PROBLEMES  ADDICIONALS  NADAL  2012  

 

1. Per  a  retornar  a  la  clínica  veterinària  d’on  s’ha  escapat  el  mico  que   està   dalt   de   l’arbre   de   la   figura,   el   seu   cuidador   del   li  dispara   un   dard   amb   un   somnífer   apuntant   directament   al  mico.   Just   en   el  moment  del   disparo,   el  mico   es   deixa   anar   i  cau  cap  al  terra.  Demostra  que  sigui  quina  sigui  la  velocitat  de  sortida  del   dard,   aquest   sempre   fa  diana   en   el  mico,   sempre  que  arribi  al  mico  abans  que  aquest  al  terra.  Si   x=50  m   i  h=10  m,   quina   és   la   velocitat  mínima   inicial   del  dard  perquè  arribi  al  mico  abans  que  aquest  arribi  a   terra,  a  11,2  m  per  sota  de  la  posició  inicial  del  mico?    (Sol.  v0=34  m/s)  

 

2. Un  home  que  es  troba  en  el  terrat  d’un  edifici  de  30  m  d’altura  llença  una  pilota  de  golf  amb  una  velocitat  de  40  m/s  a  33o  sobre  l’horitzontal.  Ignorant  la  resistència  de  l’aire,  trobeu:  

a. l’altura  màxima  per  sobre  del  terrat  que  assolirà  la  pilota;  b. la  rapidesa  de  la  pilota  just  abans  de  tocar  el  terra;  c. la  distància  horitzontal  des  de  la  base  de  l’edifici  fins  al  punt  on  tocarà  terra  la  pilota.  

(Sol.  hmax=24,2  m;  v=46,8  m/s;  xmax=186  m)    

3. La   sang   humana   conté   plasma   i   cèl·lules   sanguínies.   Per   a  separar   el   plasma   de   la   resta   de   components   s’utilitza   la  centrifugació.  Perquè  la  centrífuga  sigui  eficaç  cal  aplicar  una  acceleració   mínima   de   2000g   a   la   sang.   Suposem   que  introduïm   la  sang  en  uns   tubs  d’assaig  de  15  cm  de   longitud  fins   a   omplir-­‐los.   Aquest   tubs   es   disposen   en   una  centrifugadora   de   manera   que   formin   un   angle   de   45o  respecte  de  la  vertical.  

a. Quina   distància   hi   ha   d’haver   entre   una   mostra   de  sang  i  l’eix  de  rotació,  si  la  centrifuga  gira  a  3500  rpm  per  assolir  els  2000g  d’acceleració  sobre  ella.  

b. Si  la  sang  del  centre  dels  tubs  gira  amb  el  radi  trobat  a   l’apartat   anterior,   determineu   l’acceleració   que  experimenta  la  sang  a  cada  extrem  del  tub.  

(Sol.  r=15  cm;  amin=1300g;  amax=2700g)  

 

4. Una   persona   de   50   kg   es   posa   sobre   una   bàscula   en   l’interior   d’un   ascensor.   Determina   la   lectura   de   la  bàscula  quan  l’ascensor:  

a. puja  accelerant  des  del  repòs  amb  acceleració  constant,  fins  assolir  una  velocitat  de  2  m/s  en  1,6  s;  b. puja  a  velocitat  constant  de  2  m/s;  c. puja  frenant  amb  acceleració  constant  des  dels  2  m/s  fins  al  repòs,  en  1,6  s;  d. baixa  accelerant  fins  assolir  una  velocitat  de  1,8  m/s,  en  1,2  s;  e. baixa  a  velocitat  constant  d’1,8  m/s;  f. baixa  frenant  des  d’1,8  m/s  fins  al  repòs  amb  acceleració  constant,  en  1,2  s.  

(Sol.  a)  56,4  kg;  b)  50  kg;  c)  43,6  kg;  d)  42,4  kg;  e)  50  kg;  f)  57,7  kg)  

5. El  bloc  de  10,0  kg  de  la  figura  descansa  sobre  un  suport  de  5,0  kg.   Els   coeficients   de   fricció   entre   el   bloc   i   el   suport   són  μs=0,40   i  μk=0,30   .   El   suport   es   recolza   sobre   una   superfície  sense  fricció.  

a. Quina  és   la   força  màxima  F  que  es  pot  aplicar   sense  que  el  bloc  de  10  kg  llisqui  sobre  el  suport.  

b. Quina  és  l’acceleració  corresponent  del  suport  de  5,0  kg?  

