Capítulo 3. INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Existen dos maneras para aumentar la precisión de cálculo de las integrales. La primera aumentando el número de pasos, en

los cuales se calcula la función y de esta manera aumentan sin límites, (especialmente para las integrales multidimensionales), el tiempo

de computación. Una segunda posibilidad es aplicar algoritmos autoadaptables. En estos algoritmos, los tamaños de las subregiones se

definen automáticamente: tamaños grandes, donde la función es suave y se cambia lentamente, y pequeños en las partes donde la

función varía bruscamente. De esta manera, se obtiene un resultado con buena precisión en un tiempo mínimo de computación.

El primer programa autoadaptable, para calcular integrales unidimensionales fue publicado en 1962 y empleó la fórmula de

cuadratura de Simpson. Este programa y sus modificaciones tuvieron éxitos en la práctica y fueron incorporados en diferente software

(Matlab, Matemática, etc.). El usuario de estos programas, define un intervalo [a, b], prepara el subprograma para calcular la función

f(x) en cualquier punto de este intervalo y escoge la precisión deseada. El programa trata de encontrar el valor aproximado de la

integral I, para el cual se cumple la siguiente relación, I f x dxa

b ( ) usando un tiempo mínimo. El programa puede concluir, que la

precisión deseada es imposible y encontrar su mejor valor posible y comunicar la precisión alcanzada. La precisión alcanzada y el

tiempo de computación de un programa autoadaptable, dependen de las fórmulas de cuadraturas que se utilicen en el programa.

Hay dos tipos de fórmulas de cuadraturas, para calcular integrales unidimensionales: Un algoritmo utiliza la red con nodos

equidistantes (Newton-Cotes) y otro la red de nodos no equidistantes (Gauss). Un método alternativo llamado Monte-Carlo se usa en

espacios con dimensión mayor a 4, en el cual, la integral múltiple se calcula como un producto del volumen de un hiperrectángulo y un

valor promedio de la función subintegral calculado sobre un conjunto de puntos, los cuales, son generados a través de un generador de

números aleatorios. Este método en el caso de integrales multidimensionales, tiene varias ventajas en comparación con los algoritmos

que utilizan las fórmulas de cuadraturas: a) El algoritmo es muy sencillo; b) el error del método usado no crece cuando la dimensión

espacial aumenta; c) los cálculos realizados se utilizan completamente en las etapas siguientes; d) la estimación de errores es muy

sencilla. Pero en nuestro curso sólo vamos a estudiar los métodos de cálculo de las integrales unidimensionales no vamos a tocar el

método Monte-Carlo.

3.1 Fórmulas de Newton-Cotes

La integración numérica se usa en dos casos: cuando la primitiva no puede ser obtenida en la forma analítica, y cuando la

función subintegral está dada en una forma de una tabla. Las fórmulas correspondientes para el cálculo numérico de las integrales se

llaman las Cuadraturas. Primero, deduciremos la fórmula de cuadratura para el cálculo de la integral utilizando la red con nodos

equidistantes.

Para calcular la integral

( )

b

a

I f x dx (3.1)

Escogeremos el paso h = (b-a)/n. y dividiremos el segmento [a, b] en subintervalos separados por los nodos equidistantes

0,1,...,i o o nx = x + ih, x = a;  i = n;  x = b; 

(3.2)

Los valores de la función ( )f x

en los nodos de la malla denotaremos ( ), 0,1,2, ,i iy f x i n . Reemplazaremos la función ( )f x en

la integral (3.1 por su interpolador polinomial de Lagrange:

n

i

iin yxlxPxf0

)()()( (3.2)

donde los coeficientes de Lagrange ( )il x se definen como

))...()()...()((

))...()()...()(()(

1110

111

niiiiiii

niii

ixxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxl

(3.3)

Para obtener una expresión general para la integral (3.1) introduciremos una nueva variable q

h

xxq 0 , (3.4)

la cual en los nodos de la malla adquiere solo los valores enteros, 1,2,3,q y para cual la potencia generalizada se define mediante

la relación ))...(2)(1(1 nqqqqq n

(3.5)

Teniendo en cuenta que

0 0( ) ( ) ; ( )j j i jx x x x x x qh jh q j h x x i j h (3.6)

El interpolador polinomial de Lagrange para el caso de los nodos equidistantes se puede representare en la forma):

11

0

1( ) ( ) ( 1)

( 1)!

nnn

n i

i

qf x P x y

i n q i

(3.7)

2

Haciendo en la integral (3.1) el cambio de las variable (3.6) se obtiene:

1

0 0

1 ( 1)( ) ; ( ) ; ; 0,1, 2, ,

!( )!

