ProyectoFindeCarrera - COnnecting REpositoriesyarsesiempre que sea posible en sendos análisis...

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría deEstructuras

INGENIERÍA INDUSTRIAL

Proyecto Fin de Carrera

Dinámica de vigas conamortiguamiento no local

Autor: Sergio González López

Tutor: Prof. Dr. D. José Fernández Sáez

Octubre de 2009

Agradecimientos

Llega el final de esta etapa, y quería aprovechar este espacio para acordarme de todoslos compañeros que he tenido a lo largo de estos años, tanto en Ingeniería Técnicacomo en Industrial y en el Máster. Se acaba una etapa y comienza otra que empezóhace un año: el Doctorado en Ingeniería Mecánica y Organización Industrial.

Me acuerdo de mi primer día de universidad. Ese día conocí a Leticia, Yaiza, Fabián,Óscar, Diego, Matías, Miguel,... La verdad es que no me costó nada integrarme,teniendo en cuenta que no conocía a nadie cuando llegué aquí. Unas semanas despuésconocí a Felipe y Pablo gracias a mi afición al ajedrez, ya que estaban ellos en unaula jugando y obviamente me acerqué a echar un vistazo. Al apostre Felipe ha sidouno de mis mejores amigos todo este tiempo, y lo sigue siendo en la actualidad. Eseaño también conocí a Jesús, Raquel, Remo,... . Creo que fue el año más importantepara mí en este sentido. Los dos años siguientes conocí a Lourdes, Dani, Laura,..., ymás tarde fui conociendo poco a poco a gente con la que sigo teniendo contacto a díade hoy: Ana, Paula, Sebastián, Moisés, Sonia,...

El año que acabé Ingeniería Técnica y empecé Ingeniería Industrial, significó tambiénun punto de inflexión para mí, ya que era un nuevo reto que empecé con todas lasganas del mundo. Ese año conocí a Irene y María, entre otros, mientras que seguíacoincidiendo con muchos de mis primeros amigos de universidad. En mi segundoaño en la carrera, decidí que me apetecía hacer el Máster en Mecánica EstructuralAvanzada, ya que en ese momento tenía claro que quería hacer el Doctorado en elDepartamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. No mearrepiento de haber hecho Ingeniería Industrial y el Máster, ya que de esta manerahe conseguido ampliar mis conocimientos en casi todos los campos de la IngenieríaIndustrial en general.

En los últimos año de carrera he conocido a personas que la verdad es que no meesperaba que a estas alturas pudiera conocer. He conocido a muchísima gente, y meacuerdo ahora mismo de los dos Adrianes, Alfredo, Antonio, Ana, Valle, Isabel,...todos ellos compañeros de especialidad en Tecnologías Energéticas. También he co-nocido a Israel, Ramiro, Yoli,...

Por supuesto, doy gracias a mis padres y mi hermana por todo el apoyo que me handado durante todos estos años de universidad, sin ese apoyo sé a ciencia cierta queno habría llegado hasta aquí, ya que he tenido momentos malos donde ellos me hanlevantado. Y por supuesto a Leticia, que ha sido mi principal apoyo durante esteúltimo año.

Para terminar, quiero acordarme de mis compañeros y amigos del Club de AjedrezAlcorcón, que durante estos años hemos compartido juntos buenos momentos, y queva a seguir siendo así espero que por muchos años más.

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Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo(Galileo Galilei)

En matemáticas es inútil tratar de entender algo, sólo hay que usarlo(Johann von Neumann)

El ajedrez sirve, como pocas cosas en este mundo, para distraer y olvidarmomentáneamente las preocupaciones de la vida diaria

(GM J.R. Capablanca, excampeón Mundial)

La acumulación de pequeñas ventajas lleva a una supremacía considerable(W. Steinitz, excampeon Mundial)

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Índice general

1. Introducción y objetivos 21.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Antecedentes históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Introducción a la viscoelasticidad 72.1. Concepto de viscoelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Modelos viscoelásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Integrales Hereditarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Principio de Correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. Influencia de la temperatura en la curva de fluencia (metales) . . . . 202.6. Ensayos de rotura por fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Dinámica de vigas viscoelásticas 243.1. Introducción a la dinámica de vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Cálculo de vigas con amortiguamiento viscoelástico . . . . . . . . . . 313.3. Cálculo de vigas de material viscoelástico . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1. Forma diferencial utilizando modelos mecánicos . . . . . . . . 333.3.2. Forma de Integral Hereditaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Vigas viscoelásticas con amortiguamiento no local 364.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1. Formulación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.2. Casos especiales de función de amortiguamiento . . . . . . . . 394.1.3. Caso general de función de amortiguamiento: modelos . . . . . 40

4.2. Introducción a distintos métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . 44

5. Métodos de resolución de la ecuación de movimiento 465.1. Método de Galerkin y Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 465.2. Método de semi-discretización temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.1. Desarrollo del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.2. Análisis de la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3. Método de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4. Introducción al método de descomposición en funciones cnoidales . . 61

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6. Casos prácticos 646.1. Introducción y metodología de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2. Caso 1: condiciones de contorno apoyo-apoyo . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2.1. Modos propios no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.2. Resolución del problema estándar . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.3. Influencia de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2.4. Solución analítica para N=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.5. Influencia del modelo utilizado en c(x− ») . . . . . . . . . . . 736.2.6. Influencia de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.7. Influencia de ¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.8. Influencia de ® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.2.9. Influencia de x2 − x1 (región centrada) . . . . . . . . . . . . . 776.2.10. Influencia de x1 (Δx = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3. Caso 2: condiciones de contorno empotramiento-libre . . . . . . . . . 816.3.1. Modos propios no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.2. Resolución del problema estándar . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.3. Influencia de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.4. Influencia de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.5. Influencia de ¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.6. Influencia de ® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3.7. Influencia de x2 − x1 (región centrada) . . . . . . . . . . . . . 866.3.8. Influencia de x1 (Δx = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.4. Caso 3: condiciones de contorno empotramiento-apoyo . . . . . . . . 906.4.1. Modos propios no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4.2. Resolución del problema estándar . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4.3. Influencia de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.4. Influencia de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.5. Influencia de ¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4.6. Influencia de ® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.4.7. Influencia de x2 − x1 (región centrada) . . . . . . . . . . . . . 966.4.8. Influencia de x1 (Δx = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.5. Caso 4: condiciones de contorno empotramiento-empotramiento . . . 996.5.1. Modos propios no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5.2. Resolución del problema estándar . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.5.3. Influencia de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.4. Influencia de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5.5. Influencia de ¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5.6. Influencia de ® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.5.7. Influencia de x2 − x1 (región centrada) . . . . . . . . . . . . . 1056.5.8. Influencia de x1 (Δx = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.6. Comparativa de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7. Conclusiones 112

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8. Líneas futuras de investigación 114

9. Bibliografía 115

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Índice de figuras

1.1. Tratamiento amortiguador de capa libre . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Tratamiento amortiguador a cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Comportamiento de un sólido elástico perfecto . . . . . . . . . . . . . 72.2. Comportamiento de un líquido viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Ensayo de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Ensayo de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Modelo de material elástico: ¾ = K ⋅ ² . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6. Modelo de material viscoso: ¾ = C ⋅ ² . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7. Modelo de Maxwell: resorte y amortiguador en serie . . . . . . . . . . 122.8. Modelo de Kelvin: resorte y amortiguador en paralelo . . . . . . . . . 132.9. Modelo analógico alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.10. Función de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.11. Caso particular: salto finito en la tensión aplicada . . . . . . . . . . . 152.12. Caso general: tensión función del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 162.13. Viga biapoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.14. Influencia de la temperatura en la curva de fluencia . . . . . . . . . . 202.15. Fluencia a altas temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.16. Rotura por fluencia: curva P − ¾ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1. Viga elemental sometida a una carga distribuida . . . . . . . . . . . . 243.2. Equilibrio local en una sección genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Viga con tratamiento amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1. Modelo de función de Kernel: decrecimiento exponencial . . . . . . . 404.2. Modelo de función de Kernel: función error . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. Modelo de función de Kernel: función escalón . . . . . . . . . . . . . 414.4. Modelo de función de Kernel: función triangular . . . . . . . . . . . . 424.5. Modelo de función de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1. Ejemplo ilustrativo que justifica la definición de ´ . . . . . . . . . . . 656.2. Desplazamiento del punto medio para la viga biapoyada estándar . . 696.3. Contribución de los modos 2 a 5 al desplazamiento en x = L/2 . . . . 706.4. Desplazamiento del punto medio para el modelo exponencial (® = 5) 736.5. Desplazamiento del punto medio para el modelo función error (® = 5) 74

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6.6. Desplazamiento del punto medio para el modelo función escalón (l0 =0,8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.7. Desplazamiento del punto medio para el modelo función triangular(l0 = 0,8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.8. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de H0 . . . . . 756.9. Capacidad de amortiguación ´ en función de H0 . . . . . . . . . . . . 766.10. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ¹ . . . . . 766.11. Capacidad de amortiguación ´ en función de ¹ . . . . . . . . . . . . . 776.12. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ® . . . . . 776.13. Capacidad de amortiguación ´ en función de ® . . . . . . . . . . . . . 786.14. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de Δx (región

centrada en x = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.15. Capacidad de amortiguación ´ en función de Δx (región centrada en

x = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.16. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de x1 (Δx = L/2) 796.17. Capacidad de amortiguación ´ en función de x1 (Δx = L/2) . . . . . 806.18. Desplazamiento del punto medio para la viga empotrada-libre estándar 836.19. Contribución de los modos 2 y 3 al desplazamiento en x = L/2 . . . . 846.20. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de H0 . . . . . 856.21. Capacidad de amortiguación ´ en función de H0 . . . . . . . . . . . . 856.22. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ¹ . . . . . 866.23. Capacidad de amortiguación ´ en función de ¹ . . . . . . . . . . . . . 866.24. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ® . . . . . 876.25. Capacidad de amortiguación ´ en función de ® . . . . . . . . . . . . . 876.26. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de Δx (región


x = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.28. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de x1 (Δx = L/2) 896.29. Capacidad de amortiguación ´ en función de x1 (Δx = L/2) . . . . . 896.30. Desplazamiento del punto medio para la viga empotrada-libre estándar 926.31. Contribución de los modos 2 a 4 al desplazamiento en x = L/2 . . . . 936.32. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de H0 . . . . . 946.33. Capacidad de amortiguación ´ en función de H0 . . . . . . . . . . . . 946.34. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ¹ . . . . . 956.35. Capacidad de amortiguación ´ en función de ¹ . . . . . . . . . . . . . 956.36. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ® . . . . . 966.37. Capacidad de amortiguación ´ en función de ® . . . . . . . . . . . . . 966.38. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de Δx (región


x = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.40. Capacidad de amortiguación ´ en función de x1 (Δx = L/2) . . . . . 986.41. Desplazamiento del punto medio para la viga empotrada-libre estándar 101

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6.42. Contribución de los modos 2 y 3 al desplazamiento en x = L/2 . . . . 1026.43. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de H0 . . . . . 1026.44. Capacidad de amortiguación ´ en función de H0 . . . . . . . . . . . . 1036.45. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ¹ . . . . . 1036.46. Capacidad de amortiguación ´ en función de ¹ . . . . . . . . . . . . . 1046.47. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ® . . . . . 1046.48. Capacidad de amortiguación ´ en función de ® . . . . . . . . . . . . . 1056.49. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de Δx (región


x = L/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.51. Desplazamiento del punto medio para distintos valores de x1 (Δx = L/2)1066.52. Capacidad de amortiguación ´ en función de x1 (Δx = L/2) . . . . . 1076.53. Capacidad de amortiguación ´ en función de H0 (resto de parámetros:

valores estándar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.54. Capacidad de amortiguación ´ en función de ¹ (resto de parámetros:

valores estándar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.55. Capacidad de amortiguación ´ en función de ® (resto de parámetros:

valores estándar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.56. Capacidad de amortiguación ´ en función de Δx (resto de parámetros:

valores estándar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.57. Capacidad de amortiguación ´ en función de x1 (resto de parámetros:

valores estándar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Capítulo 1

Introducción y objetivos

1.1. Introducción

El análisis de la respuesta dinámica de estructuras es de vital importancia en numero-sas áreas de la ingeniería mecánica, civil y aeroespacial, como por ejemplo los cablesque soportan los puentes ó las vibraciones de las estructuras aeroespaciales. En parti-cular, es de especial interés analizar el comportamiento de estructuras amortiguadas,así como los diferentes modelos de amortiguamiento que se pueden considerar.

Los materiales viscoelásticos, debido a sus características de amortiguamiento, sonmuy usados en ingeniería aeroespacial y mecánica para controlar las vibraciones enestructuras y máquinas, y en ingeniería acústica para reducir el ruido. Cuando estosmateriales son sometidos a una deformación, una parte de este trabajo se almacena ypuede ser recuperado como energía elástica de deformación mientras que la otra partese disipa sin deformaciones inelásticas. El amortiguamiento viscoelástico se observaen muchos polímeros, ya que son materiales constituidos por cadenas molecularesgrandes y por tanto mayor capacidad para disipar energía. La capacidad de amor-tiguamiento surge de la relajación y recuperación del polímero después de que éstehaya sido deformado.

Los materiales amortiguadores se han usado mucho en ingeniería mecánica como unmétodo para reducir las vibraciones inducidas por irregularidades del terreno, en unvehículo, motor, etc. En ingeniería aeronáutica y aeroespacial también han sido uti-lizados para disminuir las oscilaciones inducidas por la turbulencia, las vibracionestrasmitidas desde las turbinas y motores de cohetes, etc. En ingeniería civil se hanutilizado para aumentar el amortiguamiento intrínseco de las estructuras y así redu-cir las las oscilaciones inducidas por el viento, e incluso en las dos últimas décadastambién se ha analizado y puesto en práctica su capacidad para mitigar la respuestaa cargas sísmicas.

Estos materiales ofrecen una alternativa a otras técnicas usadas en estructuras civi-les, como por ejemplo los amortiguadores de fluido viscoso y los amortiguadores defricción. Cuando se usan materiales viscoelásticos en edificios, se instalan en forma

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de láminas pequeñas (comparadas con la dimensión de la estructura) que se colocanentre placas de acero. Estos amortiguadores viscoelásticos, junto con los de otrostipos antes mencionados, se conocen con el nombre genérico de sistemas de controlpasivo, por el hecho de que no necesitan de ninguna fuente de energía externa parafuncionar.

Existen diversos tipos de tratamiento amortiguador dependiendo de la configuraciónde las capas sobre el elemento. El más simple se conoce como tratamiento amortigua-dor ”de capa libre” o ”capa no restringida”, y es el más fácil de aplicar y económico.En él, la disipación de energía surge de la deformación extensional que se presenta enla viga cuando es sometida a una carga cíclica (figura 1.1).

Otro tipo de tratamiento utilizado se conoce como ”a cortante” o ”de capa restringida”,que consiste en formar un emparedado constituido por dos capas elásticas externas yuna capa viscoelástica entre ellas (figura 1.2). Cuando las dos capas externas experi-mentan flexión cíclica deforman por cortante la capa viscolástica. La deformación porcortante es un mecanismo mediante el cual se disipa más energía que si la capa sólotuviera deformaciones extensionales, lo cual permite que las oscilaciones estructuralesse atenúen más rápidamente.

Figura 1.1: Tratamiento amortiguador de capa libre

Figura 1.2: Tratamiento amortiguador a cortante

La mayor ventaja de utilizar tratamientos amortiguadores es la reducción en la res-puesta dinámica lograda sin alterar significativamente la masa y rigidez de la estruc-tura.

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1.2. Objetivos

En este trabajo se va a estudiar de manera analítica el tratamiento de amortiguamien-to ”de capa libre” en vigas de material elástico recubierto con una capa de materialviscoelástico amortiguador, partiendo de la ecuación de movimiento de la viga. Seconsiderarán geometrías de viga sencillas (rigidez y sección transversal constantes) ycondiciones de contorno estándar (extremo libre, apoyado y empotrado).

El modelo que se va a analizar en el presente estudio es un modelo de amortigua-miento viscoelástico no local, que tiene en cuenta efectos de histéresis espacial ytemporal a la hora de calcular los desplazamientos de los puntos de la viga. No sólointerviene la historia de desplazamientos por tratarse de un material viscoelástico,sino también influye el campo de velocidades de todos los puntos del dominio espa-cial correspondientes a la región amortiguada de la viga. Además, dicho modelo sepodrá particularizar de manera sencilla a los casos de amortiguamiento viscoso yviscoelástico local.

La ecuación de movimiento de la viga es una ecuación integro-diferencial que seráabordada desde el punto de vista de diferentes métodos de resolución. Entre losdiferentes procedimientos destacan el Método de Galerkin, de Transformada deLaplace, y diversos Métodos Numéricos cuyos fundamentos se detallarán másadelante en su capítulo correspondiente. Finalmente se ilustrará a título informativoun método alternativo basado en la Desomposición en funciones cnoidales .

En los primeros capítulos se entrará de manera general en los fundamentos de losmateriales viscoelásticos y las diferentes modelizaciones que existen sobre su com-portamiento mecánico, y se introducirá la dinámica de vigas básica para entender yresolver el problema. Finalmente, será en los capítulos siguientes donde se explicaráel caso de viga amortiguada y se desarrollarán los distintos métodos de resolución,para posteriormente analizar mediante ejemplos prácticos cómo influyen en la solu-ción final las condicions de contorno y los distintos parámetros que intervienen en elproblema.

Hay que tener en cuenta que en los problemas de ingeniería no es siempre posible ob-tener soluciones matemáticas rigurosas, y sólo en determinados casos simples puedenobtenerse soluciones analíticas exactas. Cuando los problemas implican propiedadesde materiales, distribución de cargas y condiciones de contorno complejas, es necesa-rio introducir simplificaciones o idealizaciones para reducir el problema a una soluciónmatemática que sea capaz de dar resultados aceptables desde el punto de vista de laseguridad.

Cualquier estudio analítico similar al que se realiza en el presente trabajo, debe apo-yarse siempre que sea posible en sendos análisis experimental y de simulaciónnumérica, ya que por sí mismo no representa una solución utilizable para fines detipo ingenieriles. En este sentido, el objetivo de este estudio es únicamente de tipoanalítico, aunque apoyado en algunos aspectos por estudios anteriores que ya hansido contrastados con experimentación y simulaciones por ordenador.

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1.3. Antecedentes históricos

El tratamiento consistente en una capa de material viscoelástico adherida a la super-ficie de una estructura sometida a una carga cíclica fue estudiado por primera vezpor Oberts(1952), considerando una viga con una capa viscoelástica en una y endos caras.

El primer análisis teórico serio en el campo de tratamientos de amortiguamiento fuerealizado por Ross et al. (1959), quienes desarrollaron la primera teoría para vigastipo emparedado de tres capas con material viscoelástico en el núcleo. La teoría fuedesarrollada basándose en la ecuación diferencial de cuarto orden para vibracionespor flexión de una viga uniforme, pero utilizando una rigidez a flexión complejaequivalente.

DiTaranto (1965) también contribuyó de manera importante al estudio de vigaslaminadas de tres capas con material viscoelástico entre las dos capas elásticas, y concondiciones de contorno arbitrarias. Este investigador obtuvo una ecuación diferencialde movimiento de sexto orden para vibraciones libres, en términos de los desplaza-mientos longitudinales en la viga. Su aporte contribuyó a calcular las frecuenciasnaturales del sistema.

