Programación lineal basado FLUJO DE POTENCIA ÓPTIMA Utilizando sensibilidades de segundo orden

Resumen - Para la tracción de trenes eléctricos en Suecia, un sistema de 130 kV de transmisión conectada en paralelo al contacto líneas se está construyendo. Dentro de este sistema, la generación cuesta sólo difiere ligeramente entre los diferentes nodos con inyecciones de potencia. Con el fin de optimizar el flujo de potencia en el sistema, un prolongado óptimo de la energía algoritmo de flujo basado en programación lineal sucesiva, Se ha desarrollado. Para mejorar la convergencia, un método basado en un orden de aproximación de la sensibilidad segundo pérdidas de potencia activa del sistema total se aplica. Numérico ejemplos se dan para mostrar las propiedades de convergencia mejoradas.

I. INTRODUCCIÓN

El flujo de potencia óptimo (OPP) es una herramienta valiosa para reducir al mínimo el costo de operar un sistema de energía eléctrica. Uno de los métodos más eficientes OPF se basa en sucesivas lineal programación (LP) [1, 2, 4, 8]. Sin embargo, cuando la generación funciones de coste son similares o idénticos, este método presenta convergencia muy lenta. Esto puede ser superado por un LP extendida basada en el método OPF descrito en este artículo. En Esencialmente, la extensión del método consiste en el uso sensibilidades de segundo orden para el cálculo del sistema de activo total las pérdidas de potencia.

Una gran variedad de métodos de solución se ha aplicado a la OPF problema [3]. Normalmente, el costo OPF minimización problema se subdivide en potencia activa y de tensión (o reactivo de potencia) optimizaciones. La optimización de la potencia activa separables problema se resuelve de manera eficiente mediante el uso de la OPF LP-basado [1, 2, 4, 8]. En general, el problema de optimización de tensión es más difícil de resolver ya que el objetivo es no separable. Varios algoritmos se utilizan para este problema, por ejemplo Newton métodos[7]. La aplicación exitosa de LP sucesivas sobre el voltaje problema de optimización, se utiliza en un programa de ordenador comercialmente disponibles [1].

En este trabajo, la potencia activa y problemas de tensión de optimización se resuelven de forma paralela. Sin embargo, es por supuesto posible resolver los sus problemas por separado. En el trabajo detrás de este documento, un sistema de potencia específica se estudia, a saber, una parte del sistema de tren eléctrico de alimentación en Suecia. La energía se alimenta al sistema de la red nacional a través de convertidores de frecuencia rotativos y estáticos y el sistema incluye recién construidos 130 líneas de transmisión kV que están conectados a la línea de contacto a través de transformadores. Con la presencia de la línea de transmisión, las inyecciones de potencia puede ser controlado para lograr un costo mínimo para la alimentación del tren. Además de esto, las magnitudes de voltaje

del convertidor puede ser controlado para reducir las pérdidas de la red de potencia activa. Las funciones de costes dependen de los diferentes precios de compra de electricidad y la eficiencia de conversión. En general, las curvas de costos no difieren mucho.

El OPF - método descrito en este artículo es de aplicación general. De este modo, en el siguiente, el generador de palabra se usa en lugar del convertidor de palabra para los dispositivos de inyección de potencia al sistema.

El esquema de este trabajo es la siguiente. En primer lugar, el método de LP-basado OPF se describe brevemente. Entonces, el uso de la sensibilidad de segundo orden está motivada. Posteriormente, el método extendido se describe con más detalle. finalmente, se dan ejemplos numéricos.

II. LP algoritmo basado en la OPF

El algoritmo de OPF LP basado en Linealización sucesiva de las funciones de coste y las limitaciones que han demostrado ser rápido y fiable [1, 2, 4,8]. En el problema general de OPF, varias categorías de las variables de control pueden existir. Ejemplos de variables de control son la potencia activa de los generadores, los voltajes de terminales para las unidades generadoras, de transferencia de energía en las líneas HVDC y la configuración de conmutadores y palancas de cambio de fase. En este trabajo, sólo potencia activa de generación de tensiones y de la terminal para los generadores se consideran como variables de control.

