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EJERCICIOS RESUELTOS – Métodos Numéricos I – Aux. Antonio Moya Pagina 1

MAT 1105 F

Integración numérica

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Obtenga:

a) Integrando por el método del trapecio.

Se utilizan las siguientes formulas:

Donde:

Luego,

Reemplazando en la formula:

b) Integrando por el método de Simpson 1/3.


4

2

-1

1 2 3 -1

Área del trapecio

Ecuación lineal

1


Donde:

Se debe notar que para el método de

Simpson 1/3 simple el valor de n es igual a 2.

Luego,


c) Integrando por el método de Simpson 3/8.


Donde:

Se debe notar que para el método de Simpson 3/8 simple el valor de n es igual a 3.

4

2

-1

1 2 3 -1

Área

1.5

Ecuación cuadrática


Luego,

Lo que se puede resumir en la siguiente tabla:

0 1 0.5

1 0.333333 1.100092

2 0.666667 2.020793

3 2 3.313708


Comparando con el valor obtenido analíticamente: , se puede determinar la

exactitud de cada respuesta obtenida:

Método Resultado Error

Trapecio 1.906854 0.26 Simpson 1/3 1.646970 7.54·10-5 Simpson 3/8 1.647045 4.00·10-7

Como se puede ver los métodos de Simpson son más exactos que el método del trapecio.

4

2

-1

1 2 3 -1

Área

4/3 5/3

Ecuación cúbica


2. Integre la siguiente función entre los límites a=-1 y b=1, utilizando 6 intervalos.

a) Integrando por el método del trapecio compuesto.

Para reducir el error del resultado, se puede dividir el área de la integral en pequeños intervalos.

Para luego aplicar las formulas conocidas en cada intervalo. Primero se puede obtener el ancho de

intervalo (h):

El valor de “n” es el número de intervalos, o sea Es importante notar que para el método del

trapecio “n” puede tener cualquier valor.

0 -1 -1

1 -2/3 -0.666667

2 -1/3 -0.333333

3 0 0

4 1/3 0.333333

5 2/3 0.666667

6 1 1

La integral dividida en los intervalos sería:

Aplicando la formula del método del trapecio se aplica en cada intervalo:

Factorizando:

2


Que se puede sintetizar en la siguiente formula:

Graficando la función y los intervalos:

Para hallar los valores de , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la siguiente

tabla:

0 -1 0.241971

1 -0.666667 0.319448

2 -0.333333 0.377383

3 0 0.398942

4 0.333333 0.377383

5 0.666667 0.319448

6 1 0.241971


b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto.

Se divide la integral en cada par de intervalos y luego se sumarán, de la siguiente forma:

2/3 1 1.5

-1.5 -1

- 0.1

0.2

0.4

-1/3 1/3 -2/3

0


Graficando la función y los intervalos:

Aplicando la formula del método de Simpson 1/3 se aplica en cada intervalo:

Factorizando y sintetizando la ecuación, se tiene la siguiente formula:

Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:

Primero, se calculará el tamaño del intervalo:

Para hallar los valores de , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la tabla:

0 -1 0.241971 1 -0.666667 0.319448 2 -0.333333 0.377383 3 0 0.398942

4 0.333333 0.377383

5 0.666667 0.319448

6 1 0.241971

2/3 1 1.5

-1.5 -1

- 0.1

0.2

0.4

-1/3 1/3 -2/3

0



c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto.


Con Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”,

solo puede ser un múltiplo de 3, o sea, 3, 6, 9, etc.

Graficando el método se puede ver esto. Graficando la función y los intervalos:

2/3 1 1.5

-1.5 -1

- 0.1

0.2

0.4

-1/3 1/3 -2/3

0


Primero, se calculará el tamaño del intervalo:


Para hallar los valores de , se evalúa la función en los puntos como se muestra en la

siguiente tabla:

0 -1 0.241971

1 -0.666667 0.319448

2 -0.333333 0.377383

3 0 0.398942

4 0.333333 0.377383

5 0.666667 0.319448

6 1 0.241971


]


3. Evalúe la integral de los siguientes datos tabulados:

Puntos 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 7 4 3 5 2

a) Integrando por el método del trapecio.

En primer lugar se debe verificar que el intervalo entre los puntos sea constante, o sea, que el

valor de , sea constante.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Luego aplicando la fórmula, si sabemos que :

Primero, se tiene el tamaño del intervalo:



b) Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto.

En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), no es múltiplo de 2, por lo que no se podría

aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los intervalos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

Simpson 1/3 Simpson 1/3 Tra_ pecio

3


Luego la formula sería:

Reemplazando la tabla de datos:

Puntos 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 7 4 3 5 2

c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto.

