Integración Numérica completa

Integracin Numrica75.12 Anlisis Numrico I

Departamento de Computacin Facultad de Ingeniera - UBA2006

En este artculo se tratan brevemente algunos de los mtodos numricos que se emplean para integrar funciones. Se desarrollan brevemente los distintos mtodos, tales como los mtodos del rectngulo y del trapiezo, la frmula de Simpson, el mtodo de Romberg (utilizacin de la extrapolacin de Richardson para renar un resultado) y la aplicacin de la cuadratura de Gauss-Legendre.

Resumen

Palabras clave: Mtodos abiertos y cerrados, aproximacin por exceso o por defecto, paso, aproximacin polinomial, extrapolacin de Richardson, polinomios ortogonales.1. IntroduccinAl igual que en el caso de la derivacin numrica, el uso de las computadoras trae cierta dicultad para trabajar con mtodo simblicos. Si bien hoy existen varios programas que trabajan con matemtica simblica (Mathematica, Maple, MathCAD, Matlab), no es lo ms usual y mucha veces la capacidad de esos programas se ve excedida por la demanada de cantidad de clculo. Ms de una vez la necesidad de obtener un resultado en el menor tiempo posible hace imperioso contar con algn mtodo que estime el valor en forma numrica. Al mismo tiempo, muchos programas de aplicacin ingenieril no pueden almacenar o guardar en sus lneas de cdigo una base de datos que incluya las primitivas de cualquier funcin (anlogo al caso inverso ya visto). La cantidad de informacin y la aleatoriedad que puede presentar una exigencia de este tipo vuelve impractible realizar esto en cada programa, adems de llevar a desarrollar interfaces amigables, que contribuyen a aumentar los requerimientos de memoria, tanto de operacin como de almacenamiento. Debe tenerse en cuenta, adems, que la difusin del Mtodo de los Elementos Finitos para la resolucin de ecuaciones diferenciales lleva implcito la aplicacin de mtodos numricos de integracin para obtener la matriz de coecientes del sistema de ecuaciones lineales resultante, mtodo que suele ser el de la cuadratura de GaussLegendre. Veremos a continuacin como encarar la integracin en forma numrica con ayuda de varios ejemplos, analizando las ventajas y las desventajas de cada mtodo.

2.

Frmulas de Newton-CotesAntes de desarrollar las distintas frmulas o mtodos para obtener una integral denida

en forma numrica, veremos algunas deniciones.

Denicin 2.1.la intergal

Dada una funcin

f (x)

denida en

[a; b],

se denomina cuadratura numrica de

I(f ) =

b a f (x)dx a una frmula tal que: n

Qn (f ) =i=11

ci f (xi ) ;

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Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniera

ci y xi [a; b]. Los puntos xi se denominan puntos de cuadratura (o races) y los ci , coecientes de cuadratura o de peso. Asimismo, se dene el error de la cuadratura como En (f ) = I(f ) Qn (f ).valores

Denicin 2.2.k = 0; 1; . . . ; my

Una cuadratura numrica tiene grado de precisin

m m,

si

En (xk ) = 0

para

En

xm+1 pk (x)

= 0.entonces

Corolario 2.2.1. Denicin 2.3. Denicin 2.4.3.3.1.

Si una cuadratura numrica tiene grado de precisin de grado menor o igual a

En (pk ) = 0

para todo polinimio

m (k m).

Se denomina frmula cerrada de Newton-Cotes a toda cuadratura numrica

cuyos nodos incluya a los extremos del intervalo. Se denomina frmula abierta de Newton-Cotes a toda cuadratura numrica

cuyos nodos no incluya a los extremos del intervalo.

Frmulas cerradas de Newton-CotesFrmulas simplesSupongamos que tenemos la siguiente funcin (o curva) y queremos hallar el rea bajo

la curva en el intervalo

[a; b],

como se ve en la gura 1.

Figura 1: rea bajo la curva.

Para empezar podemos hacer dos aproximaciones muy groseras como se puede apreciar en las guras 2(a) y 2(b):

Figura 2: Aproximacin por Rectngulos.

(a) Por defecto

(b) Por exceso

En la aproximacin de la gura 2(a), vemos que el rea obtenida es mucho menor que el rea buscada. En cambio, en la 2(b), podramos suponer que la aproximacin al rea obtenida es similar o mayor. Podemos ver que si el rea en color claro se compensa con el rea en color oscuro excedente, entonces estaramos obteniendo una buena aproximacin. Si esto no fuera as, entonces obtendramos una rea por defecto (la parte oscura es menor que la parte clara) o por exceso (la parte oscura es mayor a la parte clara).