b n nn in

i i i i i

ia

qf x dx A y A b a H H dq i n

n i n i q i

(3.8)

Estas fórmulas se llaman de Newton-Cotes, y los valores Hi los coeficientes de Newton-Cotes. Estos coeficientes satisfacen, dos

condiciones:

0

1; n

k k n k

k

H H H

(3.9)

La cuadratura de Newton-Cotes puede ser escrita finalmente como:

0

( )( ) , ; ( ); ; 0,1,

b n

i i i

ia

b af x dx b a H y f n y f a ih h i n

n

(3.10)

donde ,f n es error del método, el cual como se puede demostrar teóricamente decrece con el aumento del número de subdivisiones

n, según la relación siguiente:

, ; 2 32P

C nf n p

n

; (3.11)

donde n

2

es la parte entera de la fracción n/2. El parámetro p se llama el orden de la cuadratuira.

En la Tabla 3.1, presentamos los coeficientes de Cotes normalizados, k kH H N Wk,

kk

HH

N (3.12)

y los valores de P de la fórmula (3.6).

Tabla 3.1. Parámetros de las fórmulas de Newton-Cotes

n 0H 1H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H N p

1 1 1 2 2

2 1 4 1 6 4

3 1 3 3 1 8 4

4 7 32 12 32 7 90 6

5 19 75 50 50 75 19 288 6

6 41 216 27 272 27 216 41 840 8

7 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 17280 8

8 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 989 28350 10

A continuación consideremos los casos particulares de la fórmula de Newton-Cotes

1. Fórmula De Los Trapecios.

Para n=1, según la ecuación (3.8) tenemos

1 1

0 1

0 0

1 11 1;

2 1 2

q q q qH dq H dq

q q

(3.13)

De aquí tenemos una fórmula de trapecio, para estimación aproximada de la integral cuya interpretación se ve claramente en la Fig. 3.1

1

0

0 1( )2

x

x

hf x dx y y (3.14)

Para encontrar el error del método h f hay que hallar el área sombreada en la Fig. 3.1

0 0

0 0

0 1 0 0( ) ( )2 2

x h x h

x x

h hh f x dx y y f x dx f x f x h

3

Al derivar esta expresión respecto de h se obtiene:

0 0 0 0

20 0 0 0 0

2 22

0 0 0

1( )

2 2

1( )

2 2 2 2 2

;4 2 4

hh f x h f x f x h f x h

h h h hf x h f x f x h f x f x h O h

h h hf x O h f x x h

Haciendo la integración por h en esta última igualdad se obtiene formula final para el error del

método de trapecios:

3

"0 0 0 0( ), , ,

12

hh y x x h x x h (3.15)

2. Fórmula De Simpson

Según la formula (3.8) para n=2 (interpolación cuadrática para la función subintegral f(x)) los coeficientes de Newton-Cotes son:

2 2 2

0 1 2

0 0 0

1 1 1 8 1 1 1 2 1 1 1( 1)( 2) ( 6 4) ; ( 2) ; ( 1)

2 2 4 3 6 2 2 3 2 2 6H q q dq H q q dq H q q dq (3.16)

Ya que en este caso la malla tiene tres nodos 0 1 0 2 0, , 2 , 2x a x x h x x h b b a h tenemos:

0

0

2

0 1 2( 4 )3

x h

x

hf x dx y y y h

(3.17)

Esta relación se llama la fórmula de SIMPSON

Utilizando el método similar al aplicado para la fórmula de trapecios se puede demostrar que el error del método de Simpson es:

5

( )90

IVhh f (3.18)

La fórmula de Trapecio según la fórmula (3.15) permite calcular los valores de las integrales exactamente para las funciones

lineales, mientras que la fórmula de Simpson, según la relación (3.17) es exacta para todos los polinomios hasta el tercer orden. Se

puede también deducir las fórmulas de Newton-Cotes de los órdenes superiores de manera similar. Por ejemplo para n=3, tenemos una

fórmula de Newton (regla tres octavos):

0

0

3 5

0 1 2 3

3 3( 3 3 ) ; ( )

8 80

x h

IV

x

h hf x dx y y y y h h f

(3.19)

(regla de tres octavos)

3.2. Fórmulas de Gauss

En este parte necesitaremos una información sobre los polinomios de Legendre. Esta información también será de mucha

utilidad también en el estudio de varios cursos de Física (teoría electromagnética, óptica, mecánica cuántica, etc.). Polinomios de

Legendre además se utilizan en diferentes paretes de los métodos numéricos y particularmente son la base del método de Gauss.

