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e s t r u c t u r a s apuntes par a su uso e n el aula Profesor : Jor g e B Profesor : Jor g e Badás Profesor : Jor g e Badás apuntes par a su uso e n el aula Profesor : Jor g e Badás apuntes par a su uso e n el aula tes par a su uso e n el aula Profesor : Jor g e e s t r u c t u r a s e s t r u c t u r a s e s t r u c t u r a s e s t r u c t u r a s s u r a s e s t r u c t u r a s u r a s Página 1 de 18 MÓDULO PROFESIONAL ESTRUCTURAS DE CONSTRUCCIÓN Profesor: JORGE M. BADÁS PEITEADO UNIDAD DIDÁCTICA 1. ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA? ACTIVIDAD 1.3. MOMENTOS DE INERCIA Estos apuntes para su uso en el aula están basados en el trabajo realizado durante una licencia de formación retribuída por la Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria (Xunta de Galicia, 2013) bajo licencia Creative Commons BY-NC-SA (reconocimiento - no comercial - compartir igual). Para ver una copia de esta licencia, visitar el enlace http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/ .
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MÓDULO PROFESIONAL
ESTRUCTURAS DE CONSTRUCCIÓN Profesor: JORGE M. BADÁS PEITEADO
UNIDAD DIDÁCTICA 1.
¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA? ACTIVIDAD 1.3.
MOMENTOS DE INERCIA
Estos apuntes para su uso en el aula están basados en el trabajo realizado durante una licencia de formación retribuída por la Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria (Xunta de Galicia, 2013) bajo licencia Creative Commons BY-NC-SA (reconocimiento - no comercial - compartir igual). Para ver una copia de esta licencia, visitar el enlace http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/.
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Índice
1. A3. Momentos de inercia ..........................................................................................5
1.1 Introducción .................................................................................................................. 5 1.1 Actividad....................................................................................................................... 6
1.1.1 Momento de inercia de un cuerpo......................................................................................................................6 Concepto de inercia............................................................................................................................6 Momento de inercia de un punto material respecto a un eje..............................................................6 Momento de inercia (de segundo orden) de una superficie plana respecto a un eje .........................7 Momento de inercia polar. ..................................................................................................................8 Producto de inercia.............................................................................................................................8
1.1.2 Momentos de inercia de figuras simples ............................................................................................................9 Rectángulo..........................................................................................................................................9 Triángulo.............................................................................................................................................9 Círculo ..............................................................................................................................................10 Semicírculo .......................................................................................................................................10 Cuadrante de círculo ........................................................................................................................11
1.1.3 Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos) ..................................................................................................12 1.1.4 Momentos de inercia de figuras compuestas...................................................................................................13
Ejemplo.............................................................................................................................................13 1.1.5 Conceptos derivados del momento de inercia .................................................................................................15
1.1.5.1 Radio de giro ....................................................................................................................................15 Ejemplo.............................................................................................................................................15
1.1.5.2 Momento resistente ..........................................................................................................................16
2. TA1. Cálculo de propiedades físicas con AutoCAD.............................................18
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1. A3. Momentos de inercia
1.1 Introducción En la actividad que nos ocupa se aprenderán los siguientes conceptos y manejo de destrezas:
� Comprender el concepto de momento de inercia.
� Calcular el momento de inercia de figuras planas.
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1.1 Actividad
1.1.1 Momento de inercia de un cuerpo
Concepto de inercia
Inercia es la capacidad que tiene un determinado proceso para continuar. Fue denominada por el matemático y físico Leonhard Euler para expresar los efectos producidos por los cuerpos en movimiento.
En su aplicación a la Resistencia de Materiales podemos decir que la resistencia de un elemento estructural no sólo depende del material, sino también de la forma que presenta la sección normal a su eje. En consecuencia, cuanto más grande es la inercia de un cuerpo, tendrá más resistencia frente a la deformación alrededor de un punto, un eje, un plano, etc. Para expresarlo todo esto matemáticamente va a recurrirse al concepto de Momento de Iner-cia (I).
En la presente actividad van a estudiarse momentos de inercia referidos a superficies (no a volúmenes), aunque un nombre más exacto sería el de momentos de segundo orden (dado que una superficie carece de masa y por lo tanto no se produce inercia).
Momento de inercia de un punto material respecto a un eje
El momento de inercia de un punto respecto de un eje ∆∆∆∆, es igual al producto de la masa M del punto por lo cuadrado de su distancia d al eje ∆∆∆∆.
2dMI ⋅=∆
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Momento de inercia (de segundo orden) de una superficie plana respecto a un eje
El momento de inercia de una superficie plana con respecto a un eje ∆∆∆∆, es igual a la suma de los momentos de inercia del conjunto de elementos de superficie dA1, dA2, dA3 ... dAn que forma la superficie ΑΑΑΑ respecto al eje ∆∆∆∆.