En la fig. 1, la estructura del algoritmo básico se muestra. Después de la configuración inicial de las variables de control (1), el problema se resuelve el flujo de carga (2). Basándose en los resultados de la problema de flujo de carga, las limitaciones funcionales se linealizó y se expresan como funciones de las variables de control (3).

El coste función para cada generador se linealiza (4), y por lo tanto un problema de PL es alcanzado. De la solución del problema de PL (5), valores actualizados de las variables de control se alcanzan (6). En base a estas variables de control nuevas, linealizaciones nuevas de las funciones de costo se realizan, seguido por una iteración nuevo LP a ser resuelto. El bucle con Linealización de funciones de costo y el problema de PL se llama iteración LP (7), y el bucle principal es la iteración OPF (8).

I I. DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN DE SENSIBILIDAD

En la formulación de flujo de carga convencional, existen tres diferentes tipos de nodos, la holgura del nodo, PV - nodos y PQ - nodos [5]. Supongamos que sólo la generación de energía activa en PV y nodos holgura puede ser controlado para lograr un funcionamiento óptimo. Todas las generaciones de potencia activa no se pueden cambiar de forma independiente, ya que el cambio en pérdidas de potencia activa no se conoce. El cambio en la generación de energía activa en el nodo holgura puede ser expreso como una función de generación cambiada en el PV - nodos, mediante el uso de la relación [2]:

En (1) el nodo 1 es el nodo de holgura y el nodo 2 ---> Ng son PV - nodos. Los coeficientes de sensibilidad α2, α3,………, αNg se calculan a partir de las ecuaciones del sistema linealizado. Los valores de los parámetros (α) están cerca de menos uno.

Un ejemplo se muestra en la fig. 2. La línea continua es la verdadera relación entre el nodo generado por la holgura de potencia activa y la generación de potencia activa en el nodo 2. La línea discontinua representa la relación lineal. Como se desprende de la figura, una disminución en la generación de energía activa en el nodo 2 causa un aumento en la potencia nodo holgura generado de acuerdo con la aproximación lineal. La función linealizado, sin embargo, difiere muy mucho de la relación real.

Esto puede causar divergencia o convergencia pobre del método, especialmente en el caso cuando las funciones de costo son iguales o casi iguales. La razón de esto es que las pérdidas del sistema de potencia activa a continuación, se vuelven más importantes en el problema de optimización.

Veamos por un momento suponemos que sólo hay dos generadores en el sistema - una en el nodo de holgura y uno en el PV - nodo. Además, suponemos que las dos funciones correspondientes costos se igualan, es decir, minimización de la pérdida es menor de preocupación. La variable de control sólo es la generación de energía activa en el PV - nodo. Con la aproximación lineal que se muestra en la fig. 2, es obvio que P (----) debe disminuir para reducir el coste total, ya que eldisminuir la Pg,2 provoca un aumento menor en Pg1; (α2 > -1 Por lo tanto, la generación total de energía activa disminuye cuando Pg2 disminuye. Repetidamente resolver problemas de programación lineal (5) en los bucles de iteración LP, cada uno con los límites de cambio máximo variable de control, los resultados finalmente en el poder Pg2 en su límite inferior. Linealización de nuevo a este valor después de realizar el cálculo de flujo de carga (2) los resultados en Pg2 , en el valor máximo después de los bucles de iteración, (si) la pendiente de α2 <1. Claramente, la relación entre linealizado cambios en las variables de control y la holgura de energía activa nodo no puede ser utilizado con éxito en este caso.

Cabe señalar que la línea continúa en la figura. 2 en el caso general no está explícitamente conocido. La forma en que se puede llegar es utilizar repetidas cálculos de flujo de carga. Cuando varias variables de control están presentes, la hipersuperficie resultante no puede ser dibujada. La idea básica presentada en este artículo es que la relación entre los cambios en las variables de control y el nodo de holgura de generación de energía activa puede ser exactamente aproximar con sensibilidades de segundo orden. A partir de esta aproximación de segundo orden, las relaciones lineales son repetidamente calculado durante el bucle de iteración LP (4); Normalmente, esto se traduce en convergencia altamente mejorado en el caso cuando las funciones de costo de generación son casi iguales.