Apéndice. Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre:

21 1 0n n

d dx P x n n P x

dx dx

(A1)

Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuando se resuelve la ecuación de Laplace (un tipo de

ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas. La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de

serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no

negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.

Cada polinomio de Legendre Pn(x) es un polinomio de grado n. Éste puede ser expresado usando la Fórmula de Rodrigues:

211

2 !

n n

n n n

dP x x

n dx

(A2)

4

Desarrollando la fórmula de Rodrigues se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre

2

0

11 1

2

nn k k

n nk

nP x x x

k

(A3)

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar

definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:

1

,

1

2

2 1n m n mP x P x dx

n

(donde δmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos

Varios pocos primeros polinomios de Legendre se presentan en la Tabla 3.2

Tabla 3.2 Primeros 10 Polinomios de Legendre

Los gráficos de estos polinomios (menores a n=5) se presentan en la Fig. 3.2:

Fig. 3.2 Los gráficos de primeros 5 polinomios de Legendre

Resumimos las propiedades de polinomios de Legendre más importantes para deducir las cuadraturas de Gauss:

1) 1 1, 1 1 ( 0,1,2, )n

n nP P n

2) Polinomio de Legendre nP x tiene n diferentes raíces reales que se ubican dentro del intervalo 1 1x

5

3) Cualquier polinomio nQ x de orden n dentro del intervalo 1 1x puede presentarse como una combinación lineal de

polinomios de Legendre de ordenes no superior a n: 0

n

n k k

k

Q x C P x

4) Sea kQ x cualquier polinomio de orden k inferior a n (k<n) 1

1

0n kP x Q x dx

. Es decir, en el espacio L2 el polinomio

de Legendre nP x es ortogonal a todos los polinomios de ordenes inferiores

Cuadraturas de Gauss

Para deducir las fórmulas de Gauss, consideremos inicialmente la integral dentro del intervalo 1 1t y buscaremos el valor

de la integral aproximado como una combinación lineal de esta función en los puntos 1 20 nt t t a con unos coeficientes

1 2, , , nW W W desconocidos:

1

11

( ) ( )n

k k

k

f t dt W f t

(3.21)

Como el criterio para encontrar los nodos 1 20 nt t t a y los coeficientes 1 2, , , nW W W escogeremos la condición que la

formula (3.21 sea exacta para todos los polinomios cuyo orden es menor de 2n. Para garantizar el cumplimiento de esta condición es

necesario y suficiente que la formula (3.21) sea exacta al menos para funciones de potencia 2 3 2 11, , , , , nf t t t t t . Ya que las

integrales para todas estas funciones se calculan fácilmente se obtienen siguientes 2n relaciones entre los coeficientes y nodos

desconocidos:

1

2; ,

0,1, 2, , 2 11

0 ; ,

ni

k k

k

i imparW t i ni

i par

(3.22)

Sistema de las ecuaciones no es lineal y encontrar su solución es complicado. Pero se puede utilizar el siguiente método artificial.

Aplicaremos la formula (3,21) para polinomios ( )int P t con , i = 0, 1, 2, ..., n-1, donde Pn(t) es un polinomio de Legendre de orden n. El

orden de estos polinomios es menor o igual que 2n-1 y a esta función es aplicable la formula (3.21). Por eso

t P t dt W t P ti

n k k

i

n k

k

n

( ) ( )

1

1

1

, i = 0, 1, 2, ..., n-1 (3.23)

Según la cuarta propiedad de los polinomios de Legendre estas integrales deben ser iguales a cero y para satisfacer esta condición es

suficiente hacer,

n kP t = 0  ,  k = 0, 1, 2, ..., n - 1 (3.24)

tomando como nodos, kt en la fórmula (3.24) los n ceros del polinomio de Legendre del orden n. De esta manera, la fórmula 3.21 ,

donde los nodos kt se escogen como los ceros del polinomio de Legendre de orden n y los coeficientes kW se encuentran al resolver

sistema de las ecuaciones lineales (3.22) se llama Cuadraturas de Gauss.

En la tabla 3.3 se presentan los coeficiente Wk y los nodos tk , para la fórmula de Gauss, con n = 8 nodos.

Tabla 2.2. Parámetros de las Fórmulas de Cuadraturas de Gauss, para n = 8

k tk Wk

1; 8 0.96028986 0.10122854

2; 7 0.79666648 0.22238104

3; 6 0.52553242 0.31370664

4; 5 0.18343464 0.36268378

Para obtener las fórmulas de cuadraturas de Gauss independientes del tamaño intervalo [a, b] usamos el cambio de variables 1

1

( )( ) ( ) , ( ) ( )

2 2 2 2 2

b

a

b a b a b a b a b ax t g x dx f t dt f t g t

(3.25)

Esta fórmula nos permite reducir cualquiera región de integración al intervalo 1 1t donde la función subintegral se puede

representar aproximadamente como una combinación lineal de los polinomios de Legendre.

