PROGRAMACIÓN LINEAL

Objetivos Conocer la utilidad de la

programación lineal en problemas de optimización.

Dominar el lenguaje propio de la programación lineal.

Encontrar y representar regiones factibles y soluciones óptimas mediante el método gráfico.

Utilizar el comando solver para la resolución de problemas de programación lineal.

Conocimientos Previos

Las clases estarán dirigidas a alumnos correspondientes al 5to año de educación media o 1er año universitario con orientación en Administración de empresas, que contengan los siguientes saberes previos:

Representación gráfica de rectas y de desigualdades en el plano cartesiano.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante regla de Cramer.

CLASE 1

CLASE 2

Introducción a la programación lineal, método

gráfico de optimización

Método del punto esquina, comando

Solver.

Contenidos:

Introducción a la Programación Lineal

Lenguaje de Programación

Situación Inicial

Método Gráfico

CLASE 1

¿De dónde proviene el término Programación

Lineal?La parte de “programación” del nombre proviene de la terminología militar de la era de la segunda guerra mundial. Cada programa era una solución a un problema de asignación de recursos, como por ejemplo ¿Qué programa de distribución de combustible contribuirá mejor a la victoria global?La programación entendida de esta manera es una gran herramienta de investigación de operaciones y el término “lineal” hace referencia a que un problema se pueda describir utilizando ecuaciones y desigualdades lineales.

¿Para que sirve la programación lineal?

Lenguaje de ProgramaciónFunción Objetivo

Restricciones

Soluciones Factibles

Solución Óptima

Es la función por maximizar o minimizar

Son las limitaciones existentes sobre las variables. Constituyen un sistema de desigualdades.

Son las infinitas soluciones para el sistema de restricciones.

Es una de las soluciones factibles que le da valor máximo o mínimo a la función objetivo.

... Recordemos un poco …

¿Cuál de los siguientes regiones

coloreadas en el gráfico corresponde a

la desigualdad ?15 3

x y

¿Cuál es la opción correcta?

Región Celeste

Región Violeta

INCORRECTO!!!

Debés revisar algunos conceptos previos antes de continuar…Volvé a pensarlo…

CONTINUAR

MUY BIEN!!!

Ya estás en condiciones de comenzar a ver de qué se trata la programación lineal …

SITUACIÓN INICIALUn fabricante produce dos tipos de corbatas, Old Smokey y Blaze Away. Para su producción, las corbatas requieren del uso de dos máquinas de coser A y B. El número de horas necesarias para ambas esta indicado en la siguiente tabla:

Máquina A

Máquina B

Old Smokey

2 h 4 h

Blaze Away

4 h 2 h

Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos son de $4 y $6 respectivamente. ¿Cuántas corbatas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Planteo del problema

Función Objetivo

Restricciones

4 6Z x y

2 4 24

4 2 24

0

0

x y

x y

x

y

Es la función de utilidades que debo maximizar

Limitaciones horarias de las máquinas A y B

Condiciones de no negatividad

Pasos a seguir para encontrar la cantidad de artículos que deben venderse, de ambos modelos, para que la utilidad sea máxima:

1. Graficar las desigualdades que indican las restricciones del problema en el plano cartesiano.

2. Indicar la intersección de dichas regiones, o sea, la solución al sistema de inecuaciones planteado (Región de soluciones factibles).

3. Encontrar en el interior de esa región, cuál es el punto para en el cual la función de utilidades (Función objetivo) es máxima.

¿Cómo encontramos la región de soluciones factibles?

A continuación graficaremos paso a paso las restricciones del problema.

Condición de no negatividad: 0, 0x y

Región excluida

Solución

Recta incluida en la solución

Primera Restricción: 2 4 24x y

Recta excluida de la solución

Segunda Restricción:4 2 24x y

Región de soluciones factibles

Para encontrar la solución

óptima podemos utilizar

Método gráfico

Método del punto esquina

Comando Solver

Método Gráfico

La recta se llama recta de isoutilidad debido a que todos sus puntos tienen la misma utilidad, su pendiente es -2/3 y su ordenada al origen varía según el valor de la utilidad Z. El método gráfico consiste en buscar cuál de estas rectas de isoutilidad cumple con dos condiciones:

Tiene puntos en común con la región de soluciones factibles.

