - A

R dt= (4.26)

Egoera egonkorrean, dh/dt = 0 betetzen bada:

0ss

hq -

R= (4.27)

Azken bi ekuazioen kenketa eginez:

1 ss s

d(h - h )(q - q ) (h - h ) A

R dt= + (4.28)

Desbideratze-aldagaiak definituz: Q = q – qs H = h – hs

Azkenean:

1 dHQ H A

R dt= + (4.29)

q(t)

h(t)

q0(t) R


53

Laplace transformatua kalkulatuz:

1Q(s) H(s) AsH(s)

R= + (4.30)

Berrantolaturik:

1

H(s) RQ(s) s

=τ +

(4.31)

non τ = AR. ( )2 2m s m s− ⋅ = egiaztatzen baita (gogoratu τ-ren dimentsioa beti denbora

dela).

R = prozesuaren irabazkina. Azken balioa da egoera egonkor berrirako, sarreran maila-

aldaketa unitario bat eginez gero. Unitateak: 3

m

ms

.

- Q(t) maila-aldaketa unitario bat eginez gero, zenbat aldatuko litzateke H(t)?

Q(t) → Q(s) = 1/s

Beraz:

1

1

RH(s)

s s=

τ + (4.32)

Azken balioaren teorematik:

[ ]( ) lim ( ) lim0 0 1t

RH t sH s R

s s sτ→∞ = = =→ → +

Kontuan izan:

Gordailuaren azalera (A, m2) handituz, τ altuagoa izango da; hau da, erantzuna geldoagoa

izango da.


54

4.7.2 Nahasketa-prozesua

Demagun nahasketa-gordailu bat dugula.

4.7 irudia. Nahasketa- edo homogeneizazio-sistema bat.

Hurbilketak:

Nahasketaren dentsitatea konstantea da.

Bolumena ez da aldatzen. Hau da, sarrerako eta irteerako emari bolumetrikoak konstante eta

berdinak dira.

Kalkula dezagun sarrerako eta irteerako kontzentrazioen arteko erlazioa. Materia-balantzea hau

izango da:

d(Vy)qx - qy

dt= (4.33)

Egoera egonkorrean:

0s sqx - qy = (4.34)

Berrantolaturik eta desbideratze-aldagaiak harturik:

X = x - xs

Y = y – ys

Beraz:

dYqX - qY V

dt= (4.35)


1

1

Y(s)X(s) s

=τ +

(4.36)

non τ = V/q egiaztatzen baita.

x(t)

q

V

y(t)

y(t)

q


55

4.7.3 Beroturiko gordailua

Demagun irudiko nahasketa perfektuzko erreaktore jarraitua dugula. Sarrera- eta irteera-

tenperaturak t1 eta t2 dira, hurrenez hurren. Kalkula dezagun nolako eragina duen t1-eko eta to-

ko aldaketa batek erreaktoreko tenperaturan (t2).

(ur-lurruna, tenp. kte.)

4.8 irudia. Beroturiko CSTR bat.

Energia-balantzea hau izango litzateke:

21 2 0 2

dtq Cpt - q Cpt UA(t - t ) V Cp

dtρ ρ + = ρ (4.37)

U: bero-transmisiorako koefiziente globala

A: bero-transmisiorako azalera

Egoera egonkorreko energia-balantzea:

1 2 0 2 0s s s sq Cpt - q Cpt UA(t - t )ρ ρ + = (4.38)

Desbideratze-aldagaiak definituz:

T1 = s11 tt − T2 = s22 tt −

T0 = s00 tt −

4.37 eta 4.38 ekuazioen kenketa eginez hau lortzen da:

[ ] 21 2 0 2

dTq CpT - q CpT UA T - T V Cp

dtρ ρ + = ρ (4.39)

q,t1

V

q,t2

t0

t0


56


[ ]1 2 0 2 2q CpT (s) - q CpT (s) UA T (s) - T (s) V CpsT (s)ρ ρ + = ρ (4.40)

Berrantolaturik:

1 2 0 2

q Cp UAT (s) - T (s) T (s) sT (s)

UA q Cp UA q Cpρ + = τ+ ρ + ρ

(4.41)

V CpUA q Cp

ρτ =+ ρ

(4.42)

Eta hauek definituz:

1

q CpK

UA q Cpρ=+ ρ

(4.43)

2

UAK

UA q Cp=

+ ρ (4.44)

1 1 2 2 0 2K T (s) - T (s) K T (s) sT (s)+ = τ (4.45)

Eta T2(s) askatuz:

1 22 1 0

1 1

K KT (s) T (s) T (s)

s s= +

+ τ + τ (4.46)

T2(s) eta T1(s) erlazionatzen dituen transferentzia-funtzioa hau izango da:

2 11

11

T (s) KG (s)

T (s) s= =

+ τ (4.47)

Era berean, T2(s) eta T0(s) erlazionatzen dituen transferentzia-funtzioa hau da:

2 22

01

T (s) KG (s)

T (s) s= =

+ τ (4.48)


57

Kontuan izan:

Erantzunaren azkartasunari dagokionez (4.42 ekuazioa):

a) V handituz, τ handitu egiten da. Horrela, 4.47 eta 4.48 ekuazioen arabera, T2-ren aldaketa motelagoa da T1-en edo T0-ren aldaketa baten aurrean.

b) q>> bada, Vq

=τ izango da orain. T2-ren erantzuna azkarrago gertatuko da.

c) q<< bada, V CpUAρ=τ da.

Operazio-baldintzek eragina dute prozesuaren dinamikan!

Irabazkinari dagokionez (4.43 eta 4.44 ekuazioak),

a) q>> bada, K1=1 eta K2=0 egiaztatzen da. T2-ren azken balioa ez da berotze-atorraren

menpekoa, bakarrik T1-en aldaketaren araberakoa.

b) q<< bada, K1=0 eta K2=1 egiaztatzen da. Aldiz, T2-ren azken balioa ez da sarrerako

emariaren tenperaturaren (T0-ren) aldaketaren menpekoa.

Bloke-diagrama baten bitartez:

+

+

T1(s)

T0(s)G2(s)

G1(s)

T2(s)

4.9 irudia. Gordailu baten tenperaturaren bloke-diagrama.


58

5 GAIA: LINEALIZAZIOA ETA SISTEMEN ARTEKO INTERAKZI OA

Orain arte sistema linealak ikusi dira, baina errealitatean ez-linealak ugariago dira.

Hurbilketa onargarriak lor daitezke linealizatuz eta Laplace transformatua erabiliz.

Mugak: egoera nominalaren inguruan eta ez-linealtasuna oso nabaria ez denean bakarrik dira

erabilgarriak linealizazio-teknikak. Adibidez, NaOH gehituz (sarrera-aldagaia) egiten den

neutralizazio-prozesu bat (pH-aldaketa da irteera-aldagaia) oso ez-lineala da; beraz,

ezinezkoa litzateke honelako teknikak erabiltzea.

5.1 Linealizazio-teknikak

Aurreko adibidera itzulita:

Erresistentzia ez-lineala

5.1 irudia. Nahasketa-sistema baten likido-maila.

Irteerako emariaren eta likido-altueraren arteko erlazioa koadratikoa da:

1 2

0

/q Ch= (5.1)

non C konstante bat baita.

Materia-balantzea:

0

dhq(t) - q (t) A

dt= (5.2)

Ordenagailuak ekuazio diferentzial

korapilatsuen emaitza aljebraikoki ebatz

dezake.

Baina dinamika ez,

emaitza partikularra. da.

q(t)

h(t) q0(t)

Aldiz, gogoratu Laplace transformatua erabili ahal izateko

prozesuak lineala izan behar duela.

Ez da oso baliagarria

KSren diseinurako.


59

Berrantolaturik:

1 2/ dhq - Ch A

dt= (5.3)

Ondorioz, sistema deskribatzen duen 5.3 ekuazio diferentziala ez-lineala denez, ezin daiteke ohiko

prozedurarik erabili.

Aldiz, q0(h) funtzioa Taylor serie gisa heda daiteke polinomio batera, hs-ren inguruan:

2

00 0 0

2

n ns s s s

s s s

q (h )(h - h ) q (h )(h - h )q q q (h )(h - h ) ...

! n!

′′′ 0= + + + + (5.4)

q’0(hs): q0-ren lehen deribatua hs puntuan

q0’’(hs): q0-ren bigarren deribatua hs puntuan

5.4 ekuazioan termino lineala bakarrik kontuan hartuz:

0 0 s s sq q (h ) q (h )(h - h )′0= + (5.5)

5.1 ekuazioaren bidez 0

1 21

2

- /s sq (h ) Ch′ = kalkulatuz eta 5.5 ekuazioan ordeztuz:

0 0 0

1 2 11

2s s s s

- /sq q (h ) (h - h ) q (h ) (h - h )

RCh= + = + (5.6)

Eta han:

1 21 1

2

- /sCh

R= (5.7)

5.6 ekuazioa 5.2 ekuazioan ordeztuz, materia-balantzea honela gelditzen da:

0s

s

h - h dhq - q - A

R dt= (5.8)

Egoera egonkorrean:

qs = q0s (5.9)

Aldiz, 5.8 eta 5.9 ekuazioen kenketa eginez:

ss

h - hdhA q - q

dt R+ = (5.10)

Desbideratze-aldagaiak erabiliz: Q = q - qs eta H = h – hs


60

Laplace transformatua kalkulatuz:

1

H(s) RQ(s) s

=τ +

(5.11)

ARτ =

1

2

Cnon

R h

=

(5.12)

Sistema linealarentzat lortu zen transferentzia-funtzio berbera lortu da.

Erresistentzia (R) egoera egonkorrean ezarritako baldintzen menpekoa da.

- Grafikoki, 1/R-ren balioa (q0s, hs) puntutik pasatzen den lerro tangentearen malda da. Ohartu

5.6 ekuazioa 0 0

1( ) ( - )

= + s sq q h h h

Rtangentearen ekuazioa dela.

- Hurbilketa lineala desegokia izango da, likido-maila egoera egonkorretik asko urruntzean.

- Sistemaren oszilazioa nabaria bada, linealizazioak eredu desegokia emango luke.

5.2 irudia. Irteera-emariaren eta altueraren arteko erlazioa.

0 0 h hs

q

q0s

Tangentearen malda= 1/R

q0=Ch1/2


61

5.1.1 Sistema ez-lineal baten adibidea

Demagun irudiko erreakzio-sistema dugula. Erreakzio exotermikoa lehen ordenakoa da, eta

erreaktore eta atorra nahasketa perfektuan daude. Helburua izango da behean adierazitako

sarrera- eta irteera-aldagaien arteko erlazioa.

5.3 irudia. Nahasketa perfektuzko erreaktorea hozte-atorrarekin.

Erreaktorean:

A osagaiarekiko materia balantzea:

0

-E /RT AAi A A

d(VC )FC - FC - k e VC

dt= (5.13)

Energia-balantzea:

0

p-E/RTp i p R A C

d(V C T)F C T - F C T (- H )k e VC - UA(T - T )

dt

ρρ ρ + ∆ = (5.14)

ART/E Ce− terminoa ez-lineala da; Ts eta CAs inguruan termino hori linealizatu behar da.

Erreaktorean

Sarrera: CAi,Ti

Irteera: T, CA

Atorrean

Sarrera: Tci

Irteera: Tc

F, CAi,Ti

V

F, T, CA

Fc, Tci

Fc, Tc

A→B


62

s

s As s As

E /RT E /RTE /RTE /RT A A

A As s A AsA(T ,C ) (T ,C )

(e C ) (e C )e C e C (T T ) (C C )

T C

− −−− ∂ ∂≅ + − + − = ∂ ∂

2s s s-E /RT -E /RT -E /RT

As As s A Ass

Ee C e C (T - T ) e (C - C )

RT

+ +

(5.15)

Orain, ART/E Ce− terminoa T-rekiko eta CA-rekiko lineala den 5.15 ekuazioaren bidez ordeztu

daiteke.

Bestalde, egoera egonkorrean materia eta energia-balantzeak:

MB

00s-E /RT

Ais As AsFC - FC - k e VC = (5.16)

EB:

00s-E / RT

p is p s R As s csF C T - F C T (- H )k e VC - UA(T - T )ρ ρ + ∆ = (5.17)

Eta egoera ezegonkorrekoaren eta egoera egonkorrekoaren arteko kenketa eginez:

( )002

s s-E /RT -E /RTAAi A As A

s

k EdC F(C - C ) - e C T - k e C

dt V RT

′ ′ ′ ′ ′=

(5.18)

0 2s s-E /RT -E /RTR

i As A Cp s p

dT F (- H ) E UA(T - T ) k e C T e C - (T - T )

dt V C RT C V

′ ∆′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ρ ρ (5.19)

Han, desbideratze-aldagaiak defini daitezke (t=0 izanik, 0 balio dute):

A A As

Ai Ai Ais

s

i i is

C C Cs

C C - C

C C - C

T T - T

T T - T

T T - T

′ =′ =′ =′ =′ =

( )002

s s-E /RT -E /RTAAi A As A

s

k EdC F(C - C ) - e C T - k e C

dt V RT

′ ′ ′ ′ ′=

(5.20)


63


i As A Cp s p

dT F (- H ) E UA(T - T ) k e C T e C - (T - T )

dt V C RT C V

′ ∆′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ρ ρ (5.21)

5.20 eta 5.21 ekuazioen Laplace transformatuak kalkulatuz:

( )002

s s-E /RT -E /RTA Ai A As A

s

k EFsC (s) (C (s) - C (s)) - e C T (s) - k e C (s)

V RT

′ ′ ′ ′ ′=

(5.22)


i As Ap s

Cp

F (- H ) EsT (s) (T(s) - T (s)) k e C T (s) e C (s)

V C RT

UA (T (s) T (s))

C V

∆′ ′ ′ ′ ′= + + ρ

′ ′− −ρ

(5.23)

5.22 eta 5.23 ekuazioak berrantolaturik:

00 2

s s-E /RT -E /RTA Ai As

s

k EF Fs k e C (s) C (s) - e C T (s)

V V RT

′ ′ ′+ + =

(5.24)

0 2

0

s

s

-E /RTRAs i

p s p

-E /RTRA C

p p

F (- H ) E UA Fs - k e C T (s) T(s)

V C RT C V V

(- H ) UA k e C (s) T (s)

C C V

∆ ′ ′+ + = + ρ ρ

∆ ′ ′+ +ρ ρ

(5.25)


64

C’A(s) eta T’(s) askatuz:

0

2

0 0

0 0

1 1

s s

s s

As

s-E/RT -E/RT

A Ai

-E/RT -E/RT

VC k ERTF

F Vk e Fe VkC (s) C (s) - T (s)

V Vs s

F Vk e F Vk e

+ +′ ′ ′=

+ + + +

(5.26)

2

2 2

0

2

2 2

0

2

0

2 2

0

1

s

s

s

s

p s-E /RT

p s R As si

p s-E /RT

p s R As s

-E /RTs R

-E /RTp s R As s

p s

FC RT

F C RT - (- H )k VC Ee UARTT (s) T(s)

C VRTs

F C RT - (- H )k VC Ee UART

VRT (- H )k eF C RT - (- H )k VC Ee UART

C VRT

ρ ∆ + ′ ′= +

ρ+ ρ ∆ +

∆ ρ ∆ + +

ρ 2

2 2

0

2

2 2

0

2

2 2

0

1

1

s

s

s

A

-E /RTp s R As s

s-E /RT

p s R As sC

p s-E /RT

p s R As s

C (s)

sF C RT - (- H )k VC Ee UART

UARTF C RT - (- H )k VC Ee UART

T (s)C VRT

sF C RT - (- H )k VC Ee UART

′ +

+ ρ ∆ +

ρ ∆ + ′+

ρ+ ρ ∆ + (5.27)


65

Laplace eremuan ekuazio hauek edukiko genituzke:

( ) ( )1 2

1 11 1

A Ai

K KC (s) C (s) - T (s)

s s′ ′ ′=

τ + τ + (5.28)

3 54

2 2 21 1 1

i A C

K KKT (s) T(s) C (s) T (s)

s s s′ ′ ′ ′= + +

τ + τ + τ + (5.29)

τ1 eta τ2 denbora konstanteak dira, eta K1,...,K5 irabazkinak. Haien balioa 5.26 eta 5.27 ekuazioen

bidez kalkula daiteke.

