NDICEObjetivo Introduccin Ejemplos de Aplicacin: Momento de TorsinEjemplo 1: Puerta Ejemplo 2: Bceps Ejemplo 3: Lleves de TorqueEjemplo 4: Bicicleta Metodologa MaterialesInstrumentos de MedicinDiseo del Experimento A) Trompo Dimensiones Momento de Inercia B) Adquisicin de Datos del Movimiento Rotacional Tacmetro: Determinacin de la Velocidad Angular C) TorcaResultadosValidacinObservacionesConclusiones Bibliografa

OBJETIVODeterminar la Fuerza de Torsin ejercida por un Trompo, mediante el Clculo de la Inercia Rotacional y la Aceleracin Angular con la que gira; durante el Movimiento de Nutacin.INTRODUCCIN El clsico trompo o perinola, es un cuerpo rgido de forma cnica, con una punta de acero a lo largo su eje longitudinal de simetra, alrededor del cual gira. Este juguete se conoce desde la antigedad; algunos trompos de arcilla fueron descubiertos a orillas del ro Eufrates en la antigua ciudad de Ur (Mesopotamia) que datan de4.000 A.C.El trompo tiene masa m (simtricamente repartida), momento de inercia I, y un eje de simetra alrededor del cual gira; pero adems del movimiento de rotacin sobre s mismo, en general, presenta un movimiento de precesin cuando su eje de rotacin da vuelta alrededor de la vertical y otro de nutacin cuando cabecea a medida que gira. La Torca y el Equilibrio Rotacional Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo rgido pivotado alrededor de un eje, el objeto tiene a rotar alrededor de dicho eje. La tendencia de una fuerza a rotar un cuerpo alrededor de un eje se mide por una cantidad vectorial llamado torca. Definimos torca asociada a la fuerza F como un vector cuya magnitud est dada por:FIG. 1 Torca y Equilibrio Rotacional

Donde r es la magnitud del radio del vector r que corresponde a la posicin del punto de aplicacin de la fuerza de magnitud F, mientras que d es la distancia perpendicular al pivote a la lnea de accin de la fuerza.La nica componente de F que tiende a generar una rotacin es F , la componente perpendicular al radio vector r del punto de aplicacin.Por otro lado, la componente horizontal F, no presenta una tendencia para producir una rotacin debido a que su lnea de accin pasa por el eje de rotacin, o pivote 0.La fuerza aplicada en el punto P tiende a hacer girar en direccin contra reloj Por la Frmula :

Segunda Ley de Newton para la Rotacin Por otro lado si calculamos la torca neta sombre la partcula alrededor del centro de giro tenemos:

La expresion anterior puede ser reescrita en terminos de mometo de inercia es decir:

Demostrando con ello el analogo rotacional de la segunda ley de Newton: la aceleracion angular de un cuerpo rigido que rota sobre un eje fijo es proporcional a la torca neta que actua sobre ese eje.Vemos que la torca neta sobre un cuerpo alrededor del eje de rotacion es proporcional a la aceleracion agular experimentada por el objeto, siendo el momento de inercia I el fator de dica proporcionalidad, y el cual depende del eje de rotacion y del tamao y forma del objeto.Torca y Momento AngularEl momento angular es uan cantidad fundamental en la dinamica rotacional.La naturaleza vectorial del momento angular, producto de su relacion con el momento lineal, p es el producto de dos vectores.Una particula con masa m, localizada en la posicion r (respecto al origen O, que se mueve con velocidad lineal V.Definimos el momento angular L de la particula con respecto a 0 como el producto vectorial.FIG. 2 Torca y Momento Angular

Cada particula rota en el plano XY con una rapidez angular en torno al eje z , por lo que la magnitud del momento angular alrededor del origen es y cmo Podemos escribir: Dichas derivadas y sumarorias resultaria :FIG. 3 Teorema 2da Ley de Newton para Movimiento Angular