IV. El método extendido en más detalle.

En el siguiente, el LP - algoritmo basado OPF utilizando sensibilidad de segundo orden, se describirá con más detalle. En aras de la integridad, la mayor parte del algoritmo se presentarán en una forma compacta. Las variables de control son la potencia del generador activo y generador de tensiones de terminales en la descripción aquí.La extensión se encuentra en la caja (4) en la figura. 1.

A. - Cálculo de la carga de flujo

Para el cálculo del flujo de carga (2), la formulación ordinaria con nodos holgura, PV y PQ se utiliza. La elección de holgura nodoes arbitraria, siempre que exista un generador conectado a ese nodo. En la presentación aquí, el nodo 1 es el nodo de holgura, los nodos 2 ---> Ng son PV - nodos y los nodos de Ng + 1 -> N son PQ - nodes. A full algoritmo de Newton - Raphson se utiliza ápice tensiones de nudo expresado en forma polar. Haciendo referencia a la figura 3, las siguientes ecuaciones de potencia activa y reactiva se puede derivar:

Las matrices G y B son partes real e imaginario y del nodo de la matriz entrada. Para nodos PV, potencia activa generación, P g, se especifica. El desajuste de potencia activa es la siguiente:

La demanda, Pd + j Qd, se conoce en todos los nodos. En cada nodo PQ, sólo las demandas de potencia activa y reactiva están presentes:

Las variables de estado para el sistema se define como:

y las variables de control del sistema son:

el conjunto de resolución de ecuaciones no lineales mediante el algoritmo de flujo de carga se puede escribir:

una aproximación de primer orden de la función F calculado en torno a la solución de (7) (es decir, F = 0)

Donde Fx y Fu son matrices Jacobian. Cuando la solución del problema de flujo de carga, el vector ∆u es cero y el vector de variable de estado se actualiza por la relación x(r +1) = x (r) - ∆ x (r) con ∆ x (r) = F x

-1 ∆ F . Tenga en cuenta que en algunos libros de texto, por ejemplo, [5], el flujo de carga Jacobiano matriz se define como – Fx , es decir, con signo opuesto como se define aquí.

B. Cálculo de la sensibilidad de segundo orden

El control y las variables de estado del cálculo de flujo de carga última se denotan ulf y Xlf, respectivamente. Los cambios son los siguientes:

las pérdidas totales del sistema de potencia activa puede expresarse como la suma de las inyecciones de potencia activa expresadas en (2):

Por el uso de un segundo orden de aproximación Taylor (10), la siguiente expresión para el cambio en pérdidas de potencia activa puede ser escrito con W (x, u) = Pf (x, u):

Por el uso de (8) con ∆F = 0, los cambios de estado de variables puede escribirse:

Notar que la matriz Jacobiana Fx ya se conoce por el flujo de carga anterior. Después de la sustitución de (12) en (11), el cambio en pérdidas totales del sistema se puede expresar como:

La fila-vector A y la matriz hessiana D están dadas por:

Cabe señalar que la fórmula pérdida (10) no es el único posible. Las pérdidas pueden e. g. alternativamente puede expresar:

a partir de un gran número de estudios numéricos, la fórmula de pérdida (10) ha demostrado ser la formulación más adecuada de las pérdidas de potencia activa y se utiliza así. la razón probable de esto es que una lineal (y no cuadrática) relación entre los incrementos variable de estado y control (12) se utiliza para evitar tensores. En (10) que en general las variables de estado más implicados que en (15).

