SISTEMA NUMÉRICO.

CONJUNTO DE NÚMEROS REALES.

INTRODUCCIÓN:

Históricamente el primer conjunto con el que el hombre realizaba operaciones matemáticas fue el Conjunto de

Números Naturales formado por . Pero con el pasar del tiempo se presentaron múltiples

problemas al intentar resolver expresiones como , puesto que la solución es y como se sabe

por lo que resulta necesario introducir un nuevo sistema de números para dar solución a éste tipo de

ecuaciones llamado Conjunto de Números Enteros formado por .

Posteriormente se presentan otras dificultades al intentar dar solución a expresiones como puesto que su

solución es y ya sabemos que entonces se origina un nuevo sistema de números denominado Conjunto

de Números Racionales el cual se define , es decir se definen como el cociente entre

dos Números Enteros.

Pero aún no se podía dar a solución a todos los problemas puesto que habían expresiones tales como puesto

que su solución es y no pertenece a ningún sistema de números anterior entonces se crea un nuevo

sistema de números llamado Conjunto de Números Irracionales (I) que se definen como aquellos números que no

se pueden escribir en forma de fracción.

DEFINICIÓN: el Conjunto de Números Reales se define como la unión de todos estos Sistemas de Números, es

decir: Gráficamente se define:

REGLAS DE CONVERSIÒN:

Para transformar una fracción en decimal, basta dividir el numerador para el denominador.

~ 1 ~

I

N

ZQ

R

Para transformar un numero de cifras decimales exactas a fracción, se escribe como numerador el número sin la

coma y se divide para según el número de cifras decimales que tenga.

Si el número es periódico, se escribe en el numerador el periodo y como denominador se escribe tantos nueves

como cifras decimales tenga el período.

Si el número es periódico mixto, se escribe en el numerador la parte no periódica seguida del período menos la

parte no periódica y como denominador se escribe tantos nueves como cifras decimales tenga la el período

seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.

Si la expresión decimal tiene parte entera distinta de cero, se suma ésta a la fracción obtenida.

APLICACIONES:

1. DETREMINE EL VALOR DE VERDAD DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

2. REDUZCA A UNA FRACCIÒN DECIMAL Y VICEVERSA:

a) b)

c) d)

e) f)

REFUERZO.

1. ANALICE SI SON VERDADEROS O FALSOS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

p) q) r)

s) t) u)

v) w) x)

~ 2 ~

2. EXPRESE LAS SIGUIENTES FRACCIONES COMO UN NÙMERO DECIMAL, E IDENTIFIQUE SI

ES EXACTO, PERIÒDICO O PERIODICO MIXTO:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

3. ESCRIBA COMO UNA FRACCIÒN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES DECIMALES:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

OPERACIONES CON NÙMEROS DECIMALES.

Para resolver este tipo de problemas, se debe tomar en cuenta que es factible resolver en forma decimal o

fraccionario, para ello se transforma a una de estas formas los términos respectivos mediante las regalas de

conversión.

APLICACIONES:

CALCULE EL VALOR DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

a)

b)

~ 3 ~

a)

b)

c)

d)

REFUERZO.

HALLE EL VALOR DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

a) b)

~ 4 ~

c) d)

e) f)

g)h)

i) j)

k)l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

~ 5 ~

t)

PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE NUMEROS REALES.

Se dice que el Conjunto de Números Reales es un Cuerpo si cumple con los siguientes axiomas:

PROPIEDADES ESTRUCTURA ADITIVA

1. CLAUSURATIVA

2. CONMUTATIVA

3. ASOCIATIVA

4. ELEMENTO NEUTRO

5. ELEMENTO OPUESTO

PROPIEDADES ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

1. CLAUSURATIVA

2. CONMUTATIVA

3. ASOCIATIVA

4. ELEMENTO NEUTRO

5. ELEMENTO INVERSO O

RECÍPROCO

6. DISTRIBUTIVA

DIFERENCIA Y COCIENTE:

a) Si son reales, la Diferencia de los mismos se define mediante:

b) Si son reales y , el Cociente o División se define mediante:

~ 6 ~

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES.

Los Números Reales se representan geométricamente como puntos sobre una línea recta llamada Recta Real

Numérica, donde se cumple una correspondencia biunívoca, es decir, que a cada punto de la Recta Real le

corresponde uno y solamente un Número Real y viceversa.

APLICACIONES:

APLIQUE LAS PROPIEDADES Y DEFINICIONES DE LOS NÙMEROS REALES PARA EFECTUAR

LAS SIGUIENTES OPERACIONES:

a)

b)

c)

d)

REFUERZO.