Recientement se han propuesto y estudiado numerosos modelos de amortiguamiento.Yang y Wu (1997) han analizado sistemas unidimensionales distribuidos con amor-tiguamiento viscoso, calculando los modos de vibración del sistema. Krenk (2004)investigó el problema de autovalores asociado a cables o vigas con amortiguamientoviscoso en la frontera o en una posición intermedia. Más tarde, Krenk y Hogsberg(2005) analizaron la respuesta modal de un cable con amortiguadores transversales,modelizados con propiedades viscosas, viscoelásticas y viscosas no lineales.

Otros autores han extendido el modelo de amortiguamiento viscoso a no viscoso.Adhikari (2000,2001) y Adhikari y Woodhouse (2001) presentaron un estudiosistemático sobre el análisis e identificación de sistemas mecánicos amortiguados, cen-trándose en el amortiguamiento no viscoso de sistemas lineales. Woodhouse (1998)otbuvo expresiones aproximadas para las frecuencias propias de sistemas amortigua-dos, así como sus modos correspondientes. Podlubny (1999) y Mainardi (1997)han utilizado modelos constitutivos basados en teorías diferenciales, que reproducenel comportamiento de materiales viscoelásticos amortiguados.

Bagley y Torvik (1983,1985) presentaron una formulación de elementos finitos ysoluciones cerradas en el dominio de Laplace para estructuras de vigas amortiguadas,y Enelund y Josefson (1997) aplicaron también un método de elementos finitosal análisis dinámico de estructuras con materiales viscoelásticos.

Flugge (1975), en su libro ”Viscoelasticity” escribió:

”La reacción q(x1) en un punto x1, por supuesto que no sólo depende del desplaza-miento w(x1) en ese punto, sino también del de sus puntos próximos x2, con unainfluencia decreciente según aumenta la distancia ∣x1 − x2∣”.

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Russell (1992) fue el primero en proponer un modelo de amortiguamiento no localpara el análisis de vibraciones en vigas de material compuesto con amortiguamientointerno, sin embargo Eringen y Edelen (1972) ya habían introducido un modelode elasticidad no local que fue posteriormente estudiado por Polizzotto (2001) yPisno y Fuschi (2003). Basado en la teoría de elasticidad no local,Ahmadi (1975)fue el primero en sugerir un modelo de viscoelasticidad no local.

En 1991, Banks e Inman consideraron cuatro modelos diferentes de amortigua-miento en vigas de material compuesto, denominados amortiguamiento viscoso delaire, amortiguamiento de Kelvin-Voigt, y amortiguamientos con histéresis espacial ytemporal, y en 2005 Lei, Friswell y Adhikari proponen un método de Galerkinpara sistemas distribuidos (vigas y placas) con amortiguamiento no local, resolviendolos casos particulares de amortiguamiento viscoso y viscoelástico.

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Capítulo 2

Introducción a la viscoelasticidad

2.1. Concepto de viscoelasticidad

La teoría clásica de la elasticidad considera propiedades mecánicas de los sólidoselásticos de acuerdo con las leyes de Hooke generalizadas. Para un caso unidimen-sional de tracción simple, la deformación conseguida es directamente proporcional alesfuerzo aplicado (figura 2.1):

¾ = f(²) (2.1)

Figura 2.1: Comportamiento de un sólido elástico perfecto

Por otra parte, la teoría hidrodinámica trata las propiedades de los líquidos viscosospara los que, de acuerdo con la ley de Newton, el esfuerzo aplicado es directamenteproporcional a la velocidad de deformación, pero independiente de la deformaciónmisma (figura 2.2):

¾ = f(²) (2.2)

7

Figura 2.2: Comportamiento de un líquido viscoso

Estas dos categorías son idealizaciones, aunque el comportamiento de muchos sólidosse aproxima a las leyes de Hooke en infinitesimales deformaciones y el de muchoslíquidos se aproxima a la ley de Newton para velocidades de deformación bajas.

De esta forma, si se aplica un estado de cargas sobre un sólido elástico, éste se deformahasta que la fuerza cesa y la deformación vuelve a su valor inicial, es decir, poseenla cualidad de almacenamiento de energía mecánica sin disipación de la misma. Porotra parte, si un fluido viscoso se ve sometido a un estado tensional no hidrostático,disipa toda la energía sin posibilidad alguna de almacenamiento.

Un comportamiento intermedio es el comportamiento viscoelástico, medianteel cual se almacena sólo una parte del trabajo consumido en deformar, que puedeser recuperado al descargar. Son materiales capaces de almacenar y disipar energíamecánica.

¾ = f(², ²) (2.3)

Un parámetro utilizado para caracterizar o clasificar de forma cualitativa las sustan-cias de acuerdo a su comportamiento elástico/viscoso/viscoelástico es el número deDeborah, De, que se define como:

De =¿

t(2.4)

donde ¿ es un tiempo de relajación característico (nulo para un fluido viscoso e infinitopara un material perfectamente elástico) y t es un tiempo característico del procesode deformación al que se ve sometido el material. De esta forma se realiza la siguienteclasificación:

De << 1: Comportamiento viscosoDe ≈ 1: Comportamiento viscoelásticoDe >> 1: Comportamiento elástico

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Según este parámetro, todas las sustancias pueden fluir si se espera el tiempo suficien-te. De esta forma, un material puede comportarse como un sólido de Hooke si se tieneun tiempo de relajación muy grande o si es sometido a un proceso de deformaciónen un tiempo muy bajo. Para deformaciones bajas dentro de la zona viscoelástica,casi cercanas al equilibrio, existe una relación lineal entre esfuerzo y deformación,encontrando una zona de viscosidad lineal.

Un ejemplo claro de material viscoelástico son la mayoría de los polímeros. Entre lospolímeros de mayor consumo destacan el PS (¿ ≈ 1s), PET (2s), LDPE (6s) ó PVC(30s), que teniendo en cuenta que durante su procesado la deformación es impuestahasta que adoptan la forma deseada en tiempos de orden de varios segundos o minutos,proporciona a números de Deborah de orden unidad, lo cual supondría en muchoscasos un comportamiento marcadamente viscoelástico. Otros ejemplos de materialviscoelástico son los metales a alta temperatura, el hormigón, y el suelo sometido aacciones dinámicas.

Para caracterizar este tipo de materiales se utilizan los ensayos de fluencia y relajacióna tracción o compresión simple, entre otros.

Ensayo de fluencia

Consiste en someter a una probeta a una tensión constante ¾0 de tracción, y medircómo evoluciona la deformación en función del tiempo, ²0(t) (figura 2.3).

Se define como Función de Fluencia, J(t), al valor de la deformación en funcióndel tiempo en un ensayo de fluencia para una tensión constante unitaria, o lo que eslo mismo, para un ensayo a tensión constante ¾0:

J(t) =²(t)

¾0

(2.5)

Figura 2.3: Ensayo de fluencia

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Ensayo de relajación

Este ensayo consiste en someter a una probeta a una deformación constante ²0 detracción, y medir cómo evoluciona la tensión en función del tiempo, ¾0(t) (figura 2.4)

Figura 2.4: Ensayo de relajación

Se define como Módulo de Relajación, Y(t), al valor de la tensión en función deltiempo en un ensayo de relajación para una deformación constante unitaria, o lo quees lo mismo, para un ensayo a deformación constante ²0:

Y (t) =¾(t)

²0(2.6)

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2.2. Modelos viscoelásticos

Debido a que el comportamiento de los materiales viscoelásticos es difícil de visualizar,a menudo se suelen emplear modelos mecánicos para su representación.

Para construir un modelo que describa el comportamiento de este tipo de materiales,es necesario primeramente modelizar de manera sencilla un sólido de Hooke perfec-tamente elástico y un fluido de Newton. Para ello, partimos de las ecuaciones básicasde estos dos tipos de sólido, que son:

¾ = K ² : Material elástico¾ = C ² : Fluido viscoso (Ley de Newton: ¿ = ¹ °)

Que responden a las ecuaciones cinemáticas de un resorte y un amortiguador:

Figura 2.5: Modelo de material elástico: ¾ = K ⋅ ²

Figura 2.6: Modelo de material viscoso: ¾ = C ⋅ ²

De esta forma, el comportamiento de muchos cuerpos viscoelásticos podría ser mo-delizado adecuadamente mediante una combinación de resortes y amortiguadores,consiguiendo así buenos ajustes de datos experimentales. Entre los modelos más uti-lizados destacan los modelos de Maxwell y Kelvin, que utilizan un resorte y unamortiguador en serie y en paralelo respectivamente. A continuación mostramos elplanteamiento de cada uno de ellos.

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Modelo de Maxwell

Figura 2.7: Modelo de Maxwell: resorte y amortiguador en serie

Partiendo de las ecuaciones del resorte y amortiguador, se puede llegar a una ecuaciónque relacione tensión y deformación para la combinación de un resorte y amortiguadoren serie (figura 2.7):

¾ = K ²1 (2.7)

¾ = C ²2 (2.8)

y utilizando ² = ²1 + ²2 , se obtiene finalmente una ecuación diferencial de primerorden que relaciona la tensión con la deformación de la siguiente manera:

¾ +C

K¾ = C ² (2.9)

Si se aplica Transformada de Laplace a la ecuación anterior:

¾

²=

C s

1 + CKs

(2.10)

donde (⋅) denota la Transformada de Laplace de (⋅).

Modelo de Kelvin

Partiendo de las ecuaciones del resorte y amortiguador, se relacionan tensión y de-formación para una combinación de resorte y amortiguador en serie (figura 2.8):

¾1 = K ² (2.11)

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Figura 2.8: Modelo de Kelvin: resorte y amortiguador en paralelo

¾2 = C ² (2.12)

y utilizando ¾ = ¾1 + ¾2, se llega a:

¾ = K ²+ C ² (2.13)

o lo que es lo mismo:

¾

²= K + C s (2.14)

Otros modelos de resortes y amortiguadores

Se pueden definir de igual manera otras combinaciones en serie y paralelo de resortesy amortiguadores, que modelicen el comportamiento viscoelástico de un sólido.

En tales casos se llegará a una ecuación diferencial que podrá expresarse de manerageneral mediante la siguiente expresión:

¾

²=

Q(s)

P (s)=

∑nk=0(qk s

k)∑mk=0(pk s

k)(2.15)

Se puede aplicar a esta expresión general las definiciones de J(t) y Y(t) a través deun ensayo de fluencia y de relajación respectivamente, como sigue:

{¾(t) = 1 ⋅Δ(t)²(t) = J(t)

}=⇒ J(s) =

P (s)

s ⋅Q(s)(2.16)

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{²(t) = 1 ⋅Δ(t)¾(t) = Y (t)

}=⇒ Y (s) =

Q(s)

s ⋅ P (s)(2.17)

siendo △(t) la función escalón ó función de Heavyside. De esta forma se obtienenambas funciones para el modelo utilizado en cada caso.

Combinando ambos resultados se llega a la interesante conclusión:

J(s) Y (s) =1

s2(2.18)

que relaciona la Función de Fluencia con el Módulo de Relajación de un materialviscoelástico.

Otros modelos analógicos

De igual forma que se utilizaban los modelos de resorte y amortiguador, se puedendefinir nuevos componentes "mecánicos"que intenten reproducir de la manera másexacta posible el comportamiento del material.

Un ejemplo de componente utilizado es el mostrado en la figura 2.9, que tiene porrelación tensión-deformación la siguiente expresión:

Figura 2.9: Modelo analógico alternativo

¾ = ¸ (²)1n (2.19)

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2.3. Integrales Hereditarias

Hasta ahora se ha analizado el caso de un material viscoelástico sometido a una ten-sión constante de tracción. Se ha desarrollado una expresión que permite obtener ladeformación en función del tiempo por medio de modelos de resortes y amortiguado-res, previo cálculo de la Función de Fluencia (figura 2.10).

Figura 2.10: Función de fluencia

Puesto que los materiales que se han analizado hasta el momento siguen leyes lineales,se puede utilizar el Principio de Superposición para considerar el caso general detensión no constante, esto es, ¾(t) variable en el tiempo.

Primeramente considérese el caso de un salto finito en la tensión aplicada (figura2.11).

Figura 2.11: Caso particular: salto finito en la tensión aplicada

Para t > t′ se tiene por tanto:

²(t) = ¾0 J(t) + Δ¾ J(t− t′) (2.20)

Se podrá por tanto calcular la deformación para un caso de tensión función del tiem-po considerando a la función ¾(t) como una sucesión de infinitos saltos de alturadiferencial, esto es:

15

Figura 2.12: Caso general: tensión función del tiempo

²(t) = ¾0 J(t) +

∫ t

0

J(t− t′) ¾(t′) dt′ (2.21)

La integral que aparece en la expresión anterior recibe el nombre de Integral Here-ditaria.

De manera totalmente análoga se puede realizar el cálculo para un estado de defor-mación genérico preestablecido, y obtener la tensión asociada:

¾(t) = ²0 Y (t) +

∫ t

0

Y (t− t′) ²(t′) dt′ (2.22)

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2.4. Principio de Correspondencia

Dada una tipología estructural, el material que la forma, y un conjunto de cargas apli-cadas, tanto si el material es elástico como si es viscoelástico se tienen que verificarlas ecuaciones de equilibrio interno, de compatibilidad y las ecuaciones constituti-vas correspondientes. Para ilustrar este Principio, se particularizará el caso de cargauniaxial por simplicidad.

Sea una viga sobre la que se aplican varias cargas Pi (i = 1,2,...). Aparecerán por tantounas tensiones ¾(x, y, z) que van a satisfacer las ecuaciones de equilibrio interno. Lasdeformaciones producidas serán a su vez ²(x, y, z) = ¾(x, y, z)/E si el material eselástico.

Se plantea a continuación el caso de material viscoelástico, ¿qué tensiones y defor-maciones estará soportando la viga? Supongamos que se aplican las mismas cargasque en el caso elástico, esto es, Pi(t) = Pi ⋅Δ(t). Las tensiones serán las mismas queen el caso elástico, ya que de nuevo se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio:

¾(x, y, z, t) = ¾∗(x, y, z, t) Δ(t) (2.23)

donde ¾∗(x, y, z, t) es el campo tensional para el caso elástico correspondiente.

Para que se satisfagan las ecuaciones de equilibrio interno, las condiciones de contornoy las ecuaciones constitutivas, las deformaciones resultan en este caso:

²(x, y, z, t) = ¾∗(x, y, z, t) J(t) (2.24)

Supongamos ahora que se imponen a la viga ciertos desplazamientos wi en algunosde sus puntos. En el caso elástico, las deformaciones ²(x, y, z) pueden calcularse apartir de esos desplazamientos utilizando las ecuaciones de compatibilidad, y lastensiones ¾(x, y, z) utilizando después las ecuaciones constitutivas. En el caso dematerial viscoelástico, se tiene:

²(x, y, z, t) = ²∗(x, y, z, t) Δ(t) (2.25)

¾(x, y, z, t) = ²∗(x, y, z, t) Y (t) (2.26)

donde ²∗(x, y, z, t) es la deformación para el caso elástico correspondiente. En amboscasos, la Función de Fluencia y el Módulo de Relajación, J(t) e Y (t) respectivamente,vendrán impuestos por el tipo de material viscoelástico, y variarán de un tipo a otro.

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Ejemplo: viga biapoyada con desplazamiento impuesto en la sección central

Figura 2.13: Viga biapoyada

Para conseguir un desplazamiento impuesto w0 en x = L/2, es necesaria una cargaP (t), variable en el tiempo debido a la viscoelasticidad del material.

Si el material fuese elástico, se tendría (bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones):

P =48EI

L3w0 (2.27)

Para un material viscoelástico, la expresión resultante se obtiene sustituyendo elmódulo de elasticidad E por el módulo de relajación Y (t):

P (t) =48 Y (t) I

L3w0 (2.28)

Aplicación a las integrales hereditarias

Se puede combinar el Principio de Correspondencia con el concepto de Integral Here-ditaria para el caso general de carga variable en el tiempo sobre una viga viscoelástica.Se ilustra a continuación con un ejemplo práctico.

Supongamos que tenemos una viga viscoelástica biapoyada sometida a una cargadistribuida q0 a lo largo de toda su longitud. Para el caso de viga elástica se puededeterminar fácilmente su deformada:

w∗(x) =16w0

5L4(x4 − 2Lx3 + L3x) (2.29)

siendo:

w0 =5q0L

4

348EI= w(x =

L

2) (2.30)

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Para el caso de viga viscoelástica sometida a una carga q(t) = q0 ⋅ f(t) , la deformadavariará con el tiempo a través de la siguiente expresión:

w(x, t) = w∗(x)[f(0+) J(t) +

∫ t

0+J(t− t′) f(t− t′) dt′

](2.31)

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2.5. Influencia de la temperatura en la curva de fluen-cia (metales)

Hasta el momento no se ha tenido en cuenta ninguna influencia de la Temperaturaen los procesos de fluencia y relajación, no obstante, su valor afecta a la Función deFluencia y al Módulo de Relajación del material considerado.

Bajo este contexto, se distinguen dos regiones de comportamiento claramente diferen-ciadas. La primera de ellas es la zona de fluencia a bajas temperaturas, para valores detemperaturas menores que el 40% del valor de la temperatura de fusión del material,valor próximo a la temperatura de recristalización. La segunda zona que se analizaes la que corresponde a temperaturas entorno a ese valor, y es la denominada zonade fluencia a altas temperaturas.

Supongamos que se realiza un ensayo de fluencia a una tensión constante ¾0 . Secomprueba experimentalmente que a mayores temperaturas se registran mayores de-formaciones en el material.

Figura 2.14: Influencia de la temperatura en la curva de fluencia

Fluencia a bajas temperaturas (T < 0,4 Tfusion)

La curva deformación-tiempo correspondiente a un ensayo de fluencia sigue una ex-presión de tipo logarítmico (Fluencia Logarítmica):

² = A ln(ºt) ≈ A ln(ºt+ 1) (2.32)

siendo A y º parámetros que dependen del material, la tensión, y la temperatura.

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Fluencia a altas temperaturas (T ∼ 0,4 Tfusion)

Cuando se trabaja a temperaturas de este orden, aparece la denominada Fluenciade Andrade, produciéndose deformaciones que pueden llegar a ser muy elevadas.En la figura 2.15 se muestra esquemáticamente la curva deformación-tiempo corres-pondiente, para una tensión y temperatura constantes.

Figura 2.15: Fluencia a altas temperaturas

En ella se observan tres regiones claramente diferenciadas:

Región I: Fluencia transitoria. La deformación crece con el tiempo, pero la velocidadde deformación es siempre decreciente.

Región II: Fluencia estacionaria. La deformación crece linealmente con el tiempo,es decir, la velocidad de deformación es constante.

Región III: Fluencia acelerada. La deformación y velocidad de deformación crecencon el tiempo hasta la rotura de la probeta.

Aunque no existe una ley que caracterice el comportamiento completo esquematizadoen la curva, Andrade en 1910 realizó una serie de ensayos de fluencia en metales aaltas temperaturas y estableció una ecuación que describe con bastante aproximaciónel comportamiento en las regiones I y II.

En estas regiones la deformación para temperatura y tensión constante se puedeescribir mediante la expresión:

² = ²0 +B tn +K t (2.33)

siendo los dos últimos sumandos la deformación correspondiente a las zonas I y IIrespectivamente, y donde:

²0 es la deformación instantánea (tanto elástica como plástica si la hubiera), y B yK son constantes que dependen del material, la tensión y la temperatura. n es otra

21

constante del material que oscila entre 1/4 y 2/3. Andrade en sus trabajos originalesle asignó un valor de 1/3.