Tiene ordenada al origen máxima.

24 6

3 6

ZZ x y y x

Buscá la recta de isoutilidad máxima en

Excel dándole diferentes valores a la variable Z

(Utilidad):

Microsoft Excel

¿En qué punto de la región de soluciones factibles la utilidad es máxima?

A

D

B

Ninguno de los anteriores

C

INCORRECTO!!!

Volvé a excel e intentalo de nuevo …

Microsoft ExcelVOLVER

MUY BIEN!!!

Veamos entonces el gráfico que contiene a la región de soluciones factibles y a la recta de utilidad máxima …

Recta de Utilidad Máxima

AB

CD

Cualquier recta de isoutilidad con una utilidad mayor no contendrá puntos en la región factible.

Encontremos las coordenadas del punto B …

Resolvé el sistema de ecuaciones

en excel mediante la regla de Cramer utilizando determinantes

2 4 24

4 2 24

x y

x y

Microsoft Excel

Interpretemos el resultado …¿Cuál de las siguientes conclusiones sería la correcta?

Cuando se produzcan 40 unidades de cada producto la utilidad será máxima y será de $4 por unidad.

Cuando se produzcan 4 unidades de corbatas Old Smokey y 4 unidades de corbatas Blaze Away la utilidad será máxima y será de $40.

Cuando se produzcan 40 unidades de cada marca a un precio unitario de $4 la utilidad será máxima.

INCORRECTO!!!

Volvé a pensarlo …

VOLVER

MUY BIEN!!!

B

Las ganancias serán

máximas y serán de $40

cuando se produzcan 4 corbatas Old Smokey y 4

corbatas Blaze Away.

FIN

CLASE 2

Contenidos:

Método del punto esquina.

Minimización en una región factible no acotada.

Comando Solver.

Método del Punto Esquina

Como pudimos observar en el método gráfico la recta de utilidad máxima encontrada contiene a un vértice de la región factible (punto esquina). Por lo tanto podemos deducir que:

Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía, tiene un valor máximo (mínimo) que puede hallarse en un vértice (punto extremo, esquina)

Para mostrarlo recurriremos a la situación problemática de la clase anterior, te invito a Excel a buscar el valor máximo en los cuatro puntos esquina: A, B, C y D.

Microsoft Excel

A

D

B

Ninguno de los anteriores

C

¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su máximo valor?

INCORRECTO!!!

Volvé a pensarlo …

VOLVER

MUY BIEN!!!

BEl resultado

coincide con el obtenido

en la clase anterior.

Veamos otro ejemplo …

… Pero esta vez en una región factible no acotada.

Es decir que la región no estará encerrada por una figura como en el ejemplo anterior …

Costo MínimoUn agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 la bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa y contiene 2 unidades de cada nutrimento. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

A B C Costo / Bolsa

Crece Rápido 3 u 5 u 1 u $ 8

Crece Fácil 2 u 2 u 2 u $ 6

Unidades Requeridas

160 200 80

Planteo del Problema

8 6C x y

3 2 160

5 2 200

2 80

0

0

x y

x y

x y

x

y

Es la función de costo que debo minimizar

Condiciones de no negatividad

Función Objetivo

Restricciones

Región de Soluciones Factibles

5 2 200x y

2 80x y

3 2 160x y

A

B

C

D

Región de soluciones factibles

Para poder aplicar el método del punto esquina debemos encontrar todos los vértices, observando el gráfico:

A = (0,100) y D = (80,0)

Te invito a Excel a resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la regla de Cramer:

Punto B

Punto C

3 2 160

5 2 200

x y

x y

3 2 160

2 80

x y

x y

Microsoft Excel

Encontremos los puntos Esquina …

Ahora vamos nuevamente a Excel a reemplazar los cuatro puntos esquina en la función objetivo:

A = (0,100) B = (20,50) C = (40,20) y D = (80,0)

Microsoft Excel

A

D

B

Ninguno de los anteriores

C

¿En cuál de los puntos la función objetivo encuentra su mínimo valor?

INCORRECTO!!!

