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Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
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Decimos que los segmentos a, b, c y d son proporcionales si se puede
establecer una proporción entre sus medidas o sea: d
c
b
a. Se llama razón
entre dos segmentos cualesquiera, al cociente (el resultado de la divisón) entre sus medidas.
1) Determinar si los segmentos m = 10 cm n = 6 cm t = 5 cm y s = 3 cm son proporcionales.
Plantar las razones: 6,13
5
6
10
Son proporcionales, los cocientes son iguales. 2) Determinar si los segmentos m = 18 cm n = 6 cm t = 5 cm y s = 10 cm son proporcionales.
Plantear las razones: 10
5
6
18
No son proporcionales, los cocientes (los resultados de las divisiones) no son iguales.
Ahora la situación planteada es otra: como dato nos dan cuatro segmentos, se sabe que son proporcionales, (m y n son proporcionales a p y q) se conoce la medida de tres de ellos y se pide calcular la medida del cuarto segmento: m = 12, n = 8, p = 10 y q = ? Plantear la razones.
q
10
8
12 entonces
12
810.q entonces 6,6
q
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
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1) Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Además se sabe que m = 6 cm, n = 10 cm y que p = 8 cm.
Determina la medida del segmento q.
q
8
10
6 entonces
6
810.q entonces 3,13
q
2) Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q,
respectivamente. Además se tiene que m = 5 cm, n = ? cm y que p = 8 cm y q = ?. Determina la medida del segmento n.
16
85
n entonces
8
516.n entonces q = 10
3) Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q,
respectivamente. Además se tiene que m = ? cm, n = 21 cm y que p = 7 cm y q = 14. Determina la medida del segmento m.
14
7
21
m entonces
14
217.n entonces q = 10,5
4) Determina el valor de x en las siguientes proporciones: Completar:
a) 12 : 9 = x : 36 plantear las proporciones 369
12 x
entonces .....
.....x entonces x = 48
b) 5 : x = 0,6 : 3 plantear las proporciones 3
6,05
x
entonces .....
.....x entonces x = 25
c) x
10
9
50
.....
.....x entonces x = 1,8
Juan vive en un pueblito situado a 30 km de Salvador de Jujuy, tiene que recorrer todos los días desde su casa al colegio una distancia de 30 km. Al recorrer la dos terceras partes del camino, para en la casa de un amigo, para tomar un poco de agua. Queremos saber exactamente en que punto
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES
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del camino se detiene Juan a tomar agua. Para eso tenemos que dividir la totalidad del camino en tres partes iguales.
Tomamos el segmento AB (que es el camino).
NPMNAM
Trazamos por el punto A una semirrecta auxiliar y transportamos sobre ella tres veces un segmento de cualquier medida. (Tres veces el mismo
segmento) _c AM = c NM NP (de una medida arbitraria)
Luego unimos P con B y trazamos las paralelas al segmento PB por N y por M. Así el segmento AB queda dividido en tres partes congruentes
(iguales). Es decir AR =c RS =c SB
Juan se detiene exactamente en el punto S. Otro ejercicio + grande
Dividir el segmento CD en 5 partes iguales cmCD 15
1) Dibujar CD
Llevamos una semirrecta cualquiera, por ejemplo CM y sobre CM llevamos cinco segmentos congruentes (iguales) de cualquier
medida.
Unimos el último punto S con D y trazamos paralelas a SD por los
sucesivos puntos marcados sobre CM. El segmento CD quedó dividido en
cinco partes iguales TDRTQRPQCP CCCC
A
M
N
P
R S B
casa
colegio
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kDC
CD
CA
AC
CB
BC
BA
AB
Un poco de historia
Thales nació en la ciudad griega de Mileto
(actualmente pertenece a Turquía). Vivió entre
los años 624 A.c. y 548 A.c. fue sobre todo
comerciante, pero también ingeniero,
astrónomo, filósofo y matemático.
Aunque de su vida se sabe muy poco, no hay
dudas acerca de su inteligencia. Fue el primero
de los siete grandes sabios griegos.