Azkenik, 5.28 eta 5.29 ekuazioak honela laburtu daitezke:

1 2A AiC (s) G C (s) - G T (s)′ ′ ′= (5.30)

3 4 5i A CT (s) G T (s) G C (s) G T (s)′ ′ ′ ′= + + (5.31)


66

5.2 Lehen mailako sistemen erantzuna

Eskuarki, edozein sistema errealen erantzuna adieraz daiteke lehen mailako hainbat sistema

seriean baleude bezala. Sistema horien artean bi egoera gerta daitezke.

A) Interakziorik gabe

B) Interakzioarekin

h 1

q 1

R1

A1

h 2

q 2

R2

A2

q (t )

h 1

q 1

R1

A1

h 2

q 2

R2

A2

A) B)q(t )

5.4 irudia. Bi gordailuetako likido-mailaren aldaketa. A) Interakziorik gabe. B) Interakzioarekin. 5.2.1 Interakziorik gabe

Helburua da h2 aldagaia q emariarekiko nola aldatzen den aztertzea (erantzun dinamikoa).

Lehen gordailuko materia-balantzea idatziz:

11 1

dhq - q A

dt= (5.32)

Bigarren gordailuko materia-balantzea:

21 2 2

dhq - q A

dt= (5.33)

Emaria eta gordailuaren altuera erresistentzia konstante baten bidez erlazionatuta daudela (hau

da, erlazioa lineala dela) onartuz:

11

1

hq

R= (5.34)

22

2

hq

R= (5.35)


67

5.32 eta 5.34 konbinatuz eta desbideratze-aldagaiak hartuz:

1

1

1

1

Q (s)Q(s) s

=τ +

(5.36)

non Q1=q1-q1s, Q=q-qs eta τ1=R1A1 egiaztatzen baitira.

Era berean, bigarren gordailuan:

2 2

1 21

H (s) RQ (s) s

=τ +

(5.37)

non H2=h2-h2s, eta τ2=R2A2 egiaztatzen baitira.

Azkenik, kalkulatu nahi genuen transferentzia-funtzioa:

2 2

1 2

1

1 1

H (s) RQ(s) s s

=τ + τ +

(5.38)

Oro har, interakziorik gabeko n sistematarako:

Transferentzia-funtzio indibidualak hauek badira:

1 1

0 11

X (s) KX (s) s

=τ +

; 2 2

1 21

X (s) KX (s) s

=τ +

;.................; 1

1n n

n- n

X (s) KX (s) s

=τ +

Transferentzia-funtzio orokorra honela idatz daiteke:

011

nn i

i

X (s) KX (s) si

=τ +=

∏ (5.39)

1

11

Ksτ +

2

21

Ksτ +

1

i

i

Ksτ +

1

n

n

Ksτ +

X0 X1 X2 Xi-1 Xn

Xn-1 Xi


68

5.5 irudia. Erantzun dinamikoa, maila-aldaketa unitario baten aurrean, lehen mailako n prozesuz osaturiko sistema batentzat.

n altuagoa bada, erantzuna geldoagoa izango da.

n=1, jatorrian, (t=0) erantzunaren abiadura maximoa da.

n>1, jatorrian, erantzunaren malda zero da.


69

5.2.2 Interakziodun sistemak

q (t )

h 1

q 1

R1

A1

h 2

q 2

R2

A2

q (t )

h 1

q 1

R1

A1

h 2

q 2

R2

A2

5.6 irudia. Interakziodun sistema bat.

Materia-balantzea lehen gordailuan:

11 1

dhq - q A

dt= (5.40)

Materia-balantzea bigarren gordailuan:

21 2 2

dhq - q A

dt= (5.41)

Emariaren eta altueraren arteko erlazioak:

1 1 2

1

1q (h - h )

R= (5.42)

22

2

hq

R= (5.43)

Egoera egonkorrean, materia-balantzea:

qs – q1s = 0 (5.44)

q1s – q2s = 0 (5.45)


70

Egoera ezegonkorreko eta egonkorreko ekuazioen kenketa eginez, desbideratze- aldagaien

menpean adieraz genezake sistemaren eredu den ekuazio diferentzialen sistema:

11 1

dHQ - Q A

dt= (5.46)

21 2 2

dHQ - Q A

dt= (5.47)

1 21

1

H - HQ

R= (5.48)

22

2

HQ

R= (5.49)

5.46-5.49 ekuazioen Laplace transformatuak lortuz eta konbinatuz, kalkulatu nahi genuen

transferentzia-funtzioa lortzen da:

2 2

2

1 2 1 2 1 21

H (s) RQ(s) s ( A R )s

=τ τ + τ + τ + +

(5.50)

Interakziorik gabeko sistemarekin (5.38 ekuazioarekin) konparatuz

2 2

1 2

1

1 1

H (s) RQ(s) s s

=τ + τ +

(5.38)

ezberdintasuna A1R2 terminoa dela ikus daiteke.


71

5.3 Maila-aldaketa batekiko erantzuna

Sistema bakoitzak maila-aldaketako sarrera baten aurrean izango duen erantzuna atal honetan

adierazten da. Demagun bi gordailuak berdinak direla, non τ1=τ2=τ betetzen baita.

5.3.1 Interakziorik gabe

22

1s

1

)s(Q

)s(Q

+τ= (5.51)

Eta maila-aldaketa unitario batekiko erantzuna denboraren eremuan:

21 -t / -t /t

Q (t) - e - eτ τ=τ

(5.52)

5.3.2 Interakzioarekin (A1=A2 bada, gogoratu 1 2 1 1 2 2 1 2A R A R A Rτ = τ = τ = = = )

+τ+τ=

1s3s

1

)s(Q

)s(Q

222

(5.53)

2 1

0 38 1 2 62 1

Q (s)Q(s) ( . s )( . s )

=τ + τ +

(5.54)

Maila-aldaketa unitario baten aurreko erantzuna:

0 38 2 62

21 0 17 1 17-t / . -t / .Q (t) . e - . eτ τ= + (5.55)

Interakzioaren eragina: 1. Sistemaren denbora konstante efektiboak aldatu dira (bata handitu, bestea murriztu). 2. Sistemaren erantzuna motelagoa da interakzioa dagoenean.

5.7 irudia. Denboraren eremuko erantzun dinamikoa, interakziorik gabeko eta interakziodun sistemetan.

6 GAIA: BIGARREN MAILAKO SISTEMAK

Orain ikusitakoaren arabera, 1. ordenako bi sistema seriean daudenean, erantzuna 2. ordenako

sistema batena izango da. Aldiz, badaude beste sistema batzuk, izatez, 2. mailako dinamika

intrintsekoa dutenak.


72

Demagun presio diferentzialaren neurgailu bat (U manometroa) dugula.

y=0

p

y

y=0

p

y

p

y

p

y

p

y

6.1 irudia. Presio diferentzialaren neurgailua, U manometroa.

p: presio manometrikoa

A: hodiaren ebakidura-gainazala

y: likidoaren altuera

L: likidoaren luzera

Honako hauek dira likidoan, orekan dagoenean, eragina duten indarrak:

s sp A A y g= ρ (6.1)

∆p gainpresioa gertatzen denean, egoera ezegonkorrean:

2

22 s s

s s

d(y y) d (y y)(p p)A - A g(y y) - RA AL

dt dt+ ∆ + ∆+ ∆ ρ + ∆ = ρ (6.2)

non sd(y y)RA

dt+ ∆

marruskadura-indarra baita, likidoak duen abiadurarekiko proportzionala.

6.2 eta 6.1 ekuazioen kenketa eginez:

2

22

d y d ypA - A g y - RA AL

dt dt∆ ∆∆ ρ ∆ = ρ (6.3)


73

Desbideratze-aldagaien menpean adieraziz gero:

2

22

d y d ypA - A g y - RA AL

dt dt∆ ∆∆ ρ ∆ = ρ (6.4)

Eta desbideratze-aldagaiak birdefinituz

Y= ∆y P=∆p

2

22

dY d YPA - A gY -RA AL

dt dtρ = ρ (6.5)

Berrantolaturik:

2

22 2 2

L d Y R dY PY

g dt g dt g+ + =

ρ ρ (6.6)

Hitzarmenez, 2. ordenako ekuazioak honela adierazten dira:

22

22

d Y dYY X(t)

dt dtτ + ξτ + = (6.7)

Edo baita:

2

2 2

1 2

n n

d Y dYY X(t)

dt dtξ+ + =

ω ω (6.8)

τ : denbora konstantea (denbora-unitateak)

ξ : indargetze-faktorea (adimentsionala)

nω : frekuentzia naturala

Horrela, manometroaren kasurako:

2

2

n

1 L

2gτ = =

ω edo

n

1 L

2gτ = =

ω (6.9)

22

2n

Rg

ξξτ = =ω ρ

edo 2

4

R gg L

ξ =ρ

(6.10)

2

P(t)X(t)

g=

ρ (6.11)


74

Laplace transformatua kalkulatuz transferentzia-funtzio hau lortzen da:

2 2

1

2 1

Y(s)X(s) s s

=τ + ξτ +

(6.12)

Oro har:

2 2 2 1

Y(s) KX(s) s s

=τ + ξτ +

(6.13)

Ondorio nagusi hauek atera daitezke:

Bigarren mailako sistemen erantzun dinamikoa bi parametroren bidez definitzen da:

τ: denbora konstantea (denbora unitateak) erabiliz

ξ: moteltze-faktorea (adimentsionala) erabiliz

Definizioz, τ eta ξ positiboak dira beti.

6.1 Maila-aldaketa motako perturbazio baten aurreko erantzuna

Demagun transferentzia-funtzio hau duen sarrera bat dugula (presio-aldaketa unitarioa bat-batean

gertatzen bada; hau da, maila-aldaketa moduan):

1X(s)

s= (6.14)

6.13 eta 6.14 ekuazioak konbinatuz eta izendatzaile koadratikoa faktorizatuz:

2 2

1

2 1

KY(s)

s s s=

τ + ξτ + (6.15)

2

1

1-s -

ξξ= +τ τ

(6.16)

2

2

1-s - -

ξξ=τ τ

(6.17)


75

Horrela, 6.13 ekuazioa honela idatz daiteke: 2

1 2

K /Y(s)

s(s - s )(s - s )τ= (6.18)

non s1 eta s2 erro erreal edo konplexuak izan baitaitezke, ξ-ren arabera.

2

1 2

K /Y(s)

s(s - s )(s - s )τ=

2

1

1-s -

ξξ= +τ τ

2

2

1-s - -

ξξ=τ τ

Hiru kasu bereiz daitezke.

a) ξ<1

s1 eta s2 erro konplexu konjugatuak dira. Alde erreal negatiboarekin.

22 1

2

111 1

1

t- - -t

Y(t) K - e sen - tan-

ξτ

ξ = ξ + τ ξξ

(6.19)

b) ξ=1

s1 eta s2 errealak, negatiboak eta berdinak.

1 1t

-tY(t) K - e τ

= + τ (6.20)

c) ξ>1

s1 eta s2 errealak, negatiboak eta ezberdinak.

2 2

21 1 1

1

t- t t

Y(t) K - e cosh - senh --

ξτ

ξ = ξ + ξ τ τξ

(6.21)

Funtzio hiperborikoak honela definituz:

senh a = 2

a -ae - e eta cosh a =

2

a -ae e+


76

6.2 irudia. 2. mailako sistema bateko Y(t)/K erantzuna hainbat ξ baliotarako.

ξ<1, indargetze urriko sistema (oszilakorra)

ξ=1 kritikoki indargetua (ez-oszilakorra)

ξ>1 sistema indargetua, ξ altuagoa → indargetuagoa → geldoagoa

ξ=1-etik ξ>1-era pasatzean, erantzun dinamikoa interakzioa geneukanean lortutakoaren antzekoa

da.

( )2

11-τ = ξ + ξ τ (6.22)

( )2

21- -τ = ξ ξ τ (6.23)


77

Periodoa,T

Erantzunarenoszilazio-limiteak

EzarpendenboraIgoera denbora

Periodoa,T

Erantzunarenoszilazio-limiteak

EzarpendenboraIgoera denbora

6.3 irudia. Indargetze urriko 2. mailako sistema baten denboraren eremuko erantzuna.

Kuantitatiboki, propietate hauen bitartez deskriba daiteke erantzuna.

- Gaindikina ( sobrepasaje ): maila-aldaketa baten aurreko erantzunak azken balioa zer

portzentajetan gainditzen duen. Irudiko A/B erlazioari dagokio. (Kontuz, ez nahasi B/A anplitude-

erlazioarekin). Matematikoki (ξ-ren menpekoa):

21

A -exp

B -

πξ= ξ

(6.24)

ξ murriztu → gaindikina handitu

- Lehen maximorako denbora: lehen maximoa gertatzen den denbora.

21maxt

-

πτ=ξ

- Gainbeherapen-erlazioa ( relación de decaimiento, decay ratio ): elkarren segidako

maximoek duten altuera-erlazioa; irudiko C/A erlazioa.

Matematikoki (ξ−ren menpekoa):

2 2

21

C -exp gaindikina

A -

πξ = =

ξ

(6.25)

ξ murriztu → gainbeherapen-erlazioa handitu.


78

- Igoera-denbora ( tiempo de subida ). Erantzunak lehen aldiz bere azken balio hartzeko

beharrezkoa den denbora. tr irudian, 2

2

1

1r

-t - arctag

-

ξτ = π

ξξ

.

ξ murriztu → tr murriztu.

- Ezarpen-denbora ( tiempo de establecimiento ). Erantzunak azken balioaren % ±5 bitartean

irauteko denbora, 2%; » 4 5%; » 3

± ±

s st eta t

τ τξ ξ .

- Oszilazio-periodoa. 6.19 ekuazioan t biderkatzen duen terminoa. T oszilazioaren periodoa da,

6.3 irudian maximoen arteko denbora.

21 -w ,rad / denb

ξ=

τ (6.26)

2

22

1

π τ= = πω − ξ

T ,denb / ziklo (6.27)

ξ murriztuz (ξ <1) → T murriztu

- Oszilazio-periodo naturala . ξ = 0 denean. Oszilazio iraunkorra. Frekuentzia naturala (ωn= 1/τ)

rad/denbora gisa definitzen da. fn frekuentzia naturala da, ziklo/denbora.

1

2 2

nnf ,ziklo / denbora

ω= =π πτ

(6.28)

Beraz, τ indargetugabeko sistema baten periodoarekin lotuta dago.

Oro har:

ξ-k sistemaren indargetze- edo oszilazio-maila ematen du.

τ-k periodo edo erantzunaren azkartasunaren ideia ematen du.


79

6.2 “Sistemaren identifikazioa”

Maila-aldaketa motako perturbazio bat erabil daiteke sistemaren ezaugarriak (ordena,

parametro karakteristikoen balioa,...) ezagutzeko.

2. mailako sistema baten kasuan:

Irabazkinaren (K-ren) azken balioaren eta maila-aldaketaren anplitudearen arteko zatiketa.

ξ eta τ erantzunak indargetze urrikoak edo nahikoa indargetuak diren kontuan izanda:

i) Indargetze urrikoa bada, ξ gaindikinaren balioaren bidez kalkula daiteke:

21

A -exp

B -

πξ= ξ

Gero, τ denbora konstantea kalkula daiteke, periodoa esperimentalki neurtuta:

2

22

1T ,denb / ziklo

-

π τ= = πω ξ


80

ii) Nahikoa indargetua bada (ez dago maximorik):

Bi dira kalkulatu beharreko denbora konstanteak; hainbat metodo daude.

1 21 1

Y(s) KX(s) ( s )( s )

=τ + τ +

(6.29)

.

Era

ntzu

nfr

akzi

onal

aE

rant

zun

frak

zion

ala

6.4 irudia. 2. mailako sistema baten erantzun frakzionala vs

21

t

τ+τ.

Y(t)/K vs 1 2

tτ + τ

irudikatuz, 6.4 irudia lortzen da (2. mailako sistema batentzat). Hortik,

erantzunaren % 73 zer denboratarako (t73) ematen den behin jakinda (esperimentalki neurtuta),

1 2

tτ + τ

kalkulatzen da. Gero, 6.30 ekuazioaren bidez 1 2τ + τ kalkula daiteke.