 (Sol.  amax=1,6  m/s2;  F=24  N)  

 

6. Quina  acceleració  ha  de  tindre  el  carro  de  la  figura  per  tal  que  el   bloc   A   no   caigui   a   terra?   el   coeficient   de   fricció   estàtica  entre  el  bloc  i  el  carro  és  μe.  Com  explicaria  el  comportament  del  bloc  un  observador  que  estigués  en  el  carret?    (Sol.  a=g/μe  )  

 

7. Dos   bloc   de  masses  m1=4,0   kg   i  m2=8,0   kg   estan   connectats  per   una   corda   i   baixen   relliscant   per   un   pla   inclinat   30o.   El  coeficient  de  fricció  cinètica  entre  el  cos  1  i  el  pla  és  μ1k=0,20  i  entre  el  cos  2  i  el  pla  és  μ2k=0,35.  Calculeu:  

a. l’acceleració  de  cada  bloc;  b. la  tensió  de  la  corda.  c. Què   passaria   si   invertíssim   les   posicions   de   les  

masses?  

(Sol.  a=2,36  m/s2;  T=3,40  N)  

 

8. Un  cotxe  de  control   remot  de  1,20  kg  de  massa  es  mou  amb  velocitat  constant  v=12,0  m/s  en  l’interior  d’un  cercle  vertical  de  radi  5,00  m.  Calculeu  la  força  que  exerceix  la  superfície  del  cercle  sobre  el  cotxe  

a. en  el  punt  A  més  baix  de  la  trajectòria;  b. en  el  punt  B  més  alt  de  la  trajectòria  

(Sol.  NA=46,3  N;  NB=22,8  N)    

9. Un  paquet  de  massa  4,0  kg  baixa  2,0  m  lliscant  sobre  una  rampa  inclinada  15o  sota  l’horitzontal.  El  coeficient  de  fricció  cinètica  entre  el  paquet  i  el  terra  és  μk=0,35.  Calcula  el  treball  fet  sobre  el  paquet  per    

a. la  força  de  fricció,  b. la  gravetat,  c. la  normal,  d. la  força  resultant  sobre  el  paquet.  e. Si  el  paquet   té  una  rapidesa  de  2,4  m/s  a   la  part   superior  de   la   rampa,  quina  rapidesa   té  després  

d’haver  baixat  lliscant  una  distància  de  2,0  m  sobre  la  rampa?  f. Utilitzant   el   teorema   del   treball–energia,   determineu   la   distància   que   baixarà   el   paquet   abans  

d’aturar-­‐se.  

(Sol.  Wf=–26,5  J;  Wg=20,31  J;  WN=0;  WT=–6,2  J;  v=1,63  m/s;  x=3,7  m)  

10. Un  jugador  de  handbol  llença  la  pilota  a  una  velocitat  de  20  m/s.  La  massa  de  la  pilota  és  450  g.    a. Quina  és  l’energia  cinètica  de  la  pilota  quan  abandona  la  seva  mà?    b. Quin  treball  ha  fet  el  braç  del  jugador  sobre  la  pilota?  

(Sol.  K=90  J;  W=90  J)  

A  

a  

1  

2  

A  

B  

11. Un  jove  de  70  kg  vol  fer  “puenting”  des  d’un  pont  de  35  m  d’alçada  sobre  el  nivell  del  terra.  Per  fer-­‐ho  es  lliga  dels  turmells  una  corda  flexible  de  9,0  m  de  longitud.  Quan  es  tensa,  la  corda  es  comporta  com  una  molla  de  rigidesa  k=150  N/m.  Dibuixa  el  gràfic  de  l’energia  potencial  del  jove  en  funció  de  l’alçada  i  calcula  quin  serà  el  punt  més  baix  que  assolirà  en  el  seu  salt.    (Sol.  h=–24  m,  des  del  pont)  

12. Un  cavall  estira  un  trineu  costa  amunt  per  un  carrer  nevat  que  té  un  pendent  del  14%.  El  trineu  té  una  massa  de  300  kg  i  el  coeficient  de  fricció  cinètica  amb  el  terra  nevat  és  0,12.  Si  el  cavall  estira  paral·lelament  a  la  superfície  del  terra  del  carrer  i  subministra  una  potència  de  1,0  hp,  

a. quina  és  la  velocitat  màxima  (constant)  amb  la  que  el  cavall  pot  estirar  el  trineu  costa  amunt?  b. Quina  és  la  fracció  de  la  potència  del  cavall  que  s’inverteix  en  vèncer  la  gravetat?  c. Quina  fracció  en  vèncer  la  fricció?  