La ecuación de Andrade no predice correctamente el comportamiento en la región III,donde aparecen fenómenos de crecimiento de microvacíos que dan lugar a la estriccióndel material si éste es dúctil o microfisuras si es frágil.

La constante K correspondiente al tramo de fluencia estacionaria, puede representarsea su vez a través de la siguiente expresión:

K = K0 exp

(− Q

RT

)(2.34)

donde:

K0 = C0 ¾N (2.35)

siendo C0 y N constantes (N = 3 para la mayoría de las aleaciones,N ∼ 4,5÷ 5,5 para metales puros) que se determinan mediante experimentación.

El parámetro Q es la energía de activación de fluencia, que se puede considerarindependiente de la tensión para valores de ésta por debajo de 0,001 G, siendo Gel módulo de cortadura del material, R la constante universal de los gases ideales,R = 8,314J/mol K, y T la temperatura.

22

2.6. Ensayos de rotura por fluencia

En este tipo de ensayos, generalmente realizados a tensión y temperatura constantes,no se mide la evolución de la deformación, sino que se mide el tiempo que transcurrehasta la rotura del componente.

La familia de curvas que se genera en este tipo de ensayos se puede agrupar en unasola curva, que relaciona la tensión ¾ con un parámetro que engloba la influenciacombinada de temperatura y tiempo. En este sentido, el parámetro más utilizado esel parámetro de Larson-Miller, P , introducido en 1952:

P = T (log trot + C) (2.36)

siendo T la temperatura, trot el tiempo hasta rotura y C una constante.

De esta forma se pueden extrapolar valores de rotura por fluencia de materiales (figura2.16).

Figura 2.16: Rotura por fluencia: curva P − ¾

23

Capítulo 3

Dinámica de vigas viscoelásticas

3.1. Introducción a la dinámica de vigas

En este capítulo se estudia el comportamiento dinámico de vigas tipo Euler-Bernoullicon cargas que actúan en la dirección transversal a la misma (figura 3.1). Inicialmente,y de manera introductoria, se realizan los cálculos sin tener en cuenta ningún tipo deamortiguamiento a lo largo de la longitud de la viga. Como es habitual, se realiza lahipótesis de pequeñas deformaciones.

Sea una viga de longitud L, sección transversal A(x) y momento de inercia I(x),sometida a una carga distribuida por unidad de longitud F (x, t) a lo largo de sudirección longitudinal. La densidad del material es ½ y su módulo de elasticidad E.El objetivo final de este análisis es determinar los movimientos de todos los puntos dela viga en función del tiempo, esto es, obtener una expresión para el desplazamientotransversal w(x, t), ya que son nulos los desplazamientos longitudinales al no existirfuerzas en esta dirección. Para simplificar las expresiones obtenidas, se supondránpropiedades y dimensiones uniformes a lo largo de la longitud de la viga.

Figura 3.1: Viga elemental sometida a una carga distribuida

Los extremos de la viga (x = 0, x = L) estarán sujetos a unas determinadas condi-ciones de contorno, típicamente alguna de las que se muestran a continuación:

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Extremo empotrado:

Esta condición de contorno considera el desplazamiento (w) y el giro (µ = ∂w/∂x)nulos en el extremo x0 en el que es aplicada, lo que se traduce en las siguientes dosexpresiones diferenciales:

⎧⎨⎩

w(x0, t) = 0 , ∀t

∂w

∂x(x0, t) = 0 , ∀t

⎫⎬⎭

(3.1)

Extremo apoyado:

En este caso son nulos el desplazamiento (w) y el momento flector (M = −EI∂2w/∂x2)en el punto considerado:

⎧⎨⎩

w(x0, t) = 0 , ∀t

∂2w

∂x2(x0, t) = 0 , ∀t

⎫⎬⎭

(3.2)

Extremo libre:

Para esta condición de contorno se anulan el momento flector (M) y el esfuerzocortante (V = ∂M/∂x), lo que implica inmediatamente que son nulas las derivadassegunda y tercera del desplazamiento:

⎧⎨⎩

∂2w

∂x2(x0, t) = 0 , ∀t

∂

∂x

(EI(x)

∂2w

∂x2

)= 0 , ∀t

⎫⎬⎭

(3.3)

Además, como ocurre en cualquier problema dinámico, se partirá de unas determi-nadas condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad en el instante inicial t = 0que habrá que considerar a la hora de resolver el problema:

⎧⎨⎩

w(x, 0) = f(x)

∂w

∂t(x, 0) = g(x)

⎫⎬⎭

(3.4)

siendo habitual no obstante considerar desplazamientos y velocidades iniciales nulosen este tipo de problemas estructurales.

25

Figura 3.2: Equilibrio local en una sección genérica

Primeramente se van a establecer las características dinámicas de un segmento deviga de tamaño diferencial ”dx”, donde jugarán un papel fundamental las fuerzasinerciales (figura 3.2).

Sabemos que:

M = −EI(x)∂2w

∂x2(3.5)

Aplicando la 2a Ley de Newton al elemento diferencial anterior, e introduciendo laecuación 3.5, se obtiene fácilmente la ecuación de movimiento de la viga:

∂2

∂x2

(EI(x)

∂2w

∂x2

)+ ½A(x)

∂2w

∂t2= F (x, t) (3.6)

Es apropiado advertir en este punto que es habitual despreciar el peso propio de estetipo de estructuras, ya que es mucho menor que las demás fuerzas que intervienen enel sistema, o lo que es lo mismo, los desplazamientos producidos son prácticamenteinapreciables y se desprecian. No obstante, resulta sencillo incorporar este término ala ecuación diferencial, sumando la fuerza másica por unidad de longitud, ½A(x)g, enel término independiente de la ecuación diferencial anterior, donde g es la aceleraciónde la gravedad, g = 9,81N/kg.

La solución general de la ecuación 3.6 será la suma de la solución general de laecuación homogénea (problema de vibraciones libres, F (x, t) ≡ 0) más una solución

26

particular de la ecuación completa (problema de vibraciones forzadas), expresionesque en muchos casos se obtienen de manera independiente.

Problema de vibraciones libres

Para resolver la ecuación diferencial correspondiente al problema de vibraciones libres(también denominado problema homogéneo), F (x, t) ≡ 0, es típico utilizar el métodode separación de variables, o también denominado método de Galerkin, que de manerasencilla permite obtener una solución como suma de funciones compuestas a su vezpor otras funciones espaciales y temporales. Por simplicidad, se considerarán en loscálculos sucesivos propiedades uniformes a lo largo de la viga, es decir, ½A(x) =½A , EI(x) = EI.

Si se denota por wℎ(x, t) al desplazamiento obtenido del problema de vibracioneslibres, una solución en forma de variables separadas se puede definir por medio de lasiguiente expresión:

wℎ(x, t) =∞∑i=1

Ái(x) qℎi (t) (3.7)

siendo Ái y qℎi unas funciones espaciales y temporales que habrá que determinar.Sustituyendo 3.7 en la ecuación diferencial 3.6 con F ≡ 0, se obtiene la siguienteecuación:

EI

∞∑i=1

(ÁIVi (x) qℎi (t)

)+ ½A

∞∑i=1

(Ái(x) q

ℎi (t)

)= 0 (3.8)

que debe cumplirse de manera independiente para cada sumando i-ésimo. Se llegapor tanto a la siguiente relación

EI ÁIVi (x)

½A Ái(x)= − qHi (t)

qHi (t)= ctei ≡ !2

i (3.9)

de donde resultan 2 ecuaciones diferenciales fáciles de resolver, una para la compo-nente espacial Ái(x) y otra para la componente temporal qℎi (t), y para las cuales habráque tener en cuenta las condiciones iniciales y de contorno del problema general.

EI

½AÁIVi (x)− !2

i Ái(x) = 0 (3.10)

qℎi (t) + !2i q

ℎi (t) = 0 (3.11)

Resolviendo ambas se obtiene:

27

Ái(x) = Ai cos íx+Bi sin íx+ Ci cosh íx+Di sinh íx ; ´4i ≡ ½A

EI!2i

(3.12)

qℎi (t) =qℎi (0)

!i

sin!it+ qℎi (0) cos!it (3.13)

qℎi (0) =

∫ L

0Ái(x) w(x, 0) dx∫ L

0Á2i (x) dx

(3.14)

qℎi (0) =

∫ L

0Ái(x) w(x, 0) dx∫ L

0Á2i (x) dx

(3.15)

donde las constantes Ai, Bi, Ci, Di, y !i se obtienen de aplicar las condiciones decontorno a Ái(x) y de imponer que exista al menos una solución no trivial distinta decero, quedando siempre una de estas constantes con un valor libre (se puede compro-bar que este hecho no impide obtener una la solución final cerrada de wℎ(x, t)). Lasfunciones Ái(x) reciben el nombre de modos propios de vibración, y los paráme-tros !i se denominan frecuencias propias del problema, y es de vital importanciaconocer sus valores para comprender el movimiento transversal de la viga. Además,es interesante conocer la propiedad de ortogonalidad de los modos propios, que seráde gran utilidad a la hora de resolver el problema amortiguado, y que se traduce enlas siguientes expresiones:

∫ L

0

½A Ái(x) Áj(x) dx = 0 , ∀i ∕= j (3.16)

∫ L

0

EI Á′′i (x) Á

′′j (x) dx = 0 , ∀i ∕= j (3.17)

Es habitual normalizar los modos propios fijando un valor de la constante libre, detal manera que se cumpla la siguiente expresión:

∫ L

0

½A Á2k(x) dx = 1 , ∀k = 1, 2, ... (3.18)

que a su vez asegura (por la relación entre ´j y !j) la siguiente igualdad:

∫ L

0

EI (Á′′k(x))

2dx = !2

k , ∀k = 1, 2, ... (3.19)

Por ejemplo, para una viga biapoyada, las frecuencias y modos propios resultan:

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Ái(x) = C sini¼x

L(3.20)

!i =

(i¼

L

)2√

EI

½A(3.21)

El valor de C que normaliza los modos propios se obtiene de introducir 3.20 en 3.18:

∫ L

0

½A Á2k dx = 1 → C =

√2

½AL(3.22)

Problema de vibraciones forzadas: solución particular

A continuación se calcula la solución particular wp(x, t) para la ecuación no homo-génea correspondiente a F (x, t) ∕= 0, para lo cual se descompone la función despla-zamiento de nuevo en forma de variables separadas, donde van a aparecer los modospropios Ái que ya han sido calculados previamente en el problema de vibraciones li-bres asociado. Al mismo tiempo, se descompone también el término F (x, t) tambiénen forma de serie de los modos propios, quedando:

⎧⎨⎩

wp(x, t) =∞∑i=1

Ái(x) qpi (t)

F (x, t) =∞∑i=1

Ái(x) fi(t)

⎫⎬⎭

→ qpi (t) + !2i q

pi (t) =

fi(t)

½A(3.23)

donde las funciones fi(t) se pueden obtener aplicando la ortogonalidad de los modospropios:

fi(t) =

∫ L

0F (x, t) Ái(x) dx∫ L

0Á2i (x) dx

(3.24)

Finalmente se obtiene como solución particular de qpi (t) la siguiente expresión:

qpi (t) =1

½A !i

∫ t

0

fi(¿) sin!i(t− ¿) d¿ (3.25)

29

Problema de vibraciones forzadas: solución general

Una vez resuelto el problema homogéneo y encontrada una solución particular delproblema no homogéneo, la solución general del problema de vibraciones forzadas seobtendrá sumando ambas soluciones obtenidas:

w(x, t) = wℎ(x, t) + wp(x, t) (3.26)

Se puede comprobar que para las condiciones iniciales típicas de este tipo de proble-mas, esto es, desplazamiento y velocidad nulos en toda la viga en el instante inicialt = 0, la solución general del problema de vibraciones libres es nula, wℎ(x, t) ≡ 0.

30

3.2. Cálculo de vigas con amortiguamiento viscoe-lástico

Una vez que se ha expuesto la dinámica de vigas sin ningún tipo de amortiguamiento,se va a plantear en esta sección de manera superficial cómo afecta la existencia delmismo a la hora de calcular los desplazamientos de una viga con las mismas propie-dades mecánicas y características geométricas que las consideradas en el apartadoanterior. Posteriormente, será en el siguiente capítulo donde se discutirán los dis-tintos parámetros y funciones que intervienen en dicho problema y se detallará suresolución.

Supongamos que la viga de longitud L posee un tratamiento viscoelástico amortigua-dor en una región [x1, x2] ∈ [0, L] conocida (figura 3.3).

Figura 3.3: Viga con tratamiento amortiguador

Para este problema, la ecuación de movimiento tendrá, además de los sumandos de laecuación 3.6, un nuevo término (al que denominaremos de forma genérica Ψ(x, t)) queva a contener los efectos amortiguadores correspondientes. La ecuación de movimientoqueda de la siguiente manera:

EI∂4w

∂x4+ ½A

∂2w

∂t2+Ψ(x, t) = F (x, t) (3.27)

A partir de este momento, el primer objetivo será determinar una expresión paraΨ(x, t) que se ajuste al comportamiento real de la viga amortiguada, y una vez in-troducido en la ecuación de movimiento aplicar un método de resolución que permitadeterminar los desplazamientos transversales w(x, t), ya sea de forma analítica exac-ta o de manera numérica aproximada en caso de que la anterior no sea posible deabordar.

La función Ψ(x, t) será no nula únicamente en el tramo amortiguado de la viga, esdecir, Ψ(x, t) ≡ 0 en x ∈ [0, L]∖[x1, x2], por tanto claramente dependerá de los puntosx1 y x2 que limitan la región con tratamiento amortiguador.

31

Una expresión de Ψ(x, t) muy utilizada en ingeniería en problemas diversos es laecuación de un amortiguador viscoso, que ya se utilizó en los modelos de un materialviscoelástico en el Capítulo 2:

Ψ(x, t) = k∂w(x, t)

∂t, x1 ≤ x ≤ x2 (3.28)

En la práctica, se ha encontrado que la expresión 3.27 proporciona resultados cercanosa los reales, aunque con errores apreciables.

Un modelo de amortiguamento más general considera que la fuerza Ψ en un puntox de la viga no sólo depende de la velocidad instantánea local en el punto conside-rado, sino también de la historia de velocidades de los puntos próximos al actual. Aeste respecto, se enuncia una expresión general para el término de amortiguamiento(ecuación 3.29).

Ψ(x, t) = k

∫ x2

x1

∫ t

0

c(x− ») g(t− ¿)∂w(», ¿)

∂¿d¿ d» (3.29)

donde c(x−» y g(t−¿) son funciones que aceptan a su vez diferentes modelizaciones,entre las que destacan las siguientes:

c(x− ») =®

2e−®∣x−»∣ , g(t− ¿) = ¹ e−¹(t−¿) (3.30)

La ecuación 3.29 posee una integral espacial que recoge la naturaleza no local delamortiguamiento por medio de la función peso c(x − »), que tiene un valor máximocuando el punto de influencia » coincide con el punto que se quiere calcular, x, y quedecrece según aumenta la distancia ∣x − »∣. En cambio, la integral temporal recogela historia de velocidades en instantes anteriores a t, a través del peso g(t − ¿) quees máximo cuando el instante de influencia es el actual (¿ = t), y que decrece parainstantes de influencia lejanos (t− ¿ ↑).El hecho de que en el nuevo término Ψ(x, t) aparezca la influencia de dos intervaloscontinuos [x1, x2] y [0,t] a través de sendas integrales, dificulta el proceso de obtenciónde la solución exacta de la ecuación integro-diferencial a la que hemos llegado. Ala hora de resolver el campo de desplazamientos w(x, t), también hay que tener encuenta la inclusión de esta variable en el término de amortiguamiento, lo que complicaaún más su cálculo. En los siguientes capítulos se analizarán distintos métodos deresolución y se introducirán nuevos modelos alternativos para los pesos c(x−») y g(t−¿), así como se considerarán de manera independiente dos efectos amortiguadores,interno y externo.

32

3.3. Cálculo de vigas de material viscoelástico

En esta sección se plantea el análisis dinámico de una viga fabricada íntegramentede material viscoelástico. A diferencia del apartado anterior, en este caso toda laviga sigue un comportamiento viscoelástico, y no sólo una región específica de lasuperficie de la misma. No se resolverá la ecuación de movimiento por no ser unobjetivo del presente estudio, no obstante, los métodos que planetearemos en lossiguientes capítulos pueden ser aplicados a este problema de manera similar y conresultados finales satisfactorios.

3.3.1. Forma diferencial utilizando modelos mecánicos

Aceptando un estado de flexión pura en régimen de pequeñas deformaciones se puederelacionar la deformación en un punto de la viga con el desplazamiento vertical delmismo:

²(x, t) = −y∂2w

∂x2(3.31)

siendo y la distancia del punto considerado al eje neutro de la viga. Asimismo, paraverificarse la expresión anterior, se ha supuesto que una sección de la viga original-mente plana y perpendicular al eje neutro se mantiene plana y perpendicular bajoun estado de deformaciones, esto es, se considera a la viga de tipo Euler-Bernoulli.

Como se desarrolló en el Capítulo 2, se puede plantear un modelo mecánico parapredecir el comportamiento del material, es decir:

P (¾) = Q(²) (3.32)

siendo P y Q los siguientes operadores diferenciales:

P (⋅) =m∑

k=0

pk∂k(⋅)∂tk

, Q(⋅) =n∑

k=0

pk∂k(⋅)∂tk

(3.33)

si se multiplica la ecuación 3.32 por la distancia al eje neutro, y, y se integra a lolargo de la sección de la viga, A:

∫

A

y P (¾) dA =

∫

A

y Q(²) dA (3.34)

Operando ambos lados de la expresión, y utilizando que ∂2w/∂x2 es constante encada sección A (no depende de y ni de z):

33

∫

A

y P (¾) dA = −P

(∫

A

−¾ y dA

)= −P (M) (3.35)

∫

A

y Q(²) dA = Q

(∫

A

² y dA

)= −Q

(∫

A

y2∂2w

∂x2dA

)= −Q

(∂2w

∂x2

)∫

A

y2 dA = −I⋅Q(∂2w

∂x2

)

(3.36)

Se ha llegado a la siguiente expresión:

P (M) = I ⋅Q(∂2w

∂x2

)(3.37)

donde M es el momento flector e I el momento de inercia.

Si se sustituye la ecuación anterior en la ecuación de movimiento de la viga, ecuación3.6, y se utiliza que ∂2M/∂x2 = F (x, t)− ½Aw(x, t), resulta:

P (F (x, t)− ½A w(x, t)) = I Q(wIV (x, t)) (3.38)

que representa la ecuación de movimiento de la viga viscoelástica que se está analizan-do, que junto con las correspondientes condiciones iniciales y de contorno, proporcionael desplazamiento en función del tiempo en todos los puntos de la misma.