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Estas dos aroximaciones se pueden expresar matemticamente como:

Qn (f ) = f (a)(b a);para el caso (a) y,

Qn (f ) = f (b)(b a);para el caso (b). Podramos mejorar estas aproximaciones si obtenemos la siguiente rea:

Figura 3: Aproximacin por Trapecios.

En nuestro caso particular no parece ser mejor esta aproximacin puesto que hay un rea excedente en color clro. La expresin matemtica para este caso es:

Qn (f ) =

f (b) + f (a) (b a). 2 h = ba, entonces

Vamos a generalizar estas tres expresiones. Supongamos que denimos podemos escribir cada una de las expresiones como: Aproximacin por rectngulos (defecto): Aproximacin por rectngulos (exceso): Aproximacin por trapecio:

Qn (f ) = h f (a); Qn (f ) = h f (b);

Qn (f ) =

h 2

[f (a) + f (b)].

Analicemos ahora una segunda mejora. Supongamos que podemos calcular la funcin en

x=

a+b 2 , es decir, podemos obtener

f

a+b 2 . En consecuencia, tenemos ahora tres puntos que

nos pueden servir para obtener el rea buscada. Hagamos pasar una curva por esos tres puntos utilizando el polinomio de Taylor y asumiendo en este caso que

h=

ba 2 , como se ve en la gura 4.

Podemos ver en la gura que el rea aproximada es mayor que el rea buscada, lo que signica

Figura 4: Aproximacin por Simpson.

que obtendremos un valor por exceso.


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La aproximacin usando parbolas de segundo grado es la conocida frmula de Simpson, cuya expresin matemtica es:

Qn (f ) =

h f (a) + f (b) + 4 f 3

a+b 2

.

Ahora vamos a unicar para los cuatro casos el intervalo de integracin. Tomaremos como intervalo

[a; b]

el intervalo

[1; 1].

Entonces para cada mtodo tendremos:

Aproximacin por rectngulo (defecto): Aproximacin por rectngulo (exceso): Aproximacin por trapecios: Aproximacin por Simpson:

Qn (x) = 2 f (1). Qn (x) = 2 f (1).

Qn (x) = 1 f (1) + 1 f (1). Qn (x) =1 3

f (1) +

4 3

f (0) +

1 3

f (1).

Si nos jamos en la denicin de cuadratura podemos ver que hemos denido para cada caso un valor de

ci

y un valor de

xi ,

que son los siguientes:

Aproximacin por rectngulo (defecto): Aproximacin por rectngulo (exceso): Aproximacin por trapecios: Aproximacin por Simpson:

c1 = 2, x1 = 1. c1 = 2, x1 = 1.

c1 = c2 = 1, x1 = 1, x2 = 1. c1 = c3 =1 3,

c2 =

4 3,

x1 = 1; x2 = 0; x3 = 1;

con lo cual podemos escribirlos segn la forma general denida como cuadratura numrica :

n

Qn (f ) =i=1siendo

ci f (xi ) ; n = 2para la del trapecio y

n = 1

para la frmula del rectngulo,

n = 3

para la de

Simpson. Sin embargo, en todos los casos las aproximaciones no fueron muy precisas. Veremos a continuacin algunas formas de mejorar la precisin de las cuadraturas.

3.2.

Frmulas compuestasSupongamos que en lugar de utilizar la frmula del rectngulo con el paso

h = b a,

dividimos ese intervalo en intervalos ms chicos. Empecemos por denir un nuevo paso como

h=

ba 2 . Ahora podemos aproximar la integral con dos subintervalos, tanto por defecto como

por exceso, que resultan ser aproximaciones:

[a; a + h]

y

[a + h; b],

con los cuales se obtienen las siguientes

Qn (f ) = h f (a) + h f (a + h);o

Qn (f ) = h f (a + h) + h f (b).Ambas aproximaciones se pueden ver en las guras 5(a) y 5(b). La primera es una aproximacin francamente por defecto, en cambio, en la segunda tenemos una primer intervalo con una aproximacin por exceso y otro intervalo por defecto; en conjunto podemos inferir que la aproximacin resulta ser por exceso. Podemos hacer un desarrolo similar con la frmula del trapecio. Si tomamos el mismo paso, y por ende, los mismos subintervalos, tendremos:

Qn (f ) =4

h h h [f (a) + f (a + h)] + [f (a + h) + f (b)] = [f (a) + 2f (a + h) + f (b)] . 2 2 2



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Figura 5: Aproximacin compuesta por Rectngulos.

(a) Por defecto

(b) Por exceso

Figura 6: Aproximacin compuesta por Trapecios.