C. Cálculo de la potencia del generador floja activa

Para ser capaz de calcular el coste marginal para el generador de holgura (4), la potencia holgura generador activo presente se necesita. La diferencia entre la suma de la potencia de los generadores de la carga de cálculo de flujo último, Plf g, k , y la suma de las potencias del generador presentes especificados activos, Pg, k, excepto la máquina holgura es el poder nodo activo holgura. Sin embargo, las pérdidas de potencia activa en el sistema, PF, se cambian a causa de las variables de control cambiado. Así, este cambió pérdidas de potencia activa, delta Pf, tiene que ser añadido que se traduce en la actualización de potencia activa total para el nodo de holgura:

Si por ejemplo un generador de tensión terminal se cambia, la potencia activa cambio las pérdidas, lo que provoca un poder holgura nodo cambiado generado.

D. - La derivación de las sensibilidades de primer orden de los de segundo orden:

En esta subsección, una relación lineal entre los cambios en la potencia del generador floja activa y variables adicionales de control se deriva:

Esta relación lineal se llega desde una relación lineal entre las pérdidas del sistema y las variables de control, véase la curva (c) en la figura. 4. Esto a su vez se calcula a partir de la aproximación de segundo orden, la curva (b). La relación (17) se utiliza en la próxima sub-sección en la formulación de la función objetivo de optimización, ya que la generación holgura es dependiente de los cambios de control de variables, por lo tanto asociados con un costo.

En la fig. 4, las pérdidas del sistema verdaderos activos de potencia se muestran como una función de un cambio en una variable de control, ulf k, la curva (a). El orden segunda función de sensibilidad (13) derivada en el punto ulf k , los resultados en la curva de trazos (b) en la figura. Alejándose del punto, las pérdidas del sistema se puede aproximar mediante esta sensibilidad de segundo orden. La curva (b) está explícitamente conocido cuando el vector A y la matriz D en (13) han sido calculado.En el problema de programación lineal, la función objetivo es lineal. De esta manera las sensibilidades de orden primeras para las pérdidas de potencia del sistema activo se calculan a partir de (13), usando la relación:

En (18) la sensibilidad vector K ΔPf ,Δu se subdivide en dos vectores, uno con respecto a cambios en las potencias activa y una con respecto a las variaciones de tensión del generador. Para un valor arbitrario de Delta U, la pendiente de la aproximación lineal alrededor de este punto se calcula utilizando (18). Fig. 4, la aproximación lineal calculada a partir de la aproximación de segundo orden se muestra para un cambio particular en la variable de control ΔUk. Esta aproximación lineal de la función exacta, (C), es más preciso que utilizando una aproximación lineal calculada en ulf k .

El vector ΔU se calcula utilizando (9). Cambios en las pérdidas de potencia activa en torno al punto ΔU = ΔU* prima se dan por la relación:

El vector de control variable incremental, Δu, se define como:

En la función de costo LP problema, el costo incremental para la potencia nodo activo holgura se expresa como una función de los cambios en las variables de control (4). Un cambio en la potencia activa para el nodo de holgura de la variable de control de cambio Delta U prima con la aproximación de segundo orden, se calcula por:

El cambio en la generación de holgura nodo de potencia activa es la suma de las pérdidas del sistema cambiaron causadas por las variables de control de cambios y negativo y la suma de las generaciones poder cambió activas de PV - nodos. En analogía directa, la fila-vector con las sensibilidades de energía de holgura con respecto a los cambios en las variables de control KΔP1, Δu se puede escribir:

El cambio en la potencia del generador holgura activa con ello se puede escribir como en (17).

E. Linealización de las curvas de generación de costes

En este caso, una relación lineal entre los cambios de variables de control y el costo total de generación cambiado, ΔCtot (Δu) , se derivarán. Esta función de coste incremental se utiliza entonces como la función LP objetivo problema. Para dar cuenta de coste cambiado para el generador de holgura, la relación lineal entre la generación de holgura incremental y las variables incrementales de control, (17), se utiliza.