3.3.2. Forma de Integral Hereditaria

En el Capítulo 2 se describía el comportamiento de los materiales viscoelásticos através de la función de fluencia, J(t), y el módulo de relajación, Y (t), funciones quereproducen de manera unívoca el comportamiento viscoelástico frente a solicitacio-nes variables con el tiempo en su forma más general. Se obtuvo una expresión querelacionaba la tensión con la deformación a través del módulo de relajación:

¾(x, t) = ²0(x, 0) Y (t) +

∫ t

0

Y (t− ¿) ²(x, ¿) d¿ (3.39)

Multiplicando la ecuación anterior por la distancia al eje neutro, y, e integrando enuna sección genérica, se obtiene:

M(x, t) = I Y (t) wIV (x, 0) + I

∫ t

0

Y (t− ¿) w′′(x, ¿) d¿ (3.40)

34

De nuevo utilizando que M ′′(x, t) = F (x, t) − ½Aw(x, t), y añadiendo la relaciónV (x, t) = M ′(x, t), se llega finalmente a:

½A w(x, t) + I Y (t) wIV (x, 0) + I

∫ t

0

Y (t− ¿) wIV (x, ¿) d¿ = F (x, t) (3.41)

Que aplicando integración por partes conduce a la siguiente ecuación totalmenteequivalente:

½A w(x, t) + I Y (0) wIV (x, t)− I

∫ t

0

Y (t− ¿) wIV (x, ¿) d¿ = F (x, t) (3.42)

Las ecuaciones anteriores proporcionan el desplazamiento transversal de una viga conpropiedades viscoelásticas isótropas sometida a una carga distribuida variable en eltiempo. Además, será necesario especificar el desplazamiento y velocidad iniciales entodos los puntos de la misma.

35

Capítulo 4

Vigas viscoelásticas conamortiguamiento no local

4.1. Planteamiento del problema

4.1.1. Formulación general

Sea una viga de longitud L, masa por unidad de longitud ½A(x), y rigidez a flexiónEI(x), sometida a una fuerza distribuida por unidad de longitud F (x, t), junto conunas determinadas condiciones iniciales y de contorno en sus extremos. El problemaconsiste en calcular el campo de desplazamientos w(x, t) en los puntos de la viga,considerando un modelo de amortiguamiento viscoelástico no local.

La ecuación de movimiento para un sistema dinámico y continuo con amortiguamientolineal se puede expresar de forma general a través de la siguiente expresión:

½A(x) w(x, t) + (Le + Li) w(x, t) + Lkw(x, t) = F (x, t) (4.1)

donde:

Le y Li son dos operadores de amortiguamiento externo e interno, respectivamenteLk es un operador espacial

Como se puede observar, ambos amortiguamientos se tratan de manera independien-te, ya que el amortiguamiento externo depende únicamente de los desplazamientos,mientras que el interno depende del estado deformacional, lo que implica derivadasespaciales del campo de desplazamientos. Se pueden expresar de manera general através de las siguientes expresiones:

Lew(x, t) =

∫

Ω

∫ t

0

Ce(x, », t− ¿) w(», ¿) d¿ d» (4.2)

36

Liw(x, t) =

∫

Ω

∫ t

0

Ci(x, », t− ¿) Lsw(», ¿) d¿ d» (4.3)

donde Ce y Ci son las funciones de amortiguamiento externo e interno, y Ls unoperador espacial.

Las condiciones iniciales y de contorno podemos expresarlas también de forma generalcomo sigue:

{w(x, 0) = w0(x)w(x, 0) = w0(x)

}(4.4)

{M1w(x, t) = f1(x, t) , x ∈ Γ1

M2w(x, t) = f2(x, t) , x ∈ Γ2

}(4.5)

siendo M1 y M2 sendos operadores espaciales, y Γ1 y Γ2 unos determinados dominiosespaciales de contorno con sus respectivas funciones de contorno f1 y f2.

La ecuación 4.1 no tiene solución general cerrada para la mayoría de funciones deamortiguamiento, no obstante, es posible resolverla para los siguientes casos que pro-ponemos:

Ce(x, », t− ¿) = He(x) ce(x− ») ge(t− ¿) (4.6)

Ci(x, », t− ¿) = Hi(x) ci(x− ») gi(t− ¿) (4.7)

expresiones que utilizaremos como modelo de amortiguamiento viscoelástico en losanálisis sucesivos. La función c(x − ») recibe el nombre de función de Kernelespacial, y representa la influencia espacial de los puntos » del sólido en un puntox genérico del mismo (término no local espacial). En el mismo sentido, la funcióng(t− ¿) denominada función de relajación, aporta la influencia de la historia delcampo de desplazamientos en los distintos puntos del sólido (histéresis temporal).

Particularización de las expresiones anteriores

A continuación se aplican las expresiones anteriores a al caso de viga con amortigua-miento viscoelástico en un tramo [x1, x2] ⊆ [0, L] (figura 4.1), obteniendo la siguienteecuación de movimiento:

½A(x) w(x, t) +∂2

∂x2

(EI(x)

∂2w(x, t)

∂x2

)+ Γ(x, t) = F (x, t) (4.8)

siendo Γ(x, t) el término debido al amortiguamiento viscoelástico, formado por lostérminos externo e interno siguientes:

37

Γ(x, t) = Γe(x, t) + Γi(x, t) (4.9)

⎧⎨⎩

Γe(x, t) =

∫ x2

x1

∫ ∞

0

Ce(x, », t− ¿) w(», ¿) d¿ d»

Γi(x, t) =

∫ x2

x1

∫ ∞

0

Ci(x, », t− ¿)∂2

∂»2

(°(»)

∂2w(», ¿)

∂»2

)d¿ d»

⎫⎬⎭

(4.10)

donde °(») es el coeficiente de amortiguamiento interno, y siendo las condicionesiniciales y de contorno las mismas que para el caso no amortiguado.

Como se justificó en el Capítulo 3, se definen las funciones de amortiguamientoC(x, », t − ¿) como el producto de tres funciones que reflejan cada una de ellas losdiferentes aspectos a tener en cuenta en el modelo, esto es, la influencia espacial,temporal, y posición x1, x2 del tratamiento amortiguador.

C(x, », t− ¿) = H(x) c(x− ») g(t− ¿) (4.11)

La función c(x, ») (función de Kernel espacial) representa el aspecto no local en elespacio, g(t− ¿) (función de relajación) la influencia de la historia de movimientos dela viga, y H(x) se utiliza para definir el dominio espacial en el cual hay que considerarel efecto amortiguador, que habitualmente se considera coincidente con el intervalo[x1, x2], es decir, tomará un valor constante H0 si x1 ≤ x ≤ x2 y un valor nulo enel resto de puntos. A su vez, tanto la función de Kernel espacial como la función derelajación, aceptan modelos que intentan aproximarse al comportamiento real de laviga. Seguidamente se exponen algunos de ellos.

38

4.1.2. Casos especiales de función de amortiguamiento

Amortiguamiento viscoso local:

A través de la función C(x, », t − ¿) se puede particularizar el modelo de amorti-guamiento al caso de amortiguamiento viscoso local, donde desaparece el aspecto nolocal del modelo y donde deja de influir la historia del campo de desplazamientos dela viga. Lo podemos conseguir definiendo las siguientes identidades:

c(x− ») = ±(x− ») ; g(t− ¿) = ±(t− ¿) (4.12)

ya que se cumplirá para cualquier función Â(», ¿) la siguiente igualdad:

∫ x2

x1

∫ t

0

Ce(x, », t− ¿) Â(», ¿) d» = H(x) Â(x, t) (4.13)

Amortiguamiento viscoelástico local:

c(x− ») = ±(x− ») (4.14)

por tanto:

∫ x2

x1

∫ t

0

Ce(x, », t− ¿) Â(», ¿) d» = H(x)

∫ t

0

g(t− ¿) Â(x, ¿) d¿ (4.15)

Amortiguamiento viscoso no local:

g(t− ¿) = ±(t− ¿) (4.16)

que implica:

∫ x2

x1

∫ t

0

Ce(x, », t− ¿) Â(», ¿) d» = H(x)

∫ x2

x1

c(x− ») Â(», t) d» (4.17)

39

4.1.3. Caso general de función de amortiguamiento: modelos

En el caso más general, las funciones c(x−») y g(t−¿) aceptan diferentes expresionesalternativas. La función de Kernel espacial, por su significado, debe ser continua, nonegativa, función par respecto a (x − »), tener un máximo absoluto en (x − ») = 0y ser nula para (x − ») → ∞. Por convenio, se normaliza de acuerdo a la siguienteexpresión:

∫ ∞

−∞c(x)dx = 1 (4.18)

Algunos modelos utilizados, tanto para la función de amortiguamiento interno comoexterno, son los siguientes (figura 4.1):

a) Decrecimiento exponencial (figura 4.1):

Figura 4.1: Modelo de función de Kernel: decrecimiento exponencial

c(x− ») =®

2e−® ∣x−»∣ (4.19)

b) Función error (figura 4.2):

c(x− ») =®√2¼

e−®2(x−»)2

2 (4.20)

40

Figura 4.2: Modelo de función de Kernel: función error

c) Función escalón (figura 4.3):

Figura 4.3: Modelo de función de Kernel: función escalón

c(x− ») =

{1/l0 , ∣x− »∣ ≤ l0/2

0 , resto

}(4.21)

d) Función triangular (figura 4.4):

c(x− ») =

{1l0

(1− ∣x−»∣

l0

), ∣x− »∣ ≤ l0

0 , resto

}(4.22)

donde ® y l0 son parámetros característicos del material amortiguador. En este sen-tido, es útil definir una longitud característica para comparar así distintas funciones

41

Figura 4.4: Modelo de función de Kernel: función triangular

de Kernel. En las ecuaciones 4.19 y 4.20, c(x − ») → 0 cuando ® → ∞, mientrasque en las ecuaciones 4.21 y 4.22, c(x − ») → 0 cuando ∣x− »∣ > l0. Por esta razón,al parámetro l0 se le denomina distancia de influencia. Es importante destacar quepara valores extremo ® → ∞ y l0 → 0+, se reproduce el modelo de amortiguamientolocal, esto es:

® → ∞ , l0 → 0+ =⇒ c(x− ») → ±(x− ») (4.23)

Para comparar el efecto no local de los distintos modelos entre sí, puede ser de granutilidad definir una distancia característica ±p que dé una idea del campo de influenciade la función:

∫ ±p

−±p

c(x) dx = p , 0 < p < 1 (4.24)

donde ±p representa la distancia ∣x − »∣ al punto x hasta la cual se ha ”cubierto” el(100 ⋅ p)% de la influencia total del efecto no local del modelo. Para los distintosmodelos de función de Kernel, se llega a las siguientes expresiones:

Decrecimiento exponencial : ±p =1

®ln

(1

1− p

)(4.25)

Funcion error : ±p =1

®

√ln

1

1− p2(4.26)

Funcion escalon : ±p = l0p

2(4.27)

Funcion triangular : ±p = l0

(1−

√1− p

)(4.28)

42

La función de relajación g(t − ¿) también acepta múltiples modelos, entre los quefiguran las siguientes expresiones de forma exponencial y gaussiana normalizadas:

g1(t− ¿) =

∑Mk=1 ¯k¹k e

−¹k(t−¿)

∑Mk=1 ¯k

, g2(t− ¿) =

∑Mk=1 ¯k

√¹k e

−¹k(t−¿)2

√¼2

∑Mk=1 ¯k

(4.29)

Los parámetros ¹k dependen de las propiedades mecánicas del material viscoelástico,y se determinan experimentalmente, mientras que ¯k es el peso asignado a cadasumando de las expresiones anteriores. A partir de g(t−¿) podemos definir un tiempode relajación característico µc, que será nulo para un material viscoso e infinito paraun material perfectamente elástico:

µc =

∫ ∞

0

t g(t) dt (4.30)

La función de relajación que se utilizará en el presente trabajo será una expresiónsencilla del primer modelo anterior (figura 4.5):

g(t− ¿) = ¹ e−¹(t−¿) µc =1

¹(4.31)

Se puede ver que para valores mayores de ¹ la relajación del material se produce másrápidamente, en particular se reproduce el modelo de material viscoso para valoresmuy altos de este parámetro:

¹ → ∞ =⇒ g(t− ¿) → ±(t− ¿) (4.32)

Figura 4.5: Modelo de función de relajación

43

4.2. Introducción a distintos métodos de resolución

Una vez que se han definido los modelos de función de amortiguamiento que se vana utilizar en la ecuación de movimiento de la viga amortiguada, se van a proponera continuación diferentes métodos de resolución, algunos de los cuales no proporcio-nan una solución analítica exacta, aunque sí con la precisión suficiente como paraconsiderarla aceptable. Entre los diferentes procedimientos destacan el método dela transformada de Laplace utilizado conjuntamente con una descomposiciónde Galerkin, mediante los cuales se descompone el desplazamiento en el dominiode Laplace en forma de serie cuyos términos estarán compuestos por productos defunciones. Posteriormente se desarrollarán algunos procedimientos de resolución apli-cando diferentes Métodos Numéricos, para finalmente plantear un método dedescomposición en funciones cnoidales , a título informativo, con el único fin demostrar su existencia y viabilidad.

Una de las ventajas más significativas de la transformada de Laplace radica en que laintegración y derivación se convierten en multiplicación y división, lo que transformaecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas mucho más fáciles deresolver. Por este motivo, es conveniente utilizar esta transformación para resolver laecuación integro-diferencial del movimiento de la viga que está estudiando. Por otrolado, la descomposición de Galerkin permite transformar un problema continuo enotro discreto que en general será más fácil de resolver. El carácter integro-diferencialde nuestra ecuación hace que sea un procedimiento adecuado de resolución.

Los Métodos Numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular proble-mas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas,siendo su principal objetivo encontrar soluciones ”aproximadas” a problemas comple-jos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Para ello, se requierede una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación alproblema matemático, en este caso la resolución de una ecuación integro-diferencial.El hecho de haber dos variables independientes en nuestro problema, x y t, propor-ciona múltiples opciones de proceder, entre las cuales se destacan las siguientes:

a) Discretización simultánea de ambas variables, utilizando para ello el concepto dediferencias finitas

b) Semi-discretización espacial, discretizando únicamente la variable espacial y man-teniendo el carácter continuo de la temporal

c) Semi-discretización temporal, discretizando únicamente la variable temporal. Elsistema se reduce una la resolución iterativa discreta en el tiempo

A la hora de decantarse por uno de estos tres prodecimientos, es importante analizarlas características de las variables del problema (x, t), y cómo influyen éstas en laresolución del mismo (w(x, t)). El carácter dinámico del sistema y la presencia dehistéresis temporal, es decir, la influencia de cada instante de tiempo en los siguientes

44

(pero no en los anteriores), sugiere que una discretización en la variable tiempo puedeser de gran utilidad, ya que se podrá iterar discretamente esta variable según ”seavanza” en el tiempo.

Sin embargo, la viabilidad de discretizar la variable espacial requiere un análisis másprofundo del fenómeno físico que interviene en el problema. En primer lugar, la varia-ble espacial se encuentra dividida en tres intervalos claramente diferenciados, separa-dos entre sí por los puntos x1 y x2. El carácter general de estos dos valores introduceincertidumbre a la hora de considerar esta discretización, a lo que se añade que lafunción solución w(x, t) responde a diferentes mecanismos físicos en cada uno de estostramos. Una posibilidad que evitaría estos inconvenientes es resolver únicamente eltramo con amortiguamiento mediante discretización espacial, resolviendo de formaexacta y analitica los otros dos tramos. No obstante, se aprecia que en algunos casosla función de Kernel espacial no es una función continua (en particular en el mo-delo de función escalón), lo que produce efectos negativos a la hora de realizar unadiscretización de este tipo.

Existe otro motivo claro que de nuevo indica que no sea propicio abordar el proble-ma de esta manera, y es la presencia de derivadas espaciales de cuarto orden en laecuación de movimiento. El método de diferencias finitas es útil normalmente paraecuaciones diferenciales de hasta segundo orden, ya que los errores que introduce enla solución son generalmente asumibles. Sin embargo, para órdenes mayores las ex-presiones de las derivadas en términos de diferencias finitas se hacen más complicadasde abordar, ya que aún utilizando una precisión alta en su obtención (órdenes altosde precisión), se pierde el carácter local de la derivada, hecho que se agrava en lospuntos frontera del dominio espacial, en este caso los puntos x = x1 y x = x2, dondesería prácticamente imposible iterar o, en cualquier caso, se introducirían errores deuna magnitud considerable que invalidarían la solución final obtenida.

A raíz de las justificaciones anteriores, parece razonable por tanto utilizar una semi-discretización temporal en el problema de una viga viscoelástico con amortigua-miento no local.

Otro método numérico que se va a desarrollar está fundamentado en el métodoiterativo de punto fijo, que resuelve iterativamente ecuaciones de la forma f(x) =0, de manera que se obtiene una sucesión {xk} que en muchos casos converge a lasolución buscada. En este problema se utilizará este concepto para construir unasucesión de funciones que si converge lo haga a la función solución w(x, t).

Para finalizar con las metodologías de resolución, se introducirá de manera superficialel método de descomposición en funciónes cnoidales, viendo sus fundamentosy viabilidad.

45

Capítulo 5

Métodos de resolución de la ecuaciónde movimiento

5.1. Método de Galerkin y Transformada de Laplace

Para resolver la ecuación de movimiento mediante este método, transformamos pri-meramente la ecuación al dominio de Laplace, esto es, aplicamos Transformada deLaplace a cada uno de los términos de la misma. Si se denota por W (x, s) y G(s) alas Transformadas de w(x, t) y g(t) respectivamente, se tiene:

ℒ [w(x, t)] = s2 W (x, s)− s w(x, 0)− w(x, 0) (5.1)

ℒ [wIV (x, t)

]= W IV (x, s) (5.2)

Término de amortiguamiento externo:

ℒ [Γe(x, t)] =

∫ x2

x1

He(x) ce(x− ») ⋅ ℒ[∫ t

0

ge(t− ¿) w(», ¿) d¿

]d» = (5.3)

=

∫ x2

x1

He(x) ce(x− ») ⋅ ℒ [ge(t)] ⋅ ℒ [w(», t)] d» = (5.4)

= Ge(s)

∫ x2

x1

He(x) ce(x− ») [s W (», s)− w(», 0)] d» (5.5)

Término de amortiguamiento interno:

ℒ [Γi(x, t)] =

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− ») ⋅ ℒ[∫ t

0

gi(t− ¿) [°(») w′′(», ¿)]′′ d¿]d» = (5.6)

46

=

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− ») ⋅ ℒ [gi(t)] ⋅ ℒ[[°(») w′′(», ¿)]′′

]d» = (5.7)

= Gi(s)

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− ») [°(») (s W ′′(», s)− (w(», 0))′′)]′′ d» (5.8)

Término independiente:

ℒ [F (x, t)] ≡ F (x, s) (5.9)

La ecuación de movimiento transformada se convierte en la siguiente expresión:

½A s2 W (x, s) + EI W IV (x, s) + s Ge(s)

∫ x2

x1

He(x) ce(x− »)W (», s) d» + (5.10)

+ s Gi(s)

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− ») [°(»)W ′′(», s)]′′ d» = F (x, s) +K(x, s) (5.11)

donde las funciones F (x, s) y K(x, s) son funciones conocidas. K(x, s) depende de lascondiciones iniciales del problema, y queda definida a través de la siguiente expresión:

K(x, s) ≡ ½A [s w0(x) + w0(x)] + Ge(s)

∫ x2

x1

He(x)ce(x− »)w0(»)d» + (5.12)

+Gi(s)

∫ x2

x1

Hi(x)ci(x− ») [°(»)(w(», 0))′′]′′ d» (5.13)

A continuación se desarrolla W (x, s) en forma de serie de producto de funciones(Galerkin):

W (x, s) =∞∑j=1

qj(s) Áj(x) (5.14)

escogiendo como base, por simplicidad, las funciones Áj(x) que se obtendrían en elproblema no amortiguado asociado, y que se pueden calcular sin dificultad. La basede funciones Áj(x) debe cumplir únicamente las condiciones de contorno geométricas,y no necesariamente las asociadas al extremo libre en caso de que éste existiera. Elmotivo de la elección de los modos propios no amortiguados reside en la condición

47

de ortogonalidad expuesta con anterioridad, ya que este hecho simplifica de maneraimportante los cálculos posteriores, como se justificará más adelante.

