PROYECTO TÍTULO VPROYECTO TÍTULO V

PROF. JUAN L. TORRES OCASIO

La Universidad Interamericana de Puerto Rico,

Recinto de Guayama, en colaboración con el proyecto Título V, ha desarrollado una serie de módulos instruccionales para cursos de matemática y estadística. Un módulo instruccional es una unidad autónoma de estudio independiente diseñada para individualizar y facilitar el aprendizaje. Es una herramienta adicional que le brinda al estudiante otras opciones de estudio. El estudiante tiene la oportunidad de aprender de forma individualizada. Antes de comenzar a estudiar los módulos debes contestar la pre-prueba. Es importante que pongas interés al contestarla. Te invito a que repases los temas presentados en los módulos y de tener dudas consulta con el profesor asignado al curso.

Este módulo se propone ampliar las

actividades de enseñanza y aprendizaje básicas aplicadas a las matemáticas y la estadística, incluidos en el Proyecto Título V Cooperativo: “Fortaleciendo los logros académicos por medio de un consorcio para incorporar tecnología en el currículo básico”. El proyecto está integrado por la Pontificia Universidad Católica de Puerto Rico en Ponce desde donde se dirige y sus recintos de Arecibo, Mayagüez y Guayama; la Escuela de Artes Plásticas de Puerto Rico y el Recinto de Guayama de la Universidad Interamericana.

PREPRUEBAPREPRUEBA

1. Un experimento tiene cuatro etapas, con dos resultados posibles en la primera etapa, cuatro en la segunda, tres en la tercera y dos en la cuarta. ¿Cuántos resultados experimentales hay en el experimento?.

PREPRUEBAPREPRUEBA2. Un individuo asignó de manera

subjetiva las siguientes probabilidades a cinco resultados en un experimento. P(E1) = 0.20, P(E2) = 0.30, P(E3) = 0.15, P(E4) = 0.20, P(E5) = 0.15.

Demuestre que la asignación de probabilidades cumple con los requisitos de probabilidad.

3. Una muestra de tamaño n tomada de una población de tamaño N, para obtener datos y hacer inferencias sobre las características de una población. Suponga que tenemos una población de 50 cuentas bancarias y que deseamos tomar una muestra aleatoria de cuatro para caracterizar a la población. ¿Cuántas muestras aleatorias distintas es posible formar con cuatro cuentas.

PREPRUEBAPREPRUEBA

PREPRUEBA PREPRUEBA

4. Piense que un espacio muestral tiene cinco resultados experimentales igualmente posibles: E1, E2, E3, E4, E5. Sean,

A = {E1, E2} B = {E3, E4}

C = {E2, E3, E5}

a. determine P(A), P(B) y P(C)

b. determine P(AUB)

c. determine P(A∩B)

La probabilidad es una medida numérica entre 0 y 1 de la posibilidad de que ocurra un evento. Una probabilidad cercana a 1 indica el grado de certeza de que el evento ocurrirá. Mientras que una probabilidad cercana a 0 indica que es difícil que el evento ocurra.

Un experimento es cualquier proceso que produce o genera resultados bien definidos, como presentamos a continuación:

Experimento Resultados

Lanzar una moneda cara, cruz

Tirar un dado 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jugar un partido ganar, perder empatar

Es el conjunto de todos los resultados experimentales. Un resultado experimental también se le conoce como punto muestral. Por ejemplo, si lanzamos una moneda tenemos dos resultados experimentales (puntos muestrales), cara o cruz.

Cuando asignamos probabilidades a

eventos es necesario conocer y contar el número de resultados experimentales. A continuación analizamos tres reglas de conteo:

Experimento de varias etapas - considere el experimento de lanzar dos monedas. ¿cuántos resultados experimentales son posibles en este experimento?

Este evento se puede considerar un experimento de dos pasos; primero, lanza la primera moneda y el segundo lanzar la segunda moneda. Si la (A) representa la cara de la moneda y la (B) la cruz de la moneda, (A, A) denota el resultado experimental con una cara en la primera moneda lanzada y una cara en la segunda moneda lanzada.

