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e s t r u c t u r a s apuntes par a su uso e n el aula Profesor : Jor g e B Profesor : Jor g e Badás Profesor : Jor g e Badás apuntes par a su uso e n el aula Profesor : Jor g e Badás apuntes par a su uso e n el aula tes par a su uso e n el aula Profesor : Jor g e e s t r u c t u r a s e s t r u c t u r a s e s t r u c t u r a s e s t r u c t u r a s s u r a s e s t r u c t u r a s u r a s Página 1 de 22 MÓDULO PROFESIONAL ESTRUCTURAS DE CONSTRUCCIÓN Profesor: JORGE M. BADÁS PEITEADO UNIDAD DIDÁCTICA 1. ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA? ACTIVIDAD 1.1. FUERZAS Y MOMENTOS Estos apuntes para su uso en el aula están basados en el trabajo realizado durante una licencia de formación retribuída por la Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria (Xunta de Galicia, 2014) bajo licencia Creative Commons BY-NC-SA (reconocimiento - no comercial - compartir igual). Para ver una copia de esta licencia, visitar el enlace http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/ .
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MÓDULO PROFESIONAL
ESTRUCTURAS DE CONSTRUCCIÓN Profesor: JORGE M. BADÁS PEITEADO
UNIDAD DIDÁCTICA 1.
¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA? ACTIVIDAD 1.1.
FUERZAS Y MOMENTOS
Estos apuntes para su uso en el aula están basados en el trabajo realizado durante una licencia de formación retribuída por la Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria (Xunta de Galicia, 2014) bajo licencia Creative Commons BY-NC-SA (reconocimiento - no comercial - compartir igual). Para ver una copia de esta licencia, visitar el enlace http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/.
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Índice
1. A1. Fuerzas y momentos ..........................................................................................5
1.1 Introducción .................................................................................................................. 5
1.2 Actividad....................................................................................................................... 6
1.2.1 Introducción a la Estática ...................................................................................................................................6
1.2.2 Fuerzas ..............................................................................................................................................................7
Concepto de fuerza ............................................................................................................................7 Las fuerzas en los principios fundamentales de la estática................................................................8 Sistema de fuerzas .............................................................................................................................9
1.2.3 Momento de una fuerza respecto a un punto...................................................................................................11
Concepto de momento .....................................................................................................................11 Teorema de Varignon generalizado (Teorema de los momentos) ...................................................12
1.2.4 Composición de fuerzas...................................................................................................................................13
1.2.4.1 Composición de fuerzas coplanarias................................................................................................13
Sistema de fuerzas colineales ..........................................................................................................13 Sistema de fuerzas concurrentes .....................................................................................................13 Sistema de fuerzas coplanarias y no concurrentes ..........................................................................15 Par de fuerzas ..................................................................................................................................17
1.2.4.2 Composición de fuerzas concurrentes no coplanarias .....................................................................18
1.2.5 Descomposición de una fuerza ........................................................................................................................19
Descomposición de una fuerza en dos componentes concurrentes ................................................19 Descomposición de una fuerza en dos componentes paralelas ......................................................20
1.2.6 Condiciones generales de equilibrio de fuerzas en el plano ............................................................................22
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1. A1. Fuerzas y momentos
1.1 Introducción En la actividad que nos ocupa se aprenderán los siguientes conceptos y manejo de destrezas:
� Realizar operaciones de composición, descomposición y equilibrio de fuerzas.
� Manejar los métodos de la grafoestática.
� Calcular y aplicar momentos estáticos.
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1.2 Actividad
1.2.1 Introducción a la Estática
El estado de equilibrio o de movimiento de los cuerpos es producido por unas causas inter-
nas o externas a estos denominadas fuerzas.
La parte de la Física que estudia las fuerzas que originan dichos estados de equilibrio (o
de reposo) y movimiento de los cuerpos, se llama Mecánica.