Sustituyendo la expresión 5.14 en la ecuación de movimiento en el dominio de Laplace,multiplicando cada término por Ák(x), e integrando la expresión respecto a la variablex a lo largo de toda la viga, se llega a:

s2∞∑j=1

(qj(s)

∫ L

0

½A Áj(x) Ák(x) dx

)+

∞∑j=1

(qj(s)

∫ L

0

EI ÁIVj (x) Ák(x) dx

)+ (5.15)

+s Ge(s)

Ã ∞∑j=1

qj(s)

∫ L

0

∫ x2

x1

He(x) ce(x− ») Áj(») Ák(x) d» dx

)+ (5.16)

+sGi(s)∞∑j=1

(qj(s)

∫ L

0

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− »)[°(»)

(Á′′j (») Ák(x)

)]′′d» dx

)= F (x, s)+K(x, s)

(5.17)

A continuación se simplifica la expresión anterior utilizando la condición de ortogo-nalidad de los modos propios no amortiguados.

∞∑j=1

(qj(s)

∫ L

0

½A Áj(x) Ák(x) dx

)=

∞∑j=1

(qj(s) ±jk) = qk(s) (5.18)

∞∑j=1

(qj(s)

∫ L

0

EI ÁIVj (x) Ák(x) dx

)=

∞∑j=1

(qj(s) !

2j ±jk

)= qk(s) !

2k (5.19)

Se llega finalmente a la siguiente ecuación matricial:

[D(s)] ⋅ {q(s)} = {f(s)} + {k(s)} (5.20)

siendo:

[D(s)] = s2 [M] + s Gi(s) [Ci] + s Ge(s) [Ce] + [K] (5.21)

{q(s)} = [q1(s) q2(s) ... qN(s)]T (5.22)

{f(s)} = [f1(s) f2(s) ... fN(s)]T , fk(s) =

∫ L

0

F (x, s) Ák(x) dx (5.23)

48

{k(s)} = [k1(s) k2(s) ... kN(s)]T , kk(s) =

∫ L

0

K(x, s) Ák(x) dx (5.24)

donde M, Ce, Ci y K son matrices cuyos elementos se pueden calcular a través delas siguientes expresiones:

Mkj =

∫ L

0

½A Áj(x) Ák(x) dx = ±kj (5.25)

(Ce)kj = H(e)0

∫ x2

x1

∫ x2

x1

ce(x− ») Áj(») Ák(x) d» dx (5.26)

(Ci)kj = H(i)0

∫ x2

x1

∫ x2

x1

ci(x− »)d2

d»2

(°(»)

d2Áj(»)

d»2

)Ák(x) d» dx (5.27)

Kkj =

∫ L

0

d2

dx2

(EI(x)

d2Áj(x)

dx2

)Ák(x) dx =

∫ L

0

EI(x)d2Áj(x)

dx2

d2Ák(x)

dx2dx + K∗

kj = !2k±jk+K∗

kj

(5.28)

con K∗kj =

[ddx

[EI(x)

d2Áj(x)

dx2

]Ák(x)− EI(x)d

2Ák(x)dx2

d2Áj(x)

dx2

]L0, nulo para las condicio-

nes de contorno típicas que estamos considerando, y siendo ±kj la función delta deKronecker y wk las frecuencias propias del problema no amortiguado asociado.

Del sistema 5.20 se obtienen las funciones qk(t) de la siguiente manera:

{q(t)} = ℒ−1 [{q(s)}] = ℒ−1[[D(s)]−1 ⋅ {f(s)}] + ℒ−1

[[D(s)]−1 ⋅ {k(s)}]

(5.29)

Se observa la superposición de dos efectos en las salidas qj. El primero de ellos,[D(s)]−1 ⋅{k(s)}, es debido a la solicitación F (x, t), mientras que el segundo, [D(s)]−1 ⋅{f(s)}, se debe a las condiciones iniciales del problema.

Es especialmente interesante analizar el problema de vibraciones libres asociado(F (x, t ≡ 0), con condiciones iniciales nulas en toda la viga (w0(x) ≡ 0 , w0(x) ≡ 0),debido a que es habitual en ingeniería estructural considerar este tipo de condicionesiniciales. La ecuación de movimiento en tal caso se reduce a la siguiente expresión:

[D(s)] ⋅ {q(s)} = {0} (5.30)

La ecuación característica asociada a este problema resulta de anular el determinantede la matriz de coeficientes:

49

det ([D(s)]) = 0 (5.31)

cuyas raíces ¸j son los autovalores del problema, formados por una parte real yotra imaginaria, los cuales aparecerán en pares complejos conjugados. A partir de losautovalores se determinan las frecuencias propias del sistema, !j, y los factoresde amortiguamiento, ³j:

¸j = −³j !j ± i !j → !j = ∣ℑ(¸j)∣ ³j = −ℜ(¸j)

!j

(5.32)

Las frecuencias propias son las correspondientes a los modos propios de vibracióndel sistema, mientras que los factores de amortiguamiento dan una idea la inten-sidad a la cual se amortigua cada modo propio, siendo éstos nulos en ausencia deamortiguamiento.

50

5.2. Método de semi-discretización temporal

5.2.1. Desarrollo del método

A continuación se desarrolla en detalle la resolución de la ecuación de movimiento dela viga empleando técnicas numéricas basadas en la semi-discretización de la ecuaciónintegro-diferencial que se plantea en el problema. Para ello, se utilizarán el conceptode diferencias finitas y otros aspectos relacionados.

Al tratarse de técnicas numéricas, se estarán realizando en todo momento aproxima-ciones que conllevarán errores en los resultados finales obtenidos en los desplazamien-tos, no obstante, es imprescindible tratar de minimizarlos en la medida en que seaposible.

Para llevar a cabo este procedimiento, se discretizará la variable ”tiempo” en instantesequiespaciados un intervalo Δt, comenzando en t0 = 0, y se resolverá la ecuación demovimiento de la viga en todos ellos utilizando el método de diferencias finitas.

Dominios de las variables independientes y discretización

En primer lugar, se definen de manera estricta los dominios de las distintas varia-bles, siendo discreto para la variable temporal y continuo para la espacial, esto es,t ∈ {ti}∞i=0 , x1 ≤ x ≤ x2. Se observa que no se considera la región espacial sin tra-tamiento amortiguador, ya que la solución en ese subdominio (Γ(x, t) ≡ 0) se puedeobtener analíticamente de manera exacta.

De manera excepcional, se definirá el instante de tiempo virtual t−1 = −Δt, sinningún significado físico real, y que será útil únicamente a la hora de abordar elproblema en los instantes iniciales t0 y t1, como se justificará más adelante.

Aproximaciones numéricas

Una vez que se han definido los puntos donde se va a resolver el problema, se crea unconjunto de funciones wj(x) que serán la aproximaciones a la solución en cada puntode los dominios temporal y espacial:

wj(x) ≃ w(x, tj) , j = 0, 1, 2, ... , x1 ≤ x ≤ x2 (5.33)

El objetivo será por tanto obtener estas funciones, que serán aceptadas como soluciónen el dominio amortiguado y en cada instante de tiempo considerado, tj.

Este método se basa en buscar aproximaciones de los dintintos términos de la ecuaciónde movimiento, apoyándose en el concepto de desarrollo en serie de Taylor. Si sedesarrolla la función w(x, t) en torno a los puntos tj+1 y tj−1, se tiene:

w(x, tj+1) = w(x, tj) + w(x, tj) Δt+1

2w(x, tj) (Δt)2 + o((Δt)3) (5.34)

51

w(x, tj−1) = w(x, tj)− w(x, tj) Δt+1

2w(x, tj) (Δt)2 + o((Δt)3) (5.35)

Restando y sumando las ecuaciones (5.34) y (5.35), se llega a sendas aproximacionespara w y w con una precisión de orden 2, que se escriben ya en términos de lasfunciones w:

w(x, tj) ≃ wj+1(x)− wj−1(x)

2Δt(5.36)

w(x, tj) ≃ wj+1(x)− 2wj(x) + wj−1(x)

(Δt)2(5.37)

Se sustituyen estas expresiones en la ecuación de movimimento, y se evalúa la variablet en tj, llegando a una expresión de la que se podrá obtener w de manera iterativa. Laexpresión general de la ecuación de movimiento de la viga amortiguada se recuerdaa continuación:

½A w(x, t) + EI wIV (x, t) + Γ(x, t) = F (x, t) (5.38)

siendo el término de amortiguamiento:

Γ(x, t) = Γe(x, t) + Γi(x, t) (5.39)

Γe(x, t) =

∫ x2

x1

∫ t

0

Ce(x, », t− ¿) w(», ¿) d¿ d» (5.40)

Γi(x, t) =

∫ x2

x1

∫ t

0

Ci(x, », t− ¿)∂2

∂»2

(°(»)

∂2w(», ¿)

∂»2

)d¿ d» (5.41)

Se puede buscar una aproximación a cada uno de los sumandos anteriores a travésde las funciones w:

½Aw(x, tj)+EIwIV (x, tj) ≃ ½A

(wj+1(x)− 2wj(x) + wj−1(x)

(Δt)2

)+EI wIV

j (x) (5.42)

52

Γe(x, tj) =

∫ x2

x1

∫ tj

0

Ce(x, », tj − ¿) w(», ¿) d¿ d» =

=

∫ x2

x1

He(x) ce(x− »)

Ãj∑

k=1

∫ tk

tk−1

ge(tj − ¿) w(», ¿) d¿

)d» ≃

≃∫ x2

x1

He(x) ce(x− »)

Ãj∑

k=1

ge(tj − tk−1/2) (wk(»)− wk−1(»))

)d» ≡

≡ Γ(e)j (x)

(5.43)

Γi(x, tj) =

∫ x2

x1

∫ tj

0

Ci(x, », tj − ¿)∂2

∂»2

(°(»)

∂2w(», ¿)

∂»2

)d¿ d» =

=

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− »)∂2

∂»2

Ã°(»)

∂2

∂»2

Ãj∑

k=1

∫ tk

tk−1

gi(tj − ¿) w(», ¿) d¿

))d» ≃

≃∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− »)∂2

∂»2

Ã°(»)

∂2

∂»2

Ãj∑

k=1

gi(tj − tk−1/2) (wk(»)− wk−1(»))

))d» ≡

≡ Γ(i)j (x)

(5.44)

Se puede por tanto despejar wj+1(x) en función del conjunto {wk(x)}jk=0, y utilizarla expresión para obtener todas ellas de forma recurrente:

wj+1(x) = 2wj(x)− wj−1(x) +(Δt)2

½A

[F (x, tj)− EI wIV

j (x)− Γ(e)j (x)− Γ

(i)j (x)

]

(5.45)

donde:

Γ(e)j (x) =

∫ x2

x1

He(x) ce(x− ») Φ(e)j (») d» (5.46)

Γ(i)j (x) =

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− »)∂2

∂»2

Ã°(»)

∂2Φ(i)j (»)

∂»2

)d» (5.47)

53

Φ(e,i)j (») ≡

j∑

k=1

ge,i(tj − tk−1/2) (wk(»)− wk−1(»)) (5.48)

Se observa que para calcular el desplazamiento en un instante tj+1 se necesitan losde los instantes tj, tj−1 y {tk}jk=0, por tanto hay que inicializar el procedimientoiterativo aportando previamente las funciones w0(x) y w1(x), para lo cual se utilizanlas condiciones iniciales del problema: w(x, 0) = f(x) , w(x, 0) = g(x).

Es claro que:

w0(x) = f(x) (5.49)

sin embargo w1(x) no es tan inmediato. A primera vista, puede parecer que es inevi-table utilizar una aproximación de orden 1 para la primera derivada en t0 = 0, yaque no es posible disponer de una función w−1(x) que dé una aproximación de orden2 en ese punto. A pesar de ello, se puede conseguir una expresión para un hipotéticodesplazamiento w−1(x) en un instante virtual t−1 = −Δt, imponiendo que la ecuación(5.45) se cumple en t0, con lo se obtiene una expresión cerrada para w1(x) en funciónde f(x) y g(x):

w(x, 0) = g(x) =w1(x)− w−1(x)

2Δt(5.50)

w1(x) = 2f(x)− w−1(x) +(Δt)2

½A

(F (x, 0)− EI f IV (x)− Γ

(e)0 (x)− Γ

(i)0 (x)

)(5.51)

siendo Γ(e,i)0 (x) ≡ 0 por definición. Operando en las 2 ecuaciones anteriores se obtiene

una expresión para w1(x):

w1(x) = f(x) + g(x)Δt+(Δt)2

2½A

(F (x, 0)− EI f IV (x)

)(5.52)

Mediante este procedimiento iterativo en el tiempo, se calculan los desplazamientosde los puntos de la viga contenidos en la región amortiguada, esto es, x1 ≤ x ≤ x2.Hecho esto, se resuelven las regiones no amortiguadas a través de los procedimientosanalíticos descritos en el capítulo 3, considerando como condiciones de contorno (adi-cionales a las que ya se tienen en x = 0 y x = L) los desplazamientos y su primeraderivada en x = x1 y x = x2, calculados anteriormente, ya que en estos puntos sedebe cumplir continuidad de desplazamientos y giros:

54

0 ≤ x ≤ x1 , x2 ≤ x ≤ L → ½A w(x, t) + EI wIV (x, t) = F (x, t) (5.53)

{w(x1, t) = wx1(t)w′(x1, t) = w′

x1(t)

}condicion de contorno en x1 (5.54)

{w(x2, t) = wx2(t)w′(x2, t) = w′

x2(t)

}condicion de contorno en x2 (5.55)

siendo wx1(t) y wx2(t) dos funciones que se pueden construir a partir de los des-plazamientos wk(x1) y wk(x2), k = 0, 1, 2, ... , por ejemplo utilizando los polinomiosinterpoladores de Lagrange:

wxi(t) =

n∑

k=0

[wk(xi)

n∏

j=0,j ∕=k

t− tjtk − tj

], i = 1, 2 , 0 ≤ t ≤ tn (5.56)

5.2.2. Análisis de la convergencia

El concepto de convergencia es el que cualquier método numérico pretende cumplir, ypara que cualquier procedimiento numérico basado en diferencias finitas tenga validezes necesario demostrar su condición de convergente. En particular, es deseable quelas funciones wk(x) cumplan las siguientes relaciones:

lımΔt→0

wk(x) = w(x, tk) , ∀k = 0, 1, 2, 3, ... (5.57)

Este es un concepto generalmente difícil de comprobar directamente, y es necesarioapoyarse en otras definiciones para poder abordarlo con éxito.

El problema se reduce a verificar dos propiedades básicas del esquema: su consis-tencia y estabilidad. Si ambas condiciones se cumplen, entonces el problema seráconvergente.

Análisis de la consistencia

La consistencia del método numérico hace referencia a su coherencia a la hora deaproximar la ecuación integro-diferencial. Se trata simplemente de comprobar si elesquema numérico utilizado es un esquema razonable para aproximar la ecuación encuestión o, si por el contrario, corre el riesgo de aproximar a otra ecuación. Lo máshabitual es comprobar la consistencia mediante el desarrollo de Taylor. El problemase reduce entonces a verificar si, cuando el paso de tiempo tiende a cero, las solucionesregulares del problema continuo son soluciones aproximadas del problema discreto enla medida en que el error de truncamiento tiende a cero.

55

Conviene subrayar que, aunque pueda resultar paradójico, a la hora de comprobarla consistencia no se verifica hasta qué punto las soluciones del problema discretoson soluciones del problema continuo, sino que se hace precisamente lo contrario:se comprueba si la solución del problema continuo es una solución aproximada delproblema discreto.

Recordamos el esquema numérico al que se llegó:

wj+1(x) = 2wj(x)− wj−1(x) +(Δt)2

½A

[F (x, tj)− EI wIV

j (x)− Γ(e)j (w)− Γ

(i)j (w)

]

(5.58)

Γ(e)j (w) =

∫ x2

x1

He(x) ce(x− ») Φ(e)j (») d» (5.59)

Γ(i)j (w) =

∫ x2

x1

Hi(x) ci(x− »)∂2

∂»2

Ã°(»)

∂2Φ(i)j (»)

∂»2

)d» (5.60)

Φ(e,i)j (») ≡

j∑

k=1

ge,i(tj − tk−1/2) (wk(»)− wk−1(»)) (5.61)

Por tanto, el método será consistente si se cumple la siguiente condición:

lımΔt→0

¿j(x) = 0 , ∀x ∈ [0, L] (5.62)

¿j(x) ≡ 2 w(x, tj)− w(x, tj−1)− w(x, tj+1) +(Δt)2

½A

[F (x, tj)− EI wIV (x, tj)− Γ

(e)j (w)− Γ

(i)j (w)

]

(5.63)

donde ¿j(x) se denomina error de truncamiento. Para demostrar la consistencia, sedesarrollan en serie de Taylor las funciones w(x, tj+1) y w(x, tj−1) en torno al puntotj, y las funciones w(», tk) y w(», tk−1) en torno al punto tk−1/2:

w(x, tj+1) = w(x, tj)+ w(x, tj)Δt+ w(x, tj)(Δt)2

2+...w(x, tj)

(Δt)3

6+o((Δt)4) (5.64)

w(x, tj−1) = w(x, tj)− w(x, tj)Δt+ w(x, tj)(Δt)2

2− ...w(x, tj)

(Δt)3

6+o((Δt)4) (5.65)

w(», tk) = w(», tk−1/2) + w(», tk−1/2)Δt

2+ w(», tk−1/2)

(Δt)2

8+ o((Δt)3) (5.66)

56

w(», tk−1) = w(», tk−1/2)− w(», tk−1/2)Δt

2+ w(», tk−1/2)

(Δt)2

8+ o((Δt)3) (5.67)

A continuación, se desarrolla la función Φ haciendo tender a cero el paso de tiempo,utilizando las expresiones 5.66 y 5.67:

lımΔt→0

[Φ

(e,i)j (»)

]= lım

Δt→0

Ãj∑

k=1

ge,i(tj − tk−1/2) w(x, tk−1/2) Δt

)=

=

j∑

k=1

lımΔt→0

(ge,i(tj − tk−1/2) w(x, tk−1/2) Δt

)=

=

j∑

k=1

∫ tk

tk−1

(ge,i(tj − ¿) w(x, ¿) d¿) =

∫ tj

0

ge,i(tj − ¿) w(x, ¿) d¿

(5.68)

Y se sustituyen las ecuaciones 5.64, 5.65 y 5.68 en la expresión 5.63:

lımΔt→0

¿j(x) = lımΔt→0

(F (x, tj)− Γ(x, tj)− EI wIV (x, tj)− ½A w(x, tj) +

o((Δt)4)

(Δt)2

)=

= lımΔt→0

(0 +

o((Δt)4)

(Δt)2

)= lım

Δt→0

(o((Δt)2

))= 0

(5.69)

por lo que queda demostrada la consistencia del esquema numérico desarrollado.

