Estatística Descritiva e Noções Básicas de Probabilidades

Estatıstica descritiva e probabilidades

Metodos Numericos e EstatısticosParte II-Metodos Estatısticos


Luısa Morgado

Lic. Eng. Biomedica e Bioengenharia-2009/2010

Luısa Morgado Estatıstica descritiva e probabilidades


Podemos dividir a Estatıstica em duas areas: estatıstica indutiva(ou inferencia estatıstica) e estatıstica descritiva.

Se uma amostra e representativa de uma dada populacao,conclusoes importantes sobre a populacao podem ser inferidasatraves da analise da amostra.

Estatıstica indutiva

E a parte da estatıstica que procura somente descrever eavaliar um certo grupo sem tirar conclusoes (ou inferencias)sobre um grupo maior.

Estatıstica descritiva



Estatıstica descritiva

Fornecido um certo conjunto de dados relativo a uma amostra deuma populacao, podemos sempre apresenta-los, ou organiza-los deduas formas distintas:

Recorrendo a graficos e/ou tabelas;

Apresentando medidas de posicao e/ou dispersao.

Os graficos constituem uma das formas mais eficientes deapresentacao de dados. Enquanto que as tabelas fornecem umaideia mais precisa e possibilitam uma inspeccao mais rigorosa dosdados, os graficos sao mais indicados em situacoes sempre que sepretende uma visao mais rapida e facil a respeito das variaveis asquais se referem os dados.



Distribuicao de frequenciaA organizacao dos dados em tabelas de frequencias (absolutasor relativas), obedecem a certas normas e recomendacoes.Estas normas sao uteis para que as tabelas possam serinterpretadas de uma forma simples, clara e rapida. Muitoimportante e o facto de que as tabelas tenham significadoproprio, i.e., devem ser compreendidas mesmo quando nao sele o texto em que estao apresentadas.

Exemplo

Foram anotadas as notas de um exame final de uma disciplina dos alunos de umacerta universidade . Depois de feita a contagem, os dados foram organizados naseguinte tabela

Notas Numero de alunos Pecentagem90 a 100 14 7.0775 a 89 32 16.1660 a 74 50 25.25

<60 63 31.82Reprovacao por faltas 39 19.70

198 100.00



Diagrama de pontosUtil sempre que se pretende apresentar um pequeno conjuntode dados. Permite ver de uma forma rapida e facil a tendenciados dados, assim como a sua distribuicao e variabilidade.

HistogramaPara alguns conjuntos de dados o numero de valoresobservados e tao elevado que se torna inevitavel o seuagrupamento pos classes.



Exemplo

O barulho e medido em decibeis (dB). Um decibel corresponde ao nıvel do som maisfraco que pode ser ouvido num local silencioso por alguem com boa audicao. Umsussurro corresponde a cerca de 70dB, um radio em volume alto cerca de 100dB.Acima dos 120dB, ha desconforto para os ouvidos. O dados abaixo correspondem aosnıveis de barulho medidos em 36 horarios diferentes num determinado local.

82 89 94 110 74 122 112 95 100 78 65 6090 83 87 75 114 85 69 94 124 115 107 8897 74 72 68 83 91 90 102 77 125 108 65

Para agruparmos este conjunto de dados em classes, surge imediatamente umaprimeira questao: quantas classes?Na pratica, o numero de classes e muita das vezes escolhido, fazendo a raız quadradado numero de observacoes. Assim sendo, neste caso, terıamos 6 classes. O menorvalor observado e 60, o maior e 125, pelo que a amplitude de cada classe poderia serobtida a partir de 125−60

6. Podıamos entao construir a seguinte tabela de frequencias

classes frequencia absoluta[60, 71[ 5[71, 82[ 6[82, 93[ 10

[93, 104[ 6[104, 115[ 5[115, 126[ 4



Se pretendessemos outras informacoes, poderıamos aumentar a tabela, incluindooutros tipos de frequencia, como por exemplo, a frequencia relativa e/ou asfrequencias acumuladas.

classes freq. abs. freq. abs. acumulada freq. relat. freq. relat. acumulada

[60, 71[ 5 5 536

536

[71, 82[ 6 11 636

1136

[82, 93[ 10 21 1036

2136

[93, 104[ 6 27 636

2736

[104, 115[ 5 32 536

3236

[115, 126[ 4 36 436

1

O histograma pode ser feito a partir das frequencias absolutas ou relativas,

acumuladas ou nao, de cada classe, basta para tal indicar correctamente o que seria

usado no eixo vertical.



No scilab, a execucao do comando histplot(n,x ,normalization=% f), onde n = 6 e onumero de classes e x = [82 89 94 · · · 108 65] e o vector que contem os dadosobservados, devolve o seguinte histograma das frequencias absolutas.