Atendiendo al tiempo, la Mecánica se divide en dos partes:
� Estática:
Estudia las condiciones que deben de cumplir las fuerzas aplicadas a los cuerpos, para
que estos se mantengan en equilibrio (como si sobre ellos no actuara ninguna clase de
fuerza). Es decir, estudia sistemas estacionarios en los que el tiempo no es determinante.
Dentro de los muchos conocimientos que engloba la Estática, su parte llamada Grafos-
tática o Estática Gráfica estudia las condiciones necesarias para establecer el equilibrio
de un sistema de fuerzas, empleando exclusivamente trazados geométricos. La resolución
gráfica no posee la misma exactitud que la analítica, pero sus resultados están siempre
dentro de las tolerancias admitidas.
También dentro de la Estática se encuentra la Geometría de Masas, parte que estudia
la distribución espacial de la masa en los sistemas materiales. Entres los conceptos que
contemplan están los de centro de gravedad y momento de inercia a tratar en actividades
posteriores.
� Dinámica:
Estudia el movimiento de los cuerpos y a su vez se subdivide en:
– Cinemática:
Estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuente las fuerzas que lo produ-
cen.
– Cinética:
Relaciona las fuerzas con los movimientos originados por ellas.
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1.2.2 Fuerzas
Concepto de fuerza
Las fuerzas representan las acciones que unos cuerpos ejercen sobre otros.
Una fuerza es una magnitud vectorial. En consecuencia, se representa gráficamente por
medio de un segmento rectilíneo al que se dará sentido colocando una punta de flecha en un
extremo y que se denomina vector fuerza.
Para su total identificación necesita cuatro elementos fundamentales:
– Punto de aplicación u origen O.
– Dirección de la fuerza que nos viene dada por su recta soporte ab.
– Magnitud, intensidad o módulo que es la longitud OB medida a cierta escala.
Se representa como F .
– Sentido de la fuerza, que nos da la punta de flecha en el punto B.
Un vector fuerza F que forma un determinado ángulo αααα con la horizontal viene determinado
por sus proyecciones ortogonales sobre los ejes X e Y:
αcos⋅= FFx
αsenFFy ⋅=
Si las dos expresiones anteriores se elevan el cuadrado y se suman miembro a miembro, tras
simplificar obtendremos la expresión que nos dan el valor del módulo del vector fuerza:
αα 222222cos senFFFF yx +=+
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( )αα 22222cos senFFF yx +⋅=+
1222⋅=+ FFF yx
F F Fx y
2 2 2+ =
F F Fx y= +2 2
Igualmente, de la imagen anterior podemos deducir el valor del ángulo α mediante relacio-
nes trigonométricas:
x
y
x
y
F
Farctg
F
Ftg =⇒= αα
Si los extremos del vector fuerza vienen dados por sus coordenadas (XB, YB) y (XO, YO)
también podremos determinar los ángulos que forma el vector con los ejes:
F
XXar
F
XX
F
F OBOBX−
=⇒−
== coscos αα
F
YYar
F
YY
F
F OBOBY−
=⇒−
== coscos ββ
���� Vamos a hacer el ejercicio 1, en el que descompondremos matemáticamente una fuer-
za en sus componentes.
Las fuerzas en los principios fundamentales de la estática
Relacionados con las fuerzas se encuentran los principios fundamentales de la estática, que
pueden resumirse en los siguientes:
� Principio de las fuerzas iguales y opuestas.
Dos fuerzas en la misma línea de acción, de igual intensidad y sentidos opuestos, se
equilibran mutuamente.
Como desarrollo de este principio resulta el teorema de la transmisibilidad: Cualquier
fuerza puede ser desplazada sobre su línea de acción sin que se produzca variación en su
efecto.
� Principio de la fuerzas concurrentes.
Cualquier sistema de fuerzas concurrentes que actúe sobre un sólido, puede ser susti-
tuido por una fuerza capaz de sustituir a todas las del sistema (llamada resultante), pro-
duciendo los mismos efectos.