Análisis de la estabilidad

La propiedad de estabilidad consiste en asegurarse de que los esquemas discretoso semidiscretos, en su evolución temporal (discreta o continua), no amplifiquen loserrores iniciales o, al menos, no lo hagan de manera creciente y descontrolada a medidaque el paso del mallado (temporal o espacial) tiende a cero.

El análisis de estabilidad estudia la amplificación o amortiguación de errores intro-ducidos en cualquier etapa del cálculo. El método de Von Neumann representa lasolución en un instante dado mediante una serie de Fourier (expresión 5.70) y deter-mina si algún modo de la serie puede amplificarse sin cota, en cuyo caso el esquemasería inestable.

57

wj(x) =∞∑

k=−∞a(j)k eikx , i ≡ √−1 (5.70)

El esquema será estable si tras sustituir la expresión anterior en el esquema numéricocorrespondiente al problema de vibraciones libres (F (x, tj) = 0, ∀j), se produce unaamortiguación en todos los modos, es decir, el factor de amplificación g en cualquierinstante tj y para cualquier modo k tiene módulo menor que la unidad:

∣gk,j∣2 = gk,j gk,j < 1 , ∀j, k (5.71)

gk,j ≡ aj+1k

ajk(5.72)

58

5.3. Método de aproximaciones sucesivas

A continuación se va a desarrollar un método iterativo que proporcione una sucesiónde funciones {wk(x, t)}∞k=1, que si converge lo hará a la función solución w(x, t) enel intervalo amortiguado x1 ≤ x ≤ x2. De nuevo, será necesario además añadir alas condiciones de contorno de partida en x = 0 y x = L las de continuidad dedesplazamientos y de sus derivadas en x1 y x2, para poder obtener una soluciónsatisfactoria en todos los puntos de la viga.

La ecuación de movimiento se puede escribir de manera compacta a través de lasiguiente expresión:

{L(w(x, t)) + Γ(w(», ¿)) = F (x, t) , x1 ≤ x ≤ x2

L(w(x, t)) = F (x, t) , resto de puntos

}(5.73)

siendo L y Γ los siguientes operadores lineales:

L(⋅) ≡ ½A∂2(⋅)∂t2

+ EI∂4(⋅)∂x4

(5.74)

Γ(⋅) ≡∫ x2

x1

∫ t

0

∂(⋅)∂¿

Ce(x, », t− ¿) d¿ d» +

∫ x2

x1

∫ t

0

∂(⋅)∂¿

Ci(x, », t− ¿)∂2

∂»2

(°(»)

∂3(⋅)∂»2∂¿

)d¿ d»

(5.75)

La ecuación de movimiento no amortiguado asociada (a partir de este momento secentra el estudio en resolver la región amortiguada, ya que el resto de puntos sepueden resolver de manera exacta), es decir, misma geometría, condiciones iniciales yde contorno, y fuerza exterior por unidad de longitud, cuya solución w∗(x, t) podemoscalcular de forma exacta, sabemos que cumple:

L(w∗(x, t)) = F (x, t) , x1 ≤ x ≤ x2 (5.76)

Restando 5.73 y 5.76 se llega una ecuación integro-diferencial en la que se ha eliminadoel término independiente F(x,t):

L(w∗ − w) = Γ(w) , x1 ≤ x ≤ x2 (5.77)

A continuación, se propone el siguiente método iterativo:

L(w∗(x, t)− wk(x, t)) = Γ(wk−1(x, t)) , w0(x, t) = w∗(x, t) , x1 ≤ x ≤ x2

(5.78)

59

mediante el cual se puede obtener una sucesión {wk}pk=1 cuyo último término, siconverge, se podrá tomar como función aproximación de w(x, t). La ecuación 5.78sigue la misma estructura que la 5.76, y por tanto se puede resolver analíticamentede manera exacta.

Para validar el método propuesto, de nuevo es necesario demostrar su condición deconvergente. El método converge en este caso si se cumple la siguiente condición:

lımk→∞

(wk+1(x, t)− wk(x, t)) ≡ 0 (5.79)

60

5.4. Introducción al método de descomposición enfunciones cnoidales

En este apartado se va a plantear de manera superficial el método de descomposi-ción en funciones cnoidales, utilizable para resolver la ecuación de movimiento de laviga amortiguada, y extrapolable también a otro tipo de ecuaciones diferenciales eintegrales de posible interés ingenieril.

Definición de las funciones cnoidales

Se define la variable v = F (Á,m) a través de la siguiente expresión:

v = F (Á,m) ≡∫ Á

0

1√1−m2 sin2(t)

dt ; 0 ≤ m ≤ 1 (5.80)

Por tanto, se puede escribir Á = F−1(v,m).

Las tres funciones elípticas básicas de Jacobi (también denominadas funciones cnoi-dales) se definen a continuación:

cn(v,m) ≡ cos(Á) (5.81)

sn(v,m) ≡ sin(Á) (5.82)

dn(v,m) =

√1−m2 sin2 Á (5.83)

donde m y Á se denominan módulo elíptico y amplitud de Jacobi respectivamente. Sepuede comprobar que son funciones periódicas de periodo T , y que son generalizacio-nes de las funciones trigonométricas e hiperbólicas:

T = 4

∫ ¼/2

0

1√1−m2 sin2 t

dt = 4 ⋅ F (¼/2,m) (5.84)

m = 0 →⎧⎨⎩cn(v, 0) = cos(v)sn(v, 0) = sin(v)dn(v, 0) = 1

⎫⎬⎭ (5.85)

m = 1 →⎧⎨⎩cn(v, 1) = (cosh(v))−1

sn(v, 1) = tanh(v)dn(v, 1) = (cosh(v))−1

⎫⎬⎭ (5.86)

A título informativo, se muestran a continuación diferentes identidades, útiles a lahora de resolver ecuaciones diferenciales e integrales por medio de funciones cnoidales :

61

cn2(v,m) + sn2(v,m) = 1 (5.87)

sn(u+ v,m) =sn(u,m)cn(v,m)dn(v,m) + sn(v,m)cn(u,m)dn(u,m)

1−m2sn2(u)sn2(v)

cn(u+ v,m) =1− 2sn2(u,m) +m2sn4(u,m)

1−m2sn2(u)sn2(v)

dn(u+ v,m) =1− 2m2sn2(u,m) +m2sn4(u,m)

1−m2sn2(u)sn2(v)

(5.88)

sn2(v,m) =1− cn(2v,m)

1 + dn(2v,m)

cn2(v,m) =dn(2v,m) + cn(2v,m)

1 + dn(2v,m)

dn2(v,m) =dn(2v,m) + cn(2v,m)

1 + cn(2v,m)

(5.89)

∂sn(v,m)

∂v= cn(v,m)dn(v,m)

∂cn(v,m)

∂v= −sn(v,m)dn(v,m)

∂dn(v,m)

∂v= −m2sn(v,m)cn(v,m)

(5.90)

Aplicación al problema de vibraciones libres

Para resolver la ecuación de movimiento en vibraciones libres, se descompone el des-plazamiento w(x, t) como suma de funciones cnoidales de la siguiente manera:

w(x, t) =N∑j=1

Aj cn2(´,mj) ; ´ = kx− !t+ ' (5.91)

siendo Aj constantes desconocidas, k el número de onda, ! la frecuencia, ' la fase, yNel número de funciones consideradas de acuerdo a la precisión requerida. Sustituyendoen la ecuación de movimiento de la viga (consideramos amortiguamiento interno nulo,por simplicidad), queda:

62

½A∂2

∂t2

ÃN∑j=1

Aj cn2(´,mj)

)+ EI

∂4

∂x4

ÃN∑j=1

Aj cn2(´,mj)

)+ Γ(x, t) = 0 (5.92)

Γ(x, t) =

∫ x2

x1

∫ t

−∞Ce(x, », t− ¿)

∂

∂t

ÃN∑j=1

Aj cn2(³,mj)

)d¿ d» ; ³ = k»−!¿+'

(5.93)

El problema de autovalores se reduce al sistema:

N∑j=1

(Pj + ½ !2 Qj + !Rj +Υj

)= 0 (5.94)

donde P , Q y R son polinomios en cn, sn y dn, y:

Υj = 2!Aj

∫ x2

x1

∫ t

−∞Ce(x, », t− ¿)(cn(³,mj)sn(³,mj)dn(³,mj)) d¿ d» ; ³ = k»−!¿+'

(5.95)

Igualando los términos de las misma potencia en cn, sn y dn, se obtiene un sistemade K ecuaciones:

¸k(Aj,mj, k, ') = !k ; k = 1, 2, ..., K (5.96)

El número de ecuaciones (K) es menor que el número de incógnitas (Aj,mj, k, !, '),por tanto son necesarias nuevas consideraciones. Para poder calcular todas las incóg-nitas, minimizaremos los K de las ecuaciones, definiendo los mismos de la siguientemanera:

rk ≡ ¸k(Aj,mj, k, ')− !k ; k = 1, 2, ..., K (5.97)

de esta forma quedará cerrado el problema de vibraciones libres asociado al problemaamortiguado.

63

Capítulo 6

Casos prácticos

6.1. Introducción y metodología de resolución

En este capítulo se va a aplicar el Método de Galerkin apoyado en el conceptode Transformada de Laplace, para resolver distintos casos prácticos que se van aplantear, con el objetivo de analizar la influencia en la solución final de los distintosparámetros que intervienen en el problema.

Se tendrán en cuenta diferentes condiciones de contorno, resolviendo los casos deviga biapoyada, empotrada en un extremo y libre en el otro, empotrada yapoyada, y biempotrada, variando los diferentes parámetros con el fin de compararlas soluciones entre sí y sacar conclusiones sobre las diferencias que se aprecian enamortiguamientos similares aplicados en condiciones de contorno distintas.

Se resolverá un problema de referencia, caracterizado por unos valores estándar de losdiferentes datos de partida tanto geométricos y de material como de los modelos queintervienen, y se hará variar cada parámetro individualmente para sacar conclusionessobre cómo afecta a la solución final. Se realizará este proceso para cada condiciónde contorno, lo que nos permitirá contrastar sus diferencias de forma sencilla y di-recta. En todos los casos que se van a analizar se utilizará por simplicidad un valorunidad para la fuerza por unidad de longitud, F (x, t) = 1 N/m, lo que nos permiti-rá sacar conclusiones de manera práctica. Asimismo, se ha considerado únicamenteamortiguamiento externo sin tener en cuenta el interno en ningún caso.

A la hora de comparar los distintos casos entre sí, sería inviable hacerlo utilizandola expresión completa de w(x, t) obtenida en cada problema, ya que la expresiónfinal de esta función es lo suficientemente compleja y extensa como para que seainviable utilizarla con este fin. Por este motivo, se considerará en todos los casos elmismo punto geométrico para la variable espacial, lo que sí permitirá sacar resultadoscomparables entre sí de forma eficaz. Se ha escogido el punto medio de la viga,x = L/2, como punto de referencia, obteniendo así en cada caso la función w(L/2, t)resultante, que será graficada en un intervalo de tiempo que sea característico de cadaproblema.

64

Una vez que se ha fijado un punto geométrico de referencia, resulta importante definiruna metodología que permita comparar entre sí distintas curvas w(L/2, t) obtenidascon diferentes valores paramétricos. Con este fin, se define un parámetro ´ al que seha denominado capacidad de amortiguación, que relaciona cada curva w(L/2, t)con la correspondiente curva para el caso no amortiguado con las mismas condicio-nes de contorno, misma geometría, misma fuerza por unidad de longitud y mismaspropiedades del material base. Se define ´ de la siguiente manera:

´ ≡ 1− wmax − wref

w∗max − wref

=w∗

max − wmax

w∗max − wref

(6.1)

donde wmax es el valor máximo de la función w(L/2, t) obtenida para el caso amorti-guado, y w∗

max es el valor máximo que se obtendría en ausencia de amortiguamiento ycon las mismas condiciones de contorno, geométricas, de material, y de fuerza exteriorpor unidad de longitud. El parámetro wref es un desplazamiento de referencia que secorresponde con el punto de equilibrio de casa caso (no depende de las propiedadesamortiguadoras de la viga), y que es de gran utilidad para normalizar ´. En la figura6.1 se justifica mediante un ejemplo la aplicación práctica de este parámetro.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo

w(x

=L/

2)

desplazamiento de referenciacaso no amortiguadocaso amortiguado

Figura 6.1: Ejemplo ilustrativo que justifica la definición de ´

La curva de color azul corresponde al desplazamiento w(L/2, t) obtenido para unaviga amortiguada con unas características geométricas, de material, amortiguadoras,y condiciones de contorno dadas, mientras que la curva de color rojo es el desplaza-miento que se obtendría en la misma viga en ausencia de amortiguamiento. Se puedecomprobar que para el caso no amortiguado se tiene ´ = 0, mientras que ´ = 1

65

corresponde al amortiguamiento máximo que se podría conseguir, cuando el despla-zamiento máximo obtenido es igual al de equilibrio. Por tanto, se puede ver que esteparámetro aporta una medida de la capacidad amortiguadora del sistema y permitecomparar de forma sencilla distintos casos entre sí. Como observación, es interesantedestacar que siempre se cumplirá la relación w∗

max = 2 wref por las característicasdel problema que estamos abordando, ya que el desplazamiento máximo del caso noamortiguado (w∗

max) es el doble de su valor medio (wref ) debido a que el valor mínimode la oscilación es nulo por serlo el desplazamiento en el instante inicial.

Parámetros de referencia

Los datos de referencia geométricos, de material y amortiguadores que se utilizarána la hora de analizar su influencia en todos los casos, se muestran a continuación.

∙ Geometría:- Longitud de la viga: L = 2m- Sección transversal: cuadrada de lado 5 mm → A = 25mm2 , I = 52,0833mm4

∙ Material base:- Densidad: ½ = 2700 kg/m3

- Módulo de elasticidad: E = 70GPa

∙ Amortiguamiento externo:- Extensión: x1 = L/4 , x2 = 3L/4 (Δx = L/2)- Función de Kernel espacial: c(x− ») = (®/2) e−®∣x−»∣ → ® = 5- Función de relajación: g(t− ¿) = ¹ e−¹(t−¿) → ¹ = 30- H(x) = H0 si x1 ≤ x ≤ x2 ; 0 en el resto → H0 = 1Ns/m

∙ Fuerza exterior:- F (x, t) = 1N/m

∙ Condiciones iniciales:- Desplazamiento: w(x, 0) = 0- Velocidad: w(x, 0) = 0

66

6.2. Caso 1: condiciones de contorno apoyo-apoyo

6.2.1. Modos propios no amortiguados

El primer paso en la resolución es determinar los modos propios del problema noamortiguado asociado, esto es, obtener el conjunto de funciones {Áj}∞j=1 que seránutilizadas posteriormente para resolver el problema con amortiguamiento. Para de-terminarlas se aplican las condiciones de contorno a la expresión general dada por laecuación 3.12:

Áj(x) = Aj cos ´jx+Bj sin ´jx+Cj cosh ´jx+Dj sinh ´jx ; ´4j ≡ ½A

EI!2j (6.2)

w(0, t) = w(L, t) = 0 ,∂2w

∂x2(0, t) =

∂2w

∂x2(L, t) = 0 (6.3)

Imponiendo que exista solución no nula, y normalizando la expresión, resulta:

Áj(x) =

√2

½ALsin

j¼x

L!j =

(j¼

L

)2√

EI

½A(6.4)

6.2.2. Resolución del problema estándar

A continuación de resuelve paso a paso el problema amortiguado estándar correspon-diente a una viga biapoyada, donde se han considerado un total de 5 términos en laserie de Galerkin (N = 5).

Matrices de masa, rigidez y amortiguamiento:

Mkj =

∫ L

0

½A Áj(x) Ák(x) dx = ±kj (6.5)

Kkj =

∫ L

0

EId4Áj(x)

dx4Ák(x) dx = !2

k ±kj (6.6)

Ckj = H0

∫ x2

x1

∫ x2

x1

c(x− ») Áj(») Ák(x) d» dx (6.7)

M =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(6.8)

67

K =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

328,831 0 0 0 00 5261,29 0 0 00 0 26635 0 00 0 0 84181 00 0 0 0 205519

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(6.9)

C =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

9,93183 0 −4,31385 0 −0,744020 3,77749 0 −3,47988 0

−4,31385 0 3,05455 0 −1,365750 −3,47988 0 3,57070 0

−0,74402 0 −1,36575 0 2,58939

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(6.10)

Autovalores:

Una vez que se han calculado las tres matrices anteriores, se obtienen las raícesdel polinomio característico, esto es, los autovalores del problema, resultando lossiguientes valores numéricos:

det ([D(s)]) = det(s2 [M ] + sG(s) [C] + [K]

)= 0 , G(s) =

30

30 + s(6.11)

¸1,2 = −4,027709 ± 20,82479 i¸3,4 = −0,2717506 ± 73,2012 i¸5,6 = −0,05043038 ± 163,4764 i¸7,8 = −0,01891063 ± 290,3219 i¸9,10 = −0,005644544 ± 453,4276 i¸11 = −21,8817¸12 = −29,42231¸13 = −29,95114¸14 = −29,99636¸15 = −29,9996

La ecuación 6.11 tiene 2N raíces complejas para el caso de material viscoso (G(s)=1),y 3N para el caso viscoelástico general, de las cuales 2N son pares complejos conju-gados y N son reales de valores todos ellos próximos a −¹ debido al término G(s)adicional. En nuestro caso obtenemos por tanto 10 raíces complejas en pares conju-gados y 5 raíces reales próximas al valor −30.

Todos los autovalores deben tener parte real negativa, ya que es condición necesariapara que la solución sea amortiguada. En caso contrario el desplazamiento aumentaríaindefinidamente con el tiempo:

w(x, t) =5∑

j=1

Áj(x)qj(t) , qj(t) ∼ e¸it (6.12)

68

Términos de la ecuación [D(s)] ⋅ {q(s)} = {f(s)}+ {k(s)}:

[D(s)] = s2 [M ] + sG(s) [C] + [K] , G(s) =30

s+ 30

{f(s)} =1

s⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

4,90070

1,63360

0,9801

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

, {k(s)} =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

00000

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Flecha del punto medio en función del tiempo:

Una vez que se calculan los términos {q(s)} del sistema anterior, se obtienen lasfunciones {q(t)} aplicando Transformada de Laplace inversa, y por tanto se puedenevaluar los 5 términos de w(L/2, t).

El desplazamiento vertical obtenido en el punto medio de la viga aparece graficado enla figura 6.2, comparándose con el caso no amortiguado asociado (que se calcula a suvez resolviendo el problema para H0 = 0 de forma análoga). Se observa claramente lainfluencia del amortiguamiento en el movimiento vibratorio del punto medio de la vi-ga. También se puede comprobar que la flecha converge exactamente al desplazamien-to obtenido para el caso estático no amortiguado (w∞(L/2) = 5FL4/384EI = 5,71cm),que es precisamente el punto de equilibrio del problema actual.

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

flech

a (c

m)

problema no amortiguadoproblema amortiguado

Figura 6.2: Desplazamiento del punto medio para la viga biapoyada estándar

Capacidad de amortiguación, ´:

Se calcula el parámetro ´ a partir del desplazamiento obtenido. El valor máximoobtenido para el caso amortiguado es wmax = 8,3769 cm, mientras el del caso no

69

amortiguado es w∗max = 11,4726 cm. El desplazamiento de referencia para esta condi-

ción de contorno resulta wref = 5,7363 cm.


w∗max − wref

=w∗

max − wmax

w∗max − wref

= 0,5397 ≡ 53,97% (6.13)

Se puede afirmar por tanto que la viga se ve amortiguada en su punto medio en un53,97% respecto al movimiento del problema no amortiguado asociado.

