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MÓDULO PROFESIONAL

ESTRUCTURAS DE CONSTRUCCIÓN Profesor: JORGE M. BADÁS PEITEADO

UNIDAD DIDÁCTICA 1.

¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA? ACTIVIDAD 1.2.

CENTROS DE GRAVEDAD

Estos apuntes para su uso en el aula están basados en el trabajo realizado durante una licencia de formación retribuida por la Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria (Xunta de Galicia, 2013) bajo licencia Creative Commons BY-NC-SA (reconocimiento - no comercial - compartir igual). Para ver una copia de esta licencia, visitar el enlace http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/.

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Índice

1. A2. Centros de gravedad ..........................................................................................5

1.1 Introducción .................................................................................................................. 5

1.2 Actividad....................................................................................................................... 6

1.2.1 Concepto de centro de gravedad .......................................................................................................................6

Centro de gravedad de figuras geométricas planas ...........................................................................7

1.2.2 Métodos para determinar el centro de gravedad .............................................................................................10

1.2.2.1 Determinación experimental .............................................................................................................10

Ejemplo de determinación experimental...........................................................................................10

1.2.2.2 Determinación analítica ....................................................................................................................11

Ejemplo de determinación analítica..................................................................................................12

1.2.2.3 Determinación gráfica.......................................................................................................................14

Ejemplo de determinación gráfica ....................................................................................................15

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1. A2. Centros de gravedad

1.1 Introducción En la actividad que nos ocupa se aprenderán los siguientes conceptos y manejo de destrezas:

� Comprender el concepto de centro de gravedad.

� Calcular analíticamente el centro de gravedad de una figura plana.

� Determinar gráficamente el centro de gravedad de una figura plana.

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1.2 Actividad

1.2.1 Concepto de centro de gravedad

Se denomina gravedad a la atracción que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos, cuya di-

rección es la línea imaginaria que une dicho cuerpo con el centro del planeta y su sentido es

hacia el citado centro.

A fuerza de gravedad es la resultante del conjunto de fuerzas paralelas equivalentes a la

atracción que ejerce la Tierra sobre cada partícula que compone la masa de cualquier cuer-

po.

El centro de gravedad es el punto fijo e invariable de un cuerpo, por el cual pasa la dicha

resultante de las fuerzas de gravedad. Cualquiera que sea la posición que ocupe un cuerpo

respecto a la superficie de la Tierra, la resultante siempre pasará por su centro de gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo no tiene porqué estar situado en el interior de dicho

cuerpo. Uno de los ejemplos más claros sería una esfera hueca, pues el centro de gravedad

se encuentra en su centro (un lugar que lógicamente está vacío).

Un objeto apoyado sobre una superficie horizontal estará en equilibrio estable si la pro-

yección vertical de su centro de gravedad cae dentro de su base de apoyo. Si el cuerpo se

aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recupe-

rará la posición de equilibrio inicial.

No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer

fuera de su base de apoyo, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandonará defini-

tivamente la posición de equilibrio inicial. Se producirá entonces una rotación que lleva el

cuerpo a una nueva posición de equilibrio.

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Centro de gravedad de figuras geométricas planas

Si una figura cualquiera posee un eje de simetría, su centro de gravedad estará situado en di-

cho eje. Si una figura posee dos o más ejes de simetría, su centro de gravedad estará en la

intersección de dichos ejes.

Los centros de gravedad de algunas de las figuras geométricas planas más elementales, se

encuentran en las siguientes posiciones:

� Cuadrado, rectángulo, rombo y romboide:

En el punto de intersección de sus diagonales.

2

bx =

2

hy =

� Círculo:

En su centro.

� Polígonos regulares:

En el centro de la circunferencia que lo circunscribe.

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� Cuarto de círculo:

Esta figura posee un eje de simetría, por el que su centro de gravedad estará contenido

en la línea que define dicho eje.

Su posición vendrá determinada por las siguientes expresiones matemáticas:

π3

4rx =

π3

4ry =

� Semicírculo:

Al igual que el cuarto de circunferencia posee un eje de simetría, por el que su centro

de gravedad estará contenido en la línea que define dicho eje.

Su posición vendrá determinada por las siguientes expresiones matemáticas:

0=x π3

4ry =

Si tuviéramos el semicírculo girado 90º:

π3

4rx = 0=y

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� Triángulo:

En el baricentro, punto de intersección de las líneas que unen cada vértice con el me-

dio del lado opuesto.