Como desarrollo de este principio se obtiene la regla del paralelogramo: La resultante
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de dos fuerzas concurrentes es igual a la diagonal del paralelogramo construido tomando
dichas fuerzas como lados.
� Principio de la igualdad de acción y reacción.
La acción de una fuerza o sistema de fuerzas es contrarrestada por otra fuerza de igual
intensidad, pero de sentido opuesto, llamada reacción.
Sistema de fuerzas
Es un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo manteniendo o modificando su estado
de equilibrio.
Todas las fuerzas que forman un sistema se llaman fuerzas componentes y se denomina
fuerza resultante a aquella que sería equivalente a todo el sistema formado por las compo-
nentes.
Según la posición que adopte la línea de acción de cada una de las diferentes fuerzas que
integran el sistema, este recibirá las denominaciones siguientes:
� Sistema de fuerzas coplanarias.
Es aquel cuyas fuerzas integrantes están contenidas en el mismo plano.
A su vez, esta clase de sistemas también podrían ser colineales o concurrentes.
– Sistema de fuerzas colineales.
Aquellas cuyas fuerzas integrantes están situadas en la misma línea de acción.
– Sistemas de fuerzas concurrentes.
Es aquel en el que las líneas de acción del conjunto de fuerzas, que forman el sis-
tema, se cortan o concurren en un mismo punto.
– Sistemas de fuerzas no concurrentes.
Las fuerzas no concurren todas en el mismo punto.
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� Sistema de fuerzas no coplanario.
Es aquel cuyas fuerzas integrantes no están contenidas en el mismo plano.
Esta clase de sistemas esta formada por fuerzas que se cruzan en el espacio.
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1.2.3 Momento de una fuerza respecto a un punto
Concepto de momento
El momento de una fuerza F respecto a un punto O es la magnitud vectorial representada
por el vector MO, entendiéndose como tal el producto de la fuerza F por la distancia per-
pendicular a ella desde el punto O.
dFM O ⋅=
El vector momento MO es perpendicular al plano determinado por la recta de acción de la
fuerza y el punto O, indicándonos el efecto de giro que produce la fuerza sobre el centro de
momentos. Por lo tanto, se suele representar de las dos siguientes maneras
Si tomamos un punto A cualquiera perteneciente a la recta de acción de la fuerza F, sien-
do θ el ángulo que forman los vectores F y el vector OA, el momento viene dado por la si-
guiente expresión:
θsenOAFM O ⋅⋅=
La unidad de medida de los momentos vendrá determinada por las unidades de fuerza y
distancia (por ejemplo, KN·m, N·mm, etc). En lo que se refiere a su signo, generalmente se
adopta el sentido antihorario como positivo.
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Con el momento de una fuerza con respecto a un punto podremos conocer la capacidad
de una fuerza (o de un sistema de fuerzas) para provocar una rotación alrededor de un eje
que pasa por dicho punto. Tendrán una gran utilidad en el cálculo de elementos sometidos a
flexión (como por ejemplo las vigas de un edificio).
Teorema de Varignon generalizado (Teorema de los momentos)
El momento respecto a un punto O de la resultante de un sistema de fuerzas es igual a la
suma de los momentos respecto a O de todas las fuerzas del sistema.
Si por ejemplo R = F1 + F2 + ..... + Fn , siendo sus componentes concurrentes en un pun-
to A, podemos aplicar que:
iiO dFdRM ⋅=⋅= ∑
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1.2.4 Composición de fuerzas
Componer fuerzas es la operación de reducir un sistema una sola fuerza equivalente llamada
resultante.
Se dice que dos sistemas de fuerzas son equivalentes cuando ejercen el mismo efecto so-
bre un cuerpo (tienen la misma resultante). Además, si la resultante es nula se dice que el
sistema está en equilibrio.