Vivió muchos años en Egipto, donde recogió
todos los conocimientos geométricos de la
época. Fue el primer matemático en utilizar el método educativo para probar
propiedades. Según la leyenda, utilizó el teorema que lleva su nombre para
medir la altura de una pirámide utilizando su propia altura, la medida de su
sombra y de la sombra de la pirámide.
También causó gran asombro cuando pronosticó, mediante cálculos
matemáticos, un eclipse total de sol en el año 585 A.c.
TEOREMA DE THALES
a
b
c
d
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
r t
Si tres o más paralelas (a // b // c) son cortadas por dos
rectas transversales (t y t'), dos segmentos cualesquiera
sobre una de ellas y sus correspondientes en la otra
forman una proporción. Siendo a//b//c//d
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE THALES
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Algunas proporciones entre los segmentos son:
OTRO EJERCICIO (aplicamos el teorema de Thales) Hallar x en cada una de las siguientes situaciones, sabiendo que a//b. Planteamos la proporción y decimos: 3 es a 2 como x+3 es a x
6
623
623
323
3
2
3
x
xx
xx
xx
x
x
Otro más: 4 es a x-1 como 5 es a x
a
b
c
d
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
t t'
CB
BA
BC
AB
DC
CA
CD
AC
DC
CB
CD
BC
3
x + 3
x b
2 a
a
4 b
5
x
x-1
x
xx
xx
xx
xx
5
455
454
154
5
1
4
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¿Qué hubiera pasado si decíamos: 4 es a 5 como x-1 es a x?
x
xx
xx
xx
x
x
5
455
554
154
1
5
4
Juan tenía que hacer un trabajo para actividades prácticas y dibujó dos triángulos “uno más grande y otro mas chico”, porque los tenía que recortar y pintar. Una vez que los dibujó los observó y dijo “son parecidos”. Y tenía razón los triángulos se parecían pero no eran iguales. Anímese a buscar un transportador y medir los ángulos del triángulo más chico (el ABC) ¿Cuánto miden?
El A
mide ......................
El B
mide ......................
El C
mide ......................
Ahora medimos los del triángulo grande el ABC A'B'C'
Acuérdese de apoyar bien el transportador
El ángulo A
mide .......................
El ángulo B
mide ........................
El ángulo C
mide ........................
¿Qué se observa? Que los ángulos del “triángulo chico” y del “triángulo grande” son iguales. Fantástico! Continuemos – Ahora con una regla midan los lados de los dos triángulos.
Ya está! El cmAC 4 ; cmAB 5 ; cmBC 5 ; cmCA 8 ;
cmBA 1 ; cmCB 10 .
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
A
B
C A'
B'
C'
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Muy bien ¿Pueden sacar alguna conclusión?
¿Qué relación se observa entre el lado AC y CA ?
AC mide 4 cm y CA mide 8 cm.
CA mide el doble de AC y con los otros dos pares de lados pasa lo mismo,
los del “triángulo chico”. Esto podemos expresarlo en lenguaje matemático, diciendo que las razones entre las longitudes de los lados que se corresponden (homólogos) en los dos triángulos, es igual a 2.
O sea: AC
CA
BC
CB
AB
BA
24
8
5
10
5
10
cm
cm
cm
cm
cm
cm
En lenguaje simbólico CBA
~ CBA
Por suerte los matemáticos encontraron criterios para determinar cuándo dos triángulos son semejantes sin necesidad de tener que medir 6 ángulos, 6 lados y hallar sus razones.
Primer Criterio D o s t r i á n g u l o s s o n s e m e j a n t e s s i t i e n e n u n p a r d e l a d o s h o m ó l o g o s p r o p o r c i o n a l e s y e l á n g u l o c o m p r e n d i d o e n t r e e l l o s c o n g r u e n t e . ¿Qué quiere decir homólogos?.... Lenguaje gráfico:
CRITERIOS DE SENEJANZA DE TRIÁNGULOS
Definición:
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos que se
corresponden congruentes y los lados que se corresponden
proporcionales.
El triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C' y su razón de semejanza es 2.
