“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y Seguridad Alimentaria”

Universidad Andina del Cusco

Tema : Probabilidades

Curso : Estadística Industrial II

Docente : Ing. Guido Farfán

Alumnos : Humberto Andrés Chang Peláez

Fausto André Landa SotomayorJessica Rojas GrandeLilibeth Bertha Salas LetonaAngela María Sierra Casanova

Semestre : 2013 - II

Cusco - 2013

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PRESENTACIÓN

El presente informe sobre el tema de “Probabilidades”, está realizado de

manera concreta y sencilla a fin de poder ser una herramienta de ayuda para

esclarecer dudas o interrogantes, que en su mayoría se quedan al aire a causa

del dificultoso entendimiento de términos o propiedades que se ven

desarrolladas en esta parte que comprende la Estadística.

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INTRODUCCION

La Estadística, nace de las necesidades reales del hombre. La variada y

cuantiosa información relacionada con éste y que es necesaria para la toma de

decisiones, hace que la estadística sea hoy, una importante herramienta de

trabajo.

Entre las tareas principales de la Estadística, está el de reunir la información

integrada por un conjunto de datos, con el propósito de obtener conclusiones

válidas del comportamiento de éstos, como también hacer una inferencia sobre

comportamientos futuros.

En cuanto al uso y la aplicación, puede decirse que abarca todo el ámbito

humano encontrándose en las relaciones comerciales, financieras, políticas,

sociales, etc. siendo fundamental en el campo de la investigación y en la toma

de decisiones.

Es así también como en el área de las empresas de servicio y manufactura es

posible realizar un análisis profundo del proceso estadístico al control de la

productividad y de la calidad.

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con

certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge

como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y

pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a

los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron

otros usos muy diferentes para la que fueron creadas.

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Contenido

Presentación.......................................................................................................1

Introduccion.........................................................................................................2

1. Concepto:.....................................................................................................4

A) Experimento Aleatorio:..............................................................................4

B) Espacio Muestral:......................................................................................4

C) Evento O Suceso:......................................................................................4

2. Historia:.........................................................................................................5

3.-Métodos Para Calcular Probabilidades...........................................................5

3.1.-Regla De La Adición O De La Suma............................................................5

3.2.-Regla De La Multiplicación...........................................................................8

3.3.-Regla De Laplace.......................................................................................10

4.-Probabilidad Condicional..............................................................................11

4.1.-Sucesos Dependientes..............................................................................13

4.2.-Sucesos Independientes............................................................................14

4.3-Sucesos Mutuamente Excluyentes.............................................................15

5.Técnicas De Conteo.......................................................................................15

5.1. Principio Aditivo..........................................................................................16

5.2. Diagramas De Árbol...................................................................................17

5.3. Permutaciones.-.........................................................................................18

5.3.1. Permutaciones Circulares.......................................................................19

5.3.2. Permutaciones Con Grupos De Objetos Iguales.....................................19

6.-Teoremas De Probabilidad.-.........................................................................20

6.1.- Teorema De La Probabilidad Total.-.........................................................20

6.2.- Teorema De Bayes.-.................................................................................22

7.-Webgrafia.-....................................................................................................27

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PROBABILIDADES

1. Concepto:

Antes de definir lo que es una probabilidad, debemos de conocer previamente

algunos significados básicos.

a) Experimento Aleatorio:

Cualquier operación cuyo resultado no puede ser predicho con seguridad.

Ejemplo: Lanzamiento de una moneda o un dado.

b) Espacio Muestral:

Conjunto de todos los posibles resultados asociado a un experimento. Se

representa por el símbolo omega (Ω). Ejemplo: Lanzamiento de un dado: Ω =

[ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]

c) Evento o Suceso:

Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un

evento, así mismo como Ω es un evento llamado suceso seguro y el conjunto

vacío es un evento llamado suceso imposible.

Una vez desarrollados los conceptos básicos podemos desarrollar con mayor

claridad lo que es una probabilidad.

Definición: La probabilidad es una medida de la incertidumbre, en otras

palabras, es la ejecución de un de un experimento aleatorio cuyo resultado

depende del azar. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (0% - 100%) donde

el valor cero corresponde a un suceso imposible mientras que el valor uno es

denominado un suceso seguro.

Generalmente se expresa matemáticamente como el cociente entre el número

de resultados favorables (éxito) y el número de resultados posibles:

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2. Historia:

La probabilidad surge debido al deseo del ser humano por conocer la certeza

de los eventos que sucederán en el futuro.

Según Amanda Dure, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en

latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido,

unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era

una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las

circunstancias."1. Sin embargo en 1654, Pierre de Fermat y Blaise Pascal

plantearon la doctrina de las probabilidades. Basado en ello, en 1657, Christian

Huygens le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto de

probabilidades.

