ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE -...

Ámbito Científico - TecnolóxicoESA – MÓDULO 4

Unidade Didáctica 6 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

ÁMBITO CIENTÍFICO – TECNOLÓXICO - MÓDULO 4 U.D. 6 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Índice da Unidade:

I. ESTATÍSTICA.................................................................................................................3

1. Utilidade da estatística................................................................................................3

1.1 Divisións da estatística...........................................................................................3

2. A linguaxe estatística..................................................................................................4

3. Procedementos ...........................................................................................................53.1 Organización dos datos: confección dunha táboa de frecuencias. Significado.....6

3.2 Representación dos datos: construción de gráficas axeitadas a cada caso.........8

4. Parámetros estatísticos. Cálculo e significado......................................................10

4.1 Medidas de centralización....................................................................................10

4.2 Medidas de dispersión.........................................................................................12

5. Uso da calculadora....................................................................................................13

II. AZAR E PROBABILIDADE.....................................................................................14

1. Experimento aleatorio...............................................................................................14

2. Probabilidade.............................................................................................................15

2.1 Dos sucesos elementais......................................................................................15

2.2 Dos sucesos compostos. Lei de Laplace ..........................................................16

2.2.1Reconto de datos............................................................................................16

3. A probabilidade nos experimentos compostos.....................................................17

2


I. EstatísticaÉ difícil establecer a orixe da estatística, pero parece que os datos máis antigos que se coñecen, do que nós entendemos por estatística, son os censos chineses alá polo ano 2200 antes de Cristo. No ano 2238 aC, baixo o mandato do emperador Yao elaborouse, segundo o libro de Confucio, un coidadoso listado de enseres e recursos.

A información máis antiga sobre a elaboración dunha estatística proporciónaa o historiador grego Heródoto (484 – 420 aC) ao relatar que no ano 3500 aC o faraón de Exipto ordenou un reconto dos ben que posuía o país para levar a cabo unha gran obra: a construción das pirámides.

A palabra estatística está emparentada con estado, xa que a principal función dos gobernos dos estados era establecer rexistros de poboación, nacementos, defuncións, colleitas, impostos, etc. para así elaborar e clasificar as interminables listas de recursos humanos e materiais que constituían o patrimonio estatal.

Dende hai tempo as estatísticas non son patrimonio exclusivo do Estado; elabóranas tamén bancos, compañías de seguros, empresas, profesores, centros de ensino, medios de comunicación ... ou simplemente persoas interesadas en obter e organizar determinada información para analizala e interpretala.

Cando se televisa un partido de baloncesto é frecuente observar resumes estatísticos que recollen diversos datos (número de canastras, faltas ...), ao termo da liga de fútbol os resumes estatísticos de cada partido serven para clasificar ao mellor equipo e ao mellor xogador....

Hoxe en día, a maior parte das persoas entende por estatística os conxuntos de datos distribuídos en táboas, gráficos publicados nos xornais, etc.

1. Utilidade da estatísticaNa actualidade a estatística enténdese como un método na toma de decisións, de aí a importancia en multitude de estudos científicos de todas as ramas do saber:

Como decidir se un novo produto comercial terá éxito?Inflúe o IPC na taxa de desemprego?Que diría un sociólogo sobre a intención do voto, despois de analizar unha enquisa?A partir dun estudo sobre o crecemento da poboación dun pais, poderá un experto en xeografía humana, calcular a poboación do ano 2050?Cales serán as necesidades escolares dun país para os próximos cinco anos?

Moitas destas preguntas teñen a súa resposta grazas á estatística, xa que a través de procedementos de inferencia estatística se pode responder ás cuestións formuladas cunha marxe de erro prefixado.

1.1 Divisións da estatística

Estatística descritiva ou dedutiva: trata do reconto, a ordenación e a clasificación dos datos obtidos das observacións. Constrúense táboas e represéntanse en gráficos, que permiten simplificar en grande medida a complexidade dos datos que interveñen na distribución.