73%1 2

1.32+ = tτ τ (6.30)


81

Bestalde, 6.5 irudian, Y(t)/K vs 21

2

τ+ττ

irudikatzen da, t1= 0,5(τ1+τ2) egiaztatzen denerako. Hortik

aurrera, behin 1 2τ + τ kalkulaturik (6.30 ekuazioa), t1-erako erantzun frakzionala zein den behatu

(esperimentalki), eta 6.5 irudiaren bidez 21

2

τ+ττ

kalkula daiteke eta, ondoren, 2τ .

6.5 irudia. 2. mailako sistema baten erantzun frakzionala 1 2

0 5t

,=τ + τ

egiaztatzen denerako vs 21

2

τ+ττ

.


82

6.3 Bulkada baten aurreko erantzuna

δ(t) bulkada bat 2. mailako sistema bati aplikatuz gero:

2 2 2 1

KY(s)

s s=

τ + ξτ + (6.31)

Erantzuna izendatzailearen erroen araberako izango da. Hiru kasu gerta daitezke:

1.- ξ<1

Erroak konplexu konjugatuak dira, eta 6.31 ekuazioaren alderantzizkoa hau da:

2

2

11

1

t- t

Y(t) K e sen --

ξτ

= ξ τ τ ξ (6.32)

2.- ξ=1

Bi erroak errealak eta berdinak dira. 6.31 ekuazioaren alderantzizkoa hau da:

2

1t

-Y(t) K te τ

= τ

(6.33)

3.- ξ>1

2

2

1 11

1

t- t

Y(t) K e senh --

ξτ

= ξ τ τ ξ (6.34)


83

6.6 irudia. 2. mailako sistema baten erantzun frakzionala bulkada baten aurrean.

Ezaugarri nagusiak:

- Malda jatorrian 1,0 da, edozein dela ξ-ren balioa.

- Maila-aldaketarentzat ikusitako erantzunaren antzekoa kualitatiboki. Baina erantzuna hasierako

baliora itzultzen da.


84

6.4 Erantzun frekuentziala

Erantzunaren transferentzia-funtzioa:

( ) ( )2 2 2 22 1

K AY(s)

s s s

ω=τ + ξτ + + ω

(6.35)

Erantzuna, hainbat Y(t), batugaiz osatuta egongo da. t→∞ doanean, batzuk zerorantz doaz, eta

Y(t) honela adieraz daiteke:

( )2 221 2

KAY(t) sen( t )

- ( )= ω + φ

ωτ + ξωτ

(6.36)

Hor:

1

2

2

1

-- tan- ( )

ξωτφ = ωτ (6.37)

Irteerako eta sarrerako uhinen anplitude-erlazioa:

( )2 221 2

B KA - ( )

= ωτ + ξωτ

(6.38)

Erlazio hori K baino handiago/txikiago izan daiteke, ξ-ren eta ωτ-ren arabera.

Gogoratu, lehen mailako sistemetan erlazio hori beti K baino txikiago dela.

Irteera beti egongo da atzeratua. Frekuentzia handituz, fase-atzerapena asintotikoki -180º-rantz

(1. mailakoetan -90º-rantz) doa.


85

6.5 Sistema linealen erantzun frekuentziala. Metodo orokorra

Orain arte erantzun frekuentziala aztertzeko, ( )2 2

AX(s)

s

ω=+ ω

sarrera bat transferentzia-funtzioan

ordeztu, eta Y(s)-ren alderantzizkoa kalkulatzen genuen. Metodo hau luzea izateaz gain erraz

okertu gaitezke.

Demagun transferentzia-funtzio hau dugula:

Y(s) Q(s)G(s)

X(s) P(s)= = (6.39)

Hor, Q(s) eta P(s) m eta n mailako polinomioak dira, hurrenez hurren, eta m<n.

Hauek frogatu daitezke:

1. Sarrera oszilakor batekiko irteera oszilakorra da.

2. Anplitude-erlazioa frekuentziaren menpekoa da, eta G(s)-ren moduluari dagokio, s = iω

ordeztuz gero.

3. Atzerapen-fasea (φ) G(s)-ren argumentuari dagokio, s = iω ordeztuz gero.

Froga:

Sarrera sinusoidal batentzat X(t) = A sen(ωt) egiaztatzen da, non hau betetzen baita:

( )2 2

AX(s)

s

ω=+ ω

2 2

AY(s) G(s)

sω=

+ ω (6.40)

Frakzio partzialetan hedaturik, hau lortzen da:

( )( )2 2

A AY(s) G(s) G(s)

s s i s - iω ω= = =

+ ω + ω ω

1 2

1 2

n

n

C C C a b...

s - p s - p s - p s i s - i

= + + + + + + ω ω

(6.41)

non p1, p2,..., pn G(s)-ren poloak baitira.


86

Hau da, t→∞ doanean, batugai horiek zerorantz doaz. Hortaz, azken emaitza:

i t i t

tY(t) ae be− ω ω

→∞= + (6.42)

6.41 ekuazioaren bidez a eta b parametroak kalkula daitezke:

2

AG(-i )a

- iω= eta

2

AG(i )b

iω=

Hortaz:

2 2

-i t i t

t

AG(-i ) AG(i )Y(t) - e e

i iω ω

→∞

ω ω= + (6.43)

G(-iω) eta G(iω) zenbaki konplexuak era polarrean adieraz daitezke:

G(-iω) = |G(-iω)| φ−ie = |G(iω)| φ−ie (6.44)

G(iω) = |G(iω)| φie (6.45)

non φ = G(iω)-ren argumentua baita. 6.44 eta 6.45 ekuazioak 6.43 ekuazioan ordeztuz:

2 2

-i( t ) i( t )

t

A G(i ) A G(i )Y(t) - e e

i iω +φ ω +φ

→∞

ω ω= + =

i2

ee)i(GA

)t(i)t(i φ+ω−φ+ω −ω=

(6.46)

tY(t)

→∞A G(i ) sen( t )= ω ω + φ (6.47)

Horrela, 6.47 ekuazioak aurreko orrialdeko hiru arau orokorrak egiaztatzen ditu.


87

Metodo orokorra 2. mailako sistema bati aplikatuz:

2 2 2 1

Y(s) KX(s) s s

=τ + ξτ +

s= iω ordeztuz:

( )2 2 2 2 2 22 1 2 1 1 2

K K KG(i )

(i ) (i ) - i - iω = = =

τ ω + ξτ ω + τ ω + ξτω + τ ω + ξτω (6.48)

Konjugatuarekin biderkatuz eta zatituz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 22 2 22 2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

K( - - i) K( - ) -KG(i ) i

- - -

τ ω ξτω τ ω ξτω ω = = + τ ω + ξτω τ ω + ξτω τ ω + ξτω

(6.49)

6.49 ekuazioaren modulua anplitude-erlazioa izango da; hau da, B/A = 22 ImRe + :

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 22 22 2 2 2

1 2

1 2 1 2

B K( ) KA

− τ ω − ξτω = + = − τ ω + ξτω − τ ω + ξτω

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 222 2 2 2 2

2 2 22 2 222 2

1 21 2

1 21 2

KK ( ) K − τ ω + ξτω− τ ω + ξτω= = =

− τ ω + ξτω− τ ω + ξτω

( ) ( )2 22 21 2

K

-=

τ ω + ξτω (6.50)

Eta fase-atzerapena da 6.49 ekuazioaren argumentua; hau da, 1- Imtan

Reφ =

:

1 1

2 2 2 2

2 2

1 1

- --tan - tan

- -ξτω ξτω φ = = τ ω τ ω

(6.51)

Anplitude-erlazioarentzat eta fase-atzerapenarentzat aurreko atalean lortu genituen adierazpen

berberak (6.37 eta 6.38) deribatu dira metodo orokorra erabiliz!


88

6.6 Bode-ren diagrama

ξ-ren hainbat baliotarako, 2. mailako sistema baten erantzun frekuentziala.

A)

B)

A)

B)

A)

B)

6.7 irudia. Bode-ren diagrama. A) Log(B/A/K) vs log(ωτ). B) φ vs Log(ωτ).

Ohartu:

− Bi asintota bereiz daitezke Bode-ren diagraman.

− ω → 0, log(B/A/K) → 0 edo (B/A/K) → 1. Frekuentzia baxuko asintota.

− ω → ∞, log(B/A/K) → -2log(ωτ). Frekuentzia altuko asintota. Haren malda= –2 da; eta B/A/K=1,

ωτ=1 puntutik pasatzen da.

− B/A/K>1 izan daiteke (erresonantzia). Boderen diagramak maximo bat dauka. Erresonantzia, ξ

< 10 707

2,= denean gertatzen da (6.50 ω-rekiko deribatuz). Erresonantzia-frekuentzia (ωr):

211 2-rω ξ

τ= (6.52)

− ξ=0 egiaztatzen denean, maximoa infiniturantz doa. Erresonantzia-frekuentzia= frekuentzia naturala (ωn = 1/τ).


89

6.7 Nyquist-en diagrama

Erantzun frekuentziala adierazteko beste metodo bat da.

Ordenatua: Im[G(iω)]

Absiza: Re[G(iω)]

Ohartu:

1.ω = 0, B/A/K = 1 eta φ = 0 (Hasiera)

2. ω → ∞, B/A/K → 0 y φ → -180º

(Bukaera)

ξ ≥ 1 bada, B/A/K ≤ 1 da. Nyquist-en diagrama beti zirkunferentzia unitarioaren barruan dago (ez dago erresonantziarik). ξ < 1 bada , B/A/K > 1 da ω tarte batean. Tarte horretan Nyquist-en diagrama zirkunferentzia unitariotik kanpo dago.

6.8 irudia. Nyquist-en diagrama 2. mailako sistema batentzat eta ξ-ren hainbat baliotarako.


90

7 GAIA: DENBORA HILA

Denbora hila: prozesu batean “benetan” zerbait aldatzen hasi denetik behatzaile edo neurgailu

batek sumatu arte pasatzen den denbora.

Jarioa dagoen sistemetan agertzen da. Arrazoiak:

Nahasketa ez-perfektua

Neurketa-sentsoreak duen denbora hila

Hodierietatiko fluxua

Hortaz, prozesu kimiko gehienetan agertuko da denbora hila.

Haren transferentzia-funtzioa:

d-stY(s)e

X(s)= (7.1)

Ondorioak:

Kontrola gaizkitzen da.

Ekidin egin behar da, prozesu-elementuak elkarrengandik hurbil kokatuz

7.1 Perturbazioekiko erantzuna

7.1.1 Maila-aldaketa:

AX(s) =

s (7.2)

Eta erantzuna:

dstAY(s) e

s−= (7.3)

Y(t) kalkulatuz:

Y = 0 0 < t < td

Y = A t > td

Erantzuna sarreraren berdina da, baina td denbora-unitate atzeratua.


91

7.1.2 Erantzun frekuentziala

s= iω ordeztuz transferentzia-funtzioan:

d-i tG(i ) e ωω = (7.4)

Euler-en berdinketa aplikatuz:

d dG(i ) cos t - i sen tω = ω ω (7.5)

Hortaz:

2 2 2 2 1d d

BRe Im cos t sen t

A= + = ω + ω = (7.6)

1 1- - dd

d

-sen tImtan tan - t

Re cos t

ωφ = = = ω ω (7.7)

Ondorioa:

Ez du anplitudea aldatzen, edozein dela ϖ.

Erantzuna ωtd radian atzeratzen du.

Bode-ren diagrama:

Lerro zuzena B/A/K=1 delako.

Fase-atzerapena -∞-rantz.


92

7.1.3 Prozesu baten elementuak

Hainbat elementu: 1. maila, 2. maila, denbora hilak,...

Sarritan ekuazio enpirikoak erabiltzea komenigarria da.

Demagun transferentzia-funtzioa hau dugula, 3. mailako sistema, denbora hila duena:

2 2

1 21 2 1

d-stpK eY(s)

X(s) ( s )( s s )=

τ + τ + ξτ + (7.8)

- Esperimentalki: Kp, td, τ1, τ2, ξ. → Eredu enpirikoa

- Sarritan ez da beharrezkoa hainbeste parametro erabiltzea, eta nahikoa da sistema

transferentzia-funtzio sinpleago batera hurbiltzea, 1. maila eta denbora hila itxurakoa.

Ohartu:

Orain arte ikusitako parametroak ez dira beti konstante. Operazio-baldintzekin alda daitezke.

Horregatik, eredu sendoen beharra dago.

Padé-ren hurbilketa:

d

d

-t s

d

t1- s

2et

1 s2

≈+

(7.9)


93

8 GAIA: SEINALEEN NEURKETA ETA TRANSMISIOA

8.1 Osagai nagusiak

Edozein dela kontrol-sistemaren konfigurazioa, lau dira osagai nagusiak:

- sentsoreak

- transmisorea (igorle) edo transduktoreak

- kontroladoreak

- eragileak

8.2 Neurketaren ezaugarriak

Heina (lan-tartea): aldagaia neurtua izan daitekeen eremu osoa.

Doitasuna: lagin beraren hainbat neurketaren arteko hurbiltasuna.

Zehaztasuna: neurketaren benetako balioarekiko hurbiltasuna.

Sentikortasuna: tresnaren seinalea neurtutako aldagaiaren aldaketa unitateko.

Linealtasuna.

Desbideratzea: tresnak denboran zehar jasandako aldaketa.

Detekzio-muga (tresnarena eta metodoarena).

Kuantifikazio-muga.

8.3 Neurgailuen sailkapena

Eskuarki, neurtzen duten magnitudearen arabera sailkatzen dira (emari-, presio-, konposizio-

neurgailuak, eta abar).

Beste sailkapen batzuk ere egin daitezke:

8.3.1 Monitorizazioa/kontrola

Neurtu / Neurtu+bidali

Adibidea: U manometroa / termoparea + igorlea.

8.3.2 Aktiboa/pasiboa

Kanpoko energia-iturria / Prozesuko energia

Adibidea: pHmetroa, konduktimetroa, termoparea / merkurio-termometroa, pitot hodia, diafragma.

8.3.3 Konparaziozkoak/desplazamenduzkoak

Adibidea: konduktimetroa, potentziometroa/dinamometroa, errotametroa.

8.3.4 Analogikoak/digitalak

Neurketa jarraitua / neurketa-balio finituak


94

8.4 Transmisioa

Kontrol Sistema, prozesutik hainbat metrotara egon daiteke.

Pneumatikoa (3-15 psig)

Segurtasuna

Eragilea pneumatikoak merkeagoak

Elektrikoa (4-20 mA)

Transmisio luzeagoak

Azkarragoa

Transmisio-lerroak merkeagoak

Voltajea edo intentsitatea (eskuarki intentsitatea)

8.5 Kalibrazioa

Aldagaiaren eta tresnak emandako seinalearen arteko erlazioa ezagutu behar izaten da.


95

8.6 Diagramak

8.1 taula. P&Iko (process and instrumentation) sinboloak.

Tresnaren kokapena

Lantegian bertan kokatutako tresna

Kontrol-gelako panelaren aurrealdean kokatutako tresna

Kontrol-gelako panelaren atzealdean kokatutako tresna

Identifikazio-letren esanahia

Lehen letra (X) Bigarren edo hirugarren letra (Y)

A Analisia Alarma

B Erregailu baten garra

C Eroankortasuna Kontrola

D Dentsitate edo grabitate espezifikoa

E Voltajea Elementua

F Emaria

H Eskuzkoa (eskuz eragindakoa) Altua

I Korrontea Adierazpena (indicación)

J Potentzia

K Denbora edo programatutako denbora Kontrolgunea

L Maila Iluminazioa edo baxua

M Hezetasuna Ertaina

O Zuloa

P Presioa edo hutsa Gunea

Q Kantitatea edo gertakizuna

R Erradioaktibitatea edo kozientea Erregistradorea

S Abiadura edo frekuentzia Etengailua (interruptor)

T Tenperatura Transmisorea (igorle)

V Biskositatea Balbula edo motelgailua

W Pisua Pultsua

Y Errele edo kalkulua

Z Posizioa Bultzatzeko ponpa

Tresna arteko konexioen identifikazioa

Kapilarra, hodieria

Pneumatikoa

Elektrikoa

Tresnaren kokapena

Lantegian bertan kokatutako tresna

Kontrol-gelako panelaren aurrealdean kokatutako tresna

Kontrol-gelako panelaren atzealdean kokatutako tresna

Identifikazio-letren esanahia

Lehen letra (X) Bigarren edo hirugarren letra (Y)

A Analisia Alarma

B Erregailu baten garra

C Eroankortasuna Kontrola

D Dentsitate edo grabitate espezifikoa

E Voltajea Elementua

F Emaria

H Eskuzkoa (eskuz eragindakoa) Altua

I Korrontea Adierazpena (indicación)

J Potentzia

K Denbora edo programatutako denbora Kontrolgunea

L Maila Iluminazioa edo baxua

M Hezetasuna Ertaina

O Zuloa

P Presioa edo hutsa Gunea

Q Kantitatea edo gertakizuna

R Erradioaktibitatea edo kozientea Erregistradorea

S Abiadura edo frekuentzia Etengailua (interruptor)

T Tenperatura Transmisorea (igorle)

V Biskositatea Balbula edo motelgailua

W Pisua Pultsua

Y Errele edo kalkulua

Z Posizioa Bultzatzeko ponpa

Tresna arteko konexioen identifikazioa

Kapilarra, hodieria

Pneumatikoa

Elektrikoa

XYZXYZXYZ

Adibideak. TC: tenp.-kontroladorea; TRC: tenp.-kontroladore eta -erregistradorea; TI: tenp.-adierazlea; TE: tenp.-elementua (termometroa); TT: tenp.-transmisorea (termoparea).