60 70 80 90 100 110 120 1300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



Medidas de posicao

Dado um conjunto de n valores numericos, x1, x2, . . . , xn, amedia aritmetica desses valores, representa-se por x e dadapor

x =

∑ni=1 xi

n

Media aritmetica

Exemplo

Determinemos a media do seguinte conjunto de dados do exemploanterior. Ora

x =82 + 89 + 94 + 110 + · · ·+ 125 + 108 + 65

36= 90.7

No scilab, basta executar o comando mean(x).



Em alguns casos, queremos determinar a media de um conjunto de dados organizadosnuma tabela de distribucao de frequencias, indicando para cada valor distinto de xi ,i = 1, . . . , k, a respectiva frequencia absoluta fk . Nesse caso a media sera dada por

x =

∑ki=1 xi fi

n,

onde n =∑k

i=1 fi .

Exemplo

A seguinte tabela fornece informacao acerca da idade de jovens que a umadeterminada hora frequentam um dado cafe:

Idade Freq. Absoluta15 216 517 1118 919 1420 13

Neste caso, a media e dada por

x =2× 15 + 5× 16 + 11× 17 + 9× 18 + 14× 19 + 13× 20

54= 18.24.

Se a tabela esta organizada por classes, entao para o calculo da media devemossubstituir cada classe pelo seu ponto medio e calcular a media como descrito acima.



E o valor intermedio do conjunto de dados, cujos n valores estao dispostos emordem crescente.Se n for ımpar, a mediana sera o valor que ocupa a posicao n+1

2; se n for par,

a mediana sera a media aritmetica dos valores que ocupam as posicoes n2

en2

+ 1.

Mediana

Exemplo

Determinemos a mediana do conjunto de dados do exemplo anterior. Como n = 54 epar, a mediana sera a media dos valores que ocupam as posicoes 27 e 28. Portanto amediana sera o valor 18.5.

No scilab, depois de definido o vector que contem os dados,x = [15 15 16 16 16 16 16 17 . . . 20]basta executar o comando median(x).

E o valor que ocorre com maior frequencia.

Moda

Exemplo

No exemplo anterior, a moda sera o valor 19, uma vez que e o valor que ocorre maisvezes na distribuicao.



Medidas de dispersao

Estas medidas sao uteis para complementar as informacoesfornecidas pelas medidas de posicao. Descrevem a variabilidadeocorrendo no conjunto de dados.

A variancia amostral de um conjunto de dados x1, x2, . . . , xn,e definida por

σ2 =

∑n1=1 (xi − x)2

n − 1

Variancia

Exemplo

A variancia do conjunto de dados

3 4 6 7 10

e dada por (3−6)2+(4−6)2+(6−6)2+(7−6)2+(10−7)2

4= 7.5

No scilab, define-se o vector dos dados, x = [3 4 6 7 10], e faz-se variance(x).



O desvio padrao amostral de um conjunto de dadosx1, x2, . . . , xn, e definido por

σ =√σ2 =

√∑n1=1 (xi − x)2

n − 1

Desvio padrao

No exemplo anterior, σ =√

7.5 = 2.7386. No scilab executa-se ocomando st deviation(x).

A amplitude amostral de um conjunto de dados x1, x2, . . . , xn,e a diferenca entre o maior e o menor valor observado.

Amplitude

No exemplo anterior, a amplitude e 10− 3 = 7. Paro o calculo noscilab, faz-se max(x)-min(x).



Nocoes basicas de probabilidade

Chama-se experiencia aleatoria a toda a experiencia cujo re-sultado exacto e desconhecido antes da sua realizacao.

Experiencia aleatoria (E.A.)

Exemplo

E.A.1: Registo do numero de recem-nascidos num grupo dedez com peso a nascenca superior a 3.5Kg;

E.A.2: Numero de novos casos de sida num dado ano numcerto paıs;

E.A.3: Medicao da concentracao de dioxido de carbono numrecinto fechado.



E o conjunto de todos os resultados possıveis de uma ex-periencia aleatoria. E usualmente, representado por Ω. Podeser discreto (no caso de ser um conjunto finito ou infinito nu-meravel) ou contınuo (no caso em que e um conjunto infinitonao numeravel).

Espaco de resultados

Exemplo

No exemplo anterior:

E.A.1: Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → discreto (finito);

E.A.2: Ω = 0, 1, 2, 3, . . . . . . →; discreto (infinito numeravel)

E.A.3: Ω = R+0 → (infinito nao numeravel) contınuo.



Acontecimento (ou evento) e qualquer subconjunto do espacode resultados. O acontecimento A diz-se elementar se forconstituıdo por apenas um elemento de Ω; certo se A = Ω eimpossıvel se A = ∅.