~ 7 ~

210-1-2

NOTA:Reales Positivos : son todos los Números Reales a la positivos del cero.Reales Negativos : son todos los Números Reales a la izquierda del cero.

NOTA:Reales Positivos : son todos los Números Reales a la positivos del cero.Reales Negativos : son todos los Números Reales a la izquierda del cero.

1. INDIQUE LAS PROPIEDADES QUE SE APLICAN PARA OBTENER LOS SIGUIENTES

RESULTADOS:

a) b) c)

d) e) f)

g)h) i)

2. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS, DESTRUYA LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN Y

SIMPLIFIQUE EL RESULTADO. JUSTIFIQUE CADA PASO EFECTUADO:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

INTERVALOS REALES.

El conjunto de todos los números reales o puntos reales que están entre llamados extremos se denomina

INTERVALO formalmente damos la siguiente definición:

DEFINICIÓN: sean números reales; los siguientes conjuntos se denominan intervalos con extremos a

los siguientes:

1. INTERVALO ABIERTO: está formado por todos los puntos reales que están entre los extremos. En símbolos

se representa .

Gráficamente se representa:

~ 8 ~a b

2. INTERVALO CERRADO: está formado por todos los puntos reales incluido los extremos. En símbolos se

representa .

Gráficamente se representa:

EJEMPLOS:

REPRESENTE SIMBÓLICA Y GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES INTERVALOS:

a)

b)

3. INTERVALOS SEMIABIERTOS: está formado por todos los puntos reales excepto uno de los extremos.

Gráficamente y en símbolos se tiene:

Semi abierto a la izquierda Semi abierto a la derecha

EJEMPLOS:

REPRESENTE SIMBÓLICA Y GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES INTERVALOS:

a)

b)

4. INTERVALOS INFINITOS: si son números reales, los intervalos infinitos son los siguientes:

~ 9 ~

a b

a ba b

a

a

b

b

EJEMPLOS:

REPRESENTE SIMBÓLICA Y GRÁFICAMENTE LOS SIGUIENTES INTERVALOS:

a)

b)

c)

d)

REFUERZO.

1. DIBUJE LOS SIGUIENTES INTERVALOS Y CLASIFIQUELOS COMO ABIERTOS CERRADOS O

SEMIABIERTOS:

a) b)

c) d)

e) f)

g)h)

i) j)

2. ENCUENTRE ANALÌTICA Y GRAFICAMENTE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS:

a) b)

c) d)

e) f)

g)h)

VALOR ABSOLUTO.

~ 10 ~

DEFINICIÓN: sea x un Número Real, el valor absoluto de x se denota y se define:

Por lo tanto, el valor Absoluto de un Número Real siempre es positivo.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO: para todos los números Reales , se cumple que:

APLICACIONES:

1. HALLE EL VALOR ABSOLUTO DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS REALES:

a) b)

c)d)

e) f)

g)h)

2. SI , DEMUESTRE QUE SE CUMPLEN LAS PROPIEDADES DEL VALOR

ABSOLUTO:

REFUERZO.

1. EFECTUE LOS SIGUIENTES CALCULOS QUE SE DAN A CONTINUACION:

a) b)

c) d)

~ 11 ~

e) f)

g) h)

i) j)

k)

2. COMPRUEBE SI SE CUMPLEN O NO LAS PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO PARA LOS

SIGUIENTES PARES DE NUMEROS REALES:

a) b)

c) d)

3. DEMUESTRE QUE SE CUMPLE LA DESIGUALDAD TRIANGULAR PARA LOS VALORES

REALES SIGUIENTES:

a) b)

c) d)

NUMEROS COMPLEJOS.

El Conjunto de los Números Complejos surge por la necesidad de dar solución a expresiones tales como ,

ya que dentro del Conjunto de Números Reales no hay un número que elevado al cuadrado sea igual a .

DEFINICIÓN: un Número Complejo es de la forma:

En , se llama PARTE REAL y se llama PARTE IMAGINARIA .

~ 12 ~

NOTA:La unidad imaginaria tiene la propiedad que:

NOTA:La unidad imaginaria tiene la propiedad que:

EJEMPLO:

IDENTIFIQUE LA PARTE REAL E IMAGINARIA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS:

a)

b)

c)

OPUESTO: el opuesto de un número complejo es

CONJUGADO: el conjugado de un número complejo es

MÓDULO: El módulo de un número complejo , es:

APLICACIONES:

ENCUENTRE A LA VEZ EL OPUESTO, CONJUGADO Y EL MÓDULO DE LOS SIGUIENTES

NÚMEROS COMPLEJOS:

a)

b)

OPERACIONES FUNDAMENTALES:

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Para sumar o restar Números Complejos se suma o se resta separadamente las

partes reales e imaginarias.

