Estatística & Informações - FJP

Estatística & InformaçõesFinanças Públicas

34

ISSN 2595-6132

Belo Horizonte | 2020

MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PREVISÃO DO PIB-MG 2020 E 2021:

um estudo conjunto da Direi/FJP e do Cedeplar/UFMG

Governador do Estado de Minas Gerais

Romeu Zema Neto

Secretário de Estado de Planejamento e Gestão

Otto Alexandre Levy Reis

FUNDAÇÃO JOÃO PINHEIRO (FJP)

Presidente

Helger Marra Lopes

Vice-presidente

Mônica Moreira Esteves Bernardi

DIRETORIA DE ESTATÍSTICA E INFORMAÇÕES (Direi)

Eleonora Cruz Santos (Diretora) Renato Vale Santos (Diretor Adjunto)

Coordenação de Finanças Públicas (CFP)

Reinaldo Carvalho de Morais

Equipe Técnica

Caio César Soares Gonçalves (Direi/FJP) Lúcio Otávio Seixas Barbosa (Coordenador do estudo/Direi/FJP) Rafael Saulo Marques Ribeiro (Cedeplar/UFMG)

Capa Bárbara Andrade Corrêa da Silva

Coordenação de Editoração

Agda Mendonça Ana Paula da Silva Marília Andrade Ayres Frade

DIRETORIA DE ESTATÍSTICA E INFORMAÇÕES (Direi)

COORDENAÇÃO DE FINANÇAS PÚBLICAS (CFP)

Estatística & Informações

34

MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PREVISÃO DO PIB-MG 2020 E 2021:

um estudo conjunto da Direi/FJP e do Cedeplar/UFMG

Belo Horizonte 2020

ISSN 2595-6132

CONTATOS E INFORMAÇÕES FUNDAÇÃO JOÃO PINHEIRO DIRETORIA DE ESTATÍSTICA E INFORMAÇÕES (Direi) Alameda das Acácias, 70 Bairro São Luiz/Pampulha CEP: 31275-150 - Belo Horizonte - Minas Gerais Telefones: (31) 3448-9550 e 3448-9580 www.fjp.mg.gov.br e-mail: [email protected]

Estatística & Informações divulga estudos de uma ou mais pesquisas, de autoria institucional. A série está subdividida em dois grupos: o primeiro, indicadores econômicos; e o segundo, demografia e indicadores sociais.

Todos os direitos reservados. É permitida a reprodução parcial ou total desta obra, por qualquer meio, desde que citada a fonte.

Sinais convencionais utilizados: - = Dado numérico igual a zero não resultante de arredondamento. .. = Não se aplica dado numérico. ... = Dado numérico não disponível. 0,0 = Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de um dado numérico

originalmente positivo -0,0 = Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de um dado numérico

originalmente negativo

M689 Modelos econométricos de previsão do PIB-MG 2020 e 2021 : um estudo conjunto da Direi/FJP e do Cedeplar/UFMG / Fundação João Pinheiro, Diretoria de Estatística e Informações. – Belo Horizonte: FJP, 2020.

28 p. – (Estatística & Informações, n. 34) Inclui bibliografia.

ISSN 2595-6132

1. Econometria – Minas Gerais – 2020/2021. I. Fundação João Pinheiro. Diretoriade Estatística e Informações. II. Série.

CDU: 333.115 (815.1)“2020/2021”

http://www.fjp.mg.gov.br/

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

GRÁFICOS

Gráfico 1: Componentes da série pib - série observada sazonalidade tendência e ruído – Minas Gerais – 2002-2019 ...................................................................................... 11

Gráfico 2: Evolução das tendências das variáveis do modelo – Índice de volume de vendas

no comércio varejista (pmc), Valor adicionado bruto (VAB) DO Comércio (pib.com), Produto interno bruto Minas Gerais (pib), Valor Adicionado Bruto (VAB) da Indústria (pib.ind), Produção física industrial (pim) – Minas Gerais – 2002-2019 ............................................................................................................... 12

Gráfico 3: Função Impulso-Resposta ortogonal da equação da primeira diferença da série pib (dpib) ................................................................................................................. 19

Gráfico 4: Trajetória da recuperação do produto interno bruto (PIB) – Minas Gerais – série prevista para o índice de volume trimestral dessazonalizado – 2020T3-2023T..... 20

Gráfico 5: Taxa de crescimento acumulado do produto interno bruto (PIB) em quatro trimestres – Minas Gerais – série prevista para o índice de volume trimestral –

2020T3/2021T4 ....................................................................................................... 21

Gráfico 6: Previsão da série do produto interno bruto MG (pib) dentro da amostra -

modelos vetores auto regressivos (VAR) e espaço de estados (EE) – Minas Gerais – 2002-2019 ............................................................................................................ 23

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Descrição das variáveis utilizadas nos modelos de previsão .......................................... 10

Tabela 2: Medidas de acurácia dentro e fora da amostra – erro médio (ME) raiz do erro quadrático

médio (RMSE) e erro absoluto médio (MAE) – modelos vetores auto regressivos (VAR)

e espaço de estados (EE) ............................................................................................ 22

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ADF Dickey-Fuller Aumentado

Bacen Banco Central do Brasil

Cedeplar Centro de Desenvolvimento e Planejamento Regional

Covid COrona VIrus Disease (Doença do Coronavírus)

Direi Diretoria de Estatística e Informações

DP Desvio padrão

EE Espaço de estados

FJP Fundação João Pinheiro

FMI Fundo Monetário Internacional

FOB Free on board - “livre a bordo”