Acontecimento

Exemplo

Na E.A.1, consideremos os evento

A = nenhum dos recem-nascidos tem peso superior a 3.5kg.= 0;B = pelo menos 8 dos recem-nascidos tem peso superior a3.5kg. = 8, 9, 10



Dois acontecimentos dizem-se disjuntos (ou mutuamente ex-clusivos ou ainda incompatıveis) sse A ∩ B = ∅, i.e., a real-izacao simultanea de A e B e impossıvel.

Acontecimentos disjuntos

Diz-se que o acontecimento A esta contido noacontecimento B, e escreve-se A ⊂ B quando

Realizacao de A ⇒ Realizacao de BRealizacao de B ; Realizacao de A

Inclusao de acontecimentos

Uma vez que os acontecimentos nao passam de conjuntos,podemos efectuar operacoes sobre eventos ja nossas conhecidas.



Operacoes sobre eventos

A ∩ B Realizacao simultanea de A e de BA ∪ B Realizacao de pelo menos um dos eventos A ou BA \ B Realizacao de A sem que se realize B

A Nao realizacao de A

Esta operacoes gozam das propriedades



Associatividade:(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Comutatividade:A ∩ B = B ∩ AA ∪ B = B ∪ A

Distributividade:(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Idempotencia:A ∩ A = AA ∪ A = A

Absorcao:A ⊂ B ⇒ A ∩ B = AA ⊂ B ⇒ A ∪ B = B

Modulares:

A ∩ Ω = AA ∪ Ω = ΩA ∩ ∅ = ∅A ∪ ∅ = A

Leis de De Morgan:A ∩ B = A ∪ B

A ∪ B = A ∩ B

Dupla negacao: A = A



Considere-se uma E.A. com espaco de resultados Ω con-stituıdo por n elementos distintos, em numero finito e igual-mente provaveis.Suponha-se ainda que a realizacao do acontecimento A passapela ocorrencia de m dos n eventos de Ω.Entao, a probabilidade de realizacao de A e dada por

P(A) =no de casos favoraveis a ocorrencia de A

no de casos possıveis=

m

n

Probabilidade classica de Laplace

Exemplo

No lancamento de um dado nao viciado, seja A =saıda de um numero par. OraA = 2, 4, 6, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, logo

P(A) =3

6= 0.5.

E se o espaco dos resultados da E.A. nao for finito?



Seja N o numero de vezes que se realiza sob as mesmascondicoes uma certa E.A. e seja nN(A) o numero de vezesque o evento A ocorreu nas N experiencias realizadas (i.e.,nN(A) representa a frequencia absoluta do evento A).Entao a frequencia relativa do evento A e dada por

fN(A) =nN(A)

N.

Frequencia relativa

A frequencia relativa satisfaz as seguintes propriedades

0 ≤ fN(A) ≤ 1;

fN(Ω) = 1;

fN(A ∪ B) = fN(A) + fN(B) se A ∩ B = ∅;fN(A) estabiliza a medida que N aumenta.



A probabilidade do evento A e o limite da frequencia relativado mesmo:

P(A) = limN→∞

nN(A)

N= lim

N→∞fN(A)

Probabilidade frequencista

E se a E.A. nao se puder realizar mais do que uma vez?



E uma coleccao nao vazia de eventos, A, que satisfaz

Ω ∈ A;

A ∈ A ⇒ A ∈ A;

Se Ai ∈ A, i = 1, 2, . . ., onde A1,A2, . . . e umconjunto numeravel , entao

⋃+∞i=1 ∈ A.

σ-algebra de eventos

Exemplo

1 A1 = ∅,Ω;2 A2 = P(Ω), i.e., a coleccao de todos os subconjuntos de Ω.



E uma funcao P : A → [0, 1] que satisfaz os seguintes ax-iomas

P(Ω) = 1;

0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ∈ A;

Se A1,A2, . . . e um conjunto contavel de eventosmutuamente exclusivos de A (Ai ∩Aj = ∅, i 6= j), entao

P

(+∞⋃i=1

Ai

)=

+∞∑i=1

P(Ai )

Funcao de probabilidade no sentido de Kolmogorov



P(∅) = 0;

P(A) = 1− P(A);

A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B);

P(B \A) = P(B)−P(A∩B)

Um dado evento A 6= Ω diz-se quase certo se P(A) = 1.Um evento A diz-se quase impossıvel se P(A) = 0.



P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Dem.:

P(A ∪ B) = P[(A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)]

= P(A \ B) + P(A ∩ B) + P(B \ A)

= [P(A)− P(A ∩ B)] + P(A ∩ B) + [P(B)− P(B ∩ A)]

= P(A) + P(B)− P(A ∩ B)



A probabilidade do evento A condicionada pela ocorrencia doevento B e dada por

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B),

desde que P(B) 6= 0.