Si (S) representa el espacio muestral de lanzar las monedas podemos obtener lo siguiente:

S = { (A, A), (A, B), (B, A), (B, B) }

Así, que tenemos cuatro resultados experimentales.

La regla de conteo para experimentos de etapas múltiples indica que si un experimento se puede describir como una sucesión de K etapas, en las que hay N1 resultados posibles en la primera etapa, N2 en la segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (N1), (N2) …… (Nk). Si el experimento de lanzar dos monedas (N1 = 2) y luego lanzar otra (N2 = 2), podemos inferir de la regla de conteo que hay (2)(2) = 4 resultados experimentales distintos.

La segunda regla de conteo que estaremos analizando son las combinaciones. La regla de combinaciones nos permite contar la cantidad de resultados experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar n objetos entre un conjunto de N objetos.

La cantidad de N objetos tomando n a la vez es:

donde N! = N (N-1)(N-2)….(2)(1)n! = n (n-1)(n-2)….(2)(1)

y 0! = 1La notación ! Significa factorial; por ejemplo, 4 factorial es 4! = (4)(3)(2)(1) = 24 . Por definición 0! = 1

)!(!

!

nNn

N

n

NcNn

Utilizando la regla de combinaciones podemos calcular la probabilidad de la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar 6 números distintos de entre un grupo de 42 para ganar la loto.

)!(!

!

nNn

N

n

NcNn

La regla de conteo para combinaciones indica que hay más de 5 millones de resultados experimentales para determinar el ganador de la loto.

786,245,5

720

920,965,776,3

)1)(2)(3)(4)(5)(6(

)37)(38)(39)(40)(41)(42(

!36!6

!42

)!642(!6

!42426

C

La tercera regla de conteo que

analizaremos son las permutaciones. Ésta permite calcular el número de resultados experimentales al seleccionar n objetos de un conjunto de N objetos, donde es importante el orden de selección es importante. Las permutaciones tienen una estrecha relación con las combinaciones. Sin embargo, un experimento tiene más permutaciones que combinaciones.

El número de permutaciones de N objetos tomando n a la vez está dado por:

!!

!nN

Nnp N

nNn

En esta sección veremos como se pueden asignar las probabilidades a los resultados experimentales. Las probabilidades asignadas deben satisfacer dos requisitos básicos de la probabilidad:

1. La probabilidad asignada a cada resultado experimental debe estar entre 0 y 1, inclusive. Si denotamos con Ei el resultado experimental y P (Ei ) es su probabilidad, entonces este requerimiento se puede escribir como:

0≤ P (Ei) ≤ 1 para toda i

2. La suma de las probabilidades para los resultados experimentales debe ser igual a uno (1). Para n resultados experimentales, este requerimiento se puede escribir como:

P (E1) + P (E2) + …. P (En) = 1

Veamos como podemos demostrar que se cumplen los dos requisitos antes mencionados.

Ejemplo, Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente probables: E1, E2, E3, E4, E5. Asigne probabilidades a cada evento y demuestre que cumple con los dos requisitos de probabilidad.

P (E1) + P (E2) + P (E3) + P (E4) + P (E5)

0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 = 1.00

La asignación de probabilidad a loseventos es un número entre 0 y 1.

La suma de las probabilidades es iguala 1.

Para asignar valores de probabilidad a los resultados experimentales se usan varios métodos:1. Método clásico – se usa cuando los resultados son igualmente probables. Por ejemplo, si lanzamos una moneda tenemos dos resultados igualmente probables, 0.50 que sea cara y 0.50 que sea cruz.

2. Método de frecuencia relativa – es apropiado cuando se cuenta con datos para estimar la proporción del tiempo en que ocurrirá el resultado experimental. Para explicar este método considere que un Gerente desea conocer si el nuevo producto va a ser comprado por los clientes. Se hace una encuesta por teléfono para conocer si los clientes compran o no el producto.

ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES (CONT.)

ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES (CONT.)

A continuación se presentan los resultados de la encuesta. Se realizaron 300 llamadas de las cuales 200 resultaron que comprarían el producto y 100 contestaron que no comprarán el producto. ¿Cuál es la probabilidad de que al hacer una llamada el cliente comprará el producto? 200/300 = 0.67 y ¿cuál es la probabilidad de que no compre el producto? 100/300 = 0.33

MÉTODOS EN LA ASIGNACIÓN DE

PROBABILIDADES

MÉTODOS EN LA ASIGNACIÓN DE

PROBABILIDADES

3. Método subjetivo - expresa el grado de creencia de la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica. Con este método puede darse el caso de que dos personas asignen probabilidades distintas al mismo evento.

EVENTOS Y SUS PROBABILIDADESEVENTOS Y SUS

PROBABILIDADES

Evento – un evento es un conjunto de puntos muestrales.

Probabilidad de un evento – la probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales en el evento.

COMPLEMENTO DE UN EVENTOCOMPLEMENTO DE UN EVENTO

Dado un evento llamado A se define como el evento formado por todos los puntos muestrales que no están A. El complemento de A se representa con A.

La probabilidad de un evento mediante el complemento se describe a continuación:

al despejar por P (A) obtenemos

c

c

c

APAP

APAP

1

1

La unión de A y B es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o B, o ambos. La unión de A y B se representa con (A U B). Por ejemplo:

Sean A = { E1, E2, E4 } y B = { E3, E5 }

La unión de A y B se presenta como sigue

(A U B) = { E1, E2, E3, E4, E5 }

LEY ADITIVALEY ADITIVA

La ley aditiva es útil cuando se tienen dos eventos A y B, y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos. La probabilidad de la unión de A y B, P(AUB) es igual a la suma de la probabilidad de A más la probabilidad de B. Esto es, si los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

P(AUB) = P(A) + P(B)

¿QUÉ SON EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES?

¿QUÉ SON EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES?

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común.

La probabilidad de la unión de dos eventos A y B, empleando la ley aditiva para eventos mutuamente excluyentes, se obtiene como sigue:

P(AUB) = P(A) + P(B)

Dados dos eventos, A y B, la intersección de A y B es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen simultáneamente a A y B, y se representa como (A ∩ B). Por ejemplo, Sean A = {E1, E4, E5} y

B = {E2, E3, E4}

La intersección de A y B (A ∩ B) = {E4}

POSPRUEBAPOSPRUEBA

Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Una muestra de tamaño n tomada de una

población de tamaño N, para obtener datos y hacer inferencias sobre las características de una población. Suponga que tenemos una población de 50 cuentas bancarias y que deseamos tomar una muestra aleatoria de cuatro para caracterizar a la población. ¿Cuántas muestras aleatorias distintas es posible formar con cuatro cuentas.

POSPRUEBAPOSPRUEBA

2. Piense que un espacio muestral tiene cinco resultados experimentales igualmente posibles: E1, E2, E3, E4, E5. Sean,

A = {E1, E2} B = {E3, E4}

C = {E2, E3, E5}

a. determine P(A), P(B) y P(C)

b. determine P(AUB)

c. determine P(A∩B)

POSPRUEBAPOSPRUEBA

3. Un individuo asignó de manera subjetiva las siguientes probabilidades a cinco resultados en un experimento. P(E1) = 0.20, P(E2) = 0.30, P(E3) = 0.15, P(E4) = 0.20, P(E5) = 0.15.

Demuestre que la asignación de probabilidades cumple con los requisitos de probabilidad.

POSPRUEBAPOSPRUEBA

4. Un experimento tiene cuatro etapas, con dos resultados posibles en la primera etapa, cuatro en la segunda, tres en la tercera y dos en la cuarta. ¿Cuántos resultados experimentales hay en el experimento?.

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

Anderson, Sweeney, Williams (2004). Estadística para Administración y Economía . (8ª ed.). México: Internacional Thomson