A partir dos datos obtéñense os parámetros estatísticos que caracterizan a distribución. Esta parte da estatística limitase a realizar deducións directamente a partir dos datos e os parámetros obtidos. Será o obxecto de estudo desta unidade.

Estatística inferencial ou indutiva: formula e resolve o problema de establecer previsións e deducións xerais sobre unha poboación a partir dos resultados obtidos dunha mostra. Utiliza resultados obtidos mediante a estatística descritiva e apóiase fortemente no cálculo de probabilidades.

3


2. A linguaxe estatísticaSe necesitamos saber cales son as preferencias dos estudantes galegos á hora de elixir carreira, sería complicado facerlle a pregunta a todo o alumnado. Por iso, o Goberno decide elixir ao chou un colectivo para que responda a un formulario previamente deseñado.

Estamos ante o primeiro paso para facermos unha estatística: do conxunto do alumnado galego (poboación) elixiremos unha mostra aleatoria. Cada individuo ten a mesma probabilidade de ser elixido para esta mostra, por iso lle chamamos mostra aleatoria; tamén teremos en conta que esta debe ser proporcional á composición da poboación. Así, como exemplo, diremos que se a mostra está formada por 1 000 persoas, dunha poboación da que o 60 % son mulleres, esta debe ter 600 mulleres e 400 homes para ser representativa.

A Estatística, como calquera outra ciencia, ten unha linguaxe propia polo que necesitamos definir unha serie de termos que utilizaremos en adiante:

Poboación: conxunto de elementos que cumpren unha característica, é dicir, é o conxunto sobre o que se realiza a observación.

Mostra: subconxunto representativo da poboación, é dicir, é a selección dunha parte da poboación elixida de xeito que os seus individuos non posúan características especiais que os distingan do resto.1

Individuos: son os elementos da poboación ou da mostra.

Tamaño: é o número de elementos da mostra ou da poboación. Adóitase designar por N.

Temos agora unha mostra de poboación da que queremos saber:

Deporte que practican: fútbol, baloncesto, atletismo, etc. Non se poden expresar os resultados con números.Número de irmáns: 0, 1 2, etc. Pódense expresar con números.

Carácter estatístico. Un carácter estatístico é un aspecto da poboación que se pode observar.

Variable estatística: é cada un dos caracteres que se desexan observar nos individuos dunha poboación.

As variables estatísticas poden ser de dous tipos:

Variables estatísticas cualitativas: se os seus valores non se poden expresar con números. Variables estatísticas cuantitativas: cando os seus valores se poden expresar con números.

As variables estatísticas cuantitativas poden ser de dous tipos:

Variable estatística discreta: a que pode tomar valores que se poden enumerar, fáciles de precisar.

Variable estatística continua: a que pode tomar valores reais, ou as súas aproximacións decimais, difíciles de precisar. Entre dous valores calquera poden tomar todos os intermedios.

1 Subpoboación: sectores da poboación cuxos individuos distínguense por posuír algunha peculiaridade que non teñen os demais. Non é unha mostra xa que non é representativa da poboación.

4

VARIABLE ESTATÍSTICA

CUALITATIVA

CUANTITATIVADISCRETA

CONTINUA


Exemplos

Variables estatísticas cuantitativas: Variables estatísticas cualitativas:O talle dun individuo.O diámetro duna peza de precisión.O cociente intelectual dun individuo. A renda per cápita dunha comunidade autónoma.

A profesión dunha persoa.A cor dos ollos.A lingua que fala un individuo.

Variables estatísticas discretas: Variables estatísticas continuas:Número de empregados dunha fabrica.Número de fillos dunha familia.Número de goles marcados pola selección de fútbol.Número de xornais vendidos nun día.

Presión sanguínea dun enfermo.Diámetro dunha roda.Medida do cranio dun bebé.Horas durmidas nunha noite.Talle dun individuo.