96

8.1 irudia. Eragile batzuen sinboloa.


97

8.2 irudia. Neurgailu batzuen sinboloa.


98

8.3 irudia. Kontrol-begizta sinple batzuk.


99

Ben

tzen

oa

Tol

ueno

a

Ben

tzen

oa

Tol

ueno

a

8.4 irudia. Destilazio-zutabe baten fluxu-diagrama.


100

9 GAIA: AZKEN KONTROL-ELEMENTUA

Kontroladoreak igorritako seinalearen arabera (eskuarki, 4-20 mA; 3-15 psia) aldagai manipulatua

aldatzen da.

Kontroladorea Transmisio-lerroa Transduktorea Eragilea Azken kontrol-elementuaKontroladorea Transmisio-lerroa Transduktorea Eragilea Azken kontrol-elementua

9.1 irudia. Kontroladorea eta azken kontrol-elementua.

Transduktorea: energia eraldatzeko elementua da. Izatez, neurgailu eta eragile guztiak dira

transduktore.

Adibidez: solenoidea, termoparea, bozgorailua.

Eragileak: balbularen kasuan, ireki edo itxi egiten duen motorra.

Azken kontrol-elementua: balbula gehienetan.

Argi-izpia

Galletak

Uhalgarraiatzailea

Motorra

KontroladoreaKorrontebihurtzailea

Labea

SentsoreaTransduktorea

Kontsigna-puntua

Argi-izpia

Galletak

Uhalgarraiatzailea

Motorra

KontroladoreaKorrontebihurtzailea

Labea

SentsoreaTransduktorea

Kontsigna-puntua

9.2 irudia. Galletak egiteko prozesua.


101

9.1 Eragileak

9.1.1 Eragile elektrikoak

- Solenoideak

Elektrizitatea higidura mekaniko bihurtzen dute, eskuarki higidura zuzena.

- Motor elektrikoak

Elektrizitatea biratze-higidura bihurtzen dute. Biratze-abiadurak eragina du aldagai kontrolatuan.

9.1.2 Eragile pneumatikoak (seinalea, 3-15 psig)

Indar handiak egiteko erabiltzen dira. Pascal-en printzipioa: P=F/A, A azalera bikoiztuz, indarra

bikoizten da (balbuletan oso erabilia).

9.1.3 Eragile hidraulikoa

Indar oso handiak behar direnean (prentsa hidraulikoa).

9.2 Azken kontrol-elementua

9.2.1 Mekanikoa

Kontrolerako azken elementua mekanikoa da, uhal garraiatzailea. Eragilea kasu horretan motor

elektrikoa da. (Halako beste bikote bat, balbula/zurtoina).

Eragilea

Balbula

Uhal garraiatzailea

Kontroladorea

Kontsigna-puntua

Emari-neurgailua

Ale-siloa

Eragilea

Balbula

Uhal garraiatzailea

Kontroladorea

Kontsigna-puntua

Emari-neurgailua

Ale-siloa

9.3 irudia. Azken kontrol-elementua.60

9.2.2 Elektrikoa

Adibideak: erresistentzia-berogailua, eta abar.


102

9.2.3 Kontrol-balbula (erabilienak)

Kontrolerako azken elementuaren / eragile bikoteen adibideak:

Balbula/solenoidea

Uhal garraiatzaile / motor elektrikoa

Konporta / eragile hidraulikoa

Erresistentzia-berogailua / etengailua

9.3 Kontrol balbula

- Eragile pneumatiko (zilindroa) edo elektrikoa (motorra) dituzten balbulak.

- Eskuarki, pneumatikoa. Air to open edo air to close segurtasunaren arabera.

- Materiala, erabileraren arabera (korrosiboa, pH,...).

9.4 irudia. Eragintza pneumatikodun balbula, air to open.


103

- Diseinu-ekuazioa:

Balbularen posizioa (x) emariarekin (q-rekin) erlazionatzen du.

fx): emari-ezaugarria (enboloaren itxurarekiko)

x: zurtoinaren posizioa

Cv: balbularen koefiziente karakteristikoa

pq C f(x)

vs

∆=ρ

(9.1)

9.5 irudia. Hainbat emari-ezaugarri, f(x).

9.3.1 Dimentsionatzea

Kontrolaren ikuspuntutik, karga-galera maximoa komeni da, eraginkorragoa izateko.

Ekonomikoki karga-galera minimoa, ponpaketaren kostua murrizteko.

Konpromisoa: hf,balb=hf,instalazio/3-4


104

Adibidea:

Demagun bero-trukagailu batetik jario bat pasatzen dela. Erabiliko den emari-lan tartean 40 psia-

ko presio konstantea ematen duen ponpa bat instalatu da. Bestalde, emaria erregulatzeko balbula

bat instalatu behar da. Aukeratu balbularen Cv balioa honako kasu hauetarako:

a) Balbula lineala erdi irekirik egotea nahi da (x=0,5) emari nominalean (qo-n).

b) Portzentaje berdineko balbula (R=50). Guztiz irekita dagoenean, emaria qo-ren % 110 izatea

nahi bada.

Datuak: bero-trukagailuak sortzen duen karga-galera 30 psia-koa da 200 gal/min-ko emari baterako. Jo

dezagun karga-galera q2-rekiko proportzionala dela.

Ohartu:

f(X) ezaugarri lineala duen balbula batek behin instalatuta erantzun ez-lineala ematen du!

Q LORTZEKO, balbularen irekierak x=0,5 izan behar du.

Q/2 LORTZEKO, balbularen irekierak x=0,5/3.6=0,14 izan behar du.

Q/4 LORTZEKO, balbularen irekierak x=0,5/8.3=0,06 izan behar du.

Irekiera edo posizioa (x) vs emaria (q) erlazio linealena portzentaje berdineko balbula batek

emango luke.

9.3.2 Kontrol-balbulen diseinurako:

1. Ponparen kurba bereizgarria lerro zuzena bada eta instalazioaren karga-galera txikia bada

ere, emari-ezaugarri lineala duen balbula aukeratuko da.

2. Bestela, portzentaje berdineko balbula aukeratu.


105

10 GAIA: ATZERAELIKADURAZKO KONTROL-SISTEMAK ETA KO NTROL-

AKZIOAK

Kontroladorea Eragilea Prozesua

Neurgailua

ysp

e c m

ym

y

+

_

Perturbazioa

d


Neurgailua

ysp

e c m

ym

y

+

_

Perturbazioa

d

10.1 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta baten bloke-diagrama.

Kontrol-begizta itxiaren osagaiak:

1. Neurgailua

2. Konparadorea

3. Kontroladorea

4. Azken kontrol-elementua, eragilea

5. Prozesua

Ohartu:

Gehienetan, neurgailua oso azkarra da prozesuarekiko (kromatografoak, aldiz, denbora hila

eragiten du).


106

Sentsore-transmisorea

Adibidez: termopare-transmisorea; neurketa-tartea: 50-250 ºC.

Elektrikoa (4-20 mA)

Kst=20 4

0 08250 50

-, mA/ºC

-=

Pneumatikoa (3-15 psia)

Kst=15 3

0 06250 50

, psia/ºC− = −

Balbulak

Gogoratu ekuazio karakteristikoa: vs

px f( ), q C f(x)

∆= ε =ρ

.

Transmisio-lerroak

Elektrikoak edo pneumatikoak direnean, baztertu daitezke, oso azkarrak direlako.

Pneumatikoak, oso luzeak badira, lehen mailako dinamika batera hurbiltzen dira.

Kontroladoreak

Ez-jarraitua

Bi posiziokoa

Posizio anitzekoa

10.2 irudia. Bi posizioko kontroladore baten portaera.

Jarraitua

Hainbat kontrol-akzio erabiltzen dituzte. Errorea eta kontrol-seinalearen arteko erlazio

motari deritzo kontrol-akzio.

Proportzionala

Integrala

Deribatua


107

10.1 Kontrol proportzionala

c sc(t) K (t) c= ε + (10.1)

c

C(t)K

(t)=ε

(10.2)

- Kc-rekiko sentikortasuna.

- Kontrol-akzio ZUZENA (aldagai kontrolatua (Y) handituz gero, kontroladoreak kontrol-seinalea

(C) handitzen duenean, Kc<0 egiaztatu behar da. Kontrol-akzioa ALDERANTZIZKOA da, Y

handituz C murrizten denean, Kc>0 egiaztatu behar da).

- Errealitatean kontrol-seinalea ase egin daiteke.

- Banda proportzionala: erroreak izan behar duen aldaketa, kontrol-seinalea maximoa izan dadin

(Kc adimentsionala denean bakarrik).

100

c

BPK

= (10.3)

Kontrol proportzionalaren ezaugarriak:

- Offseta dauka. Ondorioz, langilearean zuzenketa behar izaten da, prozesua beste kontsigna-

puntu batera pasatu nahi izanez gero.

(10.4)

- Bode-ren diagrama (erantzun frekuentziala) lerro zuzen bat da; fase-angelua, 0º.


108

10.2 Akzio integrala

- Errorearen integralaren arabera aldatzen da kontrol-seinalea.

0

1t

sI

c(t) (t)dt c= ε +τ ∫

(10.5)

0

1t

I

C(t) (t)dt= ετ ∫

(10.6)

I

dC(t) (t)dt

ε=τ

(10.7)

I

(s)sC(s) =

τε

(10.8)

1c

I

C(s)G

(s) s= =

ε τ (10.9)

τI0 t

c(t)

A

A/ τI

τI0 t

c(t)

A

A/ τI

10.3 irudia. Errorean A maila-aldaketa bati kontrol-seinaleak emandako erantzuna. - Kontrol-ahalmen txikia; horregatik, konbinatuta erabiltzen da (PI). Hala, τI da behar den

denbora, akzio integralak akzio proportzionalaren aldaketa berdina eragin dezan kontrol-seinalean

(c).

- Erantzun frekuentziala: B/A=1

Iϖτ; fasea = -90º.


109

10.4 irudia. Bode-ren eta Nyquist-en diagramak 10.9 ekuazioarentzat.

10.3 Akzio deribatua

- Erroreari “aurrea hartzea” da helburua.

- Kontrol-seinalea errorearen aldaketa-abiadurarekiko proportzionala da.

D s

d (t)c(t) c

dtε= τ + (10.10)

D

d (t)C(t)

dtε= τ (10.11)

DC(s) s (s)= τ ε (10.12)

c D

C(s)G s

(s)= = τ

ε (10.13)

- KONTROL-BEGIZTA ITXIAri egonkortasuna ematen dio.

- Aldiz, prozesuaren zarata anplifikatu egiten du.

- Konbinatua nahitaez; adibidez, errorea konstantea bada, kontrol-seinalea zero da.


110

10.4 Kontrol proportzional eta integrala

- Transferentzia-funtzioa Kc-ren eta τI-ren araberakoa izango da.

0

tc

cI

KC(t) K (t) (t)dt= ε + ε

τ ∫ (10.14)

11c c

I

C(s)G K

(s) s

= = + ε τ

(10.15)

0

ε(t)

0 t

c(t)

Kc/ τI

t

0

1Kc

τI 10.5 irudia. PI kontroladoreak errorearen maila-aldaketa bati emandako erantzuna. - t= Iτ denean, akzio integralaren eragina, akzio proportzionalaren berdina da.

- Offseta eliminatzen du. Hori da abantaila bakarra!

- Kontrol-begizta itxiaren egonkortasuna murrizten du.

Yss

Uss

50.4

53.2

56.0

58.8

44.4

51.8

59.2

66.6

-0 48 96 144 192 240 288 336 384 432

Start End

Pro

cess

Var

iabl

eM

anip

ulat

ed V

aria

ble

Time

Kc=1,5 τI= 10 min Kc=1,5 τI= 5 min Kc=1,5 τI= 2,5 min

Ald

agai

man

ipul

atua

Irte

era-

alda

gaia

Denbora

Yss

Uss

50.4

53.2

56.0

58.8

44.4

51.8

59.2

66.6

-0 48 96 144 192 240 288 336 384 432

Start End

Pro

cess

Var

iabl

eM

anip

ulat

ed V

aria

ble

Time

Kc=1,5 τI= 10 min Kc=1,5 τI= 5 min Kc=1,5 τI= 2,5 min

Ald

agai

man

ipul

atua

Irte

era-

alda

gaia

Denbora 10.6 irudia. KB itxian kontsigna-puntuan maila-aldaketa batekiko aldagai kontrolatuaren erantzuna τI-ren hainbat baliotarako.


111

- Bode eta Nyquist. Erantzun frekuentziala (iragazkia)

11 c I c

cI I

K s KG(s) K

s s

τ += + = τ τ (10.16)

c I c

I

K wi KG(iw)

wiτ +=

τ (10.17)

2 2

2 2

I I

I I

c c c cc

K w K wi K KG(iw) K i

w w

τ − τ += = −

τ τ (10.18)

22

2

2 2

11

I I

cc c

KB K KA w w

= + = + τ τ

(10.19)

1I

I

c

c

Kw

arctag - arctag -K w

τ

φ = = τ

(10.20)

Magnitude-erlazioa

Fase-atzerapena

Magnitude-erlazioa

Fase-atzerapena

10.7 irudia. Bode-ren eta Nyquist-en diagramak PI kontroladore batentzat.


112

10.5 Kontrol proportzional deribatua

- Transferentzia-funtzioa Kc-ren eta Dτ -ren araberakoa izango da.

c c D

d (t)C(t) K (t) K

dtε= ε + τ (10.21)

[ ]1c c D

C(s)G K s

(s)= = + τ

ε (10.22)

Demagun errorea modu jarraituan aldatzen ari dela. Bi izan daitezke arrazoiak: lehen, kontsigna-

puntua modu jarraituan aldatzea (serbo-arazoa); bigarren, aldagai kontrolatua modu jarraituan

aldatzea (erregulazio-arazoa).

ε = ε =d (t)A; (t) At

dt (10.23)

2(s)

As

ε = (10.24)

Demagun arrapala moduan aldatzen dela errorea; orduan, kontrol-seinalea 10.25 ekuazioaren

arabera aldatuko da. 10.26 ekuazioak Laplace transformatua adierazten du.

c c D c c D

d (t)C(t) K (t) K K At K A

dtε= ε + τ = + τ (10.25)

[ ]2 2 21c c D c c D c D(s) (s) (s)

A A AC K K s K K s K s

s s s= ε + τ ε = + τ = + τ (10.26)

0

ε(t)

0 t

c(t)

malda KcA

t

0 cs

Kc τDA

PD kontrola

P kontrola

τD

cs

0

ε(t)

0 t

c(t)

malda KcA

t

0 cs

Kc τDA

PD kontrola

P kontrola

τD

cs

10.8 irudia. PD kontroladore baten erantzuna, ε(t) A maldadun arrapala funtzio bat denean.


113

- Akzio deribatua proportzionalarekiko aurreratu egiten da (10.8 irudia).

- t= Dτ egiaztatzen denean, kontrol-akzio proportzionalaren eragina (kontrol-seinalean)

deribatuarenaren berdina da.

- Offseta ez duenez eliminatzen, PD kontroladorea ez da oso erabilia.