Se encuentra a 1/3 de la altura medida desde a base del triángulo.

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1.2.2 Métodos para determinar el centro de gravedad

El centro de gravedad de cualquier figura plana puede encontrarse por tres métodos diferen-

tes que han de conducir a un mismo resultado:

– Determinación experimental.

– Determinación analítica.

– Determinación gráfica.

Seguidamente se expone el fundamento de cada uno de estos métodos:

1.2.2.1 Determinación experimental

Si un cuerpo cualquiera se suspende de un hilo, su centro de gravedad estará contenido en la

línea vertical prolongación de dicho hilo, pues es la dirección del resultante de las fuerzas de

gravedad.

Si este mismo cuerpo, se suspende por otro punto cualquiera, el centro de gravedad tam-

bién estará contenido en la línea vertical prolongación del hilo.

De acuerdo con lo anterior, la resultante de las fuerzas de gravedad siempre pasa por un

punto fijo e invariable (el centro de gravedad de ese cuerpo) que se encuentra en la intersec-

ción de las dos verticales de cada posición de suspensión.

Ejemplo de determinación experimental

Sea una figura plana definida por las siguientes dimensiones (cotas en cm):

De acuerdo con lo que acabamos de comentar, podríamos tomar un hilo y colgarla por

dos de sus puntos. El resultado sería similar al de la imagen siguiente:

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De acuerdo con lo expuesto, en el cruce de las líneas verticales que resultan de colgar la

figura en cada uno de los puntos obtendremos la posición del centro de gravedad.

Como podemos ver, en este caso se encuentra situado fuera de la superficie de la figura.

1.2.2.2 Determinación analítica

Las fuerzas estudiadas en la actividad A1 anterior actuaron sobre los cuerpos según unas lí-

neas de acción bien definidas. Son las denominadas como fuerzas concentradas.

No obstante las fuerzas van a estar aplicadas sobre cuerpos con superficie o volumen.

Cuando una fuerza actúa sobre un elemento superficial pequeño en relación con las di-

mensiones del cuerpo total puede considerarse como fuerza concentrada. No obstante, cuan-

do consideramos el cuerpo en su totalidad estamos frente a una fuerza distribuida de super-

ficie.

De acuerdo con esto, previamente a la formulación del método analítico será preciso es-

tablecer una serie de consideraciones:

� Centro de fuerzas paralelas

Se denomina así al punto fijo G por lo que pasa la resultante ΣFi de un sistema de

fuerzas paralelas.

Tomando momentos respecto a un sistema de ejes coordenados, la posición del punto

G viene determinado por:

i

ii

GiiGiF

xFXxFXF

Σ

⋅=⇒⋅=⋅Σ∑

∑)(

)(

i

ii

GiiGiF

yFYyFYF

Σ

⋅=⇒⋅=⋅Σ∑

∑)(

)(

Como ya sabemos, cada una de las áreas elementales en las que podemos descompo-

ner una figura plana está sometida a la acción de la fuerza de la gravedad.

Por lo tanto, la acción que la Tierra ejerce sobre las superficies es un claro ejemplo de

fuerzas distribuidas verticales de las cuales podemos encontrar su punto de paso.

� Momento estático (o de primer orden) de una superficie respecto a un eje

Se denomina así al producto del valor de la superficie dada por la distancia del centro

de gravedad de dicha superficie al eje considerado.

En relación con este concepto, podemos asegurar que la fuerza gravitatoria que sufrirá

una figura plana será proporcional a su superficie.

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Estableciendo una relación entre el concepto de centro de fuerzas paralelas y el de momento

estático de una superficie (a demostrar en un desarrollo matemático más complejo) podemos

establecer que:

Si dividimos una figura compleja en varias figuras elementales con centro de gravedad

conocido, puede determinarse la posición del centro de gravedad G de dicha superficie

compleja tomando momentos estáticos de las figuras elementales respecto a unos determi-

nados ejes coordenados:

i

ii

GiiGiA

xAXxAXA

Σ

⋅=⇒⋅=⋅Σ∑

∑)(

)(

i

ii

GiiGiA

yAYyAYA

Σ

⋅=⇒⋅=⋅Σ∑

∑)(

)(

En el caso particular de que la figura a estudiar tuviese algún hueco se aplicarían estas

mismas expresiones con la salvedad de considerar al hueco como una figura con área nega-

tiva.