FRI Função de resposta ao impulso

IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

MAE Erro absoluto médio

MAPE Erro absoluto percentual médio

ME Erro médio

MG Minas Gerais

NID Normal e independentemente distribuída

PIB Produto Interno Bruto

PIB-MG Produto Interno Bruto – Minas Gerais

PIM Produção física industrial

PMC Índice de volume de vendas no comércio varejista

RMSE Raiz do erro quadrático médio

RMSPE Raiz do erro percentual quadrático médio

UFMG Universidade Federal de Minas Gerais

VAB Valor adicionado bruto

VAR Vetores auto regressivos

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 8

2 DADOS ........................................................................................................................................... 10

3 METODOLOGIA ............................................................................................................................... 13

3.1 Modelos vetores auto regressivos (VAR): teoria ...................................................................... 13

3.2 Modelos espaço de estados: teoria .......................................................................................... 14

4 RESULTADOS ................................................................................................................................... 18

4.1 Resultados do modelo valores auto regressivos (VAR) ........................................................... 18

4.2 Resultados do modelo Espaço de Estados ................................................................................ 20

4.3 Comparação dos resultados ...................................................................................................... 21

5 CONCLUSÃO .................................................................................................................................... 24

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 25

Estatística & Informações, n. 34

7

APRESENTAÇÃO

A série “Estatística & Informações” divulga os estudos produzidos pela Diretoria de

Estatística e Informações (Direi), da Fundação João Pinheiro (FJP), em seus mais diversos

recortes ao tratar dos indicadores econômicos, demográficos e sociais. Em sua edição

número 34 apresenta o relatório metodológico com os modelos econométricos utilizados

para previsão do Produto Interno Bruto de Minas Gerais (PIB-MG) 2020 e 2021. Trata-se de

um estudo conjunto da Direi/FJP com o Centro de Desenvolvimento e Planejamento

Regional da Universidade Federal de Minas Gerais (Cedeplar/UFMG).


8

1 INTRODUÇÃO

A previsão do crescimento da economia é objeto de grande interesse da sociedade. A partir dela, empresários

balizam suas decisões de produção para atender a demanda futura; governantes planejam seus gastos e

trabalhadores avaliam suas decisões de consumo.

Desde o início da crise da corona virus disease (Covid-19), analistas tentam estimar a queda de Produto

Interno Bruto (PIB) em 2020 e sua recuperação em 2021. Nesse contexto, foram sugeridos diversos formatos

para a trajetória de recuperação das economias, remetendo às letras do alfabeto: 𝑉, 𝑈, 𝑊, 𝐿, 𝑍 e 𝐾. Essas

trajetórias de recuperação têm sido exploradas recorrentemente na mídia (ROUBICEK, 2020; CANZIAN, 2020).

Cada uma delas se associa a diferentes hipóteses sobre a recuperação da economia:

- recuperação em 𝑉: após uma forte queda, há uma recuperação rápida e acentuada, retornando ao nível original;

- recuperação em 𝑈: a economia volta a crescer após a queda, mas a um ritmo mais lento, levando mais tempo para retomar ao padrão anterior;

- recuperação em 𝑉 da Nike: aproxima-se da ideia de recuperação em 𝑈, assumindo-se que a recuperação começa mais forte inicialmente, perdendo intensidade ao longo do tempo;

- recuperação em 𝑊: há sucessivas quedas e retomadas, que no caso da pandemia estariam ligadas à alternância entre momentos de isolamento social e de abertura da economia;

- recuperação em 𝐿: depois do choque inicial da crise, a economia não consegue voltar aos níveis anteriores;

- recuperação em 𝑍: assemelha-se, na verdade, a um 𝑁 inclinado. Depois do choque inicial, a economia se recupera fortemente, superando os níveis pré-crise;

- recuperação em 𝐾: nesse caso, supõe-se que, após a crise, os mais ricos e as maiores companhias se recuperam, mas os trabalhadores e as empresas menores empobrecem, abrindo a distância entre os dois grupos.

Dentre essas possibilidades, os formatos de recuperação mais citados (ROUBICEK, 2020) são em 𝑉 e em 𝑈.

Os dados de volume de vendas no varejo referentes a junho de 2020, divulgados pelo Instituto Brasileiro de

Geografia e Estatística (IBGE), sugerem uma recuperação mais parecida com um 𝑉. No entanto, o varejo é

apenas uma parte da economia e seu comportamento não pode ser generalizado.

Em geral, as estimativas para a economia brasileira, coletadas em junho de 2020, apontavam para uma

recuperação em 𝑈. De acordo com estudo da Fundação João Pinheiro (FJP, 2020), o Fundo Monetário

Internacional (FMI) estimou uma queda de 9,1% do PIB brasileiro em 2020 e um crescimento de 3,6% em

2021; o Banco Mundial projetou uma queda de 8% seguida de recuperação de 2,2%; e o Banco Central do


9

Brasil (Bacen) calculou uma retração de 6,5% em 2020 e crescimento de 3,5% em 2021. Portanto, no melhor

cenário, a economia brasileira recuperaria em 2021 apenas pouco mais da metade da queda a ser registrada

neste ano.

A estimativa para a economia mineira realizada em junho pela da FJP (2020a) calculou uma queda de 4,9%

do PIB em 2020. A melhor performance do estado mineiro, quando comparada à do Brasil, se deveu à

projeção de queda menos acentuada no segundo trimestre: -7,7% (em relação ao primeiro trimestre de 2020)

ante -9,7% para o Brasil. Esse resultado estaria associado à diferença de estrutura produtiva, sendo que, em

Minas Gerais, o peso da agricultura é maior e dos serviços menor do que no Brasil.