Reemplazamos el valor de
los lados
“~” semejante
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Lenguaje simbólico: CBA
~ CBA
Segundo Criterio
S i d o s á n g u l o s d e u n t r i á n g u l o CBA
s o n c o n g r u e n t e s a d o s
á n g u l o s d e u n t r i á n g u l o CBA
, e n t o n c e s l o s t r i á n g u l o s
s o n s e m e j a n t e s . Lenguaje Gráfico
Lenguaje Simbólico
CBA
~ CBA
Tercer Criterio S i d o s t r i á n g u l o s t i e n e n s u s t r e s l a d o s h o m ó l o g o s p r o p o r c i o n a l e s , e n t o n c e s s o n s e m e j a n t e s . Lenguaje Gráfico
A'
B'
C'
A
B
C A'
B'
C'
AA
CA
AC
BA
AB
C
A
B
C
BB
CC
C
C
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Lenguaje Simbólico
CA
AC
CB
BC
BA
AB
Indicar si los siguientes triángulos son semejantes y establecer cuáles son los lados que son proporcionales.
El triángulo ABC es semejante al MNP. ¿Por qué?
70º
60º
30º
80º
50º
40º
70º
70º
60º
80º
A
B
C
F
D
E
O
R
S
G
H
I
M
N
P
A'
C'
B' A
C
B
∆ ∆
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Recordemos los criterios de semejanza, el segundo criterio nos dice que dos
triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes. (igual medida)
Claro pero el ABC tiene un ángulo de 60º y otro de 70º y el MNP tiene uno de
60º y el otro de 50º entonces…….
Recordemos la propiedad de la suma de los ángulos interiores
de un triángulo. “La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a 180º”
En el triángulo ABC ¿Cuánto mide el ángulo Â?
B
mide 70º y C
mide 60º, quiere decir que entre los dos suman 130º,
entonces para llegar a 180º el ángulo  mide 50º.
Correcto, lo mismo deberá pensar para el triángulo MNP. El ángulo N
mide
70º.
Vamos a dibujar
nuevamente los
dos triángulos con
los ángulos
encontrados.
Como pueden
observar estos
dos triángulos
tienen 2 ángulos
congruentes (por lo tanto el tercer ángulo también será congruente). Como
se verifica en el 2do criterio de semejanza, los dos triángulos son semejantes,
si son semejantes sus lados son proporcionales, pero como establecemos la
proporcionalidad entre sus lados, es decir ¿qué lados del triángulo ABC son
proporcionales al otro triángulo?
Bueno en realidad no sé… ¿Qué tengo que tener en cuenta?
Te acordás que hablamos de lados homólogos, bueno los lados
homólogos son aquellos que se oponen a ángulos congruentes
(de igual medida), es decir en el triángulo ABC el ángulo de 70º
∆ ∆
∆
∆
70
50 6
A
B
C
70
50
6
M
C
N
∆
∆
∆
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se opone al lado AC y en el triángulo MNP el ángulo de 70º se opone al lado
MP , entonces AC y MP son lados homólogos y por lo tanto proporcionales.
Es decir que para establecer la proporcionalidad entre
los lados, tengo que mirar los ángulos a qué lados se
oponen en cada triángulo.
Exactamente: Vamos a escribir la proporcionalidad entre los lados
de ambos triángulos.
Fijate que AB se opone al ángulo de 60º y MN se
opone en el otro triángulo al ángulo de 60º.
Analicemos los triángulos DEF y QRS:
Son Semejantes
El ángulo F
mide 80º y el ángulo S
mide 30º por lo tanto DEF ~ QRS,
establecemos entonces la proporcionalidad entre sus lados:
QR
FE
RS
DE
QS
DF
30º
70º
80º
70º
30º 80º
F
D
E
Q
R
S
NP
BC
MN
AB
MP
AC
∆ ∆
∆ ∆
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Ejercicio 1:
Dadas las siguientes figuras, hallar X sabiendo que m//n.
a)
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
.........................................................
b)
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
c)
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
m
2x
3x
n
x
6
X+1
5
4 n
X m
X+1
7
9
n
X+2 m
8
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.........................................................
d)
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
.........................................................