Años más tarde, Pierre Simon Laplase afirmó "Es notable que una ciencia que

comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el

objeto más importante del conocimiento humano".2.

Actualmente para la Real Academia Española la palabra “azar” es definida

como casualidad, caso fortuito y afirma que dicha expresión significa “sin

orden”.3

3. Métodos para calcular probabilidades

3.1. Regla de la adición o de la suma

Para eventos mutuamente excluyentes:

Decimos que dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes o incompatibles

cuando no tienen puntos en común, es decir, su intersección es vacía:

1 Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). pp. 54-55. ISBN 0-521-39459-72 «Historia de la Probabilidad». estadisticaparatodos.es.3 «azar», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001

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La regla de la suma dice que probabilidad de la suma de dos sucesos

incompatibles A y B es la suma de sus probabilidades, es decir:

Dónde:

El conectivo lógico “o” corresponde a la unión en la teoría de conjuntos.

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de

conjuntos.

Demostración. Designemos mediante na y nb a la cantidad de elementos de A

y B, respectivamente. Como A y B no tienen puntos en común, su unión A U B

tiene na + nb puntos, que son los casos favorables para A U B. Entonces:

Donde la última igualdad se obtiene también por la definición de probabilidad.

Decimos que los sucesos A1,…, Am son incompatibles dos a dos cuando todas

las parejas posibles de sucesos distintos son incompatibles, es decir, cuando:

Si A, B y C son tres sucesos incompatibles no es difícil establecer, teniendo en

cuenta el teorema anterior, que:

P(A U B U C) = P(A) + P (B) + P(C).

Más en general, si A1,…, An son sucesos incompatibles dos a dos, la regla de

la suma es la fórmula:

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Esta fórmula incluye a las dos anteriores en los casos en que n = 2 y n = 3, y se

demuestra mediante la aplicación sucesiva de la fórmula (1).

Ejemplo: Se tiene una baraja de cartas (52 cartas sin jokers), ¿Cuál es la

probabilidad de sacar un As o una reina? Sea A = sacar una reina y sea B

= sacar un as, entonces:

Por consiguiente:

Para eventos no mutuamente excluyentes:

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes, es decir, de modo que

ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la

siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

A y B son no excluyentes. Siendo:

P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A.

P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B.

P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Dónde:

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El conectivo lógico “o” corresponde a la unión en la teoría de conjuntos.

El conectivo “y” corresponde a la intersección en la teoría de conjuntos.

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de

conjuntos.

Ejemplo:

Se lanza un dado y si el resultado es par o divisible entre tres se ganaran

$3000. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

Lo que primero hacemos es definir los sucesos:

Sea A = resultado par: A = 2, 4, 6

Sea B = resultado divisible por 3: B = 3,6 . ¿Ambos sucesos tienen

intersección?

Luego:

3.2. Regla de la multiplicación:

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos

o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus

probabilidades individuales.

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados

al despejar

Si A y B son dependientes

Si A y B son independientes.

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Las relaciones y son casos especiales de la llamada Regla de la

multiplicación, la cual es útil para calcular probabilidades de intersecciones de

eventos con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea eventos tales que . Entonces:

Ejemplo:

Un lote contiene 100 ítems de los cuales 20 son defectuosos. Los ítems son

seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga

que dos ítems son seleccionados sin reemplazamiento (Significa que el objeto

que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad

de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos?

Solución

Sea los eventos:

Entonces dos ítems seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el

evento que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la

información dada se tiene que:

Así probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos es:

Ahora suponga que selecciona un tercer ítem, entonces la probabilidad de que

los tres ítems seleccionados sean defectuosos es:

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3.3. Regla de Laplace:

La regla de Laplace establece que:

La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.

La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) =

1.

Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los sucesos

elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ó son equiprobables, para

calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el

cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos

favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos

posibles).La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula por la siguiente

relación:

Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número

de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos

posibles. Este resultado se conoce como regla de Laplace.

Observa que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles

sean igualmente probables.

Ejemplo:

Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1) Un número par.

Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Casos favorables: 2, 4, 6.

2) Un múltiplo de tres.

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Casos favorables: 3, 6.

3) Mayor que 4.

Casos favorables: 5, 6.

4. Probabilidad Condicional

La probabilidad de que un evento ocurra cuando se sabe que ya ocurrio un

evento se llama probabilidad condicional y se denota por que por lo

general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta

probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad, definida

como

¿Es una función de probabilidad?

es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas

Axioma I

para todo evento .