(Sol.  v=0,98  m/s;  Pgrav,  54%;  Pf  46%)  

13. Una   partícula   que   es   mou   en   el   pla   xy   està   sotmesa   a   la   força   conservativa  𝐹 = 𝑏𝑥𝚤 + 𝑏𝑦𝚥,   on   b   és   una  constant.  

a. Quin  és  el  treball  que  fa  la  força  quan  la  partícula  es  desplaça  des  de  l’origen  fins  al  punt  (x,y)?  b. Quina  és  l’energia  potencial  corresponent  a  aquesta  força?  Suposa  que  l’energia  potencial  és  zero  en  

l’origen.  

(Sol.  𝑊 = !!𝑥! + 𝑦! ;  𝑈 𝑥, 𝑦 = − !

!𝑥! + 𝑦! )  

14. El  motor  de  4  cilindres  d’un  cotxe  subministra  150  CV  a  3000  rpm.  En  cada  cilindre  hi  ha  una  explosió  per  cada  dues  voltes  del  motor.  Quanta  energia  subministra  cada  cilindre  en  cada  explosió?    (Sol.  E=4474  J/explosió)    

15. Per  tal  d’avançar  a  velocitat  constant  de  64  km/h  un  vehicle  de  1500  kg  necessita  una  potència  de  20  CV  per  tal  de  vèncer  la  fricció  de  l’aire  i  altres  friccions  mecàniques.  Suposant  que  les  friccions  són  les  mateixes,  

a. quina   potència   requereix   el   mateix   vehicle   per   tal   de   pujar   un   pendent   del   10%   a   la   mateixa  velocitat?  

b. I  per  a  baixar  el  mateix  pendent?  

(Sol.  a)  P=41074  W=55  CV;  b)  P=11246  W=15  CV)  

16. Un  bloc  de  3,0  kg  es  posa  en  moviment  sobre  una  superfície  horitzontal  comprimint-­‐lo  contra  una  molla  de  rigidesa  120  N/m.  Inicialment  el  bloc  es  desplaça  sense  fricció,  però  un  cop  deixa  d’estar  en  contacte  amb  la  molla,  el  bloc  es  mou  sobre  una  superfície  amb  un  coeficient  de  fricció  de  0,20,  al  llarg  d’una  distància  de  8,0  m,  abans  d’aturar-­‐se  completament.  

a. Quina  ha  estat  la  màxima  energia  cinètica  del  bloc?  b. Quina  distància  s’ha  comprimit  la  molla  abans  d’alliberar  el  bloc?    

(Sol.  Kmax=47,1  J;  x=89  cm)  

17. Una  cinta  mètrica  d’alumini  es  plega  pel  seu  punt  mig  de  forma  que  les  dues  meitats  formin  un  angle  recte.  On  es  troba  el  centre  de  masses  del  d’aquesta  cinta  plegada?    (Sol.  xCM=0,125  cm,  yCM=0,125  cm)  

 

y  

x  

50  cm  25  cm  75  cm  

18. La  Piràmide  gran  de  Gizeh  té  una  altura  de  147  m  i  una  base  quadrada.  Suposant  que  tot  el  seu  volum  és  pedra  de  densitat  constant,  trobeu  el  seu  centre  de  masses.      (Sol.  yCM=37  m)  

19. Es  dispara  un  projectil   formant  un  determinat  angle  θ  amb   l’horitzontal,  0! < 𝜃 < 90!.  En  el  moment  que  arriba  a  la  seva  màxima  alçada  explota  en  dues  parts.  La  part  de  la  cua,  es  queda  momentàniament  en  repòs  i  comença   a   caure   de   forma   que   toca   terra   just   en   la   vertical   del   punt   més   elevat.   La   segona   part   acaba  arribant  al  terra  a  una  distància  del  punt  de  sortida  que  és  5  cops  més  gran  que  la  distància  a  la  que  cau  la  primera  part.  Si  el  projectil  original  tenia  una  massa  de  12  kg,  quina  massa  té  cadascuna  de  les  dues  parts?  