Movimiento de Precesin (Nutacin).Para entender su movimiento de precesin es necesario considerar que el momento angular L es una magnitud vectorial cuyo mdulo es el producto del momento de inercia I alrededor del eje de rotacin por la velocidad angular , es decir L = I . La direccin de L es igual a la que tiene el vector velocidad angular . Para el trompo, tambin se cumple la segunda ley de Newton para los cuerpos en rotacin, que afirma que s se aplica durante un intervalo de tiempo dt un torque a un cuerpo que gira, el momento angular cambia en dL.Cuando gira con su eje inclinado el ngulo respecto a la vertical, velocidad angular y momento angular L, como se muestra en la FIG X, est sometido a tres fuerzas: su propio peso p, la reaccin del piso N y la fuerza de roce fr, descontando la friccin con el aire. El peso produce un torque p, responsable de la precesin y es el que lo tumba cuando su velocidad angular es pequea; la fuerza de reaccin lo mantiene sobre el piso; y la fuerza de roce en la superficie de contacto con la punta, produce el torque r (en la figura, apunta hacia la vertical), encargado de enderezarlo hasta que logra bailar con su eje en vertical sin precesar, as como de disminuir su momento angular inicial. As como se mencion en las anteriores explicaciones tericas podemos concluir respecto a nuestro sistema de inters:FIG. 4 Nutacin

Fenmeno que ocurre al hacer girar un trompo alrededor de su eje de simetra.El Momento Angular es: Mientras que la Torca es: ECUACIN 1 (VALIDACIN)Por lo que la Frecuencia de Precesin resulta ser:

Ejemplos de Aplicacin: Momento de TorsinEl momento de torsin es un giro o vuelta que tiende a producir rotacin. Las aplicaciones se encuentran en muchas herramientas comunes en el hogar o la industria donde es necesario girar, apretar o aflojar dispositivos. Ejemplo 1: PuertaLas fuerzas que actuan en diferentes angulos de la perilla de la cerradura (a), el brazo de palanza se define como la distancia perpendicular desde el eje de rotacion (la bisgra) a la linea de accion de la fuerza.FIG. 5 Momento de Torsin de una Puerta

Ejemplo 2: BcepsEl biceps ejerce una fuerza vertical sobre el antebrazo cuando esta flexionado, existe torca en torno al eje de rotacion a traves de la articulacion del codo.FIG. 6 Momento de Torsin de una Musculo

Ejemplo 3: Llaves de TorqueCuando una persona aprieta un tornillo con una llave, est aplicando un torque al tornillo. Como en el caso de la fuerza, si todos los torques son iguales, ella no podr apretar el tornillo. Si el torque que ella aplica es mayor que el torque en contra debido a la friccin del tornillo, el tornillo rodar (se ajusta).El torque y la fuerza estn unidos directamente. Cuando la persona empuja (aplica una fuerza) al borde de la llave, cuanto ms torque ella aplica ms se ajusta el tornillo. Sin embargo, no es slo la fuerza lo que hace la diferencia. Cuanto ms distante del tornillo ella sostiene la llave, ms torque aplica, y ms se ajusta el tornillo. Por consiguiente, los torques se deben relacionar a la fuerza aplicada y a la distancia al centro de rotacin donde se aplica la fuerza. Esta distancia se llama el brazo del momento.FIG. 7 Momento de Torsin de una llave Stilson.

Ejemplo 4: Bicicleta Empujando el pedal de la bicicleta transmite un torque que hace rodar los neumticos. Si uno aplica un torque que exactamente neutraliza todos las otras torques (torques friccional, etc.) no se va a acelerar o desacelerar la velocidad del neumtico (pedal). FIG. 8 Momento de Torsin de un Pedal de Bici

(La suma de los torques = 0, por consiguiente la aceleracin angular = 0) si los torques friccional, etc. son mayores que el torque que uno aplica, se reducir la velocidad del neumtico (pedal). (Los torques se suman < 0, por consiguiente la aceleracin angular < 0) si el torque aplicado es mayor que el torque friccional, etc., el neumtico (pedal) se va a acelerar. (Los torques se suman > 0, por consiguiente la aceleracin angular > 0)METODOLOGA Materiales Trompo Cordel (Agujeta) Cinta Masking Tape Tijeras Punta Romana Marcador Negro PermanenteInstrumentos de Medicin Resolucin Escuadra Regla de Aluminio de (20 cm) Balanza Granataria Regla Plstica (30 cm) Tacmetro Flexmetro

Diseo del Experimento A) Trompo DimensionesSe tomaron mediciones de las dimensiones de todo el Trompo, entre ellas cabe destacar aquellos cuerpos geomtricos que conforman el Trompo: el Perno, el Bastidor y el Cuerpo.1) Con las Reglas de 20cm, 30cm y el Flexmetro; se prosigui a tomar las mediciones del Dimetro del Trompo (D), la Altura del Bastidor del Trompo (H), Dimetro del Bastidor (d), la Altura del Perno (h) y el Dimetro del Perno (l).FIG. 9 Determinacin de la Masa Total del Trompo