A questão que este estudo busca responder é quais serão as taxas de crescimento do PIB mineiro em 2020 e

2021 e, subsidiariamente, indicar o formato de recuperação da economia mineira. O ponto de partida são os

dados divulgados do PIB mineiro referentes ao segundo trimestre deste ano (FJP, 2020b), que indicaram uma

queda de -9,8% do PIB em relação ao primeiro trimestre de 2020 (similar à verificada para o Brasil, -9,7%)1.

Para projetar o PIB, são utilizadas duas classes de modelos econométricos: os modelos de vetores auto

regressivos (VAR) e os modelos espaço de estados (EE).

O estudo está estruturado da seguinte forma: a próxima seção apresenta os dados utilizados, detalhando

brevemente a série do PIB de Minas Gerais. A seção 3 revisa os aspectos teóricos dos modelos econométricos.

A seção 4 apresenta os resultados de ambos modelos, comparando-os. Na seção 5 são registradas as

considerações finais.

1 O estudo da FJP (2020a) estimou uma queda no setor de serviços em Minas Gerais inferior à do Brasil, diferente do que foi efetivamente observado.

Modelos econométricos de previsão de Produto Interno Bruto – Minas Gerais (PIB-MG) 2020 e 2021

10

2 DADOS

Para estimar os modelos de previsão para o PIB de Minas Gerais foi escolhido o conjunto de variáveis descrito

na Tabela 1. O período utilizado compreende do primeiro trimestre de 2002 ao quarto trimestre de 2019,

totalizando 72 observações. Os dados mais recentes do PIB, do primeiro e segundo trimestre de 2020, foram

utilizados apenas para se calcular as projeções.

Tabela 1: Descrição das variáveis utilizadas nos modelos de previsão

Variável Detalhamento Fonte

pib PIB-MG - série encadeada do índice de volume trimestral (média 2002=100) FJP-MG

pib.ind Valor adicionado bruto (VAB) da indústria - série encadeada do índice de volume trimestral (média 2002=100)

FJP-MG

pib.com Valor Adicionado Bruto (VAB) do Comércio - série encadeada do índice de volume trimestral (média 2002=100)

FJP-MG

pim Produção Física Industrial - Índice de base fixa sem ajuste sazonal (média 2002 = 100) IBGE

pmc Índice de volume de vendas no comércio varejista (média 2002 = 100) IBGE

exp Exportações - Índice de valor FOB - US$ (média 2002=100) Comexstat

Fonte: Elaboração própria.

Nota: FJP: Fundação João Pinheiro. IBGE: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. MG: Minas Gerais.

O comportamento da série do 𝑝𝑖𝑏 pode ser decomposto em nível, tendência, sazonalidade e ruído. O Gráfico

1 mostra esses quatro componentes.

A partir do Gráfico 1b, identifica-se o componente sazonal da série. No segundo e terceiro trimestres a

produção mineira é maior. O Gráfico 1c mostra a tendência da série e sugere duas trajetórias diferentes nos

períodos de crise econômica. Na crise econômica de 2009, o PIB mineiro retraiu, em 2009, 3,9%; no ano

seguinte, o crescimento foi de 9,1%. Houve uma recuperação econômica em forma de 𝑍, sendo que, em 2010,

a economia mineira, além de “devolver” toda a perda de PIB registrada em 2009, cresceu mais 5,1%. Na crise

econômica que se estendeu de 2014 a 2016, o PIB mineiro retraiu 7%2; nos anos seguintes, 2017 e 2018, o

crescimento acumulado foi de 2,8%. Observa-se, então, um padrão de recuperação lento, que se aproxima

de um formato em 𝑈, muito embora ainda não se tenha alcançado o nível pré-crise. Nesses dois anos, a

economia mineira ficou distante de “devolver” a perda de PIB associada à crise. Em 2019, Minas Gerais

registrou novamente uma taxa de crescimento levemente negativa, em parte em função do desastre ocorrido

2 Soma das taxas acumuladas de crescimento nos anos de 2014, 2015 e 2016.


11

em Brumadinho (FJP, 2019). O Gráfico 1d mostra o componente de erro da série, que é maior nos períodos

de crises econômicas (rupturas da série).

Gráfico 1: Componentes da série pib - série observada sazonalidade tendência e ruído – Minas Gerais – 2002-2019

Fonte: Dados básicos: FUNDAÇÃO JOÃO PINHEIRO, 2020.

Elaboração própria.

Nota: MG: Minas Gerais. pib (série trimestral do PIB-MG). PIB: Produto interno bruto.

O Gráfico 2 mostra a evolução da tendência3 de todas as variáveis candidatas a serem utilizadas nos modelos

econométricos. As variáveis que compõem o cálculo do PIB mineiro pelo lado da oferta foram agrupadas no

Gráfico 2a. O Gráfico 2b mostra a tendência da evolução do índice de preço das exportações (as exportações

são utilizadas para calcular o PIB pelo lado da demanda).

Depois da crise entre 2014 e 2016, observa-se que a tendência do Valor Adicionado Bruto (VAB) do comércio4,

que em 2017 respondeu por 12,5% do PIB, tem uma inclinação forte, sugerindo crescimento; padrão

semelhante se observa para o índice de varejo da PMC, que não inclui o ramo atacadista; a tendência do VAB

da indústria, equivalente a 25,5% do PIB em 2017, e do índice de produção física da indústria (PIM) sugerem

queda; e a tendência do índice de valor das exportações indica certa estabilidade no período mais recente.