Rango ou percorrido dunha variable cuantitativa: é a diferencia entre o maior e o menor dos seus valores. Para as variables cualitativas non se define o percorrido.

3. Procedementos A estatística descritiva é unha parte da Matemáticas que nos ensina a recoller datos de maneira ordenada, representalos e calcular valores numéricos que permitan sintetizar e comparar diferentes coleccións de datos estatísticos.

Así, a información estatística chega a nós mediante gráficas ou táboas moi ben construídas, coas que resulta doado entendermos a información dada. Pero para chegar a elas, cómpre realizarmos un longo proceso, que podemos sintetizar nos seguintes pasos:

Que queremos estudar? Necesitamos saber o que pretendemos estudar, por exemplo que afeccións deportivas teñen os alumnos e as alumnas dun centro.

Selección das variables que se van a analizar. Debe ser evidente cal é a variable e cales os seus posibles valores.

Colleita de datos. Efectúanse as medidas ou realízanse as enquisas.

Organización de datos. Ordénanse, pásanse a papel, ou mellor, introdúcense no computador.

Elaboración de táboas e gráficas2.

Cálculo de parámetros3.

2 Vémolo nos apartados 3.1 e 3.2

3 Vémolo no apartado 4

5


3.1 Organización dos datos: confección dunha táboa de frecuencias. Significado

Unha vez recollidos os datos hai que confeccionar unha táboa para os organizar e presentar. Isto pódese facer mediante unha táboa de frecuencias que está formada por varias columnas nas que se rexistran os seguintes datos:

Todos os valores da variable estatística (xi), situándoos de maneira ordenada na primeira columna.Teremos en conta se a variable que imos tabular é discreta ou continua.

Se existe un número grande de valores diferentes, os datos agrúpanse en clases ou intervalos4.

O extremo maior de cada un debe coincidir co extremo menor da clase seguinte. O número de intervalos debe tomarse en relación co percorrido da variable sendo aconsellable que se tomen entre 5 e 10 intervalos.

A marca de clase será o punto medio dela e representa todos os datos da clase. Convén que o número de clases non sexa excesivo e que todas teñan a mesma lonxitude.

A frecuencia absoluta de cada valor (fi): é o número de veces que aparece un dato determinado. A suma das frecuencias absolutas debe coincidir co tamaño da poboación ou da mostra.

A frecuencia relativa (hi): e o tanto por un de cada dato. É o cociente entre a frecuencia absoluta e o

número total de individuos que compoñen a mostra ou a poboación. hi=f i

N

Frecuencia absoluta acumulada do valor xi (representarémolo por Fi) é a suma das frecuencias absolutas de todos os valores anteriores a xi , mais a frecuencia absoluta de xi .

Frecuencia relativa acumulada de xi (representarémolo por Hi) é o cociente entre a frecuencia absoluta acumulada de xi e o número total de datos que interveñen na distribución.

A frecuencia porcentual, %, obtense ao multiplicar por 100 cada un dos valores da frecuencia relativa. Representa o tanto por cen co que aparece cada valor da variable respecto ao tamaño da mostra.

Exemplo 1. Nunha mostra formada por 50 individuos, preguntóuselles o número de veces que van ao cine nun mes e as respostas foron as seguintes. Constrúa a táboa de frecuencias absoluta e relativa.

01210 20111 10010 31111 01011 11210 21101 11110 11112 11111

1º. Efectuaremos un reconto dos datos ordenándoos nunha táboa

2º Calcularemos as frecuencias pedidas

Veces que asisten ao cine xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Ollándomos a táboa podemos ver que hai cinco persoas que asisten dúas veces ao cine e 11 que non van nunca.

0 11 11 : 50 = 0.22

1 33 33 : 50 = 0.66

2 5 5 : 50 = 0.10

3 1 1 : 50 = 0.02

50 1

4 Un intervalo é o conxunto de números comprendido entre outros dous chamados extremos. Un intervalo pechado pola esquerda e aberto pola dereita represéntase [a,b) e contén todos os números que son maiores ou iguais a a e menores que b.