6.2.3. Influencia de N

Para estudiar cómo afecta el número de términos N considerados en la solución, esimprescindible analizar la contribución de cada uno de los 5 modos al desplazamientototal (figura 6.3). Para las condiciones de contorno del problema actual, se anulan losmodos pares en x = L/2, por tanto en este caso únicamente hay que considerar lostérminos 3 y 5.

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14Contribución de los modos 2 a 5 al desplazamiento en x=L/2

tiempo (s)

%

Figura 6.3: Contribución de los modos 2 a 5 al desplazamiento en x = L/2

Como puede observarse, los términos correspondientes a los modos 3 y 5 representanmenos de un 1% del desplazamiento total, por tanto se ve claramente que el primermodo es el predominante e incluso puede afirmarse que bastaría por sí mismo a la horade resolver el problema que estamos estudiando. Por este motivo, se utilizará N = 1a partir de este momento en los casos correspondientes a estas mismas condicionesde contorno , obteniendo así una alta precisión en los desplazamientos obtenidos enlos distintos instantes de tiempo considerados. Únicamente en los instantes iniciales

70

(t ≃ 0,04 s) se obtiene una aportación no despreciable (≃ 10%), debido a que losdesplazamientos totales son de una magnitud pequeña, aunque se trata de un intervalode tiempo que no influye en los resultados finales obtenidos.

6.2.4. Solución analítica para N=1

Una vez que se ha concluido que una buena aproximación de w(x, t) se obtiene consi-derando únicamente el primero de los modos, es interesante resolver este caso parti-cular debido a su sencillez operacional. Para ello, se puede resolver el problema paraN = 1, obteniendo la siguiente expresión relativa al desplazamiento en x = L/2:

w(x, t) = q1(t) Á1(x) , Á1(x) =

√2

½ALsin

(¼Lx)

, !1 =(¼L

)2

√EI

½A(6.14)

[s2 M + sG(s) C +K] ⋅ q(s) = f(s) + k(s) (6.15)

Se resuelve el problema y se obtienen los siguientes resultados:

M = 1 , C = H0

∫ x2

x1

∫ x2

x1

ce(x− ») Á1(») Á1(x) d» dx , K = !21 (6.16)

G(s) =¹

s+ ¹, f(s) =

∫ L

0

Á1(x)dx =4

¼

√2L

½A

1

s, k(s) = 0 (6.17)

Ecuación característica y autovalores:

s2 +¹s

s+ ¹C + !2

1 = 0 → ¸1, ¸2, ¸3 (6.18)

Obtención de q1(t):

q1(s) =f(s)

s2 + sG(s) C + !21

(6.19)

q1(t) = ℒ−1[q1(s)] (6.20)

q1(t) =4

¼!21

√2L

½A

[1−

3∑j=1

(¸2j + ¹¸j + ¹C

3¸2j + 2¹¸j + ¹C + !2

1

⋅ e¸jt

)](6.21)

71

La expresión obtenida es útil a la hora de discernir cómo influyen los distintos pará-metros del problema en el desplazamiento de cualquier punto de la viga, ya que, comose ha comprobado anteriormente, este primer término de la serie es el predominantey da una buena aproximación del desplazamiento vertical (en la expresión anterior sepuede comprobar además que q1(0) = 0 y q1(0) = 0).

El objetivo de haber obtenido la expresión anterior es observar la importancia que ad-quieren los autovalores ¸j en el comportamiento de la viga. Se observa claramente queel desplazamiento se amortigua según e¸jt, lo que nos da una idea de la importanciade los autovalores, en particular su parte real.

Se puede particularizar la expresión general de q1(t) para el caso de amortiguamientoviscoso (¹ → ∞) y amortiguamiento local (c(x− ») → ±(x− »)):

a) Amortiguamiento viscoso:

lım¹→∞

q1(t) =4

¼!21

√2L

½A

[1−

3∑j=1

(¸j + C

2¸j + C⋅ e¸jt

)](6.22)

a) Amortiguamiento local:

C = H0

∫ x2

x1

∫ x2

x1

±(x− ») Á1(») Á1(x) d» dx =1

½AL

(Δx− L

2¼

(sin

2¼x2

L− sin

2¼x1

L

))

(6.23)

para x1 = L/4 y x2 = 3L/4:

C =H0

½A

(1

2+

1

¼

)(6.24)

Finalmente se puede calcular de manera sencilla el punto de equilibrio o estacionario,evaluando la expresión para un tiempo infinito:

lımt→∞

q1(t) =4

¼!21

√2L

½A(6.25)

que nos proporciona un desplazamiento coincidente con el del caso estático sin ningúntipo de amortiguamiento existente.

Es interesante también intentar obtener una expresión analítica para la capacidadde amortiguación en cualquier punto de la viga, ´(x), utilizando el desarrollo de un

72

término. De esta forma se podrá analizar cómo varía este parámetro de un punto aotro contenido en la región amortiguada:

´(x) =

[w∗

max − wmax

w∗max − wref

]

x

=[Á1(x)q

∗1(t)]max en t − [Á1(x)q1(t)]max en t

[Á1(x)q∗1(t)]max en t − Á1(x)q1(∞)=

[q∗1(t)]max − [q1(t)]max

[q∗1(t)]max − q1(∞)(6.26)

desarrollando la definición se llega a una expresión que no depende de x, por tanto sepuede concluir que la capacidad de amortiguación ´ es la misma en todos lospuntos de la viga siempre que el primer modo de la serie sea predominante.Por tanto, bastará con analizar el punto x = L/2 para obtener de manera muy precisael amortiguamiento producido en el resto de puntos para las condiciones de contornoque estamos considerando en este apartado.

6.2.5. Influencia del modelo utilizado en c(x− »)

Para analizar posibles diferencias en los resultados obtenidos a través de los 4 modelosde función de Kernel espacial, se han simulado los modelos decrecimiento exponencialy función error para ® = 5 y los modelos función escalón y función triangular paral0 = 0,8, observando que se obtienen resultados similares en los desplazamientos delpunto medio de la viga biapoyada (figuras 6.4, 6.5, 6.6 y 6.7). Por tanto se concluyeque la elección del modelo de función de Kernel espacial no es determinante de caraa la resolución del problema, y se pueden obtener resultados similares con distitosmodelos eligiendo adecuadamente los parámetros ® y l0 en cada caso. En los cálculossucesivos utilizaremos únicamente el modelo decrecimiento exponencial, para el valorestándar ® = 5.

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90flecha en x=L/2

tiempo (s)

flech

a (m

m)

Figura 6.4: Desplazamiento del punto medio para el modelo exponencial (® = 5)

73

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90flecha en x=L/2

tiempo (s)

flech

a (m

m)

Figura 6.5: Desplazamiento del punto medio para el modelo función error (® = 5)

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90flecha en x=L/2

tiempo (s)

flech

a (m

m)

Figura 6.6: Desplazamiento del punto medio para el modelo función escalón (l0 = 0,8)

6.2.6. Influencia de H0

Obviamente, parece razonable pensar que un mayor valor de H0 amortiguará unamayor cantidad, debido a que el término de amortiguamiento de la ecuación de mo-vimiento de la viga es proporcional a este parámetro. Se ha resuelto el caso estándarpara diferentes valores de H0, obteniendo los resultados mostrados en la figura 6.8.

Asimismo, se ha calculado la capacidad de amortiguación ´ (%) en función de H0,manteniendo los demás parámetros con su valor estándar (figura 6.9).

Se observa que la relación ´ − H0 no es lineal, como podía parecer a priori por laproporcionalidad entre el término de amortiguamiento y el parámetroH0, y se alcanzaun amortiguamiento del 100% para valores cercanos a H0 = 2,5Ns/m.

74

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90flecha en x=L/2

tiempo (s)

flech

a (m

m)

Figura 6.7: Desplazamiento del punto medio para el modelo función triangular (l0 =0,8)

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

flech

a (c

m)

H0 = 0 Ns/mH0 = 0.1 Ns/mH0 = 1 Ns/mH0 = 2 Ns/m

Figura 6.8: Desplazamiento del punto medio para distintos valores de H0

6.2.7. Influencia de ¹

Observando la ecuación de movimiento de la viga, no es sencillo intentar estimar cómoinfluirá el parámetro ¹ de la función de relajación en la solución final del problema. Seha resuelto el problema estándar para diversos valores de este parámetro, obteniendolos resultados que se muestran el la figura 6.10. Del mismo modo, se ha calculado ´en función de ¹ como se puede ver en la figura 6.11, manteniendo invariantes el restode parámetros.

Se ve claramente que la viga sufre una mayor amortiguación a medida que aumenta¹, es decir, cuando el material amortiguador se hace más viscoso. En el caso de unmaterial perfectamente viscoso (¹ → ∞), la amortiguación alcanza un valor máximoen torno al 60%. La existencia de esta cota superior indica que a través de este

75

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

H0 (Ns/m)

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)

Figura 6.9: Capacidad de amortiguación ´ en función de H0

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

flech

a (c

m)

mu = 0mu = 10mu = 30mu = infinito

Figura 6.10: Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ¹

parámetro no se puede aumentar el amortiguamiento hasta cualquier valor deseado,sino hasta un máximo de un 60% aproximadamente. También se extrae de la figura6.11 que a partir de ¹ ≃ 40 se producen pequeños aumentos de la capacidad deamortiguación para grandes variaciones de ¹, hecho que puede no interesar si el costede aumentar ¹ es excesivo.

6.2.8. Influencia de ®

En las figuras 6.12 y 6.13 se muestran los desplazamientos en x = L/2 para diferentesvalores de ® y la influencia de este parámetro en la capacidad de amortiguación.

76

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

mu

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)

Figura 6.11: Capacidad de amortiguación ´ en función de ¹

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

flech

a (c

m)

alpha = 0alpha = 1alpha = 5alpha = infinito

Figura 6.12: Desplazamiento del punto medio para distintos valores de ®

Observamos de nuevo un valor máximo próximo al 62% para valores muy altos de®, siendo el límite superior correspondiente al caso de amortiguamiento viscoelásticolocal (® → ∞). A partir de ® ≃ 10 los aumentos en ´ son poco significativos ya quela pendiente de la curva se hace prácticamente nula.

6.2.9. Influencia de x2 − x1 (región centrada)

Es de vital importancia el tamaño de la región con tratamiento amortiguador, Δx =x2−x1, ya que este parámetro aparece de manera activa en el término de la ecuaciónde movimiento correspondiente al amortiguamiento. Parece razonable pensar que el

77

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

alpha

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)

Figura 6.13: Capacidad de amortiguación ´ en función de ®

amortiguamiento será mayor cuanto mayor sea este tamaño. Las figuras 6.14 y 6.15ilustran este hecho de manera clara.

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

flech

a (c

m)

dx = 0dx = L/4dx = L/2dx = 3L/4dx = L

Figura 6.14: Desplazamiento del punto medio para distintos valores de Δx (regióncentrada en x = L/2)

La capacidad de amortiguación aumenta cuando lo hace el tamaño de la región noamortiguada, encontrando un máximo próximo al 66% si el amortiguamiento seencuentra en la totalidad de la viga. No obstante, para valores mayores de 3L/4(´ ≃ 66%) los aumentos en ´ se hacen poco significativos.

78

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

dx/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)

Figura 6.15: Capacidad de amortiguación ´ en función de Δx (región centrada enx = L/2)

6.2.10. Influencia de x1 (Δx = L/2)

Intuitivamente parece razonable pensar que ´ dependa de dónde esté situada la regiónamortiguadora, ya que los desplazamientos no son los mismos si se amortigua la regióncentral de la viga o la región más próxima a uno de los apoyos, siendo en este segundocaso menor que en el primero.

Esta afirmación se comprueba en la figura 6.16, donde se ha resuelto el problema paradiferentes valores de x1, manteniendo invariante el tamaño, Δx = L/2.

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

flech

a (c

m)

refx1 = 0x1 = L/8x1 = L/4

Figura 6.16: Desplazamiento del punto medio para distintos valores de x1 (Δx = L/2)

79

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

10

20

30

40

50

60

x1/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)

Figura 6.17: Capacidad de amortiguación ´ en función de x1 (Δx = L/2)

En la figura 6.17 se muestra efectivamente que ´ es máximo (54%) en el caso deamortiguamiento centrado en x = L/2, mientras que alcanza un valor mínimo (35%)cuando se sitúa próximo a uno de los apoyos de la viga.

80

6.3. Caso 2: condiciones de contorno empotramiento-libre


A continuación se va a resolver el problema estándar aplicado a una viga en vola-dizo, esto eso, con condiciones de contorno empotramiento-libre, siguiendo la mismametodología que en el caso anterior.


EI!2j (6.27)

w(0, t) = 0 ,∂w

∂x(0, t) = 0 ,

∂2w

∂x2(L, t) = 0 ,

∂3w

∂x2(L, t) = 0 (6.28)


Áj(x) =

√1

½AL[cosh ´jx− cos ´jx− ¯j sinh ´jx+ ¯j sin ´jx] , !j = ´2j

√EI

½A

(6.29)

donde:

¯j =cosh ´jL+ cos ´jL

sinh ´jL+ sin ´jL(6.30)

y siendo ´jL las raíces de la siguiente ecuación:

1 + cosh ´jL cos ´jL = 0 (6.31)

Se obtienen los siguientes tres primeros valores:

´1L = 1,875104 → ¯1 = 0,734096 , !1 = 6,46´2L = 4,694091 → ¯2 = 1,018467 , !2 = 40,48´3L = 7,854757 → ¯3 = 0,999224 , !3 = 113,36

81


El problema estándar para N = 3 proporciona los resultados que se muestran acontinuación.


M =

⎛⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ (6.32)

K =

⎛⎝

41,733 0 00 1639,0 00 0 12850

⎞⎠ (6.33)

C =

⎛⎝

3,30870 4,63845 −1,050204,63845 8,21828 1,02849−1,05020 1,02849 4,56238

⎞⎠ (6.34)

Autovalores:


¸1,2 = −1,769952 ± 6,706273 i¸3,4 = −1,495827 ± 42,54641 i¸5,6 = −0,1483545 ± 6,706273 i¸7 = −23,80077¸8 = −29,39189¸9 = −29,97907

De nuevo se observa que aparecen 2N autovalores complejos en pares conjugados, yN autovalores reales, todos ellos con parte real negativa como era de esperar.


[D(s)] = s2 [M ] + sG(s) [C] + [K] , G(s) =30

s+ 30

{f(s)} =1

s⋅⎛⎝4,26212,36201,3849

⎞⎠ , {k(s)} =

⎛⎝000

⎞⎠

82


En la figura 6.18 se muestra el desplazamiento del punto medio de la viga en funcióndel tiempo obtenido de resolver el sistema anterior.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo

w(x

=L/

2)


Figura 6.18: Desplazamiento del punto medio para la viga empotrada-libre estándar


Se calcula el parámetro ´ a partir del desplazamiento obtenido. El valor máximoobtenido para el caso amortiguado es wmax = 26,984 cm, mientras el del caso noamortiguado es w∗

max = 37,749 cm. El desplazamiento de referencia para esta condi-ción de contorno resulta wref = 18,870 cm.


w∗max − wref

=w∗

max − wmax

w∗max − wref

= 0,5702 ≡ 57,02% (6.35)

Comparando su valor con el caso de viga biapoyada (53.97 %), se puede afirmar queel tratamiento amortiguador genera un efecto algo mayor en el caso actual que en elanterior, produciendo una capacidad de amortiguación un 3% mayor, aproximada-mente.

83


Se ha graficado (figura 6.19) la contribución de los modos 2 y 3 al desplazamientototal en x = L/2, obteniendo una aportación menor de un 4% (salvo en los instantesiniciales, que no influyen en los resultados), por tanto se concluye que el primer modoes el predominante como ocurría en el caso anterior con la viga biapoyada. Estaafirmación implica de nuevo que la capacidad de amortiguación ´ es la mismaen todos los puntos de la viga.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40

50

60Contribución de los modos 2 y 3 al desplazamiento total

tiempo (s)

cont

ribuc

ión

(%)

Figura 6.19: Contribución de los modos 2 y 3 al desplazamiento en x = L/2

En los cálculos sucesivos para estas condiciones de contorno se considerará únicamenteel primer término de la serie de Galerkin, es decir, se tomará N = 1.


En las figuras 6.20 y 6.21 se muestra cómo influye el parámetro H0 en la capacidadde amortiguación de la viga, mostrando de nuevo que ésta puede crecer hasta valoresdel 100% si se aumenta H0 lo suficiente.

Se observa un amortiguamiento del 100% para valores de H0 mayores que 2,8Ns/m,ligeramente más altos que en el caso de viga biapoyada (2,5Ns/m).

84

0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo (s)

flech

a (c

m)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

H0 (Ns/m)

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



En las figuras 6.22 y 6.23 se muestra cómo influye ¹ en el amortiguamiento de la vigaque se está considerando.

de nuevo se observa el mismo carácter asintótico que para el caso de viga biapoyada,ya que para valores de ¹mayores que 20 la pendiente de la curva se hace prácticamentenula.

85

0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo (s)

flech

a (c

m)



0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

50

60

mu

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



En las figuras 6.24 y 6.25 se observa una aumento de la amortiguación a medida queaumenta el valor de este parámetro, como cabía esperar, obteniendo para el caso deamortiguamiento viscoelástico local una amortiguación próxima al 67%.


En las figuras 6.26 y 6.27 se ha graficado la influencia de la longitud de la región amor-tiguada en los desplazamientos obtenidos en el punto medio de la viga. Es importante

86

0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo (s)

flech

a (c

m)



0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

alpha

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


destacar que se pueden conseguir amortiguamientos del 100% para longitudes próxi-mas a la total (Δx ≃ 0,9L), hecho que no ocurría para las anteriores condiciones decontorno.


Las figuras 6.28 y 6.29 muestran la influencia que tiene en el problema la posición dela región amortiguadora, observándose que se produce una amortiguación mayor amedida que se posiciona ésta más cerca del extremo libre de la viga, llegando inclusoa valores de ´ del 100%.

87

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo (s)

flech

a (c

m)

dx = 0dx = L/4dx = L/2dx = 3L/4dx = L


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

dx/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


88

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

tiempo (s)

flech

a (c

m)

refx1 = 0x1 = L/8x1 = L/4


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x1/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


89

6.4. Caso 3: condiciones de contorno empotramiento-apoyo



EI!2j (6.36)

w(0, t) = w(L, t) = 0 ,∂w

∂x(0, t) = 0 ,

∂2w

∂x2(L, t) = 0 (6.37)


Áj(x) =

√1

½AL[cos ´jx− cosh ´jx− ¯j sin ´jx+ ¯j sinh ´jx] , !j = ´2j

√EI

½A

(6.38)

donde:

¯j =cos ´jL− cosh ´jL

sin ´jL− sinh ´jL(6.39)


cos ´jL+ cosh ´jL− ¯j (sin ´jL+ sinh ´jL) = 0 (6.40)

Se obtienen los siguientes cuatro primeros valores:

´1L = 3,926602 → ¯1 = 1,00077731190727 , !1 = 28,33´2L = 7,068583 → ¯2 = 1,00000144989766 , !2 = 91,80´3L = 10,210176 → ¯3 = 1,00000000270759 , !3 = 191,54´4L = 13,351769 → ¯4 = 1,00000000000506 , !4 = 327,54

90


Tras resolver el problema para N = 3, se han encontrado desplazamientos del mismoorden correspondientes a los modos 2 y 3, por tanto se ha decidido considerar N = 4en los cálculos sucesivos.