Como

entonces dividiendo por se tiene los términos de la desigualdad se tiene

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Axioma II

Como

Axioma III

Si es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces

Como

como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces los

eventos son también mutuamente excluyentes y así

4.1. Sucesos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia

de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (u otros). Cuando

tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad

condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La

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expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento

B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

4.2. Sucesos independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia

de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento

(o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con

reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la

población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que

ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A y B, son independientes

si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A es independiente de B si

y sólo si:

Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos

textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas

definiciones no son estrictamente equivalentes.

Ejemplo:

Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad

¿son independientes?

Según vimos en el Ejemplo el espacio muestral es = xX, xY, XX, XY

Definimos los sucesos A = varón = xY, XY; B = enfermo = xY

A B = xY

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por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A B) = 0,25 p(A) p(B) NO son

independientes.

4.3. Sucesos mutuamente excluyentes

Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento

sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías

científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado,

entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una

variedad de disciplinas.

Fórmula

La fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos

mutuamente excluyentes es P(A U B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la

fórmula es "Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la

probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la probabilidad del evento A

más la probabilidad del evento B".

5. Técnicas de conteo

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción

puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden

realizarse secuencialmente de n1n2 maneras diferentes.

Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a

realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras

diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,...,

y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r

acciones se pueden realizar de n1n2...nr maneras diferentes.

P(A) = n/N= número de maneras en que puede ocurrir A/número de maneras

en q puede ocurrir el experimento

El análisis combinatorio estudia los procedimientos y estrategias para contar

las posibles agrupaciones de los elementos de un conjunto, permitiendo

determinar el número de posibilidades lógicas que cabe esperar al realizar

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algún experimento, sin necesidad de enumerarlas; es una forma abreviada de

contar que se resume en unas cuantas técnicas basadas en procedimientos y

fórmulas recurrentes.

Ejemplo:

Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras

que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes

(1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras

diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden caer ambos dados

simultáneamente es: 66 = 36

5.1. Principio aditivo

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción

puede realizarse de n2 maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas

acciones conjuntamente, entonces n1 o n2 pueden realizarse alternativamente

de n1 + n2 maneras diferentes.

Este principio aditivo se generaliza para cualquier número de acciones

alternativas a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1

maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras

diferentes ,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras

diferentes, entonces las r acciones alternativas se pueden realizar de n1+ n2

+...+ nr maneras diferentes.

También se puede hacer un esquema representativo del principio aditivo,

aunque éste no sea un diagrama de árbol propiamente dicho. Todas las

posibles ramas parten de un único nodo; algunas de ellas corresponden al

número de maneras en que puede realizarse una primera acción, otras

corresponden al número de maneras en que se puede realizar una segunda

acción alternativa, ... y así sucesivamente. El total de ramas es precisamente el

número de maneras en las que se pueden llevar a cabo las distintas acciones

alternativas.

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Es muy sencillo distinguir cuándo hacer uso del principio multiplicativo y cuándo

del aditivo: Si se trata de una secuencia de acciones, deberemos usar el

principio multiplicativo. Si se trata de una sola acción que presenta distintas

alternativas de realización, deberemos usar el principio aditivo.

Ejemplo:

Para viajar de México a Ensenada se puede optar por avión, autobús o tren;

existen tres rutas para el avión, cuatro para el autobús y dos para el tren.

¿Cuántas rutas hay para viajar?

Los tres medios alternativos de transporte son disyuntivas a elegir; al optar por

una de ellas, las otras dos quedan excluidas; por lo tanto es aplicable el

principio aditivo. El número de maneras diferentes en que podemos viajar de

México a Ensenada son:

3 + 4 + 2 = 9

.

5.2. Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar todas

las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o

independientes.

El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a

efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se

pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros

nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se

desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse

esa segunda acción, considerando la manera en que se realiza la primera. Y

así, sucesivamente.

Ejemplo:

Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces

consecutivas y observar, cada vez, la cara que queda hacia arriba.

La primera vez que se lanza la moneda, la cara que queda hacia arriba puede

ser águila o sol; la segunda vez que se lanza, también la cara que queda hacia

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arriba puede ser águila o sol, sin importar lo que haya caído la primera vez; lo

mismo puede ocurrir la tercera vez que se lanza la moneda. Entonces, el

diagrama de árbol correspondiente es:

El número de maneras en que puede caer la moneda tres veces consecutivas

es:

222 = 8

Entonces, el diagrama de árbol correspondiente es:

5.3. Permutaciones

Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se

pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los

mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se

colocan éstos. Notación:

Pn Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n

objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto

se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se

puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del n-ésimo objeto

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sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental

del conteo se tiene:

Pn =(n) (n-1) (n-2) ...3 x2x1 , que nos conduce a la definición de factorial: Pn =

n!