6


Exemplo 2. Quérese realizar un estudo sobre a lonxitude dun tipo de parafusos que se fan nunha fábrica. Elíxese ao chou unha mostra de 32 e obtéñense os seguintes resultados en milímetros. Constrúa a táboa de frecuencias absoluta e relativa.

161 171 167 172 170 170 165 169 170 169 172 162 169 166 174 178

167 169 168 176 169 162 168 167 175 168 164 179 172 167 170 173

Faremos un reconto dos datos agrupándoos en intervalos de cinco milímetros de amplitude. Elaboraremos unha táboa na que se amosen os puntos medios (marca de clase) e as frecuencias absolutas e relativas de cada intervalo.

Lonxitude en mm Marca de clase xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi

160 x165 162.5 4 4 : 32 = 0.125

165 x170 167.5 14 14 : 32 = 0.4375

170 x175 172.5 10 10 : 32 = 0.3125

175 x180 177.5 4 4 : 32 = 0.125

32 1

Exemplo 3. Queremos facer un estudo estatístico do número de técnicos superiores en electricidade (TSE) que existen nas empresas eléctricas dunha determinada cidade. Fíxose unha enquisa a 50 empresas e obtivéronse os seguintes resultados:

2 4 2 3 1 2 4 2 3 0 2 2 2 3 2 6 2 3 2 2 3 2 3 3 4

3 3 4 5 2 0 3 2 1 2 3 2 2 3 1 4 2 3 2 4 3 3 2 2 1

Pídese:

a) Cal é a poboación do estudo? e) Cal é o número de empresas que teñen como máximo dous TSE?b) Que variable estamos a estudar? f) Cantas empresas teñen máis dun TSE, pero como máximo tres?c) Que tipo de variable é? g) Que porcentaxe de empresas teñen máis de tres TSE?d) Constrúa a táboa e frecuencias?

Solucións:

a) A poboación de estudo é as empresas de electricidade dunha cidade.b) A variable é o número de TSE por empresa.c) O tipo de variable é discreta, xa que só pode tomar valores enteiros.

d)xi fi Fi hi Hi

0 2 0 + 2 = 2 2 : 50 = 0.04 2 : 50 = 0.04

1 4 2 + 4 = 6 4 : 50 = 0.08 6 : 50 = 0.12

2 21 6 + 21 = 27 21 : 50 = 0.42 27 : 50 = 0.54

3 15 27 + 15 = 42 15 : 50 = 0.30 42 : 50 = 0.84

4 6 42 + 6 = 48 6 : 50 = 0.12 48 : 50 = 0.96

5 1 48 + 1 = 49 1 :50 = 0.02 49 : 50 = 0.98

6 1 49 + 1 = 50 1 : 50 = 0.02 50 : 50 = 1

N = 50 1

7


e) O número de empresas que teñen dous ou menos é 2 + 4 + 21 = 27, como podemos ver na columna das frecuencias absolutas acumuladas, é o que lle corresponde ao valor da variable 2.

f) O número de empresas que teñen máis dun e menos de tres TSE, é 21 + 15 = 36.

g) A porcentaxe das empresas que teñen máis de tres TSE é a daquelas que teñen catro, cinco e seis, é dicir 6 + 1 + 1 = 8. (8 : 50 = 0.16 x 100 = 16 %)

A porcentaxe será o tanto por un multiplicado por 100, é dicir a frecuencia relativa deses valores multiplicados por 100 ( 0,12 + 0,02+ 0,02) 100 = 0,16 x 100 = 16 %

Vemos con este exemplo a importancia do calculo das frecuencias acumuladas, para responder con axilidade, mirando a táboa.

3.2 Representación dos datos: construción de gráficas axeitadas a cada caso

As construcións gráficas permítennos cunha ollada entender de que se nos fala e asimilar a información que alí se nos dá.