3 A tendência é calculada a partir de uma média móvel. 4 O VAB do comércio compõe o VAB dos serviços, representando 18%.


12

Gráfico 2: Evolução das tendências das variáveis do modelo – Índice de volume de vendas no comércio varejista (pmc), Valor adicionado bruto (VAB) DO Comércio (pib.com), Produto interno bruto Minas Gerais (pib), Valor Adicionado Bruto (VAB) da Indústria (pib.ind), Produção física industrial (pim) – Minas Gerais – 2002-2019

Fonte: Dados básicos: FJP (2020c), IBGE(2020) e BRASIL (2020).

Elaboração própria.

Nota: pib: série trimestral do PIB-MG. pib.com: série trimestral do valor adicionado bruto (VAB) do comércio. pib.ind: série trimestral do valor adicionado bruto (VAB) da indústria. pim: série trimestral da produção física industrial. pmc: série trimestral do índice de volume de vendas no comércio varejista.


13

3 METODOLOGIA

Neste estudo, para a previsão do PIB mineiro, são utilizadas duas classes de modelos: modelos VAR e EE.

3.1 Modelos vetores auto regressivos (VAR): teoria5

Nos modelos de Vetores Auto Regressivos (VAR), cada variável é definida em função de seus próprios valores

defasados e dos valores defasados das outras variáveis. As séries são então modeladas conjuntamente em

um sistema de equações. Esse tipo de análise é particularmente útil quando não se tem certeza de que

variáveis são exógenas no modelo.

Pode-se expressar um modelo VAR de ordem 𝑝 por um vetor com 𝑛 variáveis endógenas estacionárias, 𝑋𝑡

𝐵𝑋𝑡 = Γ0 + ∑ Γ𝑖𝑋𝑡−1𝑝𝑖=1 + 𝜖𝑡 (1)

sendo:

𝐵 matriz 𝑛 × 𝑛 que define as restrições contemporâneas entre as variáveis que constituem o vetor 𝑋, 𝑛 × 1

𝛤0 vetor de constantes 𝑛 × 1; Γ𝑖 matrizes 𝑛 × 𝑛

𝜖𝑡 vetor 𝑛 × 1 de perturbações aleatórias, 𝜖𝑡 ∼ 𝑅𝐵(0, 𝜎𝑛2).

O modelo (1) é normalmente estimado na forma reduzida, ou seja

𝑋𝑡 = 𝐴0 + ∑ 𝐴𝑖𝑋𝑡−1𝑝𝑖=1 + 𝑒𝑡 (2)

em que

𝐴𝑖 = 𝐵−1𝛤𝑖 ∀ 𝑖 = 0,1, … , 𝑝 e 𝑒𝑡 = 𝐵−1𝜖𝑡.

Antes de estimar-se o modelo VAR, realizou-se o teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) de raiz unitária. Os

testes sugerem que as variáveis incluídas no VAR são integradas de ordem 1. Assim, o modelo foi estimado

para as variáveis em primeira diferença. Além disso, todas as variáveis utilizadas no VAR foram previamente

dessazonalizadas com base no método X-13 ARIMA.

Uma vez estimado o modelo VAR, realizaram-se, além do teste de estabilidade, os testes de verificação dos

resíduos. Para que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários utilizado na estimação dos parâmetros do

VAR sejam os melhores estimadores lineares não-viesados, os resíduos do modelo devem ser

homocedásticos, não autocorrelacionados e normalmente distribuídos. Para isso, realizam-se testes que

5 Essa seção se baseou em Enders (2004).


14

verifiquem a validade dessas hipóteses. Um breve resumo desses testes e dos resultados obtidos para o

modelo VAR estimado são apresentados abaixo:

- teste de estabilidade: o inverso das raízes do polinômio característico se encontra dentro do círculo unitário, indicando que o modelo satisfaz o critério de estabilidade;

- teste de autocorrelação de Portmanteau: o teste sugere a ausência de autocorrelação dos resíduos;

- teste ARCH-LM de heterocedasticidade: o teste sugere que os erros não são heterocedásticos.;

- teste de Jarque-Bera de normalidade multivariado: o teste sugere que os erros são normalmente distribuídos.

Uma vez verificada a validade das hipóteses do modelo VAR, partiu-se para a análise das Funções de Resposta

ao Impulso (FRI). Os modelos VAR, assim como os modelos autorregressivos, podem ser escritos como um

vetor de média móvel, em que as variáveis endógenas são expressas em termos dos valores correntes e

passados dos choques não explicados pelo modelo. Essa representação permite avaliar a resposta dinâmica

ao choque de um desvio-padrão em cada variável do modelo, isso é, a FRI projeta os efeitos de um choque

(inovação) em uma variável sobre a resposta de todas as variáveis do sistema.

Para identificar as FRIs é necessário impor alguma restrição adicional no sistema primitivo (1). A partir do

modelo na forma reduzida [equações (2)] não é possível recuperar todas as informações do modelo primitivo,

pois nele existem mais parâmetros do que na forma reduzida. Desse modo, é necessário restringir um dos

parâmetros do modelo na forma reduzida. No presente trabalho, aplicou-se uma decomposição de Choleski

para impor as restrições necessárias para a identificação dos choques estruturais.

O cálculo da FRI auxilia a investigar como a economia mineira reage a um choque negativo não esperado,

como é o efeito provocado pela paralisação das atividades não essenciais durante a quarentena. Dessa forma,

a informação sobre o tempo de reação da economia é utilizada no cálculo da projeção.