En primer lugar se verifica que el valor de “n” (5), tampoco es múltiplo de 3, por lo que no se

podría aplicar el método. Pero se puede dividir la integral y aplicar distintos métodos en los

intervalos.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Luego la formula sería:

Reemplazando la tabla de datos:

Puntos 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 7 4 3 5 2

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

h (0.1)

Simpson 3/8 Simpson 1/3


4. Evalúe la siguiente integral, utilizando las fórmulas de cuadratura de Gauss-Legendre.

Con dos, tres y cuatro puntos.

Al aplicar el método de cuadratura de Gauss, se realiza un cambio de variable y de límites de

integración. Con la siguiente fórmula:

Luego cambiando la variable y el diferencial:

También se deben cambiar los límites de integración

Para que la integral quede:

Que se puede resolver numéricamente con la formula:

Donde los coeficientes ya están determinados para cualquier función , y se muestran en la

siguiente tabla:

Puntos

2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.577350269

3 w2 = 0.888888888

w1 = w3 = 0.555555555 -z1 = z3 = 0. 774593669

z2 = 0.0

4


4 w1 = w4 = 0.347854845 w2 = w3 = 0.652451155

-z1 = z4 = 0.861136312 -z2 = z3 = 0.339981044

5 w1 = w5 = 0.236926885 w2 = w4 = 0.478628671

w3 = 0.568888888

-z1 = z5 = 0.906179846 -z2 = z4 = 0.538469310

z3 = 0.0

6 w1 = w6 = 0.171324492 w2 = w5 = 0.360761573 w3 = w4 = 0.467913935

-z1 = z6 = 0.932469514 -z2 = z5 = 0.661209386 -z3 = z4 = 0.238619186

a) Para dos puntos.

Luego cambiando la variable y el diferencial:

Aplicando en la formula:

Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para dos puntos:

Puntos

2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.577350269

Evaluando los coeficientes :



b) Para tres puntos.

Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para tres puntos:

Puntos

3 w2 = 0.888888888

w1 = w3 = 0.555555555 -z1 = z3 = 0. 774593669

z2 = 0.0




c) Para cuatro puntos.

Utilizando los coeficientes de cuadratura de Gauss para cuatro puntos:

Puntos

4 w1 = w4 = 0.347854845 w2 = w3 = 0.652451155

-z1 = z4 = 0.861136312 -z2 = z3 = 0.339981044




5. Evalúe la siguiente integral doble, con 4 intervalos:

a) Analíticamente

b) Resolviendo por el método de trapecio compuesto

Primero se aplica la formula del trapecio compuesto en la integral interna para , con la variable

como constante:

Donde:

Los puntos se muestran en la siguiente tabla:

0

1

2

3

4

Desarrollando la sumatoria.

5


Luego se evalúan los puntos en la función :


Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la

formula de trapecio compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:

Donde:


0 -2 -90

1 -1 2

2 0 22

3 1 18

4 2 38



Respuesta

La integral doble resuelta numéricamente es:

c) Resolviendo por el método de Simpson 1/3 compuesto

Primero se aplica la formula de Simpson 1/3 compuesto en la integral interna para , con la

variable como constante:

Donde:

Desarrollando la sumatoria.

Luego se evalúan los puntos en la función :



Se tiene una función solo en función de y, que se puede definir como , luego aplicando la

formula de Simpson 1/3 compuesta en la segunda integral, para la variable , se tiene:

Donde:


0 -2 -90.666667

1 -1 1.333333

2 0 21.333333

3 1 17.333333

4 2 37.333333


Respuesta

La integral doble es igual a:

Comparando con el resultado analítico, se tiene una respuesta completamente exacta.


6. Evalúe la integral triple:

a) Analíticamente

Analíticamente la integral triple es igual a:

b) Resolviendo por integración numérica

Primera integral

Resolviendo la primera integral por el método del trapecio, con . Sabiendo que las variables

“y” y “z” se consideran constantes en esta primera integral en función de “x”.

Luego la tabla de los valores y evaluados en la función .

.

0

1

2

3

4

6


5

6

7

8


De esta forma se tiene una integral doble. Que se definirá como .

Segunda integral

Resolviendo la segunda integral por el método de Simpson 3/8, con . Sabiendo que la

variable “z” se considera constante en esta segunda integral en función de “y”.

Se puede evitar el uso de sumatorias dividiendo la integral y sumando los resultados:

El intervalo para esta variable es:



.

0

1

2

3

4

5

6

Reemplazando en las formulas

Sumando las dos partes:

De esta forma se tiene una integral simple. Que se definirá como .

Tercera integral

Resolviendo la tercera integral por el método de Simpson 1/3, con .



0 -4 699

1 -3 555

2 -2 411

3 -1 267

4 0 123

5 1 -21

6 2 -165

7 3 -309

8 4 -453


Respuesta

La integral triple resuelta por integración numérica es:

c) Determinar el error relativo entre los dos resultados previos

Respuesta

Viendo el resultado del error relativo se concluye que el resultado es satisfactorio.

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