Ejercicio 2:
Dividir los siguientes segmentos en:
a) Tres partes iguales.
b) Cinco partes iguales.
c) Siete partes iguales.
m m
6
15
n
24 2x p
a
b
c
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Dibujar tres segmentos:
a) de 16 cm y dividirlo en tres partes iguales. b) De 14,5 cm y dividirlo en cinco partes iguales. c) De 7,50 cm y dividirlo en cuatro partes iguales.
Ejercicio 3: Hallar en cada caso el valor de x:
a)x
5
7
2 b)
7
129
x c)
8
3
5
1x d)
6
5
4
3 x
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Dados los siguientes triángulos determinar cuáles son semejantes. Justificar la respuesta e indicar cuáles son los lados proporcionales.
Realizar una breve reseña bibliográfica (no menos de 15 renglones y no más de 25) de Pitágoras y Euclides.
75º
80º
35º
80º
50º
40º
75º
60º
60º
80º
A
B
C
F
D
E
O
R
S
G
H
I
M
N
P
9
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Figuras, polígonos.
Cuadriláteros.
Clasificación y propiedades.
Simetría.
Figuras Circulares.
Antes de entrar específicamente en el tema de cuadriláteros, abordaremos algunos conceptos básicos que nos permitirán seguir desarrollando los sucesivos temas de geometría que vamos a tratar. Vamos a repasar los elementos fundamentales de una figura plana. Observemos por ejemplo la siguiente figura:
Los lados de la figura son los bordes de la misma, es decir, DACDBCAB ,,, .
Los vértices son los puntos que unen dos lados consecutivos, es decir los puntos A, B, C y D son los vértices de la figura. Los vértices A y C; B y D se llaman vértices opuestos. Las diagonales son los segmentos que unen vértices opuestos, entonces deducimos que AC y BD son las diagonales.
A B
C D
Lados y Vértices
ELEMENTOS DE UNA FIGURA
Vamos a repasar
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Llamamos bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide al ángulo en dos partes congruentes. En la figura la apreciamos en forma simbólica del siguiente modo:
CODDOA C
La semirrecta OD divide al ángulo COA
en dos partes congruentes, es decir
que COA
es congruente con COD
.
Conceptualmente podemos decir que el perímetro de una figura es el contorno de la misma, si queremos averiguar el perímetro de una figura debemos sumar todos los lados de la misma. En los problemas donde nos piden calcular los lados de una figura o el perímetro de la misma, debemos antes que nada saber las propiedades de los lados según la figura de que se trate. Por ejemplo, si nos piden calcular el perímetro de un rectángulo, sabemos que tiene dos pares de lados paralelos
PERÍMETRO DE UNA FIGURA
O
A
C
D
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
A B
C D
Diagonales
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e iguales. En algunos casos en los datos figuran incógnitas, tendremos que plantear una ecuación y resolverla.
Rectángulo (ángulos rectos)
Rombo (lados iguales)
Paralelogramo
CUADRILÁTEROS Clasificación de los distintos tipos:
(lados opuestos paralelos)
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OTROS CUADRILÁTEROS
Trapecio Escaleno
Trapecio Isósceles
Trapecio Rectángulo
Romboide
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Observando el cuadro anterior vemos que hay tres grupos de cuadriláteros. Aquellos que tienen dos pares de lados opuestos paralelos llamados paralelogramos. Otros que tienen un par de lados opuestos paralelos llamados trapecios y aquellos que no tienen ningún par de lados opuestos paralelos llamados trapezoides. Si dibujamos un cuadrado en un papel cualquiera y lo recortamos para poder plegarlo sobre sí mismo de modo que las dos partes en las que efectuamos los dobleces quedan superpuestas coincidiendo de manera exacta ¿De cuántas maneras podríamos doblarlo? Fíjese por ejemplo si la plegamos siguiendo la línea punteada, las partes superpuestas coinciden.
Pero también se cumple lo pedido si plegamos por cualquiera de las otras líneas punteadas que se indican en los dibujos que se dan a continuación. A estas líneas “punteadas” se las denomina Ejes de Simetría. Doblando el cuadrado por sus distintos ejes de simetría podemos decir que sus lados son todos congruentes y sus ángulos también. Es decir:
Y que sus diagonales son congruentes, es decir que las medidas de las diagonales son iguales.