3.2 Modelos espaço de estados: teoria6

Os modelos espaço de estados constituem uma estrutura geral para modelar sistemas dinâmicos, permitindo

separar as variáveis observáveis daquelas que descrevem o real estado do sistema. A abordagem básica

assume que o desenvolvimento do sistema ao longo do tempo é determinado por uma série de vetores não

observados, 𝛼1, . . . , 𝛼𝑛, que estão associados a vetores observados, 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛. A relação entre 𝛼𝑡′𝑠 e 𝑦𝑡′𝑠 é

6 Essa seção se baseou em Commandeur, Koopman e Ooms (2011).


15

especificada a partir de um modelo de espaço de estados. O objetivo é inferir as principais propriedades de

𝛼𝑡′𝑠 a partir do conhecimento do sistema especificado e das realizações de 𝑦𝑡′𝑠.

O modelo espaço de estados pode ser representado a partir das seguintes equações:

𝑦𝑡 = 𝑍𝛼𝑡 + 𝜖𝑡; 𝜖𝑡 ~ 𝑁𝐼𝐷(0, 𝐻𝑡) (3)

𝛼𝑡+1 = 𝑇𝛼𝑡 + 𝑅𝜂𝑡; 𝜂𝑡 ~ 𝑁𝐼𝐷(0, 𝑄𝑡) (4)

em que: 𝛼𝑡 é o vetor de estado; 𝜖 e 𝜂 são vetores de erros; e 𝑍𝑡, 𝑇𝑡, 𝑅𝑡, 𝐻𝑡, 𝑄𝑡 são matrizes fixas e conhecidas7.

A equação (3) é a equação de medida e descreve a relação entre as variáveis observadas 𝑦1, . . . , 𝑦𝑡 e as

variáveis não observadas de estado 𝛼′𝑠. A equação (4) é a equação de estado e descreve a dinâmica das

variáveis não observáveis 𝛼1, . . . , 𝛼𝑛. A média e a variância do vetor inicial de estado 𝛼1 usualmente são

tratadas como exógenas e conhecidas, geradas a partir de uma distribuição normal e independentemente

distribuída (𝑁𝐼𝐷). E cada um desses componentes terão uma equação que represente suas transições no

tempo. A existência de termo de erro nessas equações gera diferenciações nos modelos quanto ao

tratamento dos componentes. Por exemplo, acrescentar o termo de erro na equação da inclinação e não

incluir no nível, ou seja, inclinação aleatória e nível determinístico, gera um modelo de tendência suavizada.

Da mesma forma que séries com um padrão de sazonalidade praticamente constante podem ser tratadas

com a inclusão de um componente de sazonalidade determinístico, portanto, não incluindo um componente

aleatório em sua equação.

Suponha uma série temporal 𝑦𝑡 expressa na forma aditiva:

𝑦𝑡 = 𝜇𝑡 + 𝜖𝑡; 𝜖𝑡 ~ 𝑁𝐼𝐷(0, 𝐻𝑡) (5)

𝜇𝑡+1 = 𝜇𝑡 + 𝜉𝑡; 𝜉𝑡 ~ 𝑁𝐼𝐷(0, 𝑄𝑡) (6)

O componente de nível 𝜇𝑡 é análogo ao intercepto nos modelos de regressão lineares 𝑦𝑡 = 𝜇𝑡 + 𝜖𝑡. A

diferença chave é que o componente de nível em (6) pode se alterar a cada ponto no tempo. Esse modelo é

conhecido como o modelo de nível local.

A partir da estrutura representada por (3) e (4), diversos modelos de séries temporais podem ser

desenvolvidos, incluindo a tendência, sazonalidade, ciclos, etc. O modelo estrutural básico inclui nível,

tendência e sazonalidade entre os componentes de estado.

Outra extensão possível dos modelos espaço de estados é a incorporação de variáveis explicativas fixas.

𝑦𝑡 = 𝜇𝑡 + 𝛽𝑡𝑥𝑡 + 𝜖𝑡; 𝜖 ~ 𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎𝜖2)

7 Mas alguns elementos podem depender de parâmetros desconhecidos.


16

𝜇𝑡+1 = 𝜇𝑡 + 𝜉𝑡; 𝜉 ~ 𝑁𝐼𝐷(0, 𝜎𝜉2) (7)

𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡

O sistema de equações (7) pode ser representado a partir da equação de estado e de medida. Nesse caso, as

matrizes do sistema (3) e (4) correspondem a:

𝛼𝑡 = (𝜇𝑡

𝛽𝑡) , 𝜂𝑡 = 𝜉𝑡 , 𝑇𝑡 = (

1 00 1

) , 𝑍𝑡 = (1 𝑥𝑡)

𝐻𝑡 = 𝜎𝜖2, 𝑄𝑡 = (

𝜎𝜉2 0

0 0) , 𝑅𝑡 = (

1 00 0

) (8)

Esse é o modelo de nível local com uma variável explicativa. Caso se adicione um termo de erro à equação

dos 𝛽, permite-se que o parâmetro da regressão varie no tempo.

Dados os valores das matrizes do sistema e das condições iniciais (vetor inicial), o vetor de estado pode ser

estimado de três formas diferentes, gerando as estimativas conhecidas como filtradas, previstas e suavizadas.

Nas primeiras duas estimativas, aplica-se o algoritmo denominado filtro de Kalman8. Ele permite o cálculo dos

valores previstos de estado com base em 𝑦1 = 𝑦2, . . . , 𝑦𝑡−1 e dos valores filtrados com base em 𝑦1, . . . , 𝑦𝑡 e

nos erros de previsão. Na terceira, utilizam-se os valores filtrados e aplica-se algoritimo de suavização de

estado e erros que utiliza todas observações 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛.

