UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLGICA DEL CONO SUR DE LIMA

Carrera de Administracin de Empresas

INVESTIGACION OPERATIVA

Tema:Programacin Lineal

Docente: Lic. Mario Ninaquispe Soto

Integrantes: Cobos Caldas, Diego Giraldez Coro, Jennyfer Salcedo Portocarrero, Yessenia

Lima, septiembre de 2014.Programacin linealEl desarrollo de la programacin lineal ha sido clasificado como uno de los avances cientficos ms importantes de mediados del siglo xx. Su efecto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de dlares a muchas compaas o negocios, incluso empresas medianas, en los distintos pases industrializados del mundo; su aplicacin a otros sectores de la sociedad se ha ampliado con rapidez. Una proporcin muy grande de los programas cientficos en computadoras est dedicada al uso de la programacin lineal.

La programacin lineal es un proceso de optimizacin. Para demostrar cmo se resuelven problemas en la administracin de operaciones por medio de la programacin lineal, es preciso explicar primero varias caractersticas comunes de todos los modelos de programacin lineal y las suposiciones matemticas que se aplican a ellos:

Funcin objetivoUna expresin en el modelo de programacin lineal que enuncia matemticamente lo que se intenta maximizar (por ejemplo, las utilidades o el valor presente) o minimizar (por ejemplo, los costos o el desperdicio).

Variables de decisin

Las variables que representan las opciones que estn bajo el control de la persona que toma las decisiones.

RestriccionesLas limitaciones que restringen las opciones permisibles para las variables de decisin.

Regin factibleRegin que representa todas las combinaciones permisibles de las variables de decisin en un modelo de programacin lineal.

ParmetroUn valor que la persona a cargo de tomar la decisin no puede controlar y que no cambia cuando se implementa la solucin.

CertidumbrePalabra que se utiliza para describir que un hecho se conoce sin lugar a duda.

LinealidadCaracterstica del modelo de programacin lineal que implica proporcionalidad y aditividad; no puede haber productos ni potencias de las variables de decisin.

No negatividadSuposicin de que las variables de decisin deben ser positivas o cero.

EJEMPLO DE UN PROBLEMA

Giapetto s Woodearving inc., manufactura dos juguetes de madera soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dlares y requiere 10 dorares de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 14 dlares. Un tren se vende en 21 dlares y utiliza 9 dorales su valor en materia prima .todos los trenes fabricados aumentan la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 10 dlares. La fabricacin de soldados y trenes de madera requiere dos tipos de mano de obra especializada: carpintera y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo de acabado y una hora de carpintera. Un tren requiere una hora de carpintera. Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material necesario, pero solo 100 horas de trabajo de acabado y 80 de carpintera. La demanda de trenes es ilimitada pero se venden cuando mucho 40 soldados por semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos-costos). Disee un modelo matemtico para la situacin de Giapetto que se use para maximizar las utilidades semanales de la empresa. SOLUCION. Al desarrollar el modelo para Giapetto se exploran las caractersticas que comparten todos los problemas de programacin lineal.

Variables de decisin. Se empieza por definir las variables de decisin pertinentes. En cualquier modelo de programacin lineal, las variables de decisin deben describir por completo las decisiones que se tienen que tomar (en este caso, Giapetto). Evidentemente, Giapetto debe decidir cuntos soldados y trenes se debe fabricar cada semana. Sin olvidar lo anterior, se defineX1= cantidad de soldados fabricados cada semanaX2= cantidad de trenes fabricados a la semana

Funcin objetivo. En cualquier problema de programacin lineal, el que toma las decisiones desea maximizar (por lo regular, los ingresos o las utilidades) o reducir al mnimo (casi siempre, los costos) algunas funciones de las variables de decisin. La funcin que se desea maximizar o minimizar recibe el nombre de funcin objetivo. En lo que se refiere al problema de Giapetto, se observa que los costos fijos (como la renta o los seguros) no dependen de los variables X1 y X2. Sera una tontera que Giapetto fabricara ms soldados de los que pueden venderse, as que se supone que todos los juguetes producidos se vendern. Entonces,

Ingresos por semana=ingresos por semana proporcionados por los soldados+ingresos por semana proporcionados por los trenes= (dlares/soldado) (soldados/semana)+(dlares/tren)(trenes/semana)=27x1 + 21x2