Probabilidade condicionada

Exemplo

Na extraccao de uma carta de um baralho com 52 cartas (13 de cada naipe), qual a

probabilidade dessa carta ser o As de copas, sabendo a partida que a carta extraıdaera de copas?Considerando os eventosA = sair o As de copas, cuja probabilidade e P(A) = 1

52

B = sair uma carta de copas, cuja probabilidade e P(B) = 1352

.A probabilidade pedida e dada por

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)=

P(A

P(B)=

1521352

=1

13.



Sendo Aii=1,...,n uma coleccao de n eventos tal que P(Ai ) > 0 eP(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ∩ An) > 0, entao

P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ∩ An) = P(A1)× P(A2|A1)×P[A3|(A1 ∩ A2)]×. . .× P[An|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1].

Lei das probabilidades compostas

Esta lei e util sempre que pretendermos calcular a probabilidade desequencias de eventos em experiencias aleatorias.



Exemplo

Considere-se um lote de 100 molas de um sistema de suspensaoautomovel. Destas, 20 sao consideradas defeituosas (D) porviolarem a lei de Hooke quando se aplica uma forca superior a35× 104N. Extrairam-se uma a uma, sem reposicao, tres molasdeste lote. Determinemos qual a probabilidade das 3 molasextraıdas nao serem defeituosas.Para tal consideremos o eventoD1 ∩ D2 ∩ D3 =1a, 2a e 3a molas nao defeituosas.A probabilidade pedida e entao dada por

P(D1 ∩ D2 ∩ D3) = P(D1)× P(D2|D1)× P[D3|(D1 ∩ D2)]

=80

100× 80− 1

100− 1× 80− 1− 1

100− 1− 1

=80× 79× 78

100× 99× 98



Uma coleccao de n eventos PΩ = Aii=1,...,n diz-se umaparticao de Ω sse

Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j ;⋃ni=1 Ai = Ω;

P(Ai ) > 0, i = 1, . . . , n.

Particao de Ω

Seja B um evento e PΩ = Aii=1,...,n uma particao de Ω. Entao

P(B) =n∑

i=1

P(B|Ai )P(Ai ).

Lei da probabilidade total



Exemplo

Testes realizados em dois dispositivos (A e B) de retencao de criancas em automoveis,revelaram que, em caso de acidente grave, o dispositivo A e eficaz em 95% dos casos,enquanto que o dispositivo B e eficaz em 96%. Adimitindo que no mercado sopassarao a existir estes dois tipos de dispositivos, instalados em automoveisexactamente na mesma proporcao, calculemos a probabilidade do dispositivo deretencao instalado num automovel seleccionado ao acaso vir a ser eficaz em caso deacidente grave.Resumindo

Evento probabilidadeA =dispositivo do tipo A P(A) = 0.5B =dispositivo do tipo B P(B) = 0.5

E =dispositivo eficaz em caso de acidente grave (DEAC) P(E) =?E |A =DEAC dado que e do tipo A P(E |A) = 0.95E |B =DEAC dado que e do tipo B P(E |B) = 0.96

Pela lei da probabilidade total, a probabilidade pedida e entao dada por

P(E) = P(E |A)× P(A) + P(E |B)× P(B) = 0.95× 0.5 + 0.96× 0.5 = 0.955



Dois eventos A e B dizem-se independentes (e denota-se porAq B sse

P(A ∩ B) = P(A)× P(B).

Eventos independentes



1 Sendo A e B dois eventos independentes tais que P(A) > 0 eP(B) > 0, entao

P(A|B) = P(A);P(B|A) = P(B);

I.e, o conhecimento de B nao afecta a reavaliacao daprobabilidade de A e vice-versa.

2 Sejam A e B dois eventos tais que

A ∩ B = ∅P(A) > 0 e P(B) > 0.

Entao A e B nao sao independentes.3 Para qualquer evento A tem-se

Aq ∅;Aq Ω.

4 Se A e B sao independentes, entao

Aq B;Aq B;Aq B.



Seja B um evento e PΩ = Aii=1,...,n uma particao de Ω. Entao

P(Ai |B) =P(B|Ai )P(Ai )

P(B).

Recorrendo a lei de probabilidade total, podemos ainda escrever

P(Ai |B) =P(B|Ai )P(Ai )∑n

j=1 P(B|Aj )P(Aj ).

Teorema de Bayes

Exemplo

Retomando o exemplo anterior, calculemos a probabilidade de o dispositivo ser do tipoA sabendo que foi eficaz em caso de acidente grave.Considerando o eventoA|E =dispositivo do tipo A dado que foi eficaz em caso de acidente grave,a probabilidade pedida e dada por

P(A|E) =P(E |A)P(A)

P(E)=

0.95× 0.5

0.955= 0.4974.


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