Considerando as equações (5) e (6), o estado estimado a partir do filtro de Kalman no ponto t+1 é denotado

por 𝜇𝑡+1 = 𝐸𝑡[𝜇𝑡+1|𝑦𝑡] e a variância estimada é denotada por 𝑃𝑡+1 = 𝑣𝑎𝑟[𝜇𝑡+1|𝑦𝑡]; a fórmula central do

filtro pode ser representada por:

𝜇𝑡+1 = 𝜇𝑡 + 𝐾𝑡(𝑦𝑡 − 𝜇𝑡) (11)

Observe a equação de medida 𝜖𝑡+1 = 𝑦𝑡+1 − 𝜇𝑡+1. Esses erros podem ser chamados de inovações um passo

à frente, pois trazem novas informações para o filtro de Kalman. A variância dos erros de inovação é referida

por 𝜎𝑒,𝑡 e a diferença entre 𝜇𝑡+1 − 𝜇𝑡 é chamada de erro de previsão.

O valor de 𝐾𝑡 é conhecido como ganho de Kalman. Se a incerteza do estado com base em informações

passadas da variável de estado é alta, então a variância do erro de previsão será alta. Nesse caso, o ideal é

que 𝐾𝑡 tenda à unidade, permitindo que inovações tenham um grande impacto sobre o próximo valor de

estado.

8 Ver Hamilton (1994).


17

Em relação ao algoritmo de suavização, a ideia geral é relacionar a estimativa de 𝜇𝑡 ao valor observado de 𝜇𝑡

no mesmo ponto de tempo. No filtro de Kalman, a estimativa um passo à frente, os valores de 𝜇𝑡+1 são muito

influenciados pelas observações do período anterior 𝑦𝑡.

Para estimar as variâncias não conhecidas do modelo (𝐻𝑡 e 𝑄𝑡 ), conhecidas como hiperparâmetros, pode-se

utilizar a função de máxima verossimilhança. Na prática, aplica-se um método de maximização da função de

log-verossimilhança (otimização numérica, método de Newton, etc.) até que se encontre o vetor de

hiperparâmetros que maximiza a probabilidade de o processo descrito pelo modelo ter se originado dos

dados observados.

Neste estudo, foi utilizado um modelo estrutural básico univariado, que inclui os componentes nível,

tendência e sazonalidade. Foram também incluídas variáveis explicativas, adicionando um termo de erro à

equação dos coeficientes, isso é, permitindo a estimação de coeficientes de regressão que variam no tempo.

Na equação de estado, assumiu-se a hipótese de que a variância do componente do termo de erro fosse igual

a zero - modelo de tendência suavizada. Dessa forma, a parte aleatória vem da tendência e não do nível.


18

4 RESULTADOS

Nesta seção, apresentam-se, primeiramente, os resultados de cada modelo, comparando-os em seguida.

4.1 Resultados do modelo valores auto regressivos (VAR)

Foram utilizadas as seguintes variáveis no modelo VAR: exp, pib.ind, pib.com e pib. Adicionalmente, foi

utilizada uma variável exógena (dummy), que assumiu valor igual a um nos trimestres em que se identificou

uma queda brusca na série do pib, quais sejam: quarto trimestre de 2018, primeiro trimestre de 2009 e

segundo trimestre de 2014. O modelo VAR selecionado com base na especificação mais parcimoniosa que

satisfaz os testes de verificação dos resíduos foi o VAR (1), isso é, incluindo uma defasagem de cada variável,

com constante. Todas as séries estão em primeira diferença. Destaca-se, ainda, que se optou por

dessazonalizar as variáveis do modelo por meio do método X-13 ARIMA, tendo como objetivo prever as taxas

de crescimento anual.

A partir desse modelo, estimou-se a previsão do PIB para 2020 e 2021 em um cenário base sem levar em

consideração o choque adverso provocado pela pandemia. Os resultados desse cenário base sugerem que,

na ausência do choque negativo gerado pela pandemia, a economia mineira teria crescido a uma taxa

acumulada de 2,2% em 2020 e 2,5% em 2021. Os resultados estão em linha com as estimativas do relatório

focus de 10 de janeiro de 2020 (BCB, 2020), a partir do qual a mediana das projeções de crescimento para a

economia brasileira teria sido de 2,3% em 2020 e 2,5% em 2021.

Entretanto, vale frisar que essas são estimativas geradas a partir de dados anteriores ao início da crise da

Covid-19. Para modelar a previsão do PIB após essa crise, foi utilizada a FRI para a equação do pib. A ordenação

de Choleski, necessária para a identificação do modelo, seguiu esta sequência da variável considerada a mais

exógena para a mais endógena: exp -> ind -> com -> pib. O valor do choque corresponde a um desvio padrão

(-1 D.P) do termo de erro da equação. O Gráfico 3 mostra o resultado da FRI para a equação do pib.

A partir do Gráfico 3, observa-se que apenas o choque no período corrente é estatisticamente diferente de

zero. Esse resultado sugere que passado o choque inicial, a economia mineira “religa” já no semestre seguinte,

voltando a crescer.


19

Gráfico 3: Função Impulso-Resposta ortogonal da equação da primeira diferença da série pib (dpib)


Nota: dpib: diferença da série pib.

Para estimar a previsão do PIB mineiro depois do choque, utilizam-se os valores de previsão do modelo VAR,

substituindo-se os valores previstos para o primeiro e segundo trimestre de 2020 pela primeira diferença dos

valores efetivamente observados. Considerando esses dois choques, estima-se queda de -6,2% do PIB em

2020 e crescimento de 1,7% em 2021.