- Erantzun frekuentziala aztertuz, neurgailuaren zarata anplifikatu egiten du akzio deribatuak.

Sarreraren (hau da, ε-ren) w altuetarako, B/A ALTUAK eragingo lituzke (hau da, C-ren balio

oso altuak).

[ ]1ω = + τc DG(i ) K wi (10.27)

2 2 2 2 2 21= + τ = + τC C D C D

BK K w K w

A (10.28)

( )φ = τDarctag w (10.29)

10.9 irudia. PD kontroladore batentzat Bode-ren diagrama.


114

10.6 Kontrol proportzionala akzio integral eta deri batuarekin

- Transferentzia-funtzioa Kc-ren, Iτ -ren eta Dτ -ren araberakoa izango da.

0

tc

c c DI

Kd (t)C(t) K (t) K (t)dt

dtε= ε + τ + ε

τ ∫ (10.30)

11c c D

I

C(s)G K s

(s) s

= = + τ + ε τ

(10.31)

- Erantzun frekuentziala (bi akzioen eragina w-ren menpean).

11

ω = + + τ τ c D

I

G(i ) K wiwi

(10.32)

11

= + − τ τ

C DI

BK w

A w (10.33)

1φ = − + τ τ D

I

arctag ww

(10.34)

10.10 irudia. PID kontroladore batentzat Bode-ren diagrama.


115

- Kontroladore komertzialen transferentzia-funtzioa.

PID kontroladore idealaren TFa ekuazio honen bidez adieraz daiteke:

11

= = + + τ ε τ c c D

I

C(s)G K s

(s) s (10.35)

PID kontroladore komertzialetan kontrol-akzioak seriean gertatzen dira (10.36).

111 1 1I

D D

I I

'' ' '

c c c' '

sC(s)G K s K s

(s) s s

τ + = = + + τ = + τ ε τ τ

(10.36)

Gainera, akzio deribatua moteldu egiten da (10.37), seinaleari iragazki bat ezarriz (α:0,05-0,2).

Azken horren helburua da zarataren anplifikazioa moteltzea.

1 1

1I D

I D

' ''

c c ' '

s sC(s)G K

(s) s s

τ + τ += =

ε τ ατ + (10.37)

Baliokidetasunak. PID idealaren (I DcK , ,τ τ ) eta PID komertzialaren (

I D

' ' 'cK , ,τ τ ) portaera berbera

lortzeko, bakoitzean ezarri behar diren parametroen arteko erlazioak hauek dira:

I D

I

I D

I D

I D

' ''

c c '

' 'I

' '

D ' '

K K τ + τ

= τ

τ = τ + τ

τ ττ =

τ + τ


116

11 GAIA: KONTROL-BEGIZTA ITXIKO TRANSFERENTZIA-FUNT ZIOA.

EGONKORTASUN KONTZEPTUA

Demagun kontrol-begizta itxi hau dugula:


Neurgailua

ysp

e c m

ym

y

+

_

Perturbazioa

d


Neurgailua

ysp

e c m

ym

y

+

_

Perturbazioa

d

11.1 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta itxi baten bloke-diagrama.

Begizta osatzen duten lau elementuentzat (kontroladorearentzat, azken kontrol-elementuarentzat,

prozesuarentzat eta neurgailuarentzat) transferentzia-funtzioak hauek izango lirateke (transmisio-

lerroen transferentzia-funtzioa baztertuz):

Prozesua p d(s) (s) (s) (s) (s)Y G m G d= + (11.1)

Neurgailua m m(s) (s) (s)Y G Y= (11.2)

Kontroladorea sp m(s) y (s) y (s)ε = − (11.3)

cc(s) G (s) (s)= ε (11.4)

Azken kontrol-elementua fm(s) G (s)c(s)= (11.5)

KONTROL-BEGIZTA itxian transferentzia-funtzioa (TF) hau izango da:

1 1

c f p dsp

c f p m c f p m

G G G GY(s) Y (s) d(s)

G G G G G G G G= +

+ + (11.6)


117

Froga:

f f c f c sp m

f c sp m

(s) (s)c(s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) Y (s)

(s) (s) (s) (s)Y(s)

m G G G G G Y

G G Y G

= −

−

= ε =

=

(11.7)

11.7 ekuazioa 11.1 ekuazioan ordeztuz hau lortzen da:

{ }p f c sp m(s) (s) (s) (s) (s) (s)Y(s)Y G G G Y G− = (11.8)

Eta Y(s) askatuz:

1 1

c f p dsp

c f p m c f p m


G G G G G G G G= +

+ + (11.6)

Atzeraelikadurazko kontrol-begizta batean bi izan daitezke kontrol-arazoak: serbo-arazoa eta

erregulazio-arazoa.

- Serbo-arazoa spY kontsigna-puntuaren aldaketa (d(s)=0 izanik)

- Erregulazio-arazoa Y aldagai kontrolatua Ysp-tik ahalik eta hurbilen mantentzea. Hau da, spY (s)=0 izanik, 0Y =

mantentzea.

- Kontrol-begizta itxiaren dinamikak elementu guztien (PROZESUA + neurgailua + kontroladorea

+ eragilea) dinamikaren eragina du. Perturbazioarenak ez.


118

11.1 Kontrol-akzio proportzionalaren eragina KONTRO L-BEGIZTA itxian

Demagun hau dugula: 1m fG (s) G (s)= = eta c cG (s) K=

1 1

p c dsp

p c p c

G K GY(s) Y d(s)

G K G K= +

+ + (11.9)

Lehen mailako dinamika duen prozesu batentzat:

1

pp

p

G (s)Ks

=τ +

eta 1

dd

p

KG (s)

sτ +=

KONTROL-BEGIZTA irekian:

11

p d

p p

KY(s) m(s) d(s)

s

Ks

+τ +

=τ +

(11.10)

KONTROL-BEGIZTA itxian:

1 1

p c dsp

p p c p p c

K K KY(s) Y (s) d(s)

s K K s K K= +

τ + + τ + + (11.11)

Berrantolaturik:

1 1

' 'p d

sp' 'p p

K KY(s) Y (s) d(s)

s s= +

τ + τ + (11.12)

Hor:

1

p'p

p cK K

ττ =

+,

1

p c'p

p c

K KK

K K=

+,

1

' dd

p c

KK

K K=

+

Hau da, KONTROL-BEGIZTA itxian erantzuna AZKARRAGOA da ( 'p pτ < τ ).


119

Serbo-arazoaren kasurako, sp

AY (s)

s=

Azken parametro horien arabera:

1'p '

p

tY(t) A K ( exp( )

= − − τ (11.13)

spoffset Y (s) Y(s)= − (11.14)

1 1 11 1

'

p c' 'p p'

p p c p cp

K Kt Aoffset A A K ( exp( ) A K A

K K K K

− = − − = − = − = τ + + (11.15)

Erregulazio-arazoaren kasurako;

0spY (s) = eta D

d(s)s

= maila-aldaketako perturbazio bat (A anplitudeduna)

spoffset Y (s) Y(s)= −

00

1 1

''d dd's

p p c

K K DDoffset lim s K D

s s K K→

= − = − = − τ + + (11.16)

Offseta kontrol proportzionalaren ezaugarri bat da. cK handituz, offseta murriztu egiten da.

Baina cK oso handia bada, KB ezegonkortu daiteke....


120

Bigarren mailako prozesu batentzat:

2 2 1

pp

p

G (s)K

s s=

τ + ξτ + (11.17)

Serbo-arazoa:

2 2 1

pp

p

Y (s) m(s)K

s s=

τ + ξτ + (11.18)

KONTROL-BEGIZTA irekian:

2 2 1

pp

p

Y (s) m(s)K

s s=

τ + ξτ + (11.18)

KONTROL-BEGIZTA itxian:

1

p cp sp

p c

G KY (s) Y

G K=

+ (11.19)

2 2 2 1p SP

'pY (s) Y

K( ') s ' 's

=τ + ξ τ + (11.20)

Hor, 1 p c

'K K

τ+

τ= , 1 p c

'K K

ξ+

ξ= eta 1

p c'p

p c

KK K

K K=

+

KB itxian, 2. mailako sistema izaten jarraitzen du; denbora konstantea eta indargetze-faktorea murriztu egiten dira.

Erantzun dinamikoari dagokionez, nahikoa indargetua (ξ >1) den 2. ordenako sistema bat,

oszilakorra ( ξ <1), izatera pasa daiteke.


121

Erantzun estatikoari dagokionez,

sp

AY (s)

s= bada,

1 p c

Aoffset

K K=

+

Yss

Uss

48.3

50.6

52.9

55.2

57.5

0.0

28.4

56.8

85.2

0 34 68 102 136 170 204 238 272 306

Start EndControl S ta tion: Gra phic Edit

Pro

cess

Var

iabl

eM

anip

ulat

ed V

aria

ble

Time

Kc= 0,5 Kc= 5 Kc= 25

Ald

agai

man

ipul

atua

Irte

era-

alda

gaia

Denbora

Yss

Uss

48.3

50.6

52.9

55.2

57.5

0.0

28.4

56.8

85.2

0 34 68 102 136 170 204 238 272 306

Start EndControl S ta tion: Gra phic Edit

Pro

cess

Var

iabl

eM

anip

ulat

ed V

aria

ble

Time

Kc= 0,5 Kc= 5 Kc= 25

Ald

agai

man

ipul

atua

Irte

era-

alda

gaia

Denbora 11.2 irudia. P kontroladorean irabazkinaren eragina serbo-arazoan 2. ordenako sistema batentzat. 11.2 Kontrol-akzio integralaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian

Aurreko prozedura berbera erabiliz:

1

c f psp

c f p m

G G GY(s) Y (s)

G G G G=

+ (11.21)

1. mailako prozesu batentzat:

1m fG (s) G (s)= = , 1

pp

p

G (s)Ks

=τ +

eta 1

c cI

G (s) Ks

=τ

1

11

1

1

τ=

+τ

τ +

τ +

pc

I psp

pc

I p

Ks

Y(s) Y (s)K

s

KsKs

(11.22)

( )2 2 1

'p

spY(s) Y (s)'

K

s ' 'sτ=

+ ξ τ + (11.23)

Hor, 1'pK = ,

I p

p c

'K K

τττ

= , I

p p c

'K K

ξ τ=τ

ysp


122

KB itxian erantzuna 2. mailakoa bihurtzen da; hau da, geldoagoa.

Hortaz, akzio integralak erantzunaren ordena handitzen du. Ordena handituz erantzuna moteldu

egiten da (ikus 5.5 irudia. ).

Itxura ξ -ren araberakoa da (offseta, aldiz, ez).

11.3 irudia. Irabazkina eta denbora integralaren eragina serbo-arazoan 2. ordenako sistema batentzat.

Erantzuna set-pointaren maila-aldaketa unitario batekiko (serbo-arazoa):

2 2

11

2 1Y (s)

s' s ' 's=

τ + ξ τ + (11.24)

[ ] 2 20 0 0

11

1 1

2 1 2 1s s s(s)Y(t ) lim s Y lim s lim

s' s 's ' s 's→ → →

→ ∞ ⋅ = = =

=

τ + ξτ + τ + ξτ + (11.25)

Hortaz:

1 1 0sp (t )offset Y Y → ∞= − = − =


123

11.3 Kontrol-akzio deribatuaren eragina KONTROL-BEG IZTA itxian

c c D

c(s)G K s

(s)= = τ

ε

1m fG (s) G (s)= =

- 1. mailako prozesu batean

1

1

1

pc D

psp

pc D

p

K s

Y(s) Y (s)K s

KsKs

τ=

+ τ

τ +

τ +

( ) ( )1 1

p c D p c Dsp sp

p p c D p p c D

K K s K K sY(s) Y (s) Y (s)

s K K s K K s

τ τ= =

τ + + τ τ + τ +

Akzio deribatuak ez du erantzunaren ordena aldatzen. Denbora konstantea handitzen da, eta

prozesua moteldu egiten da.

- 2. mailako prozesu batean Ez da erantzunaren abiadura aldatzen (denbora konstante berbera mantentzen da); indargetze-

faktorea handitu egiten da (oszilazioa murriztu), eta prozesua egonkortzen da.

11.4 Kontrol-akzio KONBINATUEN eragina KONTROL-BEGI ZTA itxian

PI-Proportzionala integrala

I ( Iτ ): ordena handitu eta offseta eliminatu. Igoera-denbora gutxitzen da, baina erantzuna

oszilakorragoa da.

P(Kc): igoera-denbora gutxitzen da, baina oszilakorragoa da.

PID-Proportzionala integral deribatua

Akzio deribatuak sistema egonkortzen du.

Kc handitu daiteke, sistema askorik ezegonkortu gabe. 11.5 Egonkortasunerako irizpideak

Begizta irekian prozesuak egonkorrak dira:

Eragile eta neurgailuen transferentzia-funtzioak (TF) kontuan hartuta:

Erantzuna ≅ 1. mailako proz. + denbora hila


124

Denbora hilik gabeko TFa dugunean

(bestela, Padé erabiliko da).

Kontrol-begizta ixtean prozesua ezegonkortu daiteke:

TF poloen arabera (izendatzailearen erroak)

1 1

c f p dsp

c f p m c f p m

G G G GY(s) Y d(s)

G G G G G G G G= +

+ +

Ekuazio karakteristikoa: 1 0c f p mG G G G+ =

Egonkorra, ez-oszilakorra (zenbaki erreal negatiboak)

Egonkorra, oszilakorra (zenbaki konplexuak, alde erreal negatiboak)

Ezegonkorra (alde erreal positiboren bat)

*Egonkortasuna ez da TF (Gd) perturbazioaren menpekoa (beste gainerako elementuena baizik).

• KB itxiaren egonkortasuna aztertzeko irizpide batzuk:

Routh-Hurwitz matrizea

Erroen kokapenaren araberako irizpidea (Padé-ren hurbilketa)

Nyquist-en diagrama

Egonkortasunerako Bode-ren irizpidea:

wc (φ=180°) → A/B (wc) →Mg=1/(A/B)c

w (A/B=1) → φ (w) → Mf=180 - ϕ

Irabazi-marjina: Mg=1,7

Fase-marjina: Mf =30°


125

12 GAIA: PID kontroladoreen sintonizazioa

Gai honetan, kontroladorea sintonizatzeko teknikak ikasiko dira. Teknika horiek oinarritzen dira

prozesuaren denboraren eremuko erantzunean eta erantzun frekuentzialean.

- K, τI eta τD parametroek kontrol-aukera zabala ematen dute.

- Diseinua egiteko prozesuaren eredua beharrezko da. Bestela, prozesuaren eredu hurbildu bat

garatu beharko da. (FOPDT batera hurbildu daiteke).

- Ereduaren parametroak (Kp, τp, td) ezaguturik, horien arabera, Kc, τI eta τD aukeratuko dira.

- K-ren, τI-ren eta τD-ren behin betiko balioak esperimentalki zehaztu behar dira, saiakuntza-

errore metodoa baliatuz.

12.1 Atzeraelikadurazko kontroladoreen sintonizazio a

Kontroladorea sintonizatzekoa, honako urrats hauek egiten dira:

1. Bi dira galdekizun nagusiak:

Kontrol mota (P, PI, PID)

Parametroen sintonizazioa (K-ren, τI-ren eta τD-ren balioa)

2. Diseinu-irizpideak ezarri:

Prozesuaren erantzun dinamikoa: lortu nahi den erantzunaren ezaugarriak (oszilakorra,

indargetua, azkarra, offset gabea, eta abar).

3. Horretaz gain, gogoratu honako hauek:

Erabilitako eredua, operazio-baldintza baterako bakarrik da egokia, prozesu kimikoak ez-

linealak baitira...

Aldagai manipulatuak ez ditu aldaketa bortitzak jasan behar (balbula hondatu egin daiteke).

2. puntuan, zer-nolako erantzuna nahi dugun aukeratu behar da, baina…

Zeren arabera? Irizpideren bat erabili beharko da.


126

12.2 Irizpide motak

- Sistemaren erantzuna aldatuko da, sarrera-aldagaia (serbo- edo erregulazio-arazoa) eta

sarrera mota (maila-aldaketa, bulkada,...) nolakoak diren kontuan izanda. Ondorioz, Kp, τ eta td

ere bai.

- Oro har, kontsigna-puntuan maila-aldaketa bati prozesuak ematen dion erantzunaren arabera

sintonizatzen da kontroladorea.

