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Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 19: Sistemas de Equações Lineares (7)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013

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No método de Gauss-Seidel, o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal. O processo iterativo consiste em sendo x(0) uma aproximação inicial, calcular x(0), x(1), x(2), ...,x(k), ... por:

Método Iterativo de Gauss-Seidel (1)

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Método Iterativo de Gauss-Seidel (2)

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Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir,

Resolver pelo Método Gauss-Seidel com

Método Iterativo de Gauss-Seidel (3)

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O processo iterativo é:

Como

Método Iterativo de Gauss-Seidel (4)

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Tem-se:

Método Iterativo de Gauss-Seidel (5)

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Método Iterativo de Gauss-Seidel (6)

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Continuando com as iterações, tem-se

Método Iterativo de Gauss-Seidel (7)

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Passos do Método de Gauss-Sedel:

Método Iterativo de Gauss-Seidel (8)

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Método Iterativo de Gauss-Seidel (9)

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Método Iterativo de Gauss-Seidel (10)

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Método Iterativo de Gauss-Seidel (11)

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Como acontece em todo processo iterativo, deve haver critérios que forneçam uma garantia de convergência.

No método de Gauss-Seidel, os seguintes critérios estabelecem condições de convergência:Critério de Sassenfeld; eCritério das Linhas.

Critério de Sassenfeld (1)

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Critério de Sassenfeld

Critério de Sassenfeld (2)

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Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,

Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se

Critério de Sassenfeld (3)

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Portanto,

E tem-se a garantia de que o Método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente.

Critério de Sassenfeld (4)

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Exemplo 3: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,

Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se

Critério de Sassenfeld (5)

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Trocando-se a 1ª equação pela 3ª equação tem-se

Onde

Critério de Sassenfeld (6)

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Trocando-se a 1ª coluna pela 3ª coluna tem-se,

Onde

Logo, a sequência é convergente

Critério de Sassenfeld (7)

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Critério das LinhasEsse critério, já estudado no Método de Gauss-Jacobi,

pode ser aplicado como critério de convergência no Método de Gauss-Seidel.

Então o Método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.

Obs.: O Critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo que o Critério das Linhas não o seja.

Critério das Linhas (1)

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Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,

Tem-se,

Critério das Linhas (2)

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Entretanto,

Logo, o Critério de Sassenfeld é satisfeito.

Critério das Linhas (3)