CUADRADO
A B
D C
º90DCBA
ADCDBCAB
CCC
CCC
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BDAC C
Y además que la medida de AO es la misma que la de OC y que la medida de
BO es la misma que la de OD . Decimos entonces que las diagonales se
cortan mutuamente en segmentos congruentes y el punto donde se cortan es el punto medio de cada una de ellas.
Es decir OCAO C y OBDO C .
Todas las propiedades de los cuadriláteros podemos deducirlas a partir de sus ejes de simetría.
Vamos a resumir las propiedades de los cuadriláteros:
Lados: (1) Todos los lados son congruentes. (2) Los lados
opuestos son paralelos.
Lenguaje Simbólico: (1)
ADCDBCAB CCC
ADBC // y CDAB //
Diagonales: (1) Las diagonales son congruentes y se
cortan perpendicularmente en el punto medio. (2) Además
son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen (3).
A B
D C
O
Lenguaje Simbólico: 1BDAC C
3º45
º45
2
CBDDBA
DACCAB
BDACOCAO
ODBO
C
C
C
C
Ángulos: Tienen cuatro ángulos rectos (todos miden 90º).
Lenguaje Simbólico: º90DCBA CCC
CUADRADO
A B
D C
O
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Lados: Todos los lados son congruentes.
Lenguaje Simbólico: AB CD BC AD
Diagonales: Las diagonales se cortan
perpendicularmente (1) en su punto medio (2) y
además son bisectrices de los ángulos cuyos vértices
unen (3).
Lenguaje Simbólico:
1ACBD
OCAO C 2ODBO C
21
C 343
C
ROMBO
O
2 1
3
4
A C
D
B
Ángulos: Los ángulos opuestos son congruentes.
Lenguaje Simbólico: CA C
y DB C
Lados: (1) Los lados opuestos son congruentes y
paralelos (2).
Lenguaje Simbólico:
CDAB C y ADBC C
ADBC // y CDAB //
Diagonales: Las diagonales son congruentes (1)
y se cortan mutuamente en el punto medio (2).
A
B C
D
Lenguaje Simbólico:
2
1
ODBO
OCAO
BDAC
C
C
C
Ángulos: Tiene cuatro ángulos rectos (todos miden 90º)
Lenguaje Simbólico: º90DCBA CCC
RECTÁNGULO
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Lados: Los lados opuestos son
congruentes (1) y paralelos (2).
Lenguaje Simbólico:
ADBC C y CDAB C (1)
ADBC // y CDAB // (2)
Diagonales: Las diagonales no son
iguales pero se cortan mutuamente por su
punto medio.
PARALELOGRAM
O
O
B C
A D
Lenguaje Simbólico: OCAO C y ODBO C
Ángulo: Los ángulos opuestos son congruentes (1) y los ángulos que están del mismo
lado son conjugados internos entre paralelas (2), es decir que suman 180º.
Lenguaje Simbólico:
(1) CA C
y DB C
(2) º180BA
y º180DC
Lados: Tienen dos pares de lados consecutivos congruentes.
Lenguaje Simbólico: AB BC
CDAD C
Diagonales: Las diagonales son perpendiculares (1). La diagonal principal es la
que es eje de simetría de la figura (en este caso BD es la diagonal principal) (2). La
diagonal principal corta a la otra en su punto medio y es bisectriz de los ángulos
cuyos vértices unen (3).
Lenguaje Simbólico:
BDAC (1)
OCAO C (2)
21
C (3)
Ángulos: Los ángulos que unen la diagonal no
principal son congruentes.
Lenguaje Simbólico: CA C
DB
(ya que la diagonal AC no es eje de simetría
de la figura, fíjese que si doblamos el romboide por
la diagonal AC el ángulo B y el ángulo D no coinciden,
por lo tanto no son congruentes)
ROMBOIDE
A
B
C
D
O 1
2
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Lados: Tiene un par de lados
paralelos que son las bases
ADBC// . Los lados no paralelos
son congruentes.