Asimismo, Costos de la materia prima a la semana= 10x1 + 9x2Otros costos variables a la semana= 14x1 + 10x2Entonces, Giapetto quiere maximizar (27x1 + 21x2)-(10x1 + 9x2)-(14x1 + 10x2)=3x1 + 2x2Otra manera de ver que Giapetto quiere maximizar 3x1 + 2x2 es observar que Ingresos semanales=contribucin semanal a la utilidad por parte de los soldados - costos no fijos semanales + Contribucin semanal a la utilidad por parte de los trenes = (contribucin a las utilidades/soldado) (soldados/semana) + (Contribucin a las utilidades/tren) (trenes/semana)Tambin, Contribucin a las utilidades/ soldado = 27-10-14=3Contribucin a las utilidades/ tren= 21-9-10=2

Entonces, al igual que antes, se obtiene

Ingresos semanales- costos no fijos semanales=3x1 + 2x2Por consiguiente, el objetivo de Giapetto es escoger X1 y X2 para maximizar 3X1 + 2X2. Se utiliza la variable Z para denotar el valor de la funcin objetivo de cualquier PL. La funcin objetivo de Giapetto esMaximizar z=3X1 + 2X2(De aqu en adelante se abrevia maximizar con Max y minimiza con min). El coeficiente de una variable en la funcin objetivo se denomina coeficiente de la variable de la funcin objetivo. Por ejemplo, el coeficiente de la funcin objetivo para x1 es 3, y el coeficiente de la funcin objetivo para X2 es 2. En este ejemplo (y en muchos otros problemas), el coeficiente de la funcin objetivo para cada variable es simplemente la contribucin de la variable a la utilidad de la compaa.Restriccin. A medida que X1 y X2 se incrementan, la funcin objetivo de Giapetto se hace ms grande. Esto quiere decir que si Giapetto fuera libre para escoger cualquier valor para X1 y X2, la compaa podra tener unas utilidades arbitrariamente grandes al escoger X1 y X2, muy grandes. Desafortunadamente, los valores de X1 y X2, estn controlados por las siguientes tres restricciones (con frecuencia llamadas limitaciones):Restriccin 1. Se pueden usar cada semana no ms de 100 horas de tiempo de acabado.Restriccin 2. Cada semana se pueden usar no ms de 80 horas de tiempo de carpintera.Restriccin 3. Debido a la demanda limitada, cuando mucho se deben producir cada semana 40 soldados.Se supone que la cantidad de materia prima en existencia es ilimitada, as que no hay restriccin alguna relacionada con esto.El siguiente paso en el planteamiento de un modelo matemtico para el problema de Giapetto es expresar las restricciones 1 a 3 en trminos de las variables de decisin X1 y X2. Para expresar la restriccin de 1 de acuerdo con X1 y X2, obsrvese queTotal de hrs de acabado/semana= (horas de acabado/soldado) (soldados fabricados/semana)+ (Horas de acabado/tren) (trenes fabricados/semana) =2(X1)+1(X2)=2X1 + X2Entonces, la restriccin 1 se expresa como2X1 + X2 100Obsrvese que las unidades de todos los trminos en (2) son horas de acabado por semana. Para que una restriccin sea razonable, todos los trminos de la restriccin deben tener las mismas unidades. De lo contrario, uno est sumando peras con manzanas, por lo que la restriccin no tendra significado alguno.Para expresar la restriccin 2 en trminos de X1 y X2, ntese queHoras totales de carpintera/semana= (horas de carpintera/soldado) (trenes/semana)+ (Horas de carpintera/tren)(trenes fabricados/semana)= 1(X1) + 1(X2)=X1 + X2Entonces, la restriccin 2 se expresa como2X1 + X2 80 Obsrvese una vez que las unidades de todos los trminos en (3) son las mismas (en este caso, horas de carpintera a la semana).Por ltimo, el hecho de que cuando mucho se venden a la semana (40) soldados, se expresa limitando la produccin semanal de soldados a mximo 40 de ellos. As se tiene la siguiente restriccin:X1 40Por consiguiente, las ecuaciones (2) a (4) expresan las restricciones 1 a 3 en trminos de las variables de decisin; se designan con el nombre de restricciones para el problema de programacin lineal de Giapetto. Los coeficientes tecnolgicos. La razn del nombre es que los coeficientes tecnolgicos reflejan a menudo las tecnologas utilizadas para producir distintos productos. Por ejemplo, el coeficiente tecnolgico de X2 en (3) es 1, lo cual indica que un soldado requiere de una hora de carpintera. El nmero en el segundo miembro de cada restriccin se denomina segundo miembro de la restriccin (smr). Con frecuencia el smr representa la cantidad de un recurso que est disponible.Restricciones de signo. S que dar respuesta a las preguntas siguientes para cada variable de decisin con el fin de completar la formulacin de un problema de programacin lineal: la variable de decisin puede asumir solo valores no negativos, o bien, la variable de decisin puede asumir valores tanto positivos como negativos?Si una variable de decisin X10. Si una variable Xi puede asumir tanto valores positivos como negativos (o cero), entonces se dice que Xi no tiene restriccin de signo (se abrevia con frecuencia (nrs). Por lo que se refiere al problema de Giapetto, es evidente que X1 0 y X20. Pero algunas variables podran ser nrs en otros problemas. Por ejemplo, si Xi representa un saldo en efectivo de la empresa, entonces Xi podra ser considerada negativa si la empresa debe ms dinero del que tiene a mano. En este caso sera conveniente clasificar Xi como nrs. Otros usos de la variable nrs se tratan en la seccin 4.12.Si se combinan las restricciones de signo X1 0 y X20 con la funcin objetivo (1) y las restricciones (2) a (4), se obtiene el modelo de optimizacin siguiente:max Z=3x1+2x2 (Funcin objetivo)(1)Sujeto a (s.a)2X1 + X2100 (Restriccin de acabado)(2)X1 + X280 (Restriccin de carpintera)(3)X1 40 (Restriccin por la demanda de soldados)(4)X1 0 (Restriccin de signo)+(5) x20 (Restriccin de signo)(6)sujeto a (s.a) quiere decir que los valores de las variables de decisin X1 y X2 deben satisfacer todas las limitaciones y todas las restricciones de signo.ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDADLa dualidad ayuda a reflexionar sobre la naturaleza de la programacin lineal, brinda el concepto til de los precios sobra y ayuda a entender el anlisis de sensibilidad. Es una base necesaria para los estudiantes que planean tomar cursos avanzados de programacin lineal y no lineal.INTRODUCCIN GRAFICA AL ANALISIS DE SENSIBILIDADEl anlisis de sensibilidad tiene que ver con el efecto en la solucin ptima del PL. Debido a los cambios en los parmetros del mismo PL.Reconsidere el problema de Giapetto de la seccin 3.1:Max z= 3X1 + 2X2S.a 2x1 + X2 100 (Restriccin del acabado) X1 + X2 80 (Restriccin de la carpintera) X1 40 (Restriccin de la demanda) X1, X2 0DondeX1= cantidad de soldados fabricados a las semanaX2= cantidad de trenes fabricados a la semana