2) Parte de la caracterizacin, se pes el Trompo completo en una Balanza Granataria, determinando su masa total. (VER FIG. 1) Momento de Inercia Se podra decir, que el Trompo utilizado para la experimentacin es un cuerpo compuesto. Cuyos cuerpos que la forman son: Dos cilindros (Bastidor y Perno) y un cuerpo elipsoide.El momento de inercia de un slido es una magnitud escalar que viene dada por:

De su definicin se deduce que el momento de inercia de un slido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partcula depende del eje). Como un slido est constituido por un nmero muy grande de partculas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuacin anterior puede ser sustituido por la siguiente integral:

Donde dm es un elemento de masa del slido y R2 su distancia al eje de giro del mismo. El elemento de masa dm est relacionado con la densidad del slido y, si ste es homogneo, al sustituir dm en la expresin del momento de inercia podemos sacar la densidad de la integral: dV es un elemento de volumen del slido y, para calcular el momento de inercia de un slido homogneo es preciso resolver la integral recuadrada en rojo.Sabemos que:1) El Volumen total de nuestro Trompo es la suma de los tres componentes de este, es decir, la suma de los volmenes cilndricos del Perno y del Bastidor, con el volumen del cuerpo elipsoide.

Dado por la suma de las frmulas:

Derivando esto: Por lo que:

2) Tambin sabemos que la Densidad est dada por:

3) Sustituyendo en la ecuacin de momento de Inercia:

De tal forma el Momento de Inercia est dado por la frmula: ECUACIN 2 B) Toma del Fotograma: SloPro

SloPro es una aplicacin para Telfono Celular, que utilizamos para calcular el tiempo de Nutacin de nuestro Trompo, adems de observar en cmara lenta los Fotogramas por nmero de Vueltas. Se puso en prctica, tomar dos tomas una Area y otra de manera Frontal, en el momento justo cuando el Trompo iniciaba su Movimientos Rotacional y despus el de Nutacin. Se controlaron la cantidad de vueltas del cordn sobre el Bastidor del Trompo, al igual que la Fuerza aplicada para impulsar el Movimiento Rotacional. Las tomas frontales servirn para Clcular el ngulo de la Torca que causa el declive del Movimiento Rotacional para pasar al de Nutacin y el tiempo de este Movimiento, mientras que la toma Area servir para determinar la cantidad de vueltas por Fotograma. A

B

C) Adquisicin de Datos del Movimiento Rotacional Tacmetro: Determinacin de la Velocidad Angular Un tacmetro es un dispositivo que mide la Velocidad de giro de un eje (). Se mide en revoluciones por minuto (RPM). Actualmente se utilizan con mayor frecuencia los tacmetros digitales, por su mayor precisin. El Tacmetro LT-DT2236, fue til para determinar el valor experimental de Velocidad Angular () del trompo en el Movimiento de Nutacin. Por lo cual se procedi a hacer las mediciones como se indica:1) Coloque el interruptor de funcin en la posicin RPM (FOTO).2) Aplique la marca reflectiva en el objeto que va a ser medido.3) Inicie la Rotacin el Trompo. Espere el Movimiento de Nutacin.4) Presione el botn de medicin y alinee el has de la luz visible con el objetivo marcada a unos 20cm de altura o menos. Verifique la luz indicadora en el monitor cuando el objetivo pas a travs del haz de luz. Suelte el botn de medicin cuando la lectura se establezca (aproximadamente 2 segundos). Si el resultado en RPM es menor a 50 RPM, se recomienda aplicar ms cintas reflejantes. D) TorcaSi el resultado en RPM es menor a 50 RPM, se recomienda aplicar ms cintas reflejantes. Al tener los valores indirectos de la Inercia Rotacional y de la Aceleracin Angular del Trompo Procedemos a sustituir estos valores en la frmula:

DONDE:

ECUACIN 3

NOTA: La Aceleracin Angular () ser calculada, mediante la Grfica de Velocidad Angular contra Tiempo.