Lenguaje Simbólico: CDAB C
Diagonales: Las diagonales son
congruentes pero no se cortan en el
punto medio.
Lenguaje Simbólico: CDAC C
OCAO y ODBO
Ángulos: Los ángulos adyacentes a
las son congruentes.
Lenguaje Simbólico: DA C
A
B C
D
O
TRAPECIO ISÓSCELES
Lados: Tiene un par de lados paralelos
(que se llaman bases) en este caso BC y
AD ADBC // . Los cuatro lados son
distintos.
Diagonales: son distintas y no se cortan
en su punto medio.
Ángulos: los cuatro ángulos son
distintos pero los ángulos del mismo
lado son conjugados internos entre
paralelas, es decir que suman 180º.
Lenguaje Simbólico: º180BA
y
º180DC
A
C
B
D
TRAPECIO ESCALENO
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Cualquier cuadrilátero puede ser dividido en dos triángulos, si se traza una de sus diagonales.
A
B
C D
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º, entonces la suma de los ángulos interiores de un
cuadrilátero es de 180º . 2 =360º
(ya que quedan determinados dos triángulos). Podemos decir entonces que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º.
ÁNGULOS INTERIORES DE UN CUADRILÁTERO
Lados: Tiene un par de lados
opuestos y paralelos (bases).
Lenguaje Simbólico: ADBC //
Diagonales: No son congruentes.
Lenguaje Simbólico: BDAC
Ángulos: Tiene dos ángulos rectos
º90BA C
A
B C
D
TRAPECIO RECTÁNGULO
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Página 127
1ª) Dado el siguiente paralelogramo ABCD, si el ángulo º58A
. Calcular los
restantes ángulos del paralelogramo.
Para poder resolver este problema, debemos tener en cuenta las propiedades del paralelogramo. Se sabe que los ángulos opuestos de
cualquier paralelogramo son congruentes, por lo tanto CA C
y DB C
Es decir:
º58A
entonces º58C
º244
º58º58º360
DB
DB
Pero con B = D entonces 2 B = 244º B = 244º y D = 244º
O sea que: CA
y º58CDB
y º122D
La suma de los 4 ángulos tiene que dar 360º, esta sería una forma de verificar el ejercicio. 2ª) Cuando en un problema de geometría los datos vienen dados por ecuaciones, primero debemos establecer las relaciones geométricas, es decir, debemos pensar en las propiedades de la figura que estamos analizando. Veamos el siguiente ejemplo, dado un Trapecio Isósceles:
M
N P
Q
º202
º40
XQ
XM
A
B C
D
Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
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Como se trata de un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes, es decir:
QM C
A partir de esta relación geométrica (que M
y Q
son congruentes),
reemplazo los datos dados: º202º40 xx
Me quedó planteada una ecuación, entonces tengo que resolverla, para eso despejamos x.
xx2º20º40
xº60
Si x=60 reemplazo ahora este valor en cada uno de los ángulos.
º100º40º60º40xM
Para calcular el ángulo N
, sabemos que MQNP // , por lo tanto M
y N
son
ángulos conjugados internos entre paralelas y suman 180º.
º80º100º180
º180
º180
N
MN
NM
El ángulo P
mide también 80º (entre los 4 ángulos deben sumar 360º).
Dado el siguiente paralelogramo:
Se pide calcular el perímetro.
Pensemos en los datos que nos dieron. AB y CD , son dos lados del
paralelogramo. ¿Cómo son esos lados? Recordemos las propiedades del paralelogramo, respecto a los lados: “Los lados opuestos en un paralelogramo son iguales y paralelos”.
A
B C
D
cmBC
cmxCD
cmxAB
7
12
62
Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
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Por lo tanto cmxcmx
CDAB
1262
Resolvemos la ecuación:
mx
cmcmxx
6
6122
Reemplazamos la x en los lados dados:
cmcmcmCD
cmcmcmcmcmAB
18126
18612662
Como tenemos que averiguar el perímetro del paralelogramo, sabemos que el mismo es la suma de todos los lados. O sea:
Perímetro ADCDBCAB cmcmcmcmcm 50771818
Observe que el lado cmAD 7 , porque es igual a su opuesto BC, que bien
sabemos que es de 7cm.
