PROGRAMACIÓN LINEAL - Fiquimat
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Nombre y apellidos:
Tema 1; Matrices
1. (5p) Sean las matrices A =
1 1 00 1 10 0 1
, B =
1 2 23 2 −11 2 −1
, C =
11 7 39 9 16 3 2
a) Calcule la matriz X que verifica B · X −At = C (Sol: [2, 3,−1][3, 1, 2][2, 1, 0])
b) Calcule An, para todo n ≥ 1 (Sol: [1, n,n(n−1)
2], [0, 1, n], [0, 0, 1]).
2. (3p) Se consideran tres agricultores A1, A2 y A3. El primero siembra 20 hectareas de lechugas(L), 30 de tomates (T ) y 10 de pimientos (P ). El segundo siembra 40 hectareas de lechugas,20 de tomates y 30 de pimientos, y el tercer agricultor solo siembra 20 hectareas de lechugasy 20 de tomates. Se sabe que cada hectarea de lechugas requiere 1kg de abono (Ab) y 1kg deinsecticida (I), ambos ecologicos. Cada hectarea de tomates requiere 2kg de abono y 1kg deinsecticida, y cada hectarea de pimientos solo requiere 1kg de abono.
a) Escriba una matriz X que describa el numero de hectareas de cada tipo plantadas porcada agricultor (Sol: [[20, 30, 10], [40, 20, 30], [20, 20, 0]]), y una matriz Y que describa los kilos deabono e insecticida que requiere cada hectarea de cada tipo de cultivo (Sol: [[1, 1], [2, 1], [1, 0]]).
b) Realice el producto X ·Y e indique que expresa dicho producto (Sol: [[90, 50], [110, 60], [60, 40]]).
c) Si cada kilo de abono cuesta 0’20 C , y cada kilo de insecticida cuesta 0’30 C , halle unamatriz 3 × 1 que exprese el dinero que le supone a cada agricultor abonar y fumigar sustierras (Sol: [33, 40, 24]t).
3. (2p) Se consideran las matrices A =
(
1 a
0 1
)
y B =(
−1 1)
.
a) Calcule el valor del parametro a para que se verifique (B · A)t = A · Bt
b) Para a = 2, resuelva la ecuacion matricial X ·A = B.
Tema 2; Programacion lineal
4. (4p) Se desea invertir 100 000 C en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidaddel 2% y del 2′5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversion mınima de10 000 C y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversion en B supere el triple de loinvertido en A. ¿Cuanto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea maximo ycual serıa dicho beneficio?
5. (6p) Calcula el valor maximo y mınimo de F (x, y) = 28x − 4y + 1sometida a las restricciones que se dan al margen.
¿Pertenece el punto (9, 7) al citado recinto? (Sol:no)
Justifique si la funcion F (x, y) puede alcanzar el valor 128 den-tro del citado recinto (Sol: si)
7x ≥ 2yx + 2y ≤ 251 ≤ y ≤ 10x ≥ 03x − 12 ≤ 2yx − 3 ≤ y
PROGRAMACIÓN LINEAL
ANTONIO ANGULO PARRA
www.fiquimat.com @fiquimat1 636 865 957
Resolucion del ejercicio 1
El ejercicio nos dice que dadas las matrices A =
1 1 00 1 10 0 1
, B =
1 2 23 2 −11 2 −1
, C =
11 7 39 9 16 3 2
a) Calcular la matriz X que verifica B ·X − At = C (Sol: [2, 3,−1][3, 1, 2][2, 1, 0])
Comencemos, a falta de calculos, por conocer quien es la matriz X:
BX − At = C ⇐⇒ BX = C + At ⇐⇒ B−1B ·X = B−1(C + At) ⇐⇒
⇐⇒ I3 ·X = B−1(C + At) ⇐⇒ X = B−1(C + At)
Luego1 X = B−1(C + At)
En cuanto a dimensiones no parece haber ningun problema, siendo de esperar una matriz X
de dimension 3 × 3:
X =(
B−1)
3×3
(
C3×3 + At
3×3
)
=(
B−1)
3×3
(
C + At)
3×3=[
B−1(
C + At)]
3×3
Por todo ello, puedo hacer la suma C + At, y multiplicarlo todo por la izquierda por B−1
siempre que exista A−1, por lo que el ejercicio posee solucion siempre que exista B−1 . Salgamosde dudas.
Calculo de B−1
B−1, matriz inversa de B, es la matriz adjunta transpuesta de B entre su determinante.