La fórmula de cuadraturas de Gauss, se escribe para una integral con un intervalo de la integración arbitraria se escribe así:

6

1

( ) ( , )2 2 2

nb

k kak

b a b a b af x dx W f t f n

(3.24)

Se puede demostrar, que el error, en (3.24), es igual:

( , )( ) ( !)

[( )!] ( )( )( )f n

b a n

n nf

nn

2 1 4

3

2

2 2 1 ; a b (3.25)

3.3 Control de precisión. Noción sobre algoritmos auto-adaptivos

En la práctica para calcular la integral en un intervalo [a,b] se divide, en subintervalos [xi, xi+1]. La mayoría de los programas

utilizan el proceso de bisección recursivo. El número de subintervalos, sus disposiciones y longitudes, dependen de la función f(x) y de

la precisión deseada. Denotemos a x1 = a; xn+1 = b y h = xi+1 - xi, donde n es el número de intervalos.

En los algoritmos autoadaptables, a cada subintervalo se le aplica la fórmula de cuadraturas, dos veces, para n y 2n divisiones. Estos

dos resultados se denotan, por I n

i y I n

i

2 . Por ejemplo, el algoritmo autoadaptable, para las fórmulas de cuadraturas de Simpson

(Newton-Cotes de orden 3, programa QNC3), utilizan la fórmula principal (dos subintervalos):

( ) 4 ( )6 2

i i in i i i i

h hI f x f x f x h

(3.26)

y la fórmula combinada (cuatro subintervalos)

2

3( ) 4 2 4 ( )

12 4 2 4

i i i i in i i i i i i

h h h hI f x f x f x f x f x h

(3.27)

Las expresiones (2.14) y (2.15) dan valores aproximados de la integral

1( )

i

i

xi

xI f x dx

(3.28)

La idea principal de los algoritmos autoadaptables, consiste en comparar dos aproximaciones I n

i y I n

i

2 y estimar sus precisiones. Si en

esta comparación, se encuentra que la precisión es aceptable, entonces uno de estos valores, se toma como el valor de la integral, dentro

del intervalo [xi, xi+1], en caso contrario, el proceso de bisección continúa.

El número total de accesos a la función, se disminuye debido a que las fórmulas (3.26) y (3.27), utilizan los valores de la función en

algunos puntos comunes. Por ejemplo, en el caso de la fórmula de Simpson, los I n

i

2 , necesitan cinco valores de la función, pero tres de

los cuales, se usan también en I n

i. Por eso, el tratamiento del nuevo intervalo, necesita solo, dos cálculos adicionales de valores de la

función.

Denotando el valor exacto de la integral I i para cuadraturas de orden p, tenemos:

I Ich

nn

i i i

p I I

ch

nn

i i i

pi2

2

( ) (3.29)

Excluyendo de estas dos igualdades la constante c desconocida, se obtiene:

I I I In

i i

p n

i

n

i

2 2

1

2 1

(3.30)

es decir, el error de cálculo, I n

i

2 es 2p-1 veces menor, que la diferencia entre las dos aproximaciones sucesivas, I n

i y I n

i

2 .

La operación principal de un programa autoadaptable, consiste en la bisección de cada subintervalo, hasta que cumpla la condición

1

2 12p n

i

n

i iI Ih

b a

(3.31)

donde es la precisión deseada y definida por el usuario. Si todos los subintervalos satisfacen la condición (2.19), el programa da el

resultado

I In n

i

i

n

2 2

1

,

el cual se puede tomar como el valor de la integral ya que según, (3.29) y (3.0)

7

I f x dx I I I I I Ib a

hna

b

n

i i

i

n

n

i i

i

n

p n

i

n

i

i

n

p

p

i

i

n

2 2

1

2

1

2

1 1

1

2 1

1

2 1

2 1

( )

Las fórmulas (3.29) permiten calcular la integral con una precisión mayor. Combinando las fórmulas (2.17) con la integral I n

i

2 ,

después de excluir c, se obtiene la fórmula

I II I

i n

i n

i

n

i

p

2

2

2 1 (3.32)

la cual es llamada Fórmula de Extrapolación de Richardson.

A continuación anexamos el párrafo 5.4 del libro sobre los métodos auto-adaptivos de los autores del programas QUANC8, el mejor

programa para calcular las integrales al momento de elaboración de SOFTWARE para MATLAB, MATEMATICA, etc.

8

9

10

11

12