Averiguar la medida de los ángulos que faltan en cada cuadrilátero.
Si el ángulo A
vale 52º el ángulo B
vale 180º-52º=128º, ya que como A
y B
son ángulos conjugados internos entre paralelas, la suma de ambos es igual a
180º. El ángulo C
es congruente con el A por lo tanto º52C
y D
es
congruente con B
o sea es igual 52º.
b) En el siguiente trapecio isósceles el ángulo A
vale 74º, como se trata de un trapecio isósceles los ángulos de las bases son congruentes es decir el
ángulo º74D
.
A
B C
D
52º
Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
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Recordar que AD C
y que CB C
.
Hallar el valor de x en cada figura y los ángulos interiores de cada cuadrilátero. .
Como el ángulo A
es congruente con el ángulo C
porque son ángulos
opuestos en paralelogramos.
Nos queda una ecuación con una sola incógnita: X
Como ya calculamos el valor de x podemos determinar ahora el ángulo
º102xA
reemplazando ahora el valor de x.
º60º15º75º153
º60
º60
º60º10º50º10º252
xC
AC
A
A
DB entonces
2
............
................º60º60º360
B
DB
A D
B C
2x+10
3x+15
Podemos igualarlos
º25
º10º1532
º153º102
º153
º102
x
xx
xx
CA
xC
xA
C
º25x
Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
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Si tomamos una soga y la colocamos alrededor de un aro o de cualquier objeto circular, observaremos que la cantidad de soga necesaria para bordear dicho objeto es aproximadamente tres veces y un poco más la longitud del diámetro. Entendemos por diámetro a cualquier segmento que pase por el centro de la circunferencia.
Esta relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro
es un número irracional conocido con el nombre griego de Pi (π).
Nota: Se llama Nº irracional porque contiene infinitas cifras decimales no periódicas, hasta el día de hoy la computadoras siguen buscando más cifras del número Pi. Podemos entonces calcular la longitud de una circunferencia con la fórmula. Long C (O;d) = π.d Se lee longitud de la circunferencia de centro O y diámetro d.
M
C B
N
D A
o
AB ; CD y MN son diámetros.
O d
También podemos expresar la longitud de una circunferencia en función de su radio. Long C (O; r) = 2 π r
FIGURAS CIRCULARES
Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
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Definición de Radio
r1
R2
Llamamos radio al segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y su perímetro. Por ejemplo: r1 y r2 son radios.
Ejemplos:
a) Calcular la longitud de una circunferencia cuyo radio es r = 5cm
Longitud = 2 π r = 2 . 3,14 . 5cm = 10cm . 3,14 = 31,4cm
b) Calcular el diámetro de una circunferencia cuyo perímetro es igual a 400m.
rm
rm
rm
rP
14,3
200
2
004
2400
2
1
200
mr 6,63
Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
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1) En un rectángulo abcd sus diagonales son cmxac 104 y
cmxbd 23 . Calcula la medida de sus diagonales. GRAFICAR ....................................................................................................................
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2) En un rombo abcd, a = 18º. Calcula b
, c
y d
. GRAFICAR
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3) En un trapecio isósceles abcd, bc//ad ¿Cuánto miden cada uno de sus
lados no paralelos, si cmxab 204 y cmxcd 362 ? GRAFICAR
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10
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4) En el trapecio abcd: .............................................................................................
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Calcular c
y d
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5) En abcd paralelogramo: Hallar los 4 ángulos interiores.
º125
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6) En el rombo: Hallar los 4 ángulos interiores.
º113
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4x
x
b
a
c
d
a
b
c
d
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7) abcd trapecio rectángulo. GRAFICAR º114
Hallar los ángulos interiores. ...................................................................................................................
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8) abcd trapecio isósceles
cmxcd
cmxab
22
73
Hallar los lados congruentes. ...................................................................................................................
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a
b c
d
a
c b
d
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9) abcd trapecio rectángulo
º59
. Los ángulos de la base del abcd son congruentes.
Hallar b
y c
.
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a b
d
c