• |B| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 2 23 2 −11 2 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −2 + 12 − 2 − 4 + 2 + 6 = 12
• Adj(A) =
∣
∣
∣
∣
2 −12 −1
∣
∣
∣
∣
−
∣
∣
∣
∣
3 −11 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 21 2
∣
∣
∣
∣
−
∣
∣
∣
∣
2 22 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 21 −1
∣
∣
∣
∣
−
∣
∣
∣
∣
1 21 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 22 −1
∣
∣
∣
∣
−
∣
∣
∣
∣
1 23 −1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 23 2
∣
∣
∣
∣
=
0 2 46 −3 0
−6 7 −4
• [Adj(A)]t =
0 2 46 −3 0
−6 7 −4
t
=
0 6 −62 −3 74 0 −4
• Por ello, A−1 =[Adj(A)]t
det(A)=
1
12
0 6 −62 −3 74 0 −4
Calculo de C + At
C + At =
11 7 39 9 16 3 2
+
1 0 01 1 00 1 1
=
12 7 310 10 16 4 3
Calculo de X
X = B−1 ·(
C + At)
=1
12
0 6 −62 −3 74 0 −4
·
12 7 310 10 16 4 3
=
=1
12
0 + 48− 36 0 + 48 − 12 0 + 6 − 1824 − 30 + 42 14 − 30 + 28 6 − 3 + 2148 + 0 − 24 28 + 0 − 16 12 + 0 − 12
=1
12
12 36 −1236 12 2424 12 0
=
=
2 3 −13 1 22 1 0
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b) Calcular An, para todo n ≥ 1 (Sol: [1, n,n(n−1)
2 ], [0, 1, n], [0, 0, 1]). Comencemos calculando lasdiferentes potencias An para despues extraer conclusiones.
A1 =
1 1 00 1 10 0 1
=
1 1 00 1 10 0 1
A2 = A ·A =
1 1 00 1 10 0 1
·
1 1 00 1 10 0 1
=
1 2 10 1 20 0 1
=
1 2 0 + 10 1 20 0 1
A3 = A2 · A =
1 2 10 1 20 0 1
·
1 1 00 1 10 0 1
=
1 3 30 1 30 0 1
=
1 3 0 + 1 + 20 1 30 0 1
A4 = A3 · A =
1 3 60 1 30 0 1
·
1 1 00 1 10 0 1
=
1 4 60 1 40 0 1
=
1 4 0 + 1 + 2 + 30 1 40 0 1
A5 = A4·A =
1 4 60 1 30 0 1
·
1 1 00 1 10 0 1
=
1 5 100 1 50 0 1
=
1 5 0 + 1 + 2 + 3 + 40 1 50 0 1
Bueno... parece que esta muy claro:
An =
1 n 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n − 1)0 1 n
0 0 1
=
1 n(n−1)n
20 1 n
0 0 1
Resolucion del ejercicio 2
a) La matriz X que nos habla de los agricultores y las hectareas plantadas de cada hortaliza es:
L T P
A1 20 30 10
A2 40 20 30
A3 20 20 0
La matriz Y que nos habla de los kilos de abono e insecticida que requiere cada hectarea de cadacultivo es:
Ab I
L 1 1
T 2 1
P 1 0
b) El producto X · Y es una matriz que tiene por filas los tres agricultores, por columnas los kilos deabono e insecticida que necesitan para abonar sus campos.
X · Y =
20 30 1040 20 3020 20 0
·
1 12 11 0
=
90 50110 6060 40
Al haberse identificado2 los tipos de cultivo al multiplicar, las cifras ya no se desglosan en tomates,lechugas o pimientos, sino que se hacen por agricultor y kilos de abonos e insecticidas.
Ab I
A1 90 50
A2 110 60
A3 60 40
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c) Para terminar, lo que vamos a hacer es multiplicar la matriz anterior por una matriz 2 × 1 quenos marca los precios de los abonos e insecticidas, a saber:
(
C
Ab 0′20
I 0′30
)
Por ello, al multiplicar:
90 50110 6060 40
·
(
0′20′3
)
=
334024
A1
A2
A3
Resolucion del ejercicio 3
En este ejercicio, PAU 2014, se consideran las matrices A =
(
1 a
0 1
)
y B =(
−1 1)
.
a) Calcule el valor del parametro a para que se verifique (B ·A)t = A · Bt
Como suele hacerse en este tipo de problemas, se escribe la correspondiente ecuacion matricialy se pasa todo a un sistema de ecuaciones de cuya resolucion sale el resultado final.