RESULTADOS A) TROMPO DimensionesTABLAS DE DATOS DIRECTOS PARA DIMENCIONES DEL TROMPOTabla I. Datos Directos de Altura del Bastidor del Trompo (H)

560

570

550

550

550

560

570

570

570

560

Tabla II. Datos Directos del Dimetro del Trompo (D)

530

530

530

540

550

540

540

530

530

540

Tabla III. Datos Directos de Dimetro del Bastidor del Trompo (d)

110

110

100

100

100

100

110

110

110

100

Tabla IV. Datos Directos de la Masa del Trompo (m)

463

464

464

463

463

463

463

464

464

464

Tabla VI. Datos Directos de Longitud del Perno de Metal (h)

90

90

90

90

90

100

100

90

100

100

Tabla V. Datos Directos de Dimetro del Perno de Metal (l)

40

30

40

40

30

30

40

40

40

40

Tabla VII. Datos Directos de C(C)

250

250

250

260

260

250

260

260

250

250

TABLAS DE DATOS INDIRECTOS PARA DIMENSIONES DEL TROMPOTabla I. Datos Indirectos de Altura del Bastidor del Trompo (H)

560 10

Tabla II. Datos Indirectos de Dimetro del Trompo (D)

540 10

Tabla III. Datos Indirectos de Dimetro del Bastidor del Trompo (d)

105 5

Tabla IV. Datos Indirectos de la Masa del Trompo (m)

463.5 0.5

Tabla VI. Datos Indirectos de Longitud del Perno de Metal (h)

95 5

Tabla V. Datos Indirectos de Dimetro del Perno de Metal (l)

35 5

Tabla VII. Datos Indirectos de C (C)

255 5

B) Adquisicin de Datos del Movimiento Rotacional Tacmetro: Determinacin de la Velocidad Angular Tabla VIII. Datos Directos de Velocidad Angular ()

4331

4392

4451

4293

4362

4472

4450

4365

4298

4316

4376

4324

Tabla VIII. Datos Indirectos de Velocidad Angular ()

4382.5 89.5

Tabla IX. Datos Directos de Velocidad Angular ()

2273

2024

2014

2251

1891

2294

2312

2253

2300

2195

2337

2333

Tabla IX. Datos Indirectos de Velocidad Angular ()

2114 223

Tabla X. Datos Directos del Tiempo ()

5340

5288

4808

5007

5269

5209

5013

4978

5156

5092

5216

5274

Tabla X. Datos Indirectos del Tiempo ()

5074 266

D) TorcaParte a) Clculo de volmenes

= = (0.027 1) = (5.25 5) = (1.75 5) = (0.04635 5)= (0.056 1) = (9.5 5)

Parte b) Clculo de la densidad

Parte c) Calculo del Momento de Inercia

Parte d) Calculo dela aceleracin

Parte e) Calculo del Momento de Torsin.

VALIDACINLa validacin, se har con Ec3: Dnde:d es una constante que comprende el ngulo de Nutacin que es resultado de;

De tal forma:

OBSERVACIONES1) Se us el valor de la Gravedad (g) como 9.8 m/s2 para tener menor Incertidumbre en los resultados.2) La Aceleracin () obtenida fue de un valor negativo, debido en tanto a la disminucin de la Velocidad Angular () y del Movimiento de precesin.3) La Fuerza de Torsin obtenida tiene un valor Negativo, tanto debido por la Aceleracin Angular ) y a que el Giro del Trompo es de manera Antihoraria.4) El Tacmetro usado fue uno de la MODELO DT-2236. Calibrado segn el Certificado de carcter internacional.CONCLUSIONES

Bibliografa1st. A.Flores, E. Roth y C. Argez . Prctica Libre: TIPPE TOP. Recuperado de: http://intermat.fciencias.unam.mx/tippetop1.pdf2nd. FisiKBasen Society. El Tippe Top. Recuperado de: http://www.fysikbasen.dk/English.php?page=Vis&id=79 .3rd. J. Alvarado. Esttica y Rotacin de Cuerpos Slidos.Vol. I, Primera Edicin 2012, Editorial.4th. Apuntes de Laboratorio de Fsica General, Editado por la Facultad de Ciencias de la UNAM, 1976, Recuperado de: http://www.fisica.uson.mx/manuales/mecyfluidos/mecyflu-lab001.pdf5th. J. R. Taylor. An Introduction to Error Analysis. University Science Books, 1982.20