Entonces, siendo el momento de inercia de cada elemento de superficie igual al producto de su área por lo cuadrado de su distancia al eje ∆∆∆∆:
( )∑ ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=∆
22233
222
211 ..... ddAddAddAddAddAI nn
Cuando el eje es coplanario con la superficie, se denomina momento de inercia axial.
Si aplicamos la última expresión matemática a los ejes ortogonales X e Y tenemos lo si-guiente:
( )
( )∑∑
⋅=
⋅=
2
2
xdAI
ydAI
Y
X
Las unidades del momento de inercia están en función de las escogidas para medir la su-perficie y longitud que intervienen en él. El mas habitual es expresar la superficie en mm2 y a distancia en mm, siendo entonces la unidad del momento de inercia el mm4. Si trabajára-mos con m2 y m respectivamente, la unidad del momento de inercia sería el m4.
Como consecuencia de ser potencia par, el signo del momento de inercia siempre será positivo.
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Momento de inercia polar.
Es el momento de inercia de una superficie respecto a un eje (eje polar) perpendicular al plano que la contiene.
Dado que el eje perpendicular al plano de la superficie en su intersección con éste deter-mina un punto, puede definirse el momento de inercia polar, como el momento de inercia de una superficie respecto a un punto llamado polo.
El momento de inercia polar de la superficie A, es igual a la suma de los momentos pola-res de los elementos de superficie dA respecto al polo O.
[ ] [ ]XY IIydAxdAyxdArdAI +=⋅+⋅=+⋅=⋅= ∑∑∑∑ )()()( 22222
0
En consecuencia podemos ver que el valor del momento de inercia polar de una superfi-cie respecto a un eje perpendicular a ella es igual a la suma de los momentos de inercia axia-les de dicha superficie respecto a dos ejes ortogonales con origen en el polo O y contenidos en el plano de la figura.
Producto de inercia
Producto de inercia IXY de una superficie plana A respecto a dos ejes X e Y coplanarios a ella es igual a la suma de los productos de cada elemento de superficie dA por su distancia a ambos ejes.
( )∑ ⋅⋅= yxdAI XY
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1.1.2 Momentos de inercia de figuras simples
Para simplificar los cálculos, existen expresiones tabuladas para muchas de las figuras geo-métricas elementales:
Rectángulo
� Para unos ejes ortogonales X e Y que pasen por su vértice inferior izquierdo:
3
3hb
I X
⋅=
3
3hb
IY
⋅=
� Para unos ejes ortogonales X' e Y' que pasen por su centro de gravedad:
12
3
'
hbI X
⋅=
12
3
'
hbIY
⋅=
Triángulo
� Para un eje horizontal X que pase por su base: 12
3hb
I X
⋅=
� Para un eje horizontal X' que pase por su centro de gravedad: 36
3
'
hbI X
⋅=
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Círculo
� Para cualquier eje que pase por su centro de gravedad: 4
4r
III nYX
⋅===
π
Semicírculo
� Para el eje horizontal X que coincide con su diámetro: 8
4r
I X
⋅=
π
� Para el eje vertical Y que pasa por su centro de gravedad: 8
4r
IY
⋅=
π
Si tuviéramos el semicírculo girado 90º lógicamente las expresiones matemáticas serían:
8
4r
II YX
⋅==
π
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Cuadrante de círculo
� Para unos ejes ortogonales X e Y que coinciden con sus radios horizontal y vertical:
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4r
II YX
⋅==
π
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1.1.3 Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos)
El momento de inercia de un cuerpo o de una superficie respecto a un eje es igual al mo-mento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad incrementado en el producto del área de la superficie por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
– Referido al eje horizontal X:
2GXGX yAII ⋅+=
– Referido al eje vertical Y:
2GYGY xAII ⋅+=
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1.1.4 Momentos de inercia de figuras compuestas
En ocasiones nos encontramos con superficies complejas de difícil resolución. No obstante, muchas de estas superficies pueden descomponerse como la suma de superficies más senci-llas (como las del apartado anterior) con momentos de inercia más fáciles de calcular.
El momento de inercia de una figura compuesta respecto a un determinado eje será igual a la suma de los momentos de inercia (respecto a este mismo eje) de las n partes en las que la descompusiésemos.
∑=
=
=+++=ni
i
in IIIII1
21 ...
Cuando en una figura compuesta se reste una superficie (como podría ser un hueco en ella), el momento de inercia de dicho hueco deberá restarse del momento de inercia de la fi-gura total.
Ejemplo
Determínese el momento de inercia de la figura adjunta respecto al eje horizontal X situado en su base.
La figura dada puede obtenerse con la suma de un rectángulo y dos triángulos:
Los momentos de inercia de cada pieza pueden calcularse por separado.
� Triángulos
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Para ambos, el momento de inercia respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad viene dado por la siguiente expresión:
433
33,536
43
36cm
hbIxCDG =
⋅=
⋅=
Utilizando Steiner calculamos el momento de inercia respecto al eje horizontal dado.