- Dena den, serbo- edo erregulazio-arazoa izateak ez ditu asko aldatzen diseinuaren ondorioz

lortuko diren Kc, τI eta τD balioak. Gogoratu KONTROL-BEGIZTA ITXIAREN dinamika

antzekoa dela bi kasuotan. Hona hemen, adibidez, lehen ordenako prozesu baten kontrola, P

kontroladore batekin egiten denean:

1 1

p c dsp

p p c p p c

K K KY(s) Y (s) d(s)

s K K s K K= +

τ + + τ + + (12.1)

12.3 Erantzun-irizpide sinpleak (ezaugarri zehatz b atean oinarrituak)

Erantzunaren ezaugarri zehatz batean oinarritzen dira:

i. gaindikina

ii. igoera-denbora

iii. ezarpen-denbora

iv. gainbeherapen-erlazioa

v. oszilazio-frekuentzia

vi. ....

Irizpide bakoitzak emango du kontroladorearen Kc, τI eta τD hirukote desberdin bat.

Ingeniariaren erabakia beharrezkoa da...

Oro har, irizpiderik erabilienetariko bat da gainbeherapen-erlazioa=1/4 izatea, hau da, erantzun

indargetuegia (oszilakorra), zeinetan bigarren oszilazioaren anplitudea lehenengoaren laurdena

baita. (Horrela, igoera-denboraren eta ezarpen-denboraren arteko konpromisoa bilatzen da).

12.1 adibidea: 1. mailako prozesua eta PI kontroladorea.

2 2

1

2 1I

sp

sY(s) Y (s)

' s 'τ +=

τ + ξτ + (12.2)


127

I p

p c

'K K

τ ττ = ( )1

12

Ip c

p p c

K KK Kτξ = +

τ

Beraz, kontrol-begizta itxiak 2. mailako dinamika erakutsiko du.

Kontroladorearen parametro optimoak aukeratzeko irizpidea: gainbeherapen-erlazioa=1/4.

2

1

Cexp

A 2

− πζ= −ζ (12.3)

( )

( )

2 11

41 1

2

1 τ− π + 2 τ = = 1 τ− + 4 τ

Ip c

p p c

Ip c

p p c

K KK KC

expA

K KK K

(12.4)

Laburturik:

( ) ( ) 12 1

44 12

τ − π + = τ − τ +

Ip c

p p c I p c

K K lnK K K K

(12.5)

Ekuazio horrek bi ezezagun dituenez, Kc eta τI balioen bikote ugari izango dira emaitza posibleak.

Kc=10, τI=0.464 Kc=30, τI=0.348

Kc=50, τI=0.258

12.1 irudia. Hainbat Kc eta τI baliotarako KB itxiaren erantzuna serbo-arazorako.


128

12.4 Denboraren eremuko erantzunean oinarritutako i rizpideak

Diseinua errorearen integralean oinarritzen da. Integral hori hainbat modutan defini daiteke, kasu

bakoitzean esanahi fisiko bat izanik.

Diseinu-irizpide bakoitzak eragingo du KB itxiaren erantzun dinamiko edo portaera bat.

1. Errorearen karratuan oinarritutako integrala (ISE)

0

2(t)ISE ε dt

∞

= ∫ (12.6)

Errorearen balio altuenek dute eraginik handiena integral horren balioan. Lortutako kontroladoreak

ahalik eta azkarren hurbilduko du prozesua bere azken egoeretara, hasieran 2 (t)ε baita balio

maximoa.

2. Errorearen balio absolutua (IAE)

0

(t)IAE dt∞

= ε ∫ l l (12.7)

Errorearen balio absolutuak eragina duenez integralaren balioan, errore positibo zein negatiboen

balioek ere eragina dute. Erantzun-denbora osoan zehar errorea ahalik eta txikiena izan dadin

saiatuko da kontroladorea. Lehen eta hirugarren adierazpenen batezbestekoa da.

3. Errorearen balio absolutu haztatua (ITAE)

0

(t)ITAE t dt∞

= ⋅ ε ∫ l l (12.8)

Erantzunaren denbora luzeetan oraindik irauten duen erroreak du eraginik handiena integral

horren balioan. Erantzun-denbora luzeetan errorea minimoa (edo zero) izan dadin saiatuko da

kontroladorea.

1. 2

0

ISE (t) dt

∞

= ε ∫ 2. 0

IAE (t) dt

∞

= ε ∫ l l 3. 0

ITAE t (t) dt

∞

= ⋅ ε ∫ l l


129

Denbora

Erantzuna

12.2 irudia. Kontrol-begizta itxiaren erantzuna hainbat irizpideren arabera.

Kontuan izan:

Hauek dira Kc-n, τI-n eta τD-n eragina duten faktoreak:

I. Nahi dugun erantzun mota edo irizpidea (IAE, ISE, ITAE)

II. Aukeratutako sarrera-aldagaia (kontsigna-puntua edo perturbazioa)

III. Sarrera mota (maila-aldaketa, bulkada,...)

12.2 adibidea. Azter dezagun 12.3 irudiko sistema.

ysp

ε c m

ym

y

+

_

d

11

= + τ c c

I

G Ks 1=

fG 20

1=

+pGs

1

1=

+dGs

++

1=m

G

ysp

ε c m

ym

y

+

_

d

11

= + τ c c

I

G Ks 1=

fG 20

1=

+pGs

1

1=

+dGs

++

1=m

G

12.3 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta bat.

Kontroladorearen diseinurako ISE irizpidea aukeratuz gero, kontsigna-puntuan maila-aldaketa

baterako:


130

2 2

1

1 1 1 1

20

1 1

20 20 20 20

τ += +

+ τ + + + τ + +

τ

τ τ

I

Isp

I II I

c

c c c c

ss

Y(s) Y (s) d(s)

s s s s

K

K K K K

(12.9)

2 2 2 1

1 20

2 1

I

spcI

sY(s) Y (s) d(s)

' s ss K

' s s+

τ + ξτ +

ττ +=

τ + ξτ + (12.10)

Hor:

20I

c

'K

τ τ= ; ( )11 20

2 20ξ +τ= I

cc

KK

(12.11)

Eta denboraren eremura itzuliz:

22 2 1

2

11 1 1

1

t

Ie t tY(t) sen sen tan

ξ−τ

− − ξτ

= + − ξ − − ξ + τ τ τ ξ − ξ (12.12)


131

Hortaz, helburura, 12.13 integralaren balioa minimizatzea da:

( )20

ISE Ysp Y(t) dt∞

= − ∫ (12.13)

Horretarako, 12.14 ekuazioko baldintza betetzen duten *ξ eta *'τ balioak kalkulatu behar dira.

( ) ( )0

ISE ISE∂ ∂= =

∂τ ∂ξ (12.14)

Eta *ξ eta *τ balioetatik 12.11 ekuazioaren arabera Kc -ren eta τI -ren balioak kalkulatuko

lirateke.

Ohartu:

Perturbazio-aldagaian egindako aldaketa erabiliko balitz kontroladorea sintonizatzeko, orduan

aurreko prozedura berari jarraituz, Kc-ren eta τI-ren beste balio batzuk eratorriko genituzke (nahiz

eta optimizazio-irizpidea bera izan, ISE). Hala gertatzen da, 12.13 ekuazioko integralean agertzen

den denboraren eremuko erantzuna, Y(t), ezberdina delako.


132

12.5 Kontroladorearen parametroak sintonizatzeko me todoak

Sintesi zuzena

Barne-ereduaren metodoa

Erreakzio-kurbaren metodoa

Ziegler-Nichols-en metodoa (erantzun frekuentzialean oinarritua)

12.5.1 Sintesi zuzena

1 1= +

+ +c f p d

spc f p m c f p m


G G G G G G G G (12.15)

G=GfGp eta Gm=1 definituz:

1=

+c

sp c

G GY(s)Y (s) G G

(12.16)

Gc askatuz 12.17 ekuazioa lortzen da:

1

1

= −

sp

sp

c

Y(s)Y (s)

Y(s)Y (s)

GG

(12.17)

Kontrolatu nahi den prozesuaren eredu bat (G) eta baita kontrol-begizta itxian lortu nahi

litzatekeen erantzuna sp

Y(s)Y (s)

ezagututa, horiek 12.17 ekuazioan ordeztuz, beharrezkoa

litzatekeen kontroladorea (Gc) kalkula daiteke.


133

Demagun nahi dugun KONTROL-BEGIZTA itxian erantzuna lehen mailako sistema batena dela.

1

1=

τ +sp c

Y(s)Y (s) s

(12.18)

Bestalde, serbo-arazoaren aurrean, KONTROL-BEGIZTA itxiaren erantzuna honela adieraz

daiteke, kontroladorearen (Gc-ren) eta prozesuaren (G-ren) TFen arabera:

1

c

sp c

G GY(s)Y (s) G G

=+

(12.19)

12.18 eta 12.19 ekuazioak berdinduz:

1

1 1= =

+ τ +c

sp c c

G GY(s)Y (s) G G s

(12.20)

Eta Gc askatuz 12.21 ekuazioa lortzen da.

1 1=τc

c

GG s

(12.21)

12.3 adibidea:

a)

1=

τ +K

G(s)s

(12.22)

1 1 1 1 11

τ + τ = = = + τ τ τ τ c

c c c

sG

G s K s K s (12.23)

Hau da, PI kontroladore bat beharko litzateke, non τ=

τcc

KK

eta Ιτ = τ betetzen baitira.


134

b)

( ) ( )1 11 2

=τ + τ +

KG(s)

s s (12.24)

( )( ) ( )

1 1 11c

c c

G sG s K s

1 2 1 2

1 2 1 2

τ + τ τ τ= = + + τ τ τ + τ τ + τ (12.25)

Hau da, PID ideal baten transferentzia-funtzioa den adierazpen bat (12.25 ekuazioa) lortzen da.

Denbora hila duen prozesu batentzat:

Prozesuak denbora hila badauka, KB itxian edukiko genukeen dinamikak ere denbora hila edukiko

luke:

1

−

=τ +

ct s

sp c

Y(s) eY (s) s

(12.26)

non tc eta τc diseinu-parametroak baitira.

Kontu izan KB itxiak ezin edukiko duela prozesuak berak duen denbora hila baino denbora hil

txikiagoa. Hau da, tc ≥td egiaztatu behar da.

Horrela, tc = td aukeratuta eta 12.26 ekuazioa 12.17 diseinu-ekuazioan ordeztuz, 12.27 ekuazioa

eratortzen da:

1

1

−

−=τ + −

c

c

t s

c t sc

eG (s)

G s e (12.27)

Izendatzailea lehen mailako Taylor-en serie batera hedaturik, 1dt sde t s− ≈ − :

( )1

−

=τ +

ct s

cc d

eG (s)

G t s (12.28)


135

12.4 adibidea:

a)

1

−=τ +

dt sKG(s) e

s (12.29)

tc=td aukeratuz eta 12.29 ekuazioa 12.28 ekuazioan ordeztuz, PI kontroladore bat beharko

litzatekeela ondorioztatzen da (gogoratu: KB itxiaren erantzuna 12.26 ekuazioak emandakoa izan

dadin). Hor, 1 τ=

+ τcd c

KK t

eta Ιτ = τ betetzen dira.

Ohartu Kc murriztu behar izaten dela denbora hila duen prozesu batentzat, denbora hila ez duen

baten aldean (12.23 ekuazioa).

b)

( )( )1 1

−

1 2

=τ + τ +

dt sKG(s) e

s s (12.30)

Aurreko prozedura berari jarraituz PID bat lortzen da, non hau egiaztatzen baita:

( )1 1 2τ + τ=

+ τcd c

KK t

( )Ι 1 2τ = τ + τ

( )1 2

1 2

d

τ ττ =τ + τ


136

12.5.2 Barne-ereduaren metodoa (modelo interno)

Bi abantaila nagusi ditu:

Ereduaren (transferentzia-funtzioaren) zehaztasun falta hartzen du kontuan.

Kontrol-begizta sendoago bat lortzen da.

Prozesuaren eredua ( ) ezagutuz, b) kontrol-begizta eraiki daiteke.

G(s)-k instrumentazioa bera ere aintzat hartzen du (eragilea, prozesua).

Gc Gysp c y+

_

d

++

Gc Gysp c y+

_

++

ĞGɶ+

_Barne-eredua

ProzesuaKontroladorea


a) Atzeraelikadurazko kontrol-begizta

b) Barne-ereduko atzeraelikadurazko kontrol-begizta

d

*

Gc Gysp c y+

_

d

++

Gc Gysp c y+

_

++

ĞGɶ+

_Barne-eredua





d

Gc Gysp c y+

_

d

++

Gc Gysp c y+

_

++

ĞGɶ+

_Barne-eredua





d

*

12.4 irudia. Hainbat kontrol-konfigurazioen bloke-diagrama.

Kontroladorearen irteera-ereduaren sarrera da. Azken horren irteera benetako prozesuaren

irteerari kentzen zaio.

12.4 irudiko bi begiztak berdinak dira, Gc-ren eta Gc*-ren arteko erlazio hau betetzen bada:

1

*C

c *C

GG

G G=

− ɶ (12.31)

Hortik, kontrol-begizta itxirako TRANSFERENTZIA-FUNTZIO hau kalkula daiteke:

1

1 1

* *C C

sp* *C C

G G G Gy(s) y (s) d(s)

G (G G) G (G G)

−= ++ − + −

ɶ

ɶ ɶ (12.32)

Gɶ


137

Eta eredua (TF), perfektua balitz: G G=ɶ .

1= + − ɶ* *C sp Cy(s) G G y (s) ( G G) d(s)

(12.33)

Kontroladorea (Gc) diseinatzeko, lehenbizi *cG kalkulatu beharko da. Bi etapatan egiten da

diseinua:

1.- Prozesuaren eredua bi transferentzia-funtziotan zatitu, G G G+ −=ɶ definituz. G+ zatiaren

irabazkinak unitatea izan behar du, eta prozesuaren denbora hila eta alde erreal positiboa duten

zeroak hartuko ditu. Gɶ -ren gainerako elementuak (irabazkina, poloak, eta abar) G− zatiak

hartuko ditu.

2.- *cG honela definitzen da:

1*cG f

G−

= (12.34)

Hor, f lehen mailako atzerapena (behe-paseko iragazkia) da. Hau da, frekuentzia baxuko seinaleei

baino ez die pasatzen uzten.

1

1 rc

f( s )

=τ +

(12.35)

cτ kontrol-begizta itxian nahi dugun denbora konstantea da, eta r, zenbaki oso bat.

*cG -k

1

G−

baino ez duenez egonkorra eta fisikoki egingarria da. 1

G+

izan balu, dt se+ edo polo

ezegonkorren bat izango luke.

Eredua (TF) perfektua balitz (G G=ɶ ) eta *cG kontroladorearen TFa kontuan hartuta:

1spy(s) G f y (s) ( f G d(s)+− += + − ) ɶ ɶ (12.36)


138

Hortaz, serbo-arazorako TFa honako hau litzateke:

sp

y(s)G f

y (s) +−= ɶ

(12.37)

Orain arte:

Matematika-irizpideetan (ISE, IAE, ITAE) edo kontrol-teorian (sintesi zuzenean, barne-

ereduan) oinarritutako metodoak ikusi ditugu.

Prozedura hori luzea eta konplexua izateaz gain, EREDU (TRANSFERENTZIA-FUNTZIO)

zehatz eta oso fidagarria ezagutuz gero bakarrik erabil daiteke.

Badaude zenbait irizpide sinpleagoak direnak, honako elementu hauetan oinarrituak:

Prozesuaren eredu sinple bat eratorri behar da, oro har, lehen ordena + denbora hila.

Maila-aldaketa motako sarrera bat, kontsigna-puntuan edo perturbazioan.

Erantzun-irizpide bat (IAE, ISE, ITAE, gainbeherapen-erlazioa=1/4, offset=0,...).

Horien arabera (Kp, τp eta td), zenbait autorek adierazpenak garatu dituzte, kontroladore mota

bakoitzarentzat (P, PI, PID) erantzun optimoa ematen duten parametroak (Kc, τI eta τD)

kalkulatzeko.

12.5.3 Erreakzio-kurbaren metodoa

Kontrol-begizta irekian A anplitudeko maila-aldaketa bat eragiten da c kontrol-seinalean.