(Sol.  m1=9,0  kg;  m2=3,0  kg)

20. El  mític  veler  americà  Constitució,  construït  l’any  1797,  porta  15  canons  a  cada  banda.  Els  canons  disparen  un  projectil  d’11  kg  a  una  velocitat  de  sortida  de  490  m/s.  La  massa  del  veler  és  aproximadament  de  4000  tones.  Suposant  que  disparem  tots  15  canons  d’estribord  (gairebé)  alhora  en  direcció  horitzontal  i  perpendicularment  al  vaixell,  amb  quina  velocitat    recularà  aquest?    (Sol.  vv=0,02  m/s)  

21. L’espectroscòpia  de  retrodispersió  de  Rutherford  (RBS)  és  una  tècnica  utilitzada  en  ciència  de  materials  per  a  determinar–ne  la  seva  composició.  Consisteix  en  fer  xocar  partícules  alfa  (nuclis  d’heli  de  massa  4  u)  amb  energia  cinètica  típica  de  1,6×10!!"  J,  sobre  els  nuclis  del  material  problema  que  es  troben  en  repòs.  Les  col·lisions  són  elàstiques  i  frontals.  Quina  és  l’energia  cinètica  de  retrocés  de  la  partícula  alfa  quan  el  material  és,  

a. silici  (m=28  u);  b. coure  (m=63  u)  

(Sol.  a)  K’α=9×10–14  J;  b)  K’α=1,24×10–13  J)  

22. Un  vehicle  xoca  contra  un  cotxe  aparcat.  Després  de  l’impacte  els  dos  cotxes  es  queden  units  i  llisquen  sobre  el   paviment   amb   les   rodes   completament   bloquejades.   L’informe   de   la   brigada   d’atestats   indica   que   la  longitud  de  la  marca  que  els  vehicles  van  deixar  al  terra  té  una  longitud  de  18  m,   la  massa  del  vehicle  que  impacta  era  de  2200  kg,  la  del  cotxe  aparcat  1400  kg  i  que  el  coeficient  de  fricció  cinètica  entre  les  rodes  i  el  paviment  era  de  0,95.  

a. Quina  era  la  velocitat  dels  vehicles  just  després  de  l’impacte?  b. Quina  era  la  velocitat  del  vehicle  que  impacta  abans  del  xoc?  

(Sol.  a)  v=66  km/h;  b)  v=108  km/h)  

23. Quan  Guillem  Tell  va  encertar  a  tocar  la  poma  sobre  el  cap  del  seu  fill,   la  fletxa  va  quedar  atrapada  dins  la  poma.  Suposeu  que  la  velocitat  de  la  fletxa  era  completament  horitzontal  de  80  m/s  just  abans  de  l’impacte,  que  la  seva  massa  era  de  40  g  i  que  la  massa  de  la  poma  era  de  200  g.  Si  l’alçada  del  fill  de  Tell  era  de  1,40  m,  

a. Calculeu  la  velocitat  de  la  poma  i  la  fletxa  just  després  de  l’impacte.  b. Calcula  a  quina  distància  del  fill  de  Tell  cauran  a  terra  la  poma  i  la  fletxa.  

(Sol.  a)  v=13,3  m/s;  b)  x=7,12  m)  

24. Una  barra  rígida  d’un  metre  de  longitud  s’aguanta  verticalment  sobre  el  terra.  Si  la  barra  cau  sobre  el  terra,  amb  quina  velocitat  angular  tocarà  el  terra?  Suposa  que  l’extrem  de  la  barra  en  contacte  amb  el  terra  no  llisca.    (Sol.  ω=5,4  rad/s)  

25. Una  baldufa    de  massa  M  gira  amb  moment  angular  L.  L’eix  de  rotació  està  inclinat  un  angle  θ  respecte  la  vertical.  El  punt  de  contacte  de  la  baldufa  amb  el  terra  no  canvia  i  el  seu  centre  de  masses  es  troba  a  una  distància  r  del  punt  de  contacte.  La  baldufa  fa  un  moviment  de  precessió:  el  vector  moment  angular  gira  al  voltant  de  la  direcció  vertical.  Trobeu  l’expressió  de  la  velocitat  angular  Ω  d’aquesta  precessió.  Si  per  una  baldufa  determinada  r=4,0  cm  i  el  seu  moment  d’inèrcia  és  𝐼 = 𝑀𝑅!/4,  amb  R=3.0  cm,  trobeu  el  període  del  moviment  de  precessió  quan  la  baldufa  gira  a  250  rad/s.      (Sol.  Ω = !"#