O Gráfico 4 mostra o formato da recuperação. Com base nesses resultados, a trajetória de recuperação

mineira se daria em formato similar ao 𝑉 da Nike, retomando seu nível pré-crise somente no segundo

trimestre de 2023.


20

Gráfico 4: Trajetória da recuperação do produto interno bruto (PIB) – Minas Gerais – série prevista para o índice de volume trimestral dessazonalizado – 2020T3-2023T


Nota: Os valores foram normalizados considerando 2019T4 = 100

4.2 Resultados do modelo Espaço de Estados

No caso do modelo EE, partindo do modelo estrutura básico, foram também incluídas as seguintes variáveis

regressoras: pmc, pim e exp. Os valores foram previstos a partir do filtro de Kalman, utilizando-se os dados já

conhecidos para o primeiro e segundo trimestre de 2020. As variáveis não foram dessazonalizadas.

Os resultados do modelo EE ficaram bastante sensíveis a alterações nas janelas de previsão. Destaca-se que

a cada novo valor previsto, o filtro de Kalman ajusta novamente suas previsões nas séries suavizadas,

utilizadas neste trabalho. Adicionalmente, os dados das variáveis explicativas se interrompem no final de


21

2019, não trazendo novas informações para a variável de estado. Desse modo, o efeito da pandemia se

concentra na tendência e na sazonalidade da série do pib.

Um resultado não esperado foi a previsão de crescimento negativo em 2020 (-4,3%)9, mesmo antes de se

inserir os choques do primeiro e segundo trimestre de 2020. Quando se consideram os choques, com base

nesse modelo, a previsão para a taxa acumulada de crescimento do PIB é de -6,2 em 2020 e 1,4 em 2021

(GRÁFICO 5).

Gráfico 5: Taxa de crescimento acumulado do produto interno bruto (PIB) em quatro trimestres – Minas Gerais – série prevista para o índice de volume trimestral – 2020T3/2021T4


4.3 Comparação dos resultados

Para comparar os resultados dos modelos de previsão, foram utilizadas medidas de acurácia para a previsão

dentro da amostra e fora da amostra. O primeiro método utiliza toda a informação disponível na amostra

9 A janela de previsão inclui os quatro trimestres de 2020.


22

para estimar o modelo, avaliando seu poder preditivo em relação às observações dentro da própria amostra.

O segundo consiste em estimar o modelo utilizando parte da amostra, realizando previsões para o restante

das observações. Neste estudo, para os testes fora da amostra, os modelos foram estimados de 2002.Q1 a

2018.Q4. Posteriormente, foram comparados os resultados previstos para 2019 com os efetivamente

observados no mesmo período.

Existem diversas medidas de acurácia que comparam o valor previsto com o valor observado. Dentre elas,

existem aquelas que dependem da escala do dado, que não devem ser utilizadas para a comparação de dados

com escala diferente. Nesse grupo, estão o erro médio (ME), a raiz do erro quadrático médio (RMSE) e o erro

absoluto médio (MAE). As medidas com base em erros percentuais independem da escala dos dados e são

utilizadas para comparações com diferentes conjuntos de dados. Entras elas, incluem-se o erro absoluto

percentual médio (MAPE) e a raiz do erro percentual quadrático médio (RMSPE).

Neste estudo, optou-se por expressar as previsões na mesma escala. Nesse caso, as previsões do modelo VAR,

que se referem à primeira diferença, foram transformadas em nível. No modelo EE, a previsão fora da amostra

foi atualizada a cada nova informação incluída. A Tabela 2 mostra os resultados para a previsão dentro da

amostra (in sample) e fora da amostra (out of sample).

Tabela 2: Medidas de acurácia dentro e fora da amostra – erro médio (ME) raiz do erro quadrático médio (RMSE) e erro absoluto médio (MAE) – modelos vetores auto regressivos (VAR) e espaço de estados (EE)

Descrição ME RMSE MAE

VAR - in sample 9.57 11.69 9.59

EE - in sample -0.66 3.16 2.46

VAR - out of sample -0.71 0.98 0.73

EE - out of sample -1.02 1.84 1.75


Nota: EE: espaço de estados. MAE: erro absoluto médio. ME: erro médio. RMSE: raiz do erro quadrático médio. VAR: vetores auto regressivos.

Os resultados das medidas de acurácia dentro da amostra sugerem que as previsões do modelo EE são

superiores (quanto menor o valor, melhor a previsão). Observa-se que o modelo VAR, que modela a primeira

diferença da série do pib, não se ajusta tão bem ao nível da série. Após a crise entre 2014 e 2016, o modelo é

mais otimista em relação à recuperação da economia. Já os valores ajustados do modelo EE estão mais

próximos aos valores observados da série (GRÁFICO 6).


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Gráfico 6: Previsão da série do produto interno bruto MG (pib) dentro da amostra - modelos vetores auto regressivos (VAR) e espaço de estados (EE) – Minas Gerais – 2002-2019


Nota: EE: espaço de estados. VAR: vetores auto regressivos.

No entanto, quando se comparam as previsões fora da amostra, os resultados se invertem. As previsões fora

da amostra têm maior aplicação prática, pois se aproximam das restrições de informação observadas em

tempo real. No caso do VAR, a previsão da taxa de crescimento dessazonalizada para 2019 foi de 0,3%; no

caso do EE, utilizando a série com sazonalidade, a taxa de crescimento prevista foi de 0,4%. Ambas se

aproximam bastante do valor observado em 2019, que foi de -0,3%, sobretudo quando se considera que em

2019 o rompimento da barragem de Brumadinho tenha subtraído cerca de 0,5% do PIB mineiro (DOMINGUES

et al, 2020).

