Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 10: Noções Básicas sobre Erros (4)

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Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 10: Noções Básicas sobre Erros (4)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Quando se está utilizando um equipamento computacional para processar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões de underflow ou de overflow e este não é representável exatamente no sistema de ponto flutuante SPF, o mesmo será representado de forma aproximada por nra.

Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do número real nr, para que sua representação seja possível no SPF.

Erros de Arredondamento (1)


Um número nr na base decimal foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério:O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o

dígito de ordem (k + 1) for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é representado com os k dígitos iniciais;

Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos e, se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade; e

O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k.



Exemplo 1: Considere um equipamento com o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5).Se a = 0,5324 × 103 = e b = 0,4212 × 10−2, então

a × b = 0,22424688 × 101, que é arredondado e armazenado como (a × b)a = 0,2242 × 101.



Exemplo 2: Considere um equipamento com o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5).Se a = 0,5324 × 103 = e b = 0,1237 × 102, então a

+ b = 0,54477 × 103, que é arredondado e armazenado como (a + b)a = 0,5448 × 103.



Define-se Erro Absoluto (Eabs) como se segue,

onde

aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproximado da mesma grandeza.

O valor exato de aex muitas vezes não é disponível, e a definição anterior fica sem sentido. Assim, é necessário trabalhar-se com um limitante superior

para o erro, ou seja, deve-se escrevê-lo na forma,

Em que ε é um limitante conhecido.

Erros Absoluto (1)


A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira,

Ou ainda,

Isto é, aaprox é o valor aproximado da grandeza aex com erro absoluto não superior a ε.

Erros Absoluto (2)


Define-se Erro Relativo (Erel) como se segue,

onde

aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproximado da mesma grandeza.

O valor exato de aex muitas vezes não é disponível, e a definição anterior fica sem sentido. Assim, é necessário trabalhar-se com um limitante superior

para o erro, isto é, escrevê-lo na forma a seguir,

Em que δ é um limitante conhecido.

Erros Relativo (1)


Pode-se observar que o erro relativo fornece mais informações sobre a qualidade do erro que se está cometendo num determinado cálculo, uma vez que no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada.

Erros Relativo (2)


Exemplo 3: Considere o valor exato aex = 2345,713 e o valor aproximado aaprox = 2345,000.Então,

Eabs = 0,713

Erel = 0,00030396.

Exemplo 4: Considere o valor exato aex = 1,713 e o valor aproximado aaprox = 1,000.Então,

Eabs = 0,713

Erel = 0,416229.

Obs.: Nos exemplos acima, o erro absoluto é o mesmo, embora o erro

cometido pela aproximação seja muito mais significativo no Exemplo 4. No Exemplo 1, o erro relativo é da ordem de 0.03%, e no Exemplo 2, é da ordem de 41,6%.

Erros Relativo (3)


Em geral, nos procedimentos numéricos gera-se uma sequencia de soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema.

Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas sequencias de aproximações.

O erro relativo é preferível, devido às observações nos exemplos anteriores.

Erros Relativo (4)


Exemplo 5: Para se resolver a equação a seguir,

Pode-se utilizar o seguinte processo iterativo abaixo,

Assim, dado o valor x0, pode-se, por meio da expressão anterior, gerar a sequencia de soluções aproximadas x1, x2, ...

Dado que a propriedade de convergência da sequência de aproximações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fixada ε foi definida para o cálculo de uma raiz da equação f(x) = 0, pode-se verificar se a sequência de aproximações atingiu a precisão anterior ε, realizando os seguintes testes a seguir,

Erros Relativo (5)


Se for verdade (forma absoluta), Diz-se que xn+1 é a raiz da equação f(x) = 0 com tolerância ε;

caso contrário, deve-se calcular outro elemento da sequência.

Se for verdadeiro (forma relativa),

Concluí-se que xn+1 é a raiz da equação com a tolerância ε e, em caso contrário, deve-se proceder ao cálculo do outro termo da sequência.

Erros Relativo (6)


Quando se representa uma função por meio de uma série infinita e, por limitações do sistema de armazenamento de dados do equipamento, considerando-se apenas um número finito de termos, diz-se que se está cometendo um Erro de Truncamento.

Erros de Truncamento (1)


Exemplo 6: Considerando a representação de uma função f(x) usando a Série de Taylor, nas vizinhanças do ponto ,

Onde é o valor da n-ésima derivada da função f(x) no ponto .

Quando se trunca a série no 3º termo, ou seja, considerando-se apenas os termos até a derivada de ordem 2, na expressão anterior, tem-se um erro cometido nessa aproximação, como segue,


x

x


Exemplo 7: Considerando o desenvolvimento de f(x) = ex em Série de Taylor, ou seja,

ou de forma compacta,

Supondo que o equipamento utilizado para trabalhar numericamente com a série seja capaz de armazenar somente dados referentes aos 4 primeiros termos, ou seja,



Neste caso, são desprezados todos os termos de potência maiores que 4, ou seja, trunca-se a série no termo de potência de ordem 3.

Destacando-se os quatro primeiros termos da série, pode-se escrevê-la da seguinte forma,

Supondo que se deseja calcular o valor de ex para x = 2 usando apenas os quatro primeiros termos da série, ou seja a série truncada.

Neste caso, tem-se e2 = 6,33333, que é um valor com erro absoluto bem significativo quando comparado com e2

= 7,38906 obtido numa calculadora científica que armazena uma quantidade maior de termos da série.



Quando se desenvolve um processo numérico para buscar a solução de um determinado problema, o processamento envolve um número grande de operações primitivas ou elementares.

Na maioria das vezes o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema, mas é necessário analisar como os erros se propagam quando há muitas operações no processamento.É necessário ter conhecimento da forma com que os erros

estão se propagando, ou seja, caso estejam acumulando a uma taxa crescente, diz-se que o erro é ilimitado, e a sequencia de operações é considerada instável; e

Se os erros estão se acumulando a uma taxa decrescente, diz-se que o erro é limitado e a sequencia de operações é estável.

Propagação de Erros (1)



Erros Ilimitados e Erros Limitados.


Exemplo 8: Usando-se aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e arredondamento por corte, calcular o valor da seguinte soma,

Para i = 1, na aritmética definida, realiza-se inicialmente a operação que resulta no seguinte valor aproximado

Calculando o erro absoluto, tem-se que Eabs1 = | 4,03569 – 4,034 | = 0,00169 = 0,169 × 10-2



Para i = 2, na aritmética definida, realiza-se a operação que resulta no seguinte valor aproximado


Observar que ao se realizar a mesma operação de adição por duas vezes, comete-se um erro absoluto maior.



Para i = 3, na aritmética definida, realiza-se a operação que resulta no seguinte valor aproximado


Para i = 4, obtém o seguinte valor aproximado




Como se pode observar, na medida em que se aumenta o número de parcelas na operação de adição, considerando a aritmética definida anteriormente, aumenta-se também o erro absoluto cometido na soma final.Desta forma, a sequência de operações pode-se tornar

instável, conforme o gráfico abaixo.



Exemplo 9: Para se resolver a equação a seguir,

pode-se utilizar o seguinte processo iterativo abaixo,

Neste procedimento, em cada iteração estão envolvidas as operações de adição e multiplicação, que são repetidas até que se calcule o valor aproximado de xn para a solução da equação com uma precisão ε desejada.

Se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do processo.



Se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do processo.

Se este procedimento convergir para a solução da equação, apesar dos erros cometidos, tem-se que a sequencia de operações se torna estável, conforme o gráfico abaixo.


x

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