Una forma conveniente de definir las funciones de costos es el uso de aproximaciones polinómicas. Un modelo aceptablemente precisa del costo generalmente se logra mediante un adecuado grado PF del polinomio. La curva de costo del generador se puede escribir:

Otra posibilidad es que las curvas de modelo de costos de generadores como a nivel de pieza funciones lineales, y este método también podría incorporar eso.El costo a minimizar es la suma del costo por cada generador, Ck:

Como se muestra en la fig. 5, las funciones de costo para los generadores PV-nodo se modela con dos funciones lineales, como en [2]. El cambio máximo en las variables de control se define por el vector h. Para el generador de nodo de la holgura, el incremento de coste C1 es la pendiente de la curva de costos de energía en el P g, k = P*g, k . Por consiguiente, es importante destacar que la Linealización se muestra en la fig. 5 es válida sólo para PV-nodos generadores.El cambio de nodo holgura potencia activa se puede expresar como una función de las dos variables (arriba y abajo) para cada control:

El factor αk y βk son elementos de los vectores de la sensibilidad:

Un cambio en la generación de potencia activa en el PV-nodos y terminales de generador de tensiones de los resultados en los cambios de generación de la holgura del nodo, que se calcula a partir de (25). De (24), el cambio en el costo total puede escribirse:

El término ∑k=1

Ng

C k¿ es independiente de los cambios variables de control y puede ser

tratada como una constante en cada iteración OPF.De esta manera, la función de coste incremental es sólo una función de cambios en las variables de control.

F. El problema de LP

Con los cambios de control de variables, el Δ u+ y Δ u- (positivo y negativo), el problema de optimización (5) puede escribirse:

El vector u mínimo y máximo de u son máximo y valores mínimos en las variables de control - en este caso generador de potencias activas y tensiones en los terminales. El problema lineal (28) es el estándar de (6), porque todas las variables de control son positivas.

Nuevas variables de control se alcanza mediante la adición de los cambios opcionales (6):

Además de las limitaciones de las variables de control en (28), varios límites adicionales tiene que ser añadido a la problern LP. Ejemplos de ello son los voltajes de nodo, PQ y las corrientes del estator del rotor de los generadores, y las corrientes de línea. Estas limitaciones funcionales se linealizó (3) y se añadió a la problema de PL. Todos los límites se puede expresar como funciones lineales de los cambios en las variables de control.

G. Reducción de los límites máximos de cambios variables de control

Cuando los cambios en las variables de control son pequeños, el bucle de iteración LP se termina. Después de cada bucle principal y antes de que el cálculo de la carga de flujo nuevo, el vector h se reduce. La división por 2 o números Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8,...) son opciones eficientes [2].

V. EJEMPLOS NUMÉRICOS

Las simulaciones numéricas se ha realizado en sistemas diferentes, por ejemplo la red ferroviaria mencionada en la introducción. La experiencia general es que la convergencia es rápida y fiable con el método presentado. Para demostrar las propiedades de convergencia al de primer orden (FOS) y la sensibilidad de segundo orden (SOS) de las pérdidas totales del sistema de potencia activa se aplican, en un primer momento la red de nodos IEEE 14 en la figura. 6 se utiliza. Posteriormente en la subsección C, la optimización de tensión pura se realiza en el IEEE 57 y 118 redes de nodo.

A. Prueba de caso 1

En un primer momento, un caso de prueba con funciones de costo relativamente diversos se utilizan, vea la parte superior de la Tabla 2 en el Apéndice. Los límites máximos de

generador de potencia activa se fija igual al generador de potencias nominales se muestra en la fig. 6, y los límites mínimos se establecen en 10% de potencias nominales. Para los voltajes generadores de terminales, los límites son 0,95 PU y 1,10 p.u. de las tensiones del sistema base.

En la fig. 7, la convergencia se muestra cuando aproximaciones FOS y SOS se utilizan. Es evidente que la convergencia es superior cuando se aplica SOS. Los poderes generadores de activos son casi iguales, después de ocho iteraciones para las aproximaciones FOS y SOS. Sin embargo, las tensiones entre terminales muestran una convergencia pobre cuando el FOS se utiliza, pero converge con precisión con SOS. Los costos después de ocho iteraciones OPF de FOS ySOS son 17.404 $ k / h y 17.387 $ k / h, respectivamente.