Destaca-se que as previsões de ambos os modelos para 2020 e 2021 são quase idênticas e apontam que a

recuperação será lenta. Portanto, mesmo utilizando modelagens distintas e um conjunto diferente de

variáveis explicativas, os resultados são muito próximos, indicando, em certa medida, sua robustez.


24

5 CONCLUSÃO

As previsões para o comportamento da economia são extremamente difíceis. Existe, inclusive, um aforismo

que sintetiza bem essa questão: “Previsão é muito difícil, especialmente se for sobre o futuro”. Portanto,

qualquer estimativa para o comportamento do PIB mineiro nos próximos trimestres carrega consigo um

elevado nível de incerteza.

O contexto atual torna as previsões ainda mais complicadas. O mundo e o Brasil atravessam uma pandemia

que tem sido mitigada por intermédio de medidas de isolamento social. O cenário macroeconômico global é

marcado por disputas comerciais, aumento do endividamento dos governos e taxas de juros baixas. No front

interno, existe ainda bastante turbulência política.

Dessa forma, as previsões para o PIB mineiro ,realizadas neste estudo, são permeadas de incertezas. Os

resultados sugerem que a recuperação da economia mineira será bastante lenta. Em certa medida, esses

resultados, ainda que mais pessimistas do que a expectativa do mercado para a economia brasileira (BACEN,

2020a), estão em linha com projeções de organismos internacionais para a economia brasileira. Portanto,

reforça-se o entendimento de que a recuperação será em formato de 𝑉 da Nike.


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REFERÊNCIAS

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DOMINGUES, Edson Paulo et al. Impactos econômicos da paralisação de parte da produção mineral em Minas Gerais decorrentes do desastre de barragem em Brumadinho. Gestão e Sociedade, Belo Horizonte, v.14, n.38, p. 3463-3479, maio/ago. 2020. Disponível em: https://doi.org/10.21171/ges.v14i2.3175. Acessoem: 10 nov.2020.

ENDERS, Walter. Applied econometric time series. Hoboken, New Jersey: J. Wiley, 2004.

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Série Estatística & Informações

ISSN 2595-6132

Números divulgados

Volume 1 – Economia do turismo de Minas Gerais: 2010-2014

Volume 2 – Metodologia do PIB trimestral de Minas Gerais: referência 2010

Volume 3 – Déficit habitacional no Brasil: resultados preliminares 2015

Volume 4 – Produto Interno Bruto de Minas Gerais: 2015

Volume 5 – Produto interno bruto dos municípios de Minas Gerais: 2015

Volume 6 – Déficit habitacional no Brasil: 2015

Volume 7 – Fluxos migratórios dos territórios de desenvolvimento de Minas Gerais e grandes regiões do

Brasil: 2010

Volume 8 – Projeções populacionais: Minas Gerais e territórios de desenvolvimento 2010-2060

Volume 9 – Perfil dos jovens em áreas de vulnerabilidade social: educação e trabalho

Volume 10 – Tabela de Recursos e Usos e Matriz Insumo-Produto de Minas Gerais: 2013

Volume 11 – Matriz Insumo-Produto dos Territórios de Desenvolvimento de Minas Gerais: 2013

Volume 12 – O PIB e os indicadores das finanças públicas de Minas Gerais: triênio 2015-2017

Volume 13 – Diagnóstico da previdência pública dos servidores do Estado de Minas Gerais

Volume 14 – A produção de café em Minas Gerais: desafios para a industrialização

Volume 15 – Estrutura e evolução da ocupação formal de Minas Gerais: 2000-2017

Volume 16 – Produto Interno Bruto de Minas Gerais: 2016

Volume 17 – Produto Interno Bruto dos Municípios de Minas Gerais: 2016

Volume 18 – Vulnerabilidade e condições de vida no Brasil e em Minas Gerais: o que revelam a Pesquisa por

Amostra de Domicílios Contínua (PNADC) e o Cadastro Único – 2016 e 2017

Volume 19 – A economia de Minas Gerais no primeiro semestre de 2019

Volume 20 – Contas Regionais de Minas Gerais – Ano de Referência 2017

Volume 21 – Delimitação e caracterização da cadeia produtiva da moda de Minas Gerais a partir da Matriz

de Insumo Produto 2013


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Volume 22 – Metodologia para o cálculo do PIB do agronegócio de Minas Gerais: referência na Matriz de

Insumo Produto 2013

Volume 23 – Produto Interno Bruto dos Municípios de Minas Gerais: ano de Referência 2017

Volume 24 – A economia de Minas Gerais no terceiro trimestre de 2019

Volume 25 – Boletim quadrimestral das finanças públicas – 3º quadrimestre de 2019

Volume 26 – Cadeia produtiva de calçados e couro em Minas Gerais: uma aplicação insumo-produto

Volume 27 – A economia de Minas Gerais em 2019

Volume 28 – Tabela de Recursos e Usos e Matriz insumo Produto de Minas Gerais – 2016

Volume 29 – Matriz de insumo-produto das Regiões Geográficas Intermediárias de Minas Gerais – 2016

Volume 30 – Boletim quadrimestral de finanças públicas: 1º quadrimestre de 2020

Volume 31 – Estudo trimestral da economia de Minas Gerais: primeiro trimestre de 2020

Volume 32 – Estrutura e Evolução do emprego em Minas Gerais pré pandemia da Covid - 19

Volume 33 – Estudo trimestral da economia de Minas Gerais: segundo trimestre de 2020

Volume 34 – Modelos econométricos de previsão de PIB-MG 2020 e 2021: um estudo conjunto da Direi/FJP

e do Cedeplar/UFMG

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