Volvé a Excel e intentalo de nuevo …

Microsoft ExcelVOLVER

MUY BIEN!!!

Veamos entonces el gráfico que contiene a la región de soluciones factibles y a la recta de costo mínimo …

A

B

C

D

Recta de

isocosto mínimo

Respuesta al Problema de Minimización de Costos

El agricultor deberá comprar 40 bolsas de la marca “Crece Rápido” y 20 bolsas de la

marca “Crece Fácil” para

lograr minimizar los costos en

$440.

Otro método para resolver problemas de programación lineal

utilizando Excel

“Comando Solver”

Microsoft Excel

Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se muestra en la siguiente tabla:

La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se vende en $21, $24 y $36, respectivamente. Suponiendo que todos los mubles pueden venderse determine, utilizando el método simplex, la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo?

Madera Plástico Aluminio

Silla 1 u 1 u 2 u

Mecedora 1 u 1 u 3 u

Sillón 1 u 2 u 5 u

Situación a Resolver

Planteo del problemaFunción Objetivo

Restricciones

21 24 36Z x y z

400

2 500

2 3 5 1450

0

0

x y z

x y z

x y z

x

y

Vamos a Excel a

ingresar estos datos

¿Cuáles de los siguientes resultados es el correcto?

) 200 300 100 540b x y z Z

) 0 300 100 10.800c x y z Z

) 300 100 100 0a x y z Z

INCORRECTO!!!

Volvé a Excel e intentalo de nuevo …

Microsoft ExcelVOLVER

MUY BIEN!!!

Has alcanzado los objetivos de esta

unidad!!!!

Integración y Fijación

Una compañía de cargas maneja envíos para dos compañías A y B. La empresa A envía cajas que pesan 3 kg cada una y tienen un volumen de 2 m3, mientras qie la B envía cajas de 1 m3 con un peso de 5 kg. Tanto A como B hacen envíos a los mismos destinos y el costo de transporte de la caja de A es $ 0,75 y para B de $ 0,50. La compañía transportadora tiene un camión con espacio de carga para 2.400 m3 y capacidad máxima de 9.200 kg. En un viaje, ¿Cuántas cajas de cada empresa debe transportar el camión para que la compañía de transportes obtenga el máximo de ingresos? ¿Cuál es este máximo?

Resolveremos el mismo problema de optimización mediante todos los métodos aprendidos …

¿Cuál de los siguientes planteos es correcto?

Función Objetivo:

0,75 0,50

Restricciones:

2 2400

3 5 9200

Z x y

x y

x y

Función Objetivo:

2400 9200

Restricciones:

2 3 0,75

5 0,50

Z x y

x y

x y

INCORRECTO!!!

Volvé a leer el problema y pensá bien cuáles son las variables principales …

Volvé a pensarlo

¡¡¡Muy Bien!!!!

Ahora debemos graficar el problema para ver que tipo de región de soluciones factibles obtenemos

Región de soluciones factibles

¿Es una región acotada? SI NO

INCORRECTO!!!

Recordá que …

Ahora volvé a pensarlo …

¡¡¡Muy Bien!!!!

Ahora debemos encontrar los cuatro vértices de esa región …

B = (0,1840)

A = (0,0)

C = ¿?

D = (1200,0)

Puntos Esquina

Coordenadas del punto C

Vamos a Excel a resolver el correspondiente sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas de C y luego a buscar en cuál de los puntos es máxima la función objetivo …

Microsoft Excel

Ahora verifiquemos si esa solución coincide con la que nos brinda el comando Solver …

Microsoft Excel

¿Cuál de las siguientes respuestas es correcta?

El camión debe transportar 1100 cajas de la empresa A y 1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean máximos, y el máximo es de $ 400.

El ingreso máximo es de 1100 + 400 + 1600 = 3100.

El camión debe transportar 400 cajas de la empresa A y 1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean máximos, y el máximo es de $ 1100.

Ninguna de las anteriores.

INCORRECTO!!!

Volvé a pensarlo …

VOLVER

¡¡¡Muy Bien!!!¡¡Has finalizado las clases de

Programación Lineal con éxito, Felicitaciones!!

FIN