Lorturiko erantzuna “erreakzio-kurba” da (eragilea + prozesua + sentsorea).

mCRP f p m

y (s)G (s) G (s)G (s)G (s)

c(s)= =

(12.38)

Gc Gf Gp

Gm

ysp(s)

ε(s)

c(s)=A/s

m(s)

ym(s)

y(s)

+

_

Gd

d(s)

+ +

12.5 irudia. Kontrol-begizta irekia.


139

td

s

Bym

t td

Bym

t

Erantzun hurbildua

Malda=s

Benetako erantzunaa) b)

12.6 irudia. a) Prozesuaren erreakzio-kurba. b) Lehen ordena + denbora hila ereduaren bidezko hurbilketa. Industria-prozesu ia guztiek kontrol-begizta irekian itxura sigmoidala duen erantzuna ematen dute.

Hortaz, lehen maila + denbora hila duen sistema batera hurbildu daitezke.

1

dt sm

CRP

y (s) KeG (s)

c(s) s

−

= ≈τ +

(12.39)

Hiru parametro kalkulatu behar dira: τ, K, eta td.

K =irteera (egoera egonkorra heldu ondoren)

sarrera

τ =KA

malda=

BS

td sistemak (hurbilketak) erantzuten hasi arte igarotako denbora.

Behin hiru parametro horiek kalkulaturik, Cohen-Coon egileek kontroladore mota bakoitzarentzat

parametro optimoak (perturbazioko maila-aldaketa, offset minimoa, ISE, ¼ gainbeherapen-

erlazioa,...) proposatzen dituzte.

P kontroladorea: 1

1 dc

d

tK

K tτ = + 3τ

(12.40)

PI kontroladorea: 1

0 9 dc

d

tK ,

K tτ = + 12τ

(12.41)

30 3

9 20

d

I dd

tt

t

+ ττ =+ τ

(12.42)


140

PID kontroladorea: 1 4

3

dc

d

tK

K tτ = + 4τ

(12.43)

32 6

13 8

d

I dd

tt

t

+ ττ =+ τ

(12.44)

4

11 2D d

d

tt

τ =+ τ

(12.45)

Gogoratu:

� Prozesuaren dinamikak lehen maila+denbora hila itxura hartu behar du.

� Gehienetan betetzen da hori. Izaera oszilakorra kontroladorearen dinamikatik datorrelako.

� Ohartu, gainera, Kc (PI)<Kc (P)<Kc (PID) erlazioa betetzen dela.


141

12.5.4 Ziegler-Nichols-en metodoa

Erantzun frekuentzialean oinarritutako metodoa.

Aurrekoa ez bezala, kontrol-begizta itxian sistemaren erantzunean oinarritzen da.

Egoera nominalean, modu automatikoan, eta akzio proportzional hutsarekin kontsigna-puntuan

maila-aldaketa bat egiten da.

Kc handituz goaz, erantzunak oszilazio iraunkorra agertu arte.

Irabazkinaren balio hori, Ku, “azken irabazkina” da, eta frekuentzia hori, wu, “azken frekuentzia”.

Balio horietatik abiaturik, bi parametro hauek kalkula daitezke:

1 1uK

BMA

= =

(12.46)

2u

u

P ,denbora / ziklow

π= (12.47)

Ziegler eta Nichols-ek, balio horietan oinarrituta, proposatzen dute kontroladorearen parametro

optimoak honako hauek direla:

12.1 taula. Ziegler-Nichols parametroak.

Kc τI, min τD, min

Proportzionala Ku/2 --- ---

PI Ku/2,2 Pu/1,2 ---

PID Ku/1,7 Pu/2 Pu/8


142

16.4 adibidea. Kalkulatu parametro optimoak Ziegler-Nichols metodoaren arabera.

1

1 1PG (s)

s ) s )=

(5 + (2 +

1

1mG (s)

s )=

(10 + fG (s) = 1

Akzio proportzional hutsa erabiliz:

-180º=tan-1 (–5Wu)+ tan-1 (–2Wu)+ tan-1 (–10Wu)

Wu=0,415 rad/min

Frekuentzia horretarako magnitude-erlazioa (B/A):

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1

5 1 2 1 10 1u u u

BA w w w

=+ + +

=0,08

Horregatik, azken irabazkina: Ku=1/0,08=12,6 eta Pu=2π/wu=15,14 min/ziklo

Parametro optimoak Ziegler-Nichols metodoaren arabera

P kontroladorea: Kc=12,6/2=6,3

PI kontroladorea: Kc=12,6/2,2=5,7 τI=15,14/1,2=12,62

PID kontroladorea: Kc=12,6/1,7=7,4 τI=15,14/2=7,57 τD=15,14/8=1,89


143

12.6 Kontroladoreak sintonizatzeko metodoak

LEHEN ORDENAKO EREDUA Denboraren eremuan Laplace eremuan

( ) ( ) ( )p p

tt t

dyy K u

dtτ + = ⋅ ( )

( ) 1

p

p

s

s

KYU s

=τ +

Barne-eredua (IMC)

CK Iτ Dτ

PI p

p cK

ττ

cτ ---

LEHEN ORDENA + DENBORA HILA EREDUA

Denboraren eremuan Laplace eremuan ( ) ( ) ( )p p d

tt t t

dyy K u

dt−τ + = ⋅ ( )

( ) 1dp t s

p

s

s

KYe

U s−=

τ +

Sintesi zuzena

Kontrolad. CK Iτ Dτ

PI ( )p

p d cK t

τ1+ τ

pτ ---

Cohen-Coon

P 1

1p d

d p

t

K t

τ+ 3τ

--- ---

PI 1

0 9p d

p d p

t,

K t

τ+ 12τ

30 3

9 20

d

pd

d

p

t

tt

+ τ

+ τ

---

PID 1 4

3

p d

d

t

K t

τ + 4τ

32 6

13 8

d

pd

d

p

t

tt

+ τ

+ τ

4

11 2

d

d

p

tt+ τ


144

LEHEN ORDENA + DENBORA HILA EREDUA

ITAE serbo-arazorako

Kontrolad. CK Iτ Dτ

PI

0 916,

d

pp

tK

−0,586 τ

1 03 0 165

p

d

p

t, ,

τ − τ

---

PID

0 855,

d

pp

tK

−0,965 τ

0 796 0 147

p

d

p

t, ,

τ − τ

0 929,

dp

p

t 0,308τ τ

ITAE erregulazio-arazorako

P

1 084,

d

pp

tK

−0, 490 τ

--- ---

PI 0 977

0 859,

d

pp

, tK

− τ

0 680

0 674

,p d

p

t,

τ τ

---

PID 0 947

1 357,

d

pp

, tK

− τ

0 738

0 842

,p d

p

t,

τ τ

0 995,

dp

p

t 0,381τ τ

IAE serbo-arazorako

PI 0 861,

d

pp

tK

−0,758 τ

1 02 0 323

p

d

p

t, ,

τ − τ

PID 0 869,

d

pp

tK

−1,086 τ

0 740 0 130

p

d

p

t, ,

τ − τ

0 914,

dp

p

t 0,348τ τ

IAE erregulazio-arazorako

P

0 985,

d

pp

tK

−0,902 τ

--- ---

PI

0 986,

d

pp

tK

−0,984 τ

0 707

0 608

,p d

p

t,

τ τ

---

PID 0 921,

d

pp

tK

−1,435 τ

0 749

0 878

,p d

p

t,

τ τ

1137,

dp

p

t 0,482τ τ


145

BIGARREN ORDENAKO EREDUA Denboraren eremuan Laplace eremuan

( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 1 22 p

tt t

d yy K u

dtτ τ + τ + τ = ⋅

( )( ) ( )2

1 2 1 21

ps

s

KYU s s

=τ τ + τ + τ +

Barne-eredua (IMC)

CK Iτ Dτ

PID ( )1 2

p cK

τ + ττ

1 2

τ + τ 1 2

1 2

τ ττ + τ

BIGARREN ORDENA + DENBORA HILA EREDUA Denboraren eremuan Laplace eremuan

( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 1 22 p d

tt t t

d yy K u

dt−τ τ + τ + τ = ⋅

( )( ) ( )2

1 2 1 21

dp t ss

s

KYe

U s s−=

τ τ + τ + τ +

Sintesi zuzena

CK Iτ Dτ

PID ( )1 21

p c dK t

τ + ττ +

1 2

τ + τ 1 2

1 2

τ ττ + τ

ZIEGLER-NICHOLS METODOA

CK Iτ Dτ

P 0 5 Cu, K --- ---

PI 0 45 Cu, K 1 2uP , ---

PID 0 6 Cu, K 2uP 8uP


146

13 GAIA: ROUTH-EN IRIZPIDEA ETA ERROEN KOKAPENA

13.1 Routh-en irizpidea

Ekuazio karakteristikoaren erro positiboen kopurua jakiteko erabil daitekeen irizpide guztiz

aljebraikoa da. Hala, KB itxia egonkorra den ala ez aurrez esan daiteke.

Prozedura:

i) Ekuazio karakteristikoa polinomio gisa idatzi:

1 2

0 1 20− −+ + + + =n n n

na s a s a s ... a

Sistema egonkorra izateko, batugaiek BETI positiboak izan behar dute.

Positiboak badira, sistema egonkorra edo ezegonkorra izan daiteke.

ii) Routh-en matrizea eraiki.

Lerroa 1 a0 a2 a4 a6 2 a1 a3 a5 a7 3 b1 b2 b3 4 c1 c2 c3 5 d1 d2 6 e1 e2 7 f1

n+1 g1 Matrizearen ezaugarria batzuk:

� Matrizeak n+1 lerro ditu. n da KB irekiko TFren ordena.

� n bikoitia bada, lehen lerroak elementu bat gehiago du.

� Lehen zutabean elementu negatiborik bada, erro positiboen kopurua zeinu-aldaketa kopuruaren berdina da.

� Alde errealik gabeko erro konplexurik badago, eta gainerako erroen alde errealak negatiboak badira, n-garren lerroko elementu guztiak zero dira. Aldiz, n-1 lerroak bi elementu izango ditu, eta biak ez dira zero izango. Erro horiek kalkula daitezke: Cs2+D=0 ebatziz, non C eta D baitira n-1 lerroko elementuak ezkerretik hasita. (Ohartu erro horien balioa kontuan izanda prozesuaren denbora konstantea kalkula daitekeela, ikus (6.16) ekuazioa).

iii) Egonkortasunerako araua: erro guztiak negatiboak izan daitezen, —hau da, sistema egonkorra

izateko—, beharrezkoa eta nahikoa da lehen zutabeko elementuak positibo izatea eta zero ez

izatea.

Ohartu metodo honek ez dituela erroen balioak kalkulatzen Kc bakoitzerako. Hau da, erroak konplexuak izatera

heltzeko edota alde erreal positiboa izatera heltzeko zenbat aldatu behar den Kc ez da ezagutzen.

1 2 0 31

1

−= a a a ab

a

1 3 1 21

1

−= b a a bc

b 1 5 1 3

2

1

−= b a a bc

b

1 4 0 52

1

−= a a a ab

a


147

13.2 Erroen kokapena

Ekuazio karakteristikoaren erro posible guztiak ezaguturik, KB itxiak eduki ditzakeen erantzun

dinamiko posible guztiak ezagutu ahal izango genituzke.

Adibidez, serbo- edo erregulazio-arazoaren aurrean (ikus 3.1):

Inoiz ezegonkortuko al da sistema?

Erantzuna indargetua/oszilakorra izan daiteke inoiz?

Zer oszilazio-maila izango du?

Erro posible guztiak erroen kokapen deritzon adierazpen grafiko baten bidez adierazten dira (lugar

de las raíces).

Demagun elementu hauek dituen kontrol-begizta bat dugula:

c cG (s) K= 1 2

1

1 1=

(τ + (τ +pG (s)s ) s )

3

1

1=

(τ +mG (s)s )

1=fG (s )

KONTROL-BEGIZTA irekia honako hau litzateke:

1 2 31 1 1

=(τ + (τ + (τ +

cKG(s)

s ) s ) s ) (13.1)

Berrantolaturik:

1 2 3

KG(s)

(s - p )(s - p )(s - p )= (13.2)

1 2 3

=τ τ τ

cKK

11

1= − τp 2

2

1= − τp 3

3

1= − τp

p1,p2 eta p3 G(s)-ren poloak dira. Poloek G(s) infinitu egiten dute.

Ekuazio karakteristikoa honako hau izango litzateke,

1 2 3

1 0K

(s - p )(s - p )(s - p )+ = (13.3)

Eta ekuazio hori berrantolaturik:

1 2 3 0s p ) s p ) s p ) K( − ( − ( − + = (13.4)

Demagun 1 2 31 0 5 1 3, , , /τ = τ = τ = dugula.


148

60 5 0 331 1 2 3 1 2 3

1 0 5 1 13

c

c c

KK K, ,G(s)

(s )(s )(s ) (s )(s )(s )(s )( , s )( s )

⋅= = =+ + + + + ++ + +

(13.5)

Ekuazio karakteristikoa honako hau izango litzateke:

1 2 3 0(s )(s )(s ) K+ + + + = (13.6)

Hor, K=6kc egiaztatzen da (eta kc kontroladorearen irabazkina). Ekuazio hori polinomio gisa

hedaturik:

3 26 11 6 0s s s (K )+ + + + = (13.7)

Kc-ren balioetarako ekuazio horren erroak aldatu egingo dira.

Erro horien adierazpen grafikoa ardatz erreal eta konplexuan egiten da 13.1 irudian adierazten

den bezala.

Ohartu ekuazio karakteristikoaren erroek adierazten dutela zein den KB itxiaren portaera dinamikoa.


149

13.1 taula., 1 2 3 0s ) s ) s ) K( + ( + ( + + = ekuazio karakteristikoaren erroak.

K=6Kc r1 r2 r3 0 -3,00 -2,00 -1,00

0,23 -3,10 -1,75 -1,15 0,39 -3,16 -1,42 -1,42 1,58 -3,45 -1,28-0,75i -1,28+0,75i 6,6 -4,11 -0,95-1,5i -0,95+1,5i

26,5 -5,10 -0,45-2,5i -0,45+2,5i 60,0 -6,00 0-3,32i 0+3,32i 100,0 -6,72 0,35-4,0i 0,35+4,0i

K>K2(0,39): erroetariko batek alde konplexua dauka.

K>K3(60): erroren baten alde erreala positibo izatera pasatuko da.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-3

-2

-1

0

1

2

3

Denbora (sec)

Anp

litud

ea

Kc=6,6/6

Kc=60/6

Kc=26,6/6

Kc=100/6

a) b)

c)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Denbora (sec)

Anp

litud

ea

Kc=0,23/6 Kc=0,39/6

Kc=1,58/6

Kc=6,6/6b)

13.1 irudia. Erroen kokapenaren eta denboraren eremuko erantzun dinamikoaren arteko erlazioa. a) Erroen kokapena. b) Denboraren eremuko erantzun dinamikoa (K=6kc=0,23;0,39;1,58). c) Denboraren eremuko erantzun dinamikoa (K=0,39 kritikoki indargetua; K=6,6; K=60 marjinalki egonkorra; K=100 ezegonkorra).

KB itxiaren erantzun dinamikoa nolakoa izango den aurrez esan genezake, K-ren arabera. Azken

hori diseinu-parametroen menpekoa izango da (Kc, τI, τD).

Baina erabilitako prozedura luzea da.

Badaude zenbait arau erroen kokapenaren eskema bat eraikitzeko.


150

13.3 Erroen kokapenaren eskema marrazteko arauak (a tzeraelikadura negatiboa)

1. Adar kopurua KONTROL-BEGIZTA irekiaren polo kopurua da.

2. Adarrak poloetatik irten eta zeroetan bukatzen dira. n-m adarrak infiniturantz doaz.

3. Ardatz erreala erroen kokapenaren parte da, eskuinetara dituen poloen eta zeroen kopurua

bakoitia bada.

4. 2. arauan aipaturiko n-m aldeak (lerroak) asintotikoki infiniturantz doaz. Asintotak polo eta

zeroen grabitate zentrotik abiatzen dira.

1 1= =−

γ =−

∑ ∑n m

j ij i

p z

n m (13.8)

Asintota horiek ardatz errealarekiko duten angelua: [ ]2 1( k ) (n m)π + − .