Ejemplo de determinación analítica

A modo de ejemplo vamos a calcular el centro de gravedad de la figura anterior (cotas en

cm).

Dado que carece de ejes de simetría su determinación no es directa.

Se dividirá en figuras elementales de momentos estáticos conocidos, es decir, en figuras

elementales de las que conocemos su superficie y las distancias desde su centro de gravedad

a unos ejes horizontal y vertical.

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Lógicamente, si hubiésemos optado por otra descomposición en figuras elementales, una

vez terminado el cálculo el resultado para la posición del centro de gravedad ha de ser el

mismo.

Situamos en un esquema la posición de los centros de gravedad de los dos rectángulos

que componen la figura así como los ejes de coordenadas que vamos a tomar de referencia

para el cálculo.

De acuerdo con lo indicado en la exposición anterior, para hallar la ordenada y se toman

momentos estáticos respecto al eje X y para calcular la abscisa x se toman respecto al eje Y

– Cálculo de la coordenada x del centro de gravedad:

Para eso tomamos momentos respecto al eje Y:

(8 · 2) · 1 + (10 · 2) · 7 = (8 · 2 + 10 · 2) · x

156 = 36x ⇒ x = 156 / 36 = 4,33 cm

– Cálculo de la coordenada y del centro de gravedad:

Para eso tomamos momentos respecto al eje X:

(8 · 2) · 4 + (10 · 2) · 1 = (8 · 2 + 10 · 2) · y

84 = 36y ⇒ y = 84 / 36 = 2,33 cm

Podemos simplificar toda la resolución anterior mediante el cálculo de los valores reco-

gidos en la siguiente tabla y la posterior aplicación de las fórmulas directas:

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Cálculo de sumatorios de áreas y momentos estáticos

elemento Ai Xi Yi Ai · Xi Ai · Yi

Elemento 1 (vertical) 16 1 4 16 64

Elemento 2 (horizontal) 20 7 1 140 20

Sumatorios 36 156 84

cmA

xAX

i

iiGT 33,4

36

156==

Σ

⋅Σ=

cmA

yAY

i

iiGT 33,2

36

84==

Σ

⋅Σ=

���� Vamos a hacer los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 en los que haremos el cálculo del centro de

gravedad de una figura con el método analítico.

1.2.2.3 Determinación gráfica

El cálculo gráfico del centro de gravedad de cualquier figura plana se realiza con la aplica-

ción del polígono funicular.

El fundamento de esta construcción geométrica es el similar al empleado en el método

analítico: La descomposición de una figura compleja en otras elementales sometidas a la ac-

ción de la gravedad (en función de la superficie de cada una de ellas) y posteriormente la

obtención del centro del sistema de fuerzas paralelas que sufre cada una de dichas figuras

elementales.

El proceso a seguir es:

– Las superficies compuestas o irregulares se descomponen en figuras geométricas sen-

cillas de centro de gravedad conocido.

– En sus respectivos centros de gravedad se aplican fuerzas paralelas proporcionales a

sus áreas.

– Mediante el polígono funicular, se encuentra la recta de aplicación de la resultante de

las citadas fuerzas.

– A continuación, se da un giro de 90º a las fuerzas de gravedad que representan las áre-

as de las diferentes figuras y de nuevo se halla su recta de aplicación.

– El punto de intersección de esta recta de acción de la resultante con la determinada an-

teriormente nos proporciona el centro de gravedad de la superficie plana.

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Ejemplo de determinación gráfica

A modo de ejemplo vamos a calcular el centro de gravedad de la figura anterior (cotas en

cm):

Tras dibujar la figura a escala, se dividirá en dos rectángulos de áreas y centros de grave-

dad conocidos:

En sus respectivos centros de gravedad se aplican fuerzas paralelas proporcionales a sus

áreas y se procederá a calcular el punto de paso de la resultante aplicando el polígono funi-

cular.

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A continuación, se da un giro de 90º a las fuerzas de gravedad que representan las áreas

de las diferentes figuras y de nuevo se encuentra la recta de paso de la suya resultante apli-

cando el polígono funicular.

El punto de intersección de esta recta con la determinada anteriormente nos proporciona

el centro de gravedad de la superficie plana.

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���� Vamos a hacer los ejercicios A, B y C en los que haremos el cálculo del centro de gra-

vedad de una figura con el método gráfico del polígono funicular.

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