M =

⎛⎜⎜⎝

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 01

⎞⎟⎟⎠ (6.41)

K =

⎛⎜⎜⎝

802,49 0 0 00 8427,6 0 00 0 36686 00 0 0 107280

⎞⎟⎟⎠ (6.42)

C =

⎛⎜⎜⎝

10,069 2,2020 −3,4963 0,28672,2020 4,7952 0,4867 −3,1634−3,4963 0,4867 3,0021 −0,57390,2867 −3,1634 −0,5739 3,0230

⎞⎟⎟⎠ (6.43)

Autovalores:


¸1,2 = −2,632474 ± 31,096488 i¸3,4 = −0,229888 ± 92,510707 i¸5,6 = −0,361030 ± 191,767256 i¸7,8 = −0,125907 ± 327,677247 i¸9 = −24,653516¸10 = −29,562703¸11 = −29,965073¸12 = −29,996595

Aparecen de nuevo 2N autovalores complejos en pares conjugados, y N autovaloresreales, todos ellos con parte real negativa.

91


[D(s)] = s2 [M ] + sG(s) [C] + [K] , G(s) =30

s+ 30

{f(s)} =1

s⋅

⎛⎜⎜⎝

−4,6813−0,4498−1,8202−0,2388

⎞⎟⎟⎠ , {k(s)} =

⎛⎜⎜⎝

0000

⎞⎟⎟⎠


En la figura 6.30 se muestra el desplazamiento del punto medio de la viga en funcióndel tiempo obtenido de resolver el sistema anterior.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tiempo (s)

flech

a (c

m)





w∗max − wref

=0,045874− 0,038146

0,045874− 0,02293924= 0,3370 ≡ 33,70% (6.44)

Se observa una amortiguación mucho menor que en los dos casos anteriores, debidoposiblemente al hecho de que haya un mayor grado de hiperestatismo en el caso actualrestringiéndose los movimientos de la viga en mayor proporción.

92


En la figura 6.31 se observa de nuevo un carácter predominante del primero de losmodos, lo que implica de nuevo que la capacidad de amortiguación ´ es lamisma en todos los puntos de la viga. Al resolver el problema con N = 4 se haencontrado que el modo 4 es dos órdenes de magnitud menor que los términos 2 y 3,por tanto se acepta de manera definitiva al primero de ellos como mucho mayor quelos demás.

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

6

7Desplazamiento de los modos 2 a 4 respecto al total

tiempo (s)

cont

ribuc

ión

(%)

Figura 6.31: Contribución de los modos 2 a 4 al desplazamiento en x = L/2

En los cálculos sucesivos para estas condiciones de contorno se considerará como enlos problemas anteriores únicamente el primer término de la serie de Galerkin, esdecir, se tomará N = 1.


En las figuras 6.32 y 6.33 se muestra cómo influye el parámetro H0 en la capacidadde amortiguación de la viga, mostrando de nuevo que ésta puede crecer hasta valoresdel 100% si se aumenta H0 lo suficiente (H0 ≃ 5).

93

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tiempo (s)

flech

a (c

m)



0 1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

H0

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


94


De nuevo se ha resuelto el problema para distintos valores de ¹, obteniendo la ten-dencia mostrada en las figuras 6.34 y 6.35

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tiempo (s)

flech

a (c

m)



0 20 40 60 80 100 120 140 1600

5

10

15

20

25

30

35

40

45

mu

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



Observamos en las figuras 6.36 y 6.37 un comportamiento asintótico a medida queefecto amortiguador se hace más local, pudiendo llevar a amortiguamientos próximos

95

al 38%.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tiempo (s)

flech

a (c

m)



0 2 4 6 8 10 12 14 16−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

alpha

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



De nuevo se refleja en las figuras 6.38 y 6.39 que un aumento en la longitud de laregión amortiguada origina una mayor capacidad amortiguadora en la estructura.

96

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tiempo (s)

flech

a (c

m)

dx = 0dx = L/4dx = L/2dx = 3L/4dx = L


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

30

35

40

45

dx/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



La figura 6.40 refleja una diferencia muy importante respecto a las condiciones decontorno considerada anteriormente, y es el hecho de que la curva ´ − x1 tiene unmáximo en x1 ≃ 0,32L, debido a la asimetría en las condiciones de contorno. Lacapacidad amortiguadora es mayor si se situa el tratamiento más cerca del apoyo quesi lo hace en las proximidades del empotramiento, ya que la flexibilidad es mayor enel primer caso que en segundo, por tanto se amortigua en una mayor proporción.

97

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25

30

35

x1/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


98

6.5. Caso 4: condiciones de contorno empotramiento-empotramiento



EI!2j (6.45)

w(0, t) = w(L, t) = 0 ,∂w

∂x(0, t) =

∂w

∂x(L, t) = 0 (6.46)


Áj(x) =

√1

½AL[cos ´jx− cosh ´jx− ¯j sin ´jx+ ¯j sinh ´jx] , !j = ´2j

√EI

½A

(6.47)

donde:

¯j =cos ´jL− cosh ´jL

sin ´jL− sinh ´jL(6.48)


sin ´jL+ sinh ´jL+ ¯j (cos ´jL− cosh ´jL) = 0 (6.49)

Se obtienen los siguientes cuatro primeros valores:

´1L = 4,730041 → ¯1 = 0,982502214576238 , !1 = 41,11´2L = 7,853205 → ¯2 = 1,00077731190727 , !2 = 113,31´3L = 10,995608 → ¯3 = 0,999966450125409 , !3 = 222,14

99


El problema estándar para N = 3 proporciona los resultados que se muestran acontinuación.


M =

⎛⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ (6.50)

K =

⎛⎝

1689,8 0 00 12840 00 0 49346

⎞⎠ (6.51)

C =

⎛⎝

11,120 0 −2,90560 5,0531 0

−2,9056 0 2,4986

⎞⎠ (6.52)

Autovalores:


¸1,2 = −1,841286 ± 43,8518 i¸3,4 = −0,163921 ± 113,9373 i¸5,6 = −0,022440 ± 222,3051 i¸7 = −26,3036¸8 = −29,6722¸9 = −29,9690

Aparecen, como era de esperar, 2N autovalores complejos en pares conjugados, y Nautovalores reales, todos ellos con parte real negativa.


[D(s)] = s2 [M ] + sG(s) [C] + [K] , G(s) =30

s+ 30

{f(s)} =1

s⋅⎛⎝−4,5226

0−1,9801

⎞⎠ , {k(s)} =

⎛⎝000

⎞⎠

100


En la figura 6.41 se muestra el desplazamiento del punto medio de la viga en funcióndel tiempo, obtenido de resolver el sistema anterior.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (s)

flech

a (c

m)





w∗max − wref

=0,0231334− 0,020589

0,023134− 0,011569= 0,2200 ≡ 22,00% (6.53)

Se obtiene en este caso una capacidad de amortiguación menor que en todas lascondiciones de contorno anteriores, debido a que la estructura es más rígida y estámás restringida en los movimientos, hecho que disminuye el amortiguamiento delsistema.


Se observa una vez más en la figura 6.42 que el modo 1 es predominante respecto alos demás, hecho que de nuevo prueba que la capacidad de amortiguación ´ esla misma en todos los puntos de la viga.

En los cálculos sucesivos para estas condiciones de contorno se considerará únicamenteel primer término de la serie de Galerkin, N = 1.

101

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Desplazamiento de los modos 2 y 3 respecto al total

tiempo (s)

%

Figura 6.42: Contribución de los modos 2 y 3 al desplazamiento en x = L/2


En las figuras 6.43 y 6.44 se puede apreciar cómo influye el parámetro H0 en lacapacidad de amortiguación de la viga, mostrando de nuevo que ésta puede crecerhasta valores del 100% si se aumenta H0 lo suficiente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (s)

flech

a (c

m)



Se observa un amortiguamiento del 100% para valores de H0 mayores que 9Ns/m.

102

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

H0 (Ns/m)

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



Se muestra a continuación (figuras 6.45 y 6.46) la influencia de ¹ en la soluciónobtenida para N = 1, encontrando una capacidad amortiguadora máxima del 35%correspondiente al amortiguamiento viscoso asociado.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (s)

flech

a (c

m)



103

0 50 100 150 2000

5

10

15

20

25

30

35

mu

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



En los gráficos 6.47 y 6.48 se observan los desplazamientos obtenidos para distin-tos valores del parámetro, así como su influencia en la capacidad de amortiguaciónobtenida.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (s)

flech

a (c

m)

alpha = 0alpha = 0.5alpha = 2alpha = infinito


104

0 5 10 15 20 25 30−5

0

5

10

15

20

25

30

alpha

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



Observamos de nuevo en las figuras 6.49 y 6.50 que un aumento de Δx produce unamayor capacidad de amortiguación en la estructura biempotrada estándar que se estáanalizando.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (s)

flech

a (c

m)

dx = 0dx = L/4dx = L/2dx = 3L/4dx = L


105

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

30

dx/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)



La posición del tratamiento amortiguador proporciona una capacidad de amortigua-ción como la mostrada en las figuras 6.51 y 6.52.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (s)

flech

a (c

m)

refx1 = 0x1 = L/8x1 = L/4


106

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x1/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


107

6.6. Comparativa de resultados

Una vez que se ha analizado en detalle la influencia de todos los parámetros queintervienen en el sistema, es interesante realizar una comparativa de los resultadosobtenidos, comentando las diferencias más significativas encontradas entre las dife-rentes condiciones de contorno que han sido consideradas en el presente estudio.

En todos los casos, se ha concluido que el primer término de la serie de desplazamien-tos es el predominante, y se ha demostrado que este hecho implica que la capacidadde amortiguación es independiente del punto geométrico donde se calcule, pudiéndosepor tanto extrapolar los resultados obtenidos en x = L/2 al resto de puntos de laviga contenidos en la región amortiguada.

Para la condición de contorno apoyo-apoyo se han graficado los desplazamientos ob-tenidos en el punto medio de la viga considerando cada una de las funciones de Kernelespaciales descritas previamente en capítulos anteriores. Se ha encontrado que todasellas muestran resultados similares para una correcta elección de los parámetros ® yl0. Por este motivo, se ha tenido en cuenta únicamente el modelo de decrecimientoexponencial en todos los cálculos posteriores, ya que los demás modelos no aportanconclusiones adicionales al problema.

Posteriormente, se ha resuelto el problema estándar variando de manera indepen-diente cada uno de los parámetros del sistema, graficando el valor de ´ obtenido encada caso. En las figuras que se muestran a continuación se describe un resumen delos resultados obtenidos para cada una de las condiciones de contorno consideradas.

108

Comportamiento amortiguador: H0, ¹ y ®

Las figuras 6.53, 6.54 y 6.55 muestran una recopilación de los resultados obtenidos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

H0 (Ns/m)

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)

biapoyadaempotramiento−libreempotramiento−apoyobiempotrada

Figura 6.53: Capacidad de amortiguación ´ en función de H0 (resto de parámetros:valores estándar)

0 20 40 60 80 100 120 1400

10

20

30

40

50

60

70

mu

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


Figura 6.54: Capacidad de amortiguación ´ en función de ¹ (resto de parámetros:valores estándar)

Se observan similitudes en las dos primeras condiciones de contorno, esto es, viga bia-poyada y viga en voladizo, encontrando valores de ´ muy parecidos en ambos casos

109

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70

alpha

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


Figura 6.55: Capacidad de amortiguación ´ en función de ® (resto de parámetros:valores estándar)

respecto a los parámetros relativos al comportamiento amortiguador, en definitiva,la función de Kernel Ce(x, », t − ¿) que engloba los efectos de la histéresis temporaly del aspecto no local del problema. Sin embargo, en los otros casos la magnituddel parámetro ´ es menor, encontrando las menores amortiguaciones para la vigabiempotrada. Se concluye por tanto que las vigas con mayor grado de hiper-estatismo proporcionan menores capacidades de amortiguación ´, debido aque los movimientos están más restringidos y por tanto la capacidad de actuacióndel tratamiento amortiguador es menor, .absorbida.en parte por dichas restriccionesal movimiento.

Posición y tamaño de la zona amortiguada: Δx y x1

Las figuras 6.56 y 6.57 representan la influencia de estos dos parámetros en la capa-cidad amortiguadora de la viga en cada caso.

En primer lugar, se observa en la figura 6.56 que para cada tipo de condición decontorno considerada, la capacidad de amortiguación aumenta cuanto mayor es eltamaño de la zona amortiguadora, es decir, Δx. Si se compara cada caso, se puedever que las diferencias que aparecen entre cada tipo de viga se hacen más importantesa medida que aumentamos este parámetro, encontrando la mayor pendiente para elcaso de viga en voladizo.

La figura 6.57 muestra claramente en los cuatro casos que el parámetro ´ es mayorsi se sitúa la región amortiguada lo más próxima posible a lós puntos de la viga conmayores desplazamientos transversales, por tanto es importante conocer la deformadaen modo estático para predecir la mejor posición para el tratamiento amortiguador.

110

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

dx/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


Figura 6.56: Capacidad de amortiguación ´ en función de Δx (resto de parámetros:valores estándar)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x1/L

capa

cida

d de

am

ortig

uaci

ón (

%)


Figura 6.57: Capacidad de amortiguación ´ en función de x1 (resto de parámetros:valores estándar)

111

Capítulo 7

Conclusiones

En este estudio se ha resuelto de manera satisfactoria la ecuación de movimientode una viga con un tratamiento amortiguador viscoelástico no local, analizando lainfluencia de los distintos parámetros que intervienen en el problema, y para lo cualse ha utilizado el Método de Galerkin apoyado en el concepto de Transformadade Laplace. También se han desarrollado otros métodos alternativos de resolución,con el único objetivo de mostrar su existencia aplicabilidad a nuestro problema y aotros del entorno ingenieril.

En el Capítulo 1 se han expuesto las principales características de los materialesviscoelásticos y se han descrito los modelos más utilizados para describir su compor-tamiento, mientras que en el Capítulo 2 se han sentado las bases de la dinámica devigas tipo Euler-Bernoulli, sin considerar ningún tratamiento amortiguador, y resol-viendo analíticamente la ecuación de movimiento para este caso.

En los apartados siguientes se ha introducido un nuevo término en la ecuación demovimiento anterior, contemplando así el comportamiento de una viga con un tra-tamiento amortiguador en un tramo Δx de su longitud. Este nuevo término incluyedos amortiguamientos, el externo y el interno, conteniendo cada uno de ellos diversasfunciones espaciales y temporales que es necesario modelizar. Por simplicidad, no seha considerado amortiguamiento interno a la hora de resolver los diferentes casosprácticos planteados.

Para analizar la influencia de los parámetros del problema, se han utilizado valoresestándar de referencia de los mismos, analizando la sensibilidad de la solución frentea la variación de los mismos, y partiendo en todos los casos de los mismos valoresde referencia. Por simplicidad, se han considerado únicamente el punto geométricox = L/2 y una fuerza unitaria F (x, t) = 1N/m, con el fin de poner obtener resultadoscomparables entre sí de una manera clara. Asimismo, se han resuelto diferentes con-diciones de contorno, con el fin de analizar cómo influye el tratamiento amortiguadoren todas ellas de manera independiente.

112

Se ha definido un parámetro ´ denominado capacidad de amortiguación, que da unaidea del nivel amortiguador conseguido en cada caso, y que permite realizar compa-raciones de resultados de manera sencilla. Se ha demostrado además, que el hecho deque el primer término del desarrollo en serie de Galerkin sea predominante respectoal resto, implica una capacidad de amortiguación que no varía de un punto a otrode la viga, o lo que es lo mismo, es suficiente con analizar el punto x = L/2 yextrapolar a los demás los resultados obtenidos.

Para la función de Kernel espacial, c(x− »), se han contemplado 4 modelos distintos,concluyendo, tras resolver los casos prácticos de la viga biapoyada considerada, queuna correcta elección de los parámetros que intervienen en sus expresiones, ® y l0,proporcionan resultados similares en la solución final. Por este motivo, se han resueltotodas las condiciones de contorno utilizando únicamente el modelo de decrecimientoexponencial, llegando a conclusiones claras sobre cómo influye el parámetro ® en losresultados finales obtenidos. A este respecto, se ha concluido que el mayor amortigua-miento conseguido corresponde al modelo de amortiguamiento local, correspondientea valores muy altos de este parámetro, y teniendo en cuenta la posición centrada deltratamiento en x = L/2.

La función de relajación g(t − ¿) también acepta diferentes modelos en su expre-sión, entre los cuales se ha considerado la expresión más sencilla correspondientea un decrecimiento exponencial. Se ha analizado la variación del amortiguamientoconseguido en función del parámetro ¹, obteniendo, como era de esperar, un mayoramortiguamiento para valores altos de este parámetro, ya que el comportamiento estámás alejado del perfectamente elástico y más próximo al viscoso.

Respecto al parámetro H0, se ha concluido que un incremento en su valor produceun mayor amortiguamiento, no obstante, el efecto es distinto dependiendo de lascondiciones de contorno consideradas en casa caso.

Asimismo, se ha analizado cómo influyen Δx y x1 en cada problema particular, y sehan obtenido conclusiones muy precisas sobre la influencia del tamaño de la regiónamortiguadora y sobre la posición más adecuada de ésta, concluyendo que interesa si-tuarla lo más cercana posible a la región de la viga que sufra mayores desplazamientostransversales.

En un último análisis, se han comparado los resultados obtenidos para las distintascondiciones de contorno consideradas, obteniendo una información gran valor ingenie-ril que permite diseñar de manera óptima el tratamiento amortiguador más adecuadopara cada viga y para cada caso en particular.

113

Líneas futuras de investigación

El presente estudio ha sentado un procedimiento de análisis a la hora de resolver laecuación de movimento de una viga con amortiguamiento viscoelástico no local, noobstante, se han realizado simplificaciones con el fin de obtener unos resultados clarosy fáciles de discutir. De esta manera se ha conseguido extraer información muy útilacerca de cómo influyen los parámetros del problema en la solución final obtenida,conclusiones a las que habría sido más difícil llegar si se hubiese resuelto el casomás general posible. Desde este punto de vista, un trabajo futuro podría contemplarla existencia del término de amortiguamiento interno, analizando en detalle lainfluencia de la función °(x) en los resultados obtenidos, y considerando a su vezexpresiones más generales para F(x,t).

Asimismo, sería muy intersante realizar una programación de Elementos Finitosmediante la cual se pudieran resolver estructuras formadas por múltiples vigas unidas,que considerara los modelos de amortiguamiento viscoelástico no local a la hora derelacionar las fuerzas con los desplazamientos absolutos en cada uno de los nodos delas vigas.

Se ha analizado la influencia de los distintos parámetros partiendo de unos valoresestándar de referencia de los mismos, analizando su influencia variando únicamenteuno de ellos cada vez. Sería de gran utilizad analizar también cómo varía la capacidadde amortiguación si se cambian al mismo tiempo dos o más de estos parámetros.

Finalmente, se propone una línea de investigación que analice la influencia de losparámetros geométricos y del material, esto es, ½A, EI y L, ya que por simplicidadno se ha considerado este hecho en el presente estudio.

114

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