(B · A)t = A · Bt ⇐⇒
[
(
−1 1)
(
1 a
0 1
)]t
=
(
1 a
0 1
)
(
−1 1)t
⇐⇒
⇐⇒(
−1 −a + 1)t
=
(
−1 + a
1
)
⇐⇒
(
−1−a + 1
)
=
(
−1 + a
1
)
Escribiendo miembro a miembro la igualdad matricial, se llega a:
−1 = −1 + a
−a + 1 = 1
⇐⇒−1 + 1 = a
−a = 1 − 1
⇐⇒0 = a
−a = 0
⇐⇒ a = 0
Esa es la unica solucion posible, a = 0
b) Para a = 2, resuelva la ecuacion matricial X · A = B.
Se trata de resolver la ecuacion X
(
1 20 1
)
=(
−1 1)
.
Claramente, la matriz X debe tener 2 columnas para poderse multiplicar por las 2 filas de A.Por otra, como la matriz resultante de X ·A solo tiene una fila, significa que X solo tiene unafila, esto es, X1×2A2×2 = B1×2.
Sea X =(
x y)
. Como X es una matriz muy sencilla, voy a resolver este apartado con lamisma estrategia usada en el apartado anterior.
X · A = B ⇐⇒(
x y)
(
1 20 1
)
=(
−1 1)
⇐⇒(
x 2x + y)
=(
−1 1)
Se deduce claramente que x = −1, y a partir de ahı, de 2x + y = 1, se deduce y = 3
Luego X =(
−1 3)
Todo un regalo de ejercicio.
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Resolucion del ejercicio 4
En este ejercicio, PAU 2015, se nos cuenta que se desea invertir 100 000C en dos productos financierosA y B que tienen una rentabilidad del 2 % y del 2′5 % respectivamente. Se sabe que el producto B
exige una inversion mınima de 10 000C y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversion en B
supere el triple de lo invertido en A. ¿Cuanto se debe invertir en cada producto para que el beneficiosea maximo y cual serıa dicho beneficio?Es un problema de programacion lineal, y lo primero es localizar sus inecuaciones. Sea x el dineroinvertido en A, e y el dinero invertido en B. Entonces tenemos una funcion beneficio o funcion objetivode F (x, y) = 1′02x + 1′025y a maximizar (resultado tras la inversion). Tambien podrıa considerarseF (x, y) = 0′02x + 0′025y si atendemos solo al beneficio y no al resultado de la inversion, pero noF (x, y) = 2x + 2′5y ya que el resultado final, aun detectando el vertice del maximo, no darıa elautentico beneficio.
x ≥ 0; inecuacion logica
y ≥ 0; inecuacion logica
x + y ≤ 100 000; no podemos invertir mas de 100 000C
y ≥ 10 000; lo invertido en B ha de ser por lo menos 10 000 C
y ≤ 3x; lo invertido en B
Con dichas inecuaciones, resulta el recinto siguiente:
Dicho recinto tiene los siguientes vertices, ası como la siguiente evaluacion de su funcion beneficio:
Vertice F (x, y) = 1′02x + 1′025y Beneficio
(10 0003
, 10 000) - 13 650 C
(25000, 75000) - 102375C Maximo
(90 000, 10 000) - 102 050C
Por ello, el maximo beneficio en las condiciones del problema se obtiene invirtiendo 25 000C en ac-ciones del primer tipo, y 75 000 C en acciones del segundo tipo, obteniendose con ello un resultado de102 375C , esto es, un beneficio de 2375 C .
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Resolucion del ejercicio 5
Hemos de calcular el maximo y mınimo de la funcion F (x, y) = 28x− 4y + 1 sometida a las siguientesrestricciones:
7x ≥ 2y
x + 2y ≤ 251 ≤ y ≤ 10
x ≥ 03x− 12 ≤ 2y
x − 3 ≤ y
Represento graficamente los semiplanos solucion queme aportan las diferentes inecuaciones, y obtengo porsolucion el recinto cerrado expresado al margen. Alser un recinto cerrado hay tanto maximo como mıni-mo absolutos. Los vertices, y la evaluacion de la fun-cion beneficio sobre los mismos, resultan ser:
Vertice F (x, y) = 28x− 4y + 1 Beneficio
(2
7, 1) - 5 Mınimo
(207 , 10) - 41
(5, 10) - 101
(37
4, 63
8) - 228
′5 Maximo
(6, 3) - 157
(4, 1) - 109
El punto (9, 7) no pertenece al recinto, al no cumplir la inecuacion 3x − 12 ≤ 2y; Al sustituir x
por 9 e y por 7 resulta la desigualdad 3(9) − 12 = 15 > 14 = 2(7), cuando deberıa haber sido ≤.
Como la funcion F (x, y) alcanza en el recinto un mınimo absoluto de 5 y un maximo absoluto de228′5, alcanza todos los valores intermedios, en particular alcanza el valor de 128, ya que
5 ≤ 128 ≤ 228′5
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