La resultante de un sistema de fuerzas puede encontrarse de forma gráfica o analítica.
1.2.4.1 Composición de fuerzas coplanarias
Sistema de fuerzas colineales
Cuando las fuerzas tienen el mismo sentido, el valor de la resultante R es igual a la suma de
las intensidades F1, F2 y F3, del mismo sentido y colineal a ellas.
Cuando las fuerzas tienen diferente sentido, la resultante es igual a la diferencia de inten-
sidades de las fuerzas F1 y F2. La resultante es colineal a las citadas fuerzas y de sentido
igual al de la mayor.
Sistema de fuerzas concurrentes
Si dos fuerzas F1 y F2 concurren en un punto O, la resultante se obtiene aplicando el princi-
pio del paralelogramo comentado anteriormente.
En el caso de que concurrieran tres o más fuerzas coplanarias en un punto O, aplicaría-
mos la ley del paralelogramo a dos fuerzas. La resultante de las anteriores se resolvería con
la siguiente fuerza y así sucesivamente, hasta llegar a la resultante total RT del sistema.
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Para simplificar este trazado geométrico, se suele recurrir al polígono de suma de fuer-
zas, trazando vectores equipolentes a los dados y ordenándolos uno a continuación de otro.
Uniendo el primer punto con el último obtendremos el valor y la dirección de la resultante.
Finalmente trasladaremos dicho vector resultante a su punto de paso en O.
Analíticamente, las proyecciones de la resultante del sistema referidas a unos determina-
dos ejes ortogonales son la suma algebraica de las proyecciones de los vectores a sumar.
NxxxX FFFR +++= ...21
NyyyY FFFR +++= ...21
Para emplear ambas fórmulas se consideran positivas las fuerzas que se dirigen hacia
aparte positiva de los ejes X e Y (hacia la derecha y hacia arriba respectivamente).
Esta resultante tendrá su punto de paso en el punto O origen de todas las fuerzas que
componen el sistema.
���� Vamos a hacer los ejercicios 2 y 3, en los que obtendremos la resultante de un sistema
de fuerzas concurrentes.
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Sistema de fuerzas coplanarias y no concurrentes
En este sistema, las fuerzas tienen dirección cualquiera.
En algunos casos su composición se podría hacer aplicando el principio del paralelogra-
mo prolongando las líneas de acción de las fuerzas dos a dos hasta que se corten. Pero en
otros, como por ejemplo cuando las fuerzas fuesen paralelas, no podríamos emplear este
método.
Para resolver todos estos problemas resulta muy rápido y eficaz el método grafostático
denominado polígono funicular.
El proceso para su resolución es el siguiente:
� Se crea el polígono de suma de fuerzas con vectores fuerza F1', F2', F3' ,... equipolentes a
las que integran el sistema. Cerrando el polígono, obtenemos la resultante R del sistema.
� Tras la construcción anterior se toma un punto O (denominado polo), perteneciente al
plano del polígono de suma de fuerzas y se unen los extremos de cada fuerza con este
punto. Los segmentos I, II, III, IV,... se llaman rayos polares.
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Como podemos ver, la fuerza F1 viene delimitada por los rayos I y II, la fuerza F2 por
II y III, la fuerza F3 por III y IV, etc.
La resultante del sistema está limitada por el primero y por el último rayo.
� A continuación se crea sobre el sistema de fuerzas original el polígono funicular siguién-
dose estos pasos:
– Se elige un punto arbitrario P, y se traza una paralela al rayo polar I por dicho punto
hasta cortar a la línea de acción de F1. Obtenemos así el punto a.
– Por el punto a se traza una paralela al rayo polar II hasta que corte a la línea de acción
de la fuerza F2 en el punto b.
– Por el punto b se traza una paralela al rayo polar III hasta que corte a la línea de ac-
ción de la fuerza F3 en el punto c.