APLICACIONES:

CON LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS REALICE LAS

OPERACIONES INDICADAS:

~ 13 ~

a)

b)

REFUERZO

c) Encuentre el opuesto, conjugado y el módulo de los siguientes Números Complejos:

d)

e) Con los Números Complejos anteriores, realice las operaciones siguientes:

f)

MULTIPLICACIÓN: para multiplicar Números Complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta

que , y al final se reducen términos semejantes.

DIVISIÓN: Para dividir Números Complejos, se multiplica tanto al numerador como al denominador por el

conjugado del denominador y se reducen términos semejantes, así:

APLICACIONES:

CON LOS SIGUIENTES NÚMEROS COMPLEJOS REALICE LAS

OPERACIONES INDICADAS:

g)

h)

REFUERZO 1.

1. HALLE:

~ 14 ~

a) b)

c)d)

e) f)

g) h)

i)j)

2. CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS SIGUIENTES, REALICE LAS OPERACIONES:

a) b) c)

d) e) f)

g)h)

i)

j)k)

3. SI DEMUESTRE SI SE CUMPLEN O NO LAS

SIGUIENTES PROPOSICIONES:

a) b) c)

d) e) f)

~ 15 ~

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO.

La Forma polar de un número complejo está dada por la forma:

Donde:

APLICACIONES:

EXPRESE EN LA FORMA POLAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS:

a)

b)

POTENCIAS Y RAÍCES

Para encontrar las Potencias y Raíces de un Número Complejo, primero se expresa en su Forma Polar dichos

números y se aplica el Teorema de Moivre:

POTENCIA: Si es un número entero y positivo, la potencia de un número complejo expresado en su Forma Polar

viene dado por la forma:

RAÍCES: las n raíces de un número complejo están dadas por la expresión:

Donde

APLICACIONES:

APLICANDO EL TEOREMA DE MOIVRE, ENCUENTRE LAS SIGUIENTES POTENCIAS Y RAÍCES

DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

a) c) Las tres raíces cúbicas de

~ 16 ~

NOTA:

El valor de siempre será .

NOTA:

El valor de siempre será .

REFUERZOExprese en la Forma Polar los números Complejos:

REFUERZOExprese en la Forma Polar los números Complejos:

b) d) Las cuatro raíces cuartas de

REFUERZO 1.

4. HALLE:

k) l)

m)n)

o) p)

q) r)

s)t)

5. CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS SIGUIENTES, REALICE LAS OPERACIONES:

~ 17 ~

REFUERZOREFUERZO

l) m) n)

o) p) q)

r)s)

t)

u)v)

6. SI DEMUESTRE SI SE CUMPLEN O NO LAS

SIGUIENTES PROPOSICIONES:

g) h) i)

j) k) l)

REFUERZO 2.

1. CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS

EFECTÚE LAS OPERACIONES SIGUIENTES:

a)b)

c)

d) e) f)

g) h) i)

~ 18 ~

j) k) l)

m) n) o)

2. COMPRUEBE QUE PARA LOS DIFERENTES VALORES DE QUE SE DAN A

CONTINUACIÓN:

a) b)

c) d)

3. VERIFIQUE QUE SE CUMPLEN PARA:

a) b)

c)d)

REFUERZO 3.

~ 19 ~

1. HALLE LAS POTENCIAS, APLICANDO EL TEOREMA DE MOIVRE:

a) b) c)

d)

e) f)

2. HALLE LAS POTENCIAS, APLICANDO EL TEOREMA DEL BINOMIO:

a) b) c)

d) e) f)

3. DETERMINE QUE SE CUMPLE:

a) b)

c) d)

4. DEMUESTRE QUE:

a) b)

c) d)

REFUERZO 4.~ 20 ~

1. HALLE LAS RAICES QUE SE INDICAN Y REPRESENTE GRAFICAMENTE, APLICANDO EL

TEOREMA DE MOIVRE:

a) Las tres raíces cúbicas de:

b) Las tres raíces cúbicas de:

c) Las cuatro raíces cuartas de

d) Las cinco raíces quintas de

e) Las seis raíces sextas de

f) Las seis raíces sextas de

g) Las ocho raíces octavas de

h) Las nueve raíces novenas de

2. CALCULE TODAS LAS RAICES DE LA ECUACION DADA EN FORMA ALGEBRAICA:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

~ 21 ~