5.3.1. Permutaciones Circulares.

Se llaman permutaciones circulares de n objetos a las diferentes maneras en

que se pueden colocar esos n objetos alrededor de un círculo; en este tipo de

permutaciones, lo que importa son las posiciones relativas de los objetos con

respecto a ellos mismos y no las posiciones absolutas de los objetos en el

círculo. Notación: PCn.

Existen n permutaciones lineales que, al ser colocadas en círculo, conducen a

una misma permutación circular, porque cada objeto queda en la misma

posición relativa respecto a los (n - 1) objetos restantes; de manera que por

cada permutación circular hay n permutaciones lineales equivalentes.

Entonces, para calcular el número de permutaciones circulares de n objetos, se

divide el número de permutaciones lineales de n objetos entre las n

permutaciones equivalentes: PCn= (Pn / n)= (n !/ n)=( n -1) !

5.3.2. Permutaciones con Grupos de Objetos Iguales.

Se llaman permutaciones de objetos, con r grupos de objetos iguales a las

diferentes maneras distinguibles en que se pueden ordenar esos n objetos, de

manera que los n1 objetos iguales entre sí, los n2 objetos iguales entre sí,..., y

los nr objetos iguales entre sí, al permutarse entre ellos por grupo, no pueden

distinguirse unos de otros. Notación:

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Existen n1 permutaciones lineales que conducen a una sola permutación

distinguible, porque las permutaciones de los n1 objetos iguales no son

distinguibles entre sí; existen n2 permutaciones lineales que conducen a una

sola permutación distinguible, porque las permutaciones de los n2 objetos

iguales no son distinguibles entre sí; ... y existen nr permutaciones lineales que

conducen a una sola permutación distinguible, porque las permutaciones de los

nr objetos iguales no son distinguibles entre sí. De manera que por cada

permutación distinguible hay n1permutaciones lineales equivalentes, por cada

permutación distinguible hay n2 permutaciones lineales equivalentes,..., y por

cada permutación distinguible hay nr permutaciones lineales equivalentes.

Entonces, para calcular el número de permutaciones distinguibles de n objetos,

se divide el número de permutaciones lineales de n objetos entre las n1!

permutaciones equivalentes, entre las n2! permutaciones equivalentes,..., y

entre las nr! permutaciones equivalentes:

Pn (n1, n2 ,...,nr) = n! / n1!n2!...nr!

6. Teoremas de probabilidad

6.1. teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un

suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes

es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos

permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si

conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen

tiempo.

La fórmula para calcular esta probabilidad es:

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Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que

ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las

probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A

(probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la

probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que

contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el

100%).

Ejemplo:

Al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un

sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el

100%

Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema

completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En

este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

Ejemplo 1:

En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades

de ser elegidas:

a) Amarilla: probabilidad del 50%.

b) Verde: probabilidad del 30%

c) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos.

Así, si la papeleta elegida es:

a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.

b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%

c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.

Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que

participes?:

1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman

100%

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2.- Aplicamos la fórmula:

Luego,

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

Ejemplo 2:

Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del 60%

b) Juan, con una probabilidad del 30%

c) Luis, con una probabilidad del 10%

En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el

sueldo es la siguiente:

a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.

b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.

c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.

En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

1.- Los tres candidatos forman un sistema completo

2.- Aplicamos la fórmula:

P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15

Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.

6.2. Teorema de Bayes

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura

permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un

experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la

ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se

parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento

(probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias

del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

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Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad

condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) = P(Ai) P(B|Ai) y

en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) +

P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa

al:

Ejemplo 1:

Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B

visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total,

cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la

producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de

que sea del tipo B?

Solución

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por

lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento

condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).

Los datos que se tienen son :

P(A) = 0.75 P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25 P(F | B) = 0.98

De acuerdo al Teorema de Bayes:

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Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al

aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la

probabilidad condicional establece que . De esta forma

podemos ver que la Probabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También

podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y

del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema

de Bayes, Veamos:

Ejemplo 2:

Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las

que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la

C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la

B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos

por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un

artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de

que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto

tenemos que:

P(A) = 0.5 P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3 P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2 P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa

que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución

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solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición

esta característica. Por lo tanto:

Ejemplo 3:

A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son

mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son

especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en

computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H: Sea un hombre

M: Sea una mujer

E: La persona sea especialista en computación

Tenemos que:

Por lo tanto:

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CONCLUSION:

Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un

soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.

Existen diversos métodos que ayudan a comprender el azar y es importante

conocerlos ya que su uso agiliza la toma de decisiones acertadas.

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7. WEBGRAFIA.-

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad#cite_ref-1

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-27-est.htm

Estuardo Morales, “Estadística y Probabilidades” pag 58 Unidad 2

http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/pdf/Estadistica%20y%20Probabilidad.pdf

http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/100.HTM

http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_18.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/

cont_216_58.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/5.html

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