– Repitiendo lo explicado, se completa el trazado de paralelas a todos los rayos polares,
obteniendo el polígono funicular que es la figura formada por las rectas I, II, III, IV,
...
Comparándolo con lo comentado sobre el polígono de suma de fuerzas, sobre la línea
de acción de F1 se cortan los rayos I y II, sobre la línea de acción de F2 se cortan II y III,
sobre la de F3 se cortan III y IV, etc.
� Se prolongan los lados primero y último del polígono funicular hasta que se corten en un
punto Z. Por dicho punto se traza una recta paralela a la resultante del polígono de suma
y se aplica su módulo.
En un sistema de fuerzas puede trazarse infinito funicular, ya que el polo O y el punto P
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son arbitrarios (aunque siempre obtendremos el mismo resultado).
En lo que se refiere a la solución analítica, de nuevo las proyecciones de la resultante del
sistema referidas a unos determinados ejes ortogonales son la suma algebraica de las pro-
yecciones de los vectores a sumar.
NxxxX FFFR +++= ...21
NyyyY FFFR +++= ...21
Recordemos el criterio de signos a emplear en ambas fórmulas: Se consideran positivas
las fuerzas que se dirigen hacia aparte positiva de los ejes X e Y (hacia la derecha y hacia
arriba respectivamente).
Para obtener el punto de paso de la resultante, emplearemos el teorema de Varignon ge-
neralizado (el momento respecto a un punto O de la resultante de un sistema de fuerzas es
igual a la suma de los momentos respecto a O de todas las fuerzas del sistema).
Si R = F1 + F2 + ..... + Fn, la distancia a la que se encuentra dicha resultante con respecto
a un punto O cualquiera podemos deducirla del teorema de Varignon generalizado:
R
dFddFdR
ii
ii
⋅=⇒⋅=⋅∑∑
���� Vamos a hacer el ejercicio 4, en el que obtendremos la resultante de un sistema de
fuerzas gráficamente (empleando el polígono funicular) y de modo analítico.
En el caso de que las fuerzas fuesen paralelas, para la resolución del problema se seguiría el
mismo proceso.
La resultante tendrá como módulo la suma de las distintas fuerzas, la misma dirección y
el sentido obtenido de la suma.
���� Vamos a hacer el ejercicio 5, en el que obtendremos la resultante de un sistema de
fuerzas paralelas gráficamente (empleando el polígono funicular) y de modo analítico.
Par de fuerzas
Se podría considerar como un caso particular de fuerzas coplanarias no concurrentes.
Se trata de un sistema formado por dos fuerzas del mismo módulo pero de sentido con-
trario. En este caso, la magnitud de la resultante se anula y el punto de paso Z de ésta se ale-
ja indefinidamente.
Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce un giro que depende del valor de las
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fuerzas que forman el par y de la distancia d perpendicular entre ambas (brazo del par).
El momento de un par de fuerzas M, es una magnitud vectorial que tiene por módulo el
producto de cualquiera de las fuerzas por la distancia perpendicular entre ambas.
dFdFM ⋅=⋅= 21
1.2.4.2 Composición de fuerzas concurrentes no coplanarias
Su composición queda reducida a la aplicación sucesiva de composición de fuerzas concu-
rrentes y coplanarias.
En el caso particular de 3 fuerzas ortogonales entre sí, la resultante del sistema es igual a
la diagonal del paralelepípedo de aristas iguales a los vectores fuerza.
De un modo análogo a lo que sucede con las fuerzas concurrentes coplanarias, las coorde-
nadas de la resultante del sistema referidas a tres ejes ortogonales son la suma algebraica de
las proyecciones de los vectores a sumar.
NxxxX FFFR +++= ...21
NyyyY FFFR +++= ...21
NzzzZ FFFR +++= ...21
El módulo del vector resultante será:
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ZYX RRRR ++=
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1.2.5 Descomposición de una fuerza
Es la operación inversa a la composición de fuerzas, consistiendo en encontrar las compo-
nentes de un sistema partiendo de su resultante.