Con el utiliza el código, el tiempo para cada iteración OPP es aproximadamente la misma con FOS y SOS en este ejemplo.

El bucle de iteración LP se termina cuando los cambios de control variables son lo suficientemente pequeña en comparación con la última o la iteración LP penúltimo. El "criterio penúltimo" es necesaria , ya que normalmente se producen oscilaciones. Máximo cambios variables de control de vectores (h) se divide por 2, después de cada iteración LP.

B. Prueba de caso 2

Aquí, las funciones de costo de generación se cambian y establecer casi igual, véase la parte inferior de la Tabla 2. El costo syste total se muestra en Figi 8. En este caso, se alcanza la convergencia con SOS, pero no con FOS. Los mismos criterios para salir del bucle de iteración LP se utiliza como en el caso de Ensayo 1.

C. - Pure ejemplos de optimización de tensión

En este apartado, la optimización de tensión pura de la IEEE 57 y 118 redes de nodos se estudian. Las generaciones de potencia activa se mantienen constantes, excepto para el

generador de holgura. Máximo tensiones en los terminales del generador son 1,10 p.u. Los cambios de tensión máxima (en el vector h) se establecen inicialmente en 0,01 pu y se vuelven a diyided por 2 después de cada iteración OPF. En la Tabla 1, los resultados mencionan a partir de la simulación en el nodo de red IEEE 57 sonse muestran. Después de cuatro iteraciones OPF, un resultado aceptable que se alcance.

La reducción de pérdidas de la red se muestra para el nodo de red IEEE 118 en la fig. 9. En este caso, hay 54 magnitudes controlado por tensión de nodo.

Conclusiones y trabajo futuro

En este documento, una función de orden segundo sensibilidad para el cálculo de las pérdidas totales del sistema de potencia activa, se ha aplicado a la programación lineal basado en el flujo de potencia óptima. Aproximaciones de primer orden de las pérdidas de

energía de red activas en repetidas ocasiones se calcula a partir de la aproximación de segundo orden. De esta manera, la convergencia del método OPF se incrementa. El método de las necesidades de almacenamiento de equipo marginal de más tiempo y esfuerzo adicional de cómputo para el cálculo de las sensibilidades de segundo orden. Sin embargo, esto se compensa por una necesidad muy reducido de iteraciones OPF, resultando en un algoritmo general más eficiente. De simulaciones numéricas realizadas, el método muestra propiedades de convergencia muy buenas.

Una interesante alternativa a la programación lineal utiliza sucesivos es la aplicación de la programación sucesiva cuadrática (QP). Esto es especialmente atractiva puesto que la fórmula pérdida se da como una forma cuadrática. La principal ventaja con QP es que los límites de cambios variables de control de vectores (h) se pueden quitar, lo que simplifica el algoritmo para la iteración entre el cálculo de flujo de carga y la solución de un problema de programación cuadrática [2]. Un inconveniente con QP es que generalmente más esfuerzos de ordenador se necesita para resolver este problema que hace LP. Sin embargo, sólo un problema QP se resuelve en cada iteración OPF, en lugar de problemas de PL múltiples. Para satisfacer las limitaciones funcionales con una precisión específica, no es evidente que un número significativamente menor iteraciones OPF son necesarios con QP sucesiva de LP. La razón de esto es que en ambos casos, las limitaciones funcionales son lineales. La sucesiva de flujo de programación cuadrática óptima de alimentación con la fórmula de la pérdida se utiliza actualmente investigados, y se presentarán en un próximo artículo.

RECONOCIMIENTO

El apoyo financiero de la Agencia Sueca de Administración Nacional de Ferrocarriles (Banverket) y el Real Instituto de Tecnología es muy apreciado. Gracias a Anders Bulund, Ann Palesjo y Persson Olle en Banverket para discusiones estimulantes sobre el sistema de tren eléctrico.