!;  T=0,9  s)  

26. Un  cilindre  sòlid  uniforme  de  massa  M  i  radi  R  reposa  damunt  d’un  bloc  pla  de  massa  m  que  es  troba  en  repòs  damunt  d’una  taula   horitzontal   sense   fricció.   Si   apliquem   al   bloc   una   força  horitzontal  𝐹,  accelera  i  el  cilindre  rodola  sense  lliscar,  

a. calculeu  l’acceleració  del  bloc  en  termes  de  M,  R  i  F  b. Calculeu   l’acceleració   angular   del   cilindre.   En   quin  

sentit  gira?  c. Quina   és   l’acceleració   lineal   (mòdul   i   direcció)   del  

cilindre  respecte  de  la  taula?  d. Quin  són  el  mòdul  i  direcció  de  l’acceleració  lineal  del  

centre  de  masses  del  cilindre  respecte  del  bloc?  e. Si   la   força   actua   al   llarg   d’una   distància   d,   quina   és  

l’energia  cinètica  del  bloc?  f. I  l’energia  cinètica  del  cilindre?  g. Demostreu   que   l’energia   cinètica   total   del   sistema  

cilindre–bloc  és  igual  al  treball  fet  per  la  força  

(Sol.   a)   𝑎! =!!

!!!!;   b)   𝛼! =

!! !!!!

,   antihorari;   c)  

𝑎! =!

!!!!;   d)  𝑎!" = − !!

!!!!;   e)  𝐾! =

!!"#!!!!

;   f)  𝐾! =!"#!!!!

;  g)  𝐾!"! = 𝐹𝑑)  

θ  

r  

27. Una  bola  de  billar  inicialment  en  repòs  rep  un  cop  instantani  amb  el  tac.  L’impuls  és  horitzontal  i  s’aplica  a  una  distància  de  2R/3  per  sota  de  la  línia  central.  La  velocitat  inicial  de  la  bola  és  v0  i  el  coeficient  de  fricció  cinètica  entre  la  bola  i  la  taula  és  μk-­‐  

a. Quina   és   la   velocitat   angular   de   la   bola   just   després  del  cop?  

b. Quina  és  la  velocitat  de  la  bola  una  vegada  comença  a  rodolar  sense  lliscar?  

c. Quina   és   l’energia   cinètica   inicial   de   la   bola   just  després  del  xoc?  

(Sol.  a)  𝜔! =!!! !!!

!!!;  b)  𝑣 = !

!"𝑣!;  c)  𝐾 = !"

!"𝑚𝑣!!)  

28. Com  a  enginyers  d’una  empresa  de   joguines,  us  encarregueu  de  dissenyar  un  bucle  per  a  nens.  La  idea  és  que  una  bola  de  radi  r   i  massa  m  rodoli  sense   lliscar  per  una  pista   inclinada  i  pel  bucle.  La  bola  parteix  del  repòs  a  una  altura  h  per  damunt  de   la   superfície   que   sosté   la   pista.   El   radi   del   bucle   és   R.  Calculeu  en  funció  de  r   i  R,   l’altura  mínima  que  ha  de  tenir  h  perquè  la  pilota  estigui  en  contacte  amb  la  pista  durant  tot  el  bucle  .  (Tingueu  en  compte  el  radi  de  la  bola.)    (Sol.  ℎ = 2,7𝑅 − 1,7𝑟)  

29. La   corda   que   envolta   el   cilindre   de   la   figura   està   sostinguda  per   la  mà  d’una  persona  que   accelera   cap   amunt  de  manera  que  el  centre  de  masses  del  cilindre  no  es  mou  a  mesura  que  el  cilindre  gira.  Calculeu:  

a. la  tensió  de  la  corda;  b. l’acceleració  angular  del  cilindre;  c. l’acceleració  de  la  mà.  

(Sol.  a)  𝑇 = 𝑀𝑔;  b)  𝛼 = !!!;  c)  𝑎 = 2𝑔)  

30. En   el   cilindre   del   problema   anterior,   ara   fixem   la   corda   de  manera   que   el   cilindre   cau   mentre   la   corda   es   va  desenrotllant.    

a. Demostreu  que  l’acceleració  del  centre  de  masses  del  cilindre  val  a=2g/3.  

b. Calculeu  la  tensió  de  la  corda.  

(Sol.  𝑇 = !!𝑀𝑔)