Existe una gran variedad de casos, exponiéndose a continuación algunos de los más habi-
tuales:
Descomposición de una fuerza en dos componentes concurrentes
Dada una fuerza R, se quiere descomponer según dos direcciones a y b conocidas.
El proceso a seguir es el del principio del paralelogramo pero en orden inversa:
– Por el origen de la resultante se traza una paralela a cualquiera de las dos direcciones.
– Por el extremo de la resultante, se traza una paralela a la otra dirección.
– Completando el paralelogramo, se obtienen las componentes con las direcciones soli-
citadas.
Analíticamente, conocido el ángulo γ de la fuerza a descomponer así como los de las di-
recciones α y β, formularemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitos
donde Fa y Fb son los valores a obtener:
⋅+⋅=⋅
⋅+⋅=⋅⇒
+=
+=
βαγ
βαγ
senFsenFsenR
FFR
FFR
FFR
ba
ba
byayY
bxaxX coscoscos
Recordemos de nuevo el criterio de signos a emplear: Se consideran positivas las fuerzas
que se dirigen hacia aparte positiva de los ejes X e Y (hacia la derecha y hacia arriba respec-
tivamente).
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Para evitar problemas con los signos de las fuerzas se recomienda introducir el valor de
los ángulos formados con la parte positiva del eje horizontal y midiéndolos en el sentido
contrario a las agujas del reloj. Midiendo así el ángulo, las operaciones trigonométricas que
efectuemos sobre él nos darán directamente el signo adecuado.
���� Vamos a hacer el ejercicio 6, en el que realizaremos de modo gráfico y analítico la
descomposición de una fuerza en dos direcciones dadas.
Descomposición de una fuerza en dos componentes paralelas
Dada una fuerza R, se quiere descomponer según dos direcciones a y b paralelas a ella.
Para resolver este caso emplearemos el polígono funicular de acuerdo con el siguiente
proceso:
– Sobre un vector equipolente a R' se inicia la construcción de un polígono de suma de
fuerzas.
Se toma un punto O cualquiera como polo y se trazan los rayos polares I y III.
– Por un punto c' cualquiera perteneciente a la fuerza R original, se trazan paralelas a
esos rayos polares I y III, obteniendo los puntos a' y b'.
Uniendo ambos puntos obtendremos el rayo polar II.
– Trasladando el rayo polar II al polígono de suma de fuerzas, en su intersección con R
nos permitirá obtener la magnitud de cada una de las componentes Fa y Fb.
Finalmente, trasladaremos ambas componentes sobre las direcciones a y b.
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Para resolver analíticamente el caso anterior, en el que las direcciones para la descomposi-
ción se encuentran cada una a un lado de la fuerza (y con el mismo sentido de esta), formu-
laremos las siguientes ecuaciones:
⋅=⋅
=
∑∑
ii
i
dFdR
FR
���� Vamos a hacer el ejercicio 7, en el que realizaremos de modo gráfico y analítico la
descomposición de una fuerza sobre dos líneas de acción paralelas a ella.
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1.2.6 Condiciones generales de equilibrio de fuerzas en el plano
La condición para que un cuerpo rígido esté en equilibrio es que el sistema de fuerzas apli-
cadas a dicho cuerpo sea equivalente a cero. Es decir, la resultante del sistema ha de ser nulo
y también lo tiene que ser el momento resultante relativo a un punto cualquiera.
En consecuencia, para equilibrar un sistema de fuerzas en el plano, la Estática proporcio-
na las siguientes ecuaciones:
– La suma algebraica de las fuerzas con respecto a un eje horizontal X es igual a cero.
0=∑ XF
– La suma algebraica de las fuerzas con respecto a un eje vertical Y es igual a cero.
0=∑ YF
– La suma algebraica de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto O es igual
a cero.
0=∑ oM