La solucin ptima de este problema es z=180, x1=20, x2=60 (punto B en la figura 1), y las variables bsicas son x1, x2 y s3 (la variable de holgura para la restriccin de la demanda). Qu tanto se modificara la solucin ptima si hay cambios en los coeficientes de la funcin objetivo del problema o en los lados derechos?

ANALISIS GRAFICO DEL EFECTO DE UN CAMBIO EN EL COEFICIENTE DE UNA FUNCION OBJETIVO

Si la contribucin a la utilidad por parte de un soldado se incrementara de manera suficiente, entonces seria ptimo para Giapetto fabricar ms soldados (S3 se volvera no bsica). De igual manera, si la contribucin a la utilidad por parte de un soldado disminuyera de manera suficiente, lo ptimo para Giapetto seria producir solo trenes (x1 seria ahora no bsica).

X2

Restriccin del acabado Pendiente=-2

100

A 80

Restriccin de la demanda

B 60

Recta de iso-utilidades Z=120Pendiente=-3/2

40

D

Restriccin la carpinteraPendiente =-1

20

C

X1

80604020

Enseguida se muestra como determinar los valores de la contribucin a la utilidad por parte de los soldados para los cuales la base actual ptima sigue siendo ptima. Sea c1 la contribucin a la utilidad por parte de cada soldado. Para qu valores de c1 la base actual continua siendo optima?

En la actualidad c1 =3, y cada recta de iso-utilidades tiene la forma 3x1 + 2x2 =constante, o bien, x2=-3x/2 + constante/2 y todas las rectas de iso-utilidades tienen una pendiente de -3/2. en la figura 1 se observa que si al cambiar c1 las rectas de iso-utilidades son ms planas que la restriccin de carpintera, entonces la solucin ptima pasara desde la solucin ptima actual(punto B) a una nueva solucin ptima (punto A). Si la utilidad por parte de cada soldado es c1, entonces la pendiente de cada recta de so utilidades ser -c1/2. Puesto que la pendiente de la restriccin de la carpintera es -1, las rectas de iso-utilidades sern ms planas que dicha restriccin si -c1/2>-1, es decir, c1120, entonces el punto donde las restricciones de acabado y carpintera son activas quedara en la parte de la restriccin en la carpintera abajo del punto D. Note que se usan en el punto D, 2(40)+40=120 horas de acabado. En esta regin, x1>40, y no se cumple la restriccin de la demanda para los soldados. Por lo tanto, para b1>120, la base ya no ser ptima. De igual manera, si b1