Hor, K=0,1,2,...,n-m-1.

5. Ardatz errealetik ateratzen diren adarrak 13.9 ekuazioa betetzen duten s-ren balioetatik

aterako dira (angelua ±π). (Haztatuz ebatz daiteke).

1 1

1 1

= ==

− −∑ ∑m n

i ji is z s p (13.9)

6. q ordenako polo bakoitzetik q adar ateratzen dira, eta angelu hauek osatzen dituzte:

( )1 1

12 1

= =

θ = + π + − − −

∑ ∑m n

a i a ji j

k arg(p z ) arg(p p )q

(13.10)

Hor, k=0,1,2,3,…q-1.

Ohartu a iarg(p z )− batugaia pa poloa eta zi zeroa lotzen dituen zuzenak horizontalarekiko osatzen duen θ

angelua dela.


151

x x

x

x

oθ1θ2

θ3

θ4

1

-1-2

1

p1

p2

p3 p4z1

,

13.2 irudia. Poloetatik irteera-angeluaren kalkulua.

3

2 2 1

cc v p m

K s )G(s) G G G G

s i) s i) s )s

( += =

( + − ( + + ( +

13.10 ekuazioa 13.2 irudian adierazitako p1 eta p2 poloetan aplikatuz:

( ) ( ) ( )1 4 1 2 3

12 0 1 180 45 153 45 135 90 153 45

1p , , º θ = ⋅ + π + θ − θ + θ + θ = + − + + = −

( )2180 135 26 56 45 90 153 45p , , ºθ = + − + + =

Dena den, erroen kokapena x ardatzarekiko simetrikoa denez, p2-tiko irteera-angeluak ispilu-irudia

izan behar zuela aurrez esan zitekeen. 13.3 irudiak erroen kokapena erakusten du.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Erroen kokapena

Ardatz erreala

Ard

atz

imag

inar

ioa

Ard

atz

ima

jina

rioa

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Erroen kokapena

Ardatz erreala

Ard

atz

imag

inar

ioa

Ard

atz

ima

jina

rioa

13.3 irudia. Erroen kokapena: 3

2 2 1

cc v p m

K s )G(s) G G G G

s i) s i) s )s

( += =

( + − ( + + ( +


152

13.4 Denbora hilaren eragina erroen kokapenaren mar razketan

Demagun denbora hila duen TRANSFERENTZIA-FUNTZIO bat (KB irekian) dugula:

050 03

1 1

scp

, KG (s) e

s ) s )−=

( + (2 + (13.11)

Termino esponentziala, Padé-ren hurbilketa erabilita, ekuazio-polinomio bihurtuz:

2

2

22

1

1

s

s

s

s s ...e

ee s s ...

τ−−τ

−τ

τ 1 τ− + +

2 2 2≅ =τ 1 τ

+ + +2 2 2

(13.12)

Lehen mailako terminoak erabiliz:

1

1

sss

es s

− τ

2τ −−τ2≅ = −

τ 2+ +

2 τ

(13.13)

Hortaz, 13.11 ekuazioa 13.14 ekuazioa bezala adieraz daiteke. Ohartu erroen kokapena

eraikitzeko arauak aldatu egiten direla atzeraelikadura positiboa denean:

0 03 4 4

1 1 4 1 0 5 4

cp

, K s ) K s )G (s)

s ) s ) s ) s ) s , ) s )( − ( −= − = −

( + (2 + ( + ( + ( + ( + (13.14)

Hor: 0 03

c, K

K =2

-1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Erroen kokapena

Ardatz erreala

Ard

atz

imag

inar

ioa

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Erroen kokapena

Ardatz erreala

Ard

atz

imag

inar

ioa

A) B)

0 03

1 1c

p

, KG (s)

s ) s )=

( + (2 +-1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Erroen kokapena

Ardatz erreala

Ard

atz

imag

inar

ioa

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Erroen kokapena

Ardatz erreala

Ard

atz

imag

inar

ioa

A) B)

0 03

1 1c

p

, KG (s)

s ) s )=

( + (2 +

13.4 irudia. Denbora hilaren eragina erroen kokapenean. A) denbora hilik gabe, eta B) denbora hilarekin (13.14 ekuazioa).


153

14 GAIA: ERANTZUN FREKUENTZIALA. BODE-REN ETA NIQUI ST-EN EGONKORTASUN-IRIZPIDEAK

Aurreko gaietan, prozesuaren TRANSFERENTZIA-FUNTZIOAN oinarrituz, egonkortasuna aztertu

izan da. Ekuazio karakteristikoaren erroen arabera:

- Routh matrizea (td=0)

- Erroen kokapena

Gai honetan, prozesuaren erantzun frekuentziala (Bode, Nyquist) erabiliko da, honako hauek

aztertzeko:

- Prozesuaren egonkortasuna eta sendotasuna.

- Sendotasuna. Irabazi- eta fase-marjinaren arabera.

- Kontroladorearen sintonizazioa (Ziegler-Nichols). Prozesuaren irabazkinaren (ku-ren) eta azken

frekuentziaren (wu–ren) kalkulua (teorikoa).

14.1 Bode-ren egonkortasun-irizpidea

Demagun irudiko sistema dugula, zeinentzat kontrol-begizta irekian sentsorearen neurketaren eta

set-pointaren arteko menpekotasun hau baitago:

0 1

0 5 1

−

=+

, scm

sp

K eY (s)Y (s) , s

(14.1)

(τ, td, minututan)

14.1 irudia. Atzeraelikadurazko kontrol-begizta.

Kontrol-begizta IREKIAN (14.1 ekuazioa), sarrera (Ysp) modu oszilakorrean aldatuz gero (14.2

ekuazioa), erantzunaren (Ym-ren) fase-atzerapena φ da. Eta B/A, ω frekuentziarako anplitude-

erlazioa:

ysp

ε c m

ym

y+

_c cG K= 0 11

0 5 1

, spG e

, s−=

+1fG =

1mG =

ysp

ε c m

ym

y+

_c cG K= 0 11

0 5 1

, spG e

, s−=

+1fG =

1mG =


154

spY A sen( t)= ⋅ ω⋅ (14.2)

( ) 57 3 0 1arctan , ,φ = −0,5 ⋅ ω − ⋅ ⋅ ω (14.3)

2 20 5 1

cKBA ,

=ω +

(14.4)

17mY B sen( t )= ⋅ − φ (14.5)

14.3 ekuazioaren bidez kalkula daiteke zer frekuentziatarako gertatzen den fase-atzerapena (-

180º, ziklo erdi), hau da, azken frekuentzia (wu). Horrela, ωu=17 rad/min.

Frekuentzia horretarako, anplitude-erlazioa hau da:

2

10 12

0 5 17 1c

B / A,

K ( , )= =

⋅ + (14.6)

Alegia, 1

8 560 12

cK ,,

= = egiaztatzen bada, anplitude-erlazioa (B/A)=1 izango da (B=A), ω=17

rad/min denean. Sentsorearen irteera-seinalea hau litzateke:

17 17mY B sen( t ) A sen( t)= ⋅ − π = − ⋅ (14.7)

14.7 ekuazioaren arabera, neurtutako erantzuna (ym), sarreraren (Ysp-ren) ispilu-irudia da.

Demagun bat-batean kontsigna-puntua zero dela eta, aldi berean, KONTROL-BEGIZTA ITXI

egiten dugula.

Prozesuak oszilatzen jarraituko du (oszilazio iraunkorra), anplitude konstantean, nahiz eta

kontsigna-puntua aldatu ez. (Gogoratu ω=ωu frekuentziarako φ=-180º eta B/A=1 dela).


155

ε =sen(17t)c m

Ym=-sen(17t)

y+

c cG K= 0 11

0 5 1

, spG e

, s−=

+

Ysp=sen(17t)

1fG =

1mG =

ε =sen(17t)c m

Ym=-sen(17t)

y+

c cG K= 0 11

0 5 1

, spG e

, s−=

+

Ysp=sen(17t)

1fG =

1mG =

ε =sen(17t)c m

Ym=-sen(17t)

y+

c cG K= 0 11

0 5 1

, spG e

, s−=

+

Ysp= 0

-1fG =

1mG =

ε =sen(17t)c m

Ym=-sen(17t)

y+

c cG K= 0 11

0 5 1

, spG e

, s−=

+

Ysp= 0

-1fG =

1mG =

14.2 irudia. Goian, set-point-ean sarrera oszilakorreko kontrol-begizta irekia. Behean, kontrol-begizta itxia, set-point-eko sarrera zero duena eta oszilazio iraunkorrekoa dena. Bi egoera gerta daitezke: - 8 56cK ,> bada, B/A>1 izango da φ=-180º denean. Beraz, prozesua oszilakorra eta anplitude-

erlazio gorakorra. Hau da, sistema EZEGONKORRA izango da.

- 8 56cK ,< bada, B/A<1 izango da φ=-180º denean. Beraz, prozesua oszilakorra eta anplitude-

erlazio beherakorra. Hau da, sistemaren erantzuna indargetuz joango da; sistema

EGONKORRA da.

Ondorioz, Bode-ren egonkortasun-irizpideak honela dio:

Atzeraelikadurazko kontrol-begizta itxi bat EZEGONKORRA da, baldin eta KONTROL-BEGIZTA

IREKIAN anplitude-erlazioa unitatea baino handiagoa bada, fase-atzerapena -180º den unean.

Oharra: Bode-ren egonkortasun-irizpidea mugatua da: fase minimoa duten prozesuei bakarrik dagokie.

Fase ez-minimokoak dira zero positibo bat dutenak (alderantzizko erantzuna). Hau da, Bode-ren egonkortasun-

irizpidearen bidez ez da aztertuko alderantzizko erantzuna duten sistemen egonkortasuna.


156

14.2 Irabazi- eta fase-marjinak

Erantzun frekuentziala (Bode-ren irizpidea) kontroladorea sintonizatzeko (parametroen balio-

aukeraketa) erabil daiteke, KONTROL-BEGIZTA ITXIAn erantzuna egonkorra izan dadin.

Irabazi- eta fase-marjinek sistemaren egonkortasun erlatiboa adierazten digute.

Ezegonkortasunarekiko hurbiltasuna.

14.2.1 Irabazi-marjina

φ=-180º egiten duen frekuentziarako, 1

B / A-ren balioa irabazi-marjina da.

Irabazi-marjina altua (irabazkinak balio altuak izan ditzake, sistema ezegonkortu aurretik) bada,

egonkortasun erlatiboa altua da → ezegonkortasunetik urrunago dago begizta itxia.

14.1 adibidea: 0 1

0 5 1

, scKG(s) e

, s−=

+ (denbora minututan).

1 1

157 3 0 5 57 3 0 1dtan ( ) , t tan ( , ) , ,− −φ = − τ ω − ω = − ω − ⋅ ω

φ=-180º egiten duen frekuentzia, ωu=17 rad/min

Eta frekuentzia horretarako: 2 21 0 5 17 1

c cK KBA ( ) ( , )

= =τ ⋅ ω + ⋅ +

=0,12Kc

1) Kc=1 bada, B/A=0,12 Irabazi-marjina=1/0,12=8,33

2) Kc=2 bada B/A=0,24 Irabazi-marjina=4,16; ezegonkortasunetik hurbilago;

perturbazio baten aurrean sistema ezegonkortzea

errazagoa izango da.

3)Kc=8,33 bada B/A=1,0 Sistema ezegonkorra da Kc,u horretatik gora

Adibidez, irabazi-marjina 1,7 izateko:

B/A=1

1 7,=0,58 0,12Kc=0,58 Kc=4,9 egiaztatu behar dira.


157

Demagun aurreko adibideko prozesuaren denbora hila td=0,15 min dela (eta ez ereduan erabili

genuen balioa, td=0,1 min; gaizki neurtu genuelako, adibidez), eta kontroladorearen irabazkina

Kc=4,9 dela.

Orain, azken frekuentzia, ωu (φ=-180º egiten duena):

1 1

157 3 0 5 57 3 0 15dtan ( ) , t tan ( , ) , ,− −φ = − τ ω − ω = − ω − ⋅ ω ωu=11,6 rad/min

Eta frekuentzia horretarako:

2 2

4 9

1 0 5 11 6 1

cKB .A ( ) ( , , )

= =τ ⋅ ω + ⋅ +

=0,83 → KONTROL-BEGIZTA ITXIA oraindik

EGONKORRA da. 14.2.2 Fase-marjina

Fase-marjina egonkortasun erlatiboa ematen duen beste parametro bat da. Hona hemen

definizioa:

B/A=1 egiaztatzen duen frekuentziarako fasea φ bada, fase-marjina 180+φ izango da. Hau da,

fasea -180º-ra iristeko falta den gainerako fasea.

14.2 adibidea: 14.1 adibidean, sintonizatu kontroladorea fase-marjina 30º izan dadin.

Fase-marjina 180º+φ=30º izateko, φ-k -150º izan behar du.

1 1

157 3 0 5 57 3 0 1dtan ( ) , t tan ( , ) , ,− −φ = − τ ω − ω = − ω − ⋅ ω=-150º

φ=-150º egiaztatzen duen frekuentzia ω=12,1 rad/min da.

2 21 0 5 12 1 1

c cK KBA ( ) ( , , )

= =τ ⋅ ω + ⋅ +

=0,163Kc, Kc=1

0 163,=6,2


158

Demagun berriz td 0,15 min dela (gaizki neurtu genuelako, adibidez) eta Kc 6,2 dela.

Orain, azken frekuentzia, zeinak 1 0 5 57 3 015tan ( , ) , ,−φ = − ω − ⋅ ω=-180º egiten baitu, ωu=11,6

rad/min da.

Eta frekuentzia horretarako:

2

6 2

0 5 11 6 1

B ,A ( , , )

=× +

=1,05.

Hau da, KONTROL-BEGIZTA ITXIA EZEGONKORRA da.

Edo, bestela ere, B/A=1 egiten duen frekuentziarako (ω=12,1 rad/min) fasea φ =-188º da.

GOGORATU: φ =-188º denean, B/A=1 bada, φ =-180º denean, B/A oraindik altuagoa da; hau da,

B/A>1. EZEGONKORRA.

Oro har, sistema EZEGONKORRA da, hau da, fase-marjina 30º-an ezartzea ez da nahikoa izan,

denbora hilaren neurketan egindako errorea konpentsatzeko.

Ohartu egonkortasunaren azterketa ekuazio karakteristikoaren erroak kalkulatu gabe egin dela.

Halaber, sistema zein hurrun/hurbil dagoen ezegonkortasunaren arabera ere igar genezake.


159

14.3 Niquist-en egonkortasun-irizpidea

Atzeraelikadurazkoa kontrol-begizta itxi bat EZEGONKORRA da, baldin eta KONTROL-BEGIZTA

IREKIAN frekuentzia -∞-∞ tartean aldatzean lortutako Nyquist-en diagramak (-1,0) puntua badu

bere barnean.

14.3 adibidea:

Demagun kontrol-begizta irekian TF hau dugula: 1 2 1 4 1

cGK

(s )( s )( s )=

+ + +

w gorakorra∞-tik 0-ra

w beherakorra0-tik ∞-ra

w gorakorra∞-tik 0-ra

w beherakorra0-tik ∞-ra

14.3 irudia. Nyquist-en diagrama 14.3 adibiderako. Kc=1 (A kurba), Kc=50 (B kurba).

A kurbak (Kc=1) ez dauka (-1,0) puntua bere barne → EGONKORRA

B kurbak (Kc=50) (-1,0) puntua bere barne dauka → EZEGONKORRA


160

14.4 adibidea:

Diagrama guztiak dira prozesu (TRANSFERENTZIA-FUNTZIO) beraren erantzuna KONTROL-

BEGIZTA IREKIAN.

Kasu bakoitzean, kontroladorearen Kc aldaturik.

14.4 irudia. Nyquist-en diagramak, KB irekiko TF berbera eta hainbat Kc balio izanik.

14.4a,c irudiek ez dute (-1, 0) puntua inguratzen; bai, aldiz, 14.4b irudiak. Beraz, lehen eta

hirugarren sistemek erantzun egonkorra izango dute kontrol-begizta itxian; aldiz, bigarrenak ez.

PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA … Kontrol-sistema baten diseinua 9 1.7 Instalazio kimiko...

Documents

Transcript of PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA … Kontrol-sistema baten diseinua 9 1.7 Instalazio kimiko...