La aproximacin obtenida se puede ver en el gura 6, observando que la aproximacin es por defecto. Al igual que en los casos anteriores, podemos mejorar la aproximacin por la frmula de Simpson. Si dividimos nuestro intervalo inicial en dos, de manera de trabajar con dos subintervalos y denimos

h=

ba 4 , tendremos la siguiente aproximacin:

Qn (f ) =

h h [f (a) + f (a + 2h) + 4 f (a + h)] + [f (a + 2h) + f (b) + 4 f (a + 3h)] . 3 3 h [f (a) + f (b) + 2 f (a + 2h) + 4 f (a + h)] . 3

Podemos simplicar la expresin para que nos quede una ms general:

Qn (f ) =

El resultado de aplicar esta frmula, como se puede ver en la gura 7, muestra que la aproximacin obtenida es muy precisa, y que el resultado es muy cercano al exacto.

Figura 7: Aproximacin compuesta por Simpson.

Veremos, ahora, como podemos generalizar las expresiones de los mtodos para tervalos. Si dividimos el intervalode Newton-Cotes, que son las siguientes:

n subinba en n intervalos tendremos las frmulas cerradas compuestas


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Rectngulos:

n1

Qn (f ) = h i=0 n1

f (a + i h)

con

h=

ba ; n h= ba . n

Qn (f ) = h i=1Trapecios:

f (a + i h) + f (b)

con

h f (a) + f (b) + 2 Qn (f ) = 2Simpson:

n1

f (a + i h)i=1

con

h=

ba . n

h Qn (f ) = 3

n1

n

[f (a) + f (b) + 2 i=1

f (a + 2i h) + 4 i=1

f [a + (2i 1) h] h.

con

h=

ba . 2n

Estas frmulas permiten mejorar la precisin achicando el paso

Sin embargo, esta

metodologa tiene una desventaja. A medida que achicamos el paso aumentamos notablemnte la cantidad de operaciones que se deben realizar, lo que signica ms tiempo de procesamiento. Esto no siempre es prctico; por ejemplo, dividir el intervalo para Simpson en 100 subintervalos representa un esfuerzo de cculo que no siempre mejora la precisin del resultado en el mismo sentido. Puede ocurrir que nuestra representacin numrica nos limite el tamao del paso frmulas. Por otro lado, toda vez que querramos anar nuestro clculo reduciendo el paso

h,

lo que nos impide anar el paso todo lo necesario. Algo similar puede ocurrir con las otras

h,

debe-

mos calcular prcticamente todo otra vez, pues salvo los valores de la funcin en los extremos del intervalo, el resto de los valores no suelen ser tiles (salvo excepciones). Cambiar el paso no suele tener costo cero. Busquemos, en consecuencia, otra forma para obtener resultados ms precisos sin tener achicar el paso, incrementar demasiado las cantidad de operaciones a realizar o repetir todos los clculos.

3.3.

Mtodo de RombergComo primer paso para desarrollar un mtodo ms eciente que mejore nuestros resulta-

dos, analicemos el error que se comete al aplicar cualquiera de las frmulas de cuadratura vistas en los puntos anteriores. En forma general, la aproximacin se puede expresar de la siguiente forma:

b

b n

b

I(f ) =a

f (x)dx =a i=1 n

f (xi )Li (x)dx +a b

f (n) [(x)] n!n

n

(x xi )dxi=1

=i=1

1 ci f (xi ) + n!

fa

(n)

[(x)]i=1

(x xi )dx;

Qn (f )como vimos al principio, el error est dado por:

1 En (f ) = I(f ) Qn (f ) = n!Para cada uno de los mtodos tenemos:

b

n

fa

(n)

[(x)]i=1

(x xi )dx.

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Rectngulos: Trapecios: Simpson:

E1 (f ) = h f ().3

E2 (f ) = h f (). 125

E3 (f ) = h f iv (). 90

Podemos notar que las aproximaciones mediante cualquiera de las frmulas vistas se pueden expresar como:

M = N (h) + K1 h + K2 h2 + K3 h3 + . . . ;lo que nos permite aplicar el mtodo de Extrapolacin de Richardson, visto para diferenciacin numrica. La adaptacin de este mtodo a la integracin se conoce como puesto. Recordemos la frmula del mtodo:

mtodo de Romberg.

Para explicarlo, aplicaremos la extrapolacin de Richardson al mtodo de los trapecios com-

h Qn (f ) = f (a) + f (b) + 2 2y de acuerdo con lo visto se puede denir que:

n1

f (a + i h) ;i=1

h f (a) + f (b) + 2 I(f ) = 2con

n1

f (a + i h) i=1

ba 2 h f (); 12

a

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