– Posición:
y = 5,33cm
– Área:
A = 2
43
2
⋅=
⋅hb = 6 cm2
Y por lo tanto, para cada uno de los triángulos:
422 78,17533,5633,5 cmxyAIxIx CDG =+=⋅+=
� Rectángulo:
El momento de inercia respecto a un eje horizontal que pasa por su base es, directa-mente:
.67,2343
411
34
33
cmhb
Ix =⋅
=⋅
=
Finalmente, el momento de inercia de la figura completa será:
423,58667,234)78,1752( cmxI X =+=
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1.1.5 Conceptos derivados del momento de inercia
1.1.5.1 Radio de giro
Dada una superficie plana de área A, con un momento de inercia ΙΙΙΙ∆∆∆∆ respecto a un eje ∆∆∆∆, ese mismo momento ΙΙΙΙ∆∆∆∆ podríamos obtenerlo con una superficie igual a la anterior pero dispues-ta en una franja paralela al eje ∆∆∆∆ y de espesor infinitesimal. Para eso, esta franja tendría que estar a una determinada distancia i∆∆∆∆ de dicho eje.
A esta distancia i∆∆∆∆ es lo que se denomina radio de giro.
A
IiiAI ∆∆∆∆ =⇒⋅=
2
Se define con unidades de longitud: Puede darse en metros, milímetros, etc (en función de las unidades empleadas en su cálculo).
El radio de giro de una superficie es un valor importante en muchos problemas de Resis-tencia de Materiales como por ejemplo en el cálculo de piezas comprimidas. Así, dadas dos figuras planas con la misma superficie, la de menor radio de giro será la que presenta un peor comportamiento de pandeo (la pieza se abomba al ser comprimida igual que sucedería con un bastón muy esbelto al apoyarnos en él).
Ejemplo
El radio de giro respecto del eje X para la figura estudiada anteriormente, viene dado por la siguiente expresión:
.23,3)4462(
23,586cm
A
Iix X =
+⋅==
���� Vamos a hacer los ejercicios 1 al 5 en los que calcularemos el momento de inercia y el radio de giro de una figura compuesta.
���� En el Texto de Apoyo "TA1" se explica el proceso a seguir para obtener el centro de gravedad, momento de inercia y radio de giro de una superficie mediante AutoCAD.
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1.1.5.2 Momento resistente
El momento resistente o módulo resistente es una magnitud geométrica que caracteriza la resistencia de un prisma sometido a flexión. Usualmente se designa mediante la letra W.
Es calculable a partir de la forma y dimensiones de su sección transversal, relacionando las tensiones máximas σ sobre dicha sección y el esfuerzo de flexión M aplicado sobre ella.
W
M=σ
Para unos ejes situados en el centro de gravedad de una sección, vienen dados por las si-guientes fórmulas:
max
max
x
IW
y
IW
YY
XX
=
=
Sus unidades serán (L)3 expresándose habitualmente en m3 o mm3.
Algunos valores para figuras geométricas elementales serían los siguientes:
� Sección rectangular:
La máxima fatiga en esta sección, correspondiente con el punto más alejado con res-pecto al eje que pasa por su centro de gravedad.
Entonces:
62
12 2
3
max
hb
h
hb
y
IW X
X
⋅=
⋅
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Profesor: Jorge Bad
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� Sección triangular:
De nuevo la máxima fatiga se corresponde con el punto más alejado con respecto al eje que pasa por su centro de gravedad.
Entonces:
243
2
36 2
3
max
hb
h
hb
y
IW X
X
⋅=
⋅
==
� Sección circular:
Como en los casos anteriores a máxima fatiga se corresponde con el punto más aleja-do con respecto al eje que pasa por su centro de gravedad. Entonces:
( ) 4
4 3
4
max
r
r
r
y
IW X
X
⋅=
⋅
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2. TA1. Cálculo de propiedades físicas con AutoCAD
¿Sabes que puedes calcular la posición del centro de gravedad, el valor del momento de inercia o el radio de giro de una superficie respecto a los ejes de AutoCAD?
En el siguiente guion se indican los pasos a seguir:
� Dibujamos la figura con la orden línea (o polilínea).
Recordemos que debe estar posicionada en relación con el origen de coordenadas para obtener los resultados adecuados a los ejes del dibujo.
� Convertimos las líneas en una superficie.
Mediante la orden "región" ("region" en la versión inglesa del programa) selecciona-mos todas las líneas que delimitan la figura. Lógicamente esta figura debe estar cerrada.
En caso de que la figura tuviese un hueco, deberíamos crear también la región corres-pondiente al hueco. Posteriormente restaríamos dicho hueco a la figura principal con la orden "diferencia" ("subtract" en inglés).
� Obtención de resultados de las propiedades físicas.
Finalmente la orden "propfis" ("massprop" en inglés) nos dará la información sobre los siguientes valores de la figura:
– Área
– Perímetro
– Centro de gravedad
– Momento de inercia
– Producto de inercia
– Radios de giro
– Otros...