Existen gráficos axeitados a cada situación. Se temos que representar unha variable cuantitativa, utilizaremos un diagrama de barras ou un histograma, segundo que as variables sexan discretas ou continuas. Para representarmos unha variable cualitativa, empregaremos un diagrama de sectores.

Diagrama de barras: utilízanse para representar táboas de frecuencias correspondentes a variables cuantitativas discretas ou cualitativas, sempre que o número de valores sexa pequeno. Representaremos os valores da variable sobre o eixe horizontal e as frecuencias sobre o eixe vertical. As barras, estreitas, sitúanse sobre os valores puntuais da variable.

Exemplo 4. Cos datos da táboa, que representan as vendas dunha tenda de electrodomésticos nos meses indicados, realícese o diagrama de barras correspondente.

Mes Nº vendasXaneiro 35

Febreiro 30

Marzo 15

Abril 5

Histograma: utilízase para distribucións de variable continua. Por iso, se usan rectángulos tan anchos como os intervalos. Representaremos os valores dos intervalos sobre o eixe horizontal e as frecuencias sobre o eixe vertical.

Exemplo 5. A táboa amosa os pesos en gramos de 42 polos do mercado. Representar os datos mediante un histograma.

Peso (g) Nº de polos[1000,1200) 3

[1200,1400) 10

[1400,1600) 15

[1600,1800) 14

8


Polígonos de frecuencias: Constrúense unindo os puntos medios ben das barras dos diagramas ou ben dos rectángulos dos histogramas, e prolongando o principio e o final, ata chegar ao eixe.

Diagramas de sectores: elabóranse dividindo un círculo en sectores que representen a cada un dos valores da variable. As áreas dos sectores deben ser proporcionais ás frecuencias de ditos valores. Utilízanse preferentemente para representar variables cualitativas, aínda que tamén se pode usar para representar variables cuantitativas, nestes casos é conveniente etiquetar os valores con algunha lenda que os identifique.

O ángulo do sector correspondente a un certo valor da variable resulta de multiplicar a súa frecuencia porcentual por 360º.

Tamén se pode obter mediante a seguinte fórmula: x = 360⋅f i

N , ou ben, x = 360⋅h

Onde:x: é o valor do ángulofi: é a frecuencia absoluta do valorN: é o número de individuos que compoñen a mostra ou a poboación estudadahi: é a frecuencia relativa do valor

Exemplo 6. A táboa seguinte amosa as preferencias deportivas da xuventude dunha certa localidade. Realiza o diagrama de sectores correspondente.

Fútbol Baloncesto Natación Atletismo

2304 1024 512 256

fi hi Graos

Fútbol 2304 0.5625 202.5º

Baloncesto 1024 0.25 90º

Natación 512 0.125 45º

Atletismo 256 0.0625 22.5º

N = 4096

9

x 360º

Atletismo 6 %

Fútbol (56 %)

Natación (13 %)

Baloncesto (25 %)


4. Parámetros estatísticos. Cálculo e significadoOs obxectivos da estatística descritiva non se cobren coa simple representación dos datos en táboas e gráficos; despois de obter os datos dunha distribución, necesitamos sintetizar a información para a súa posterior análise:

Que valores se consideran máis representativos?

Como se distribúen os demais valores con respecto aos valores representativos?Para responder a estas e a outras cuestións, calquera serie de datos estatísticos, por moi extensa que sexa, pódese representar a través duns poucos valores denominados parámetros ou medidas estatísticas.

Os parámetros estatísticos poden ser de dous tipos: de centralización e de dispersión.

Parámetros de centralización: indícannos en torno a que valor se distribúen os datos.

Parámetros de dispersión: infórmannos sobre canto se afastan do centro os valores da distribución.

4.1 Medidas de centralización

Son aquelas que promedian ou “centralizan” o total dos datos contidos nunha distribución. As máis empregadas son a moda, a mediana e a media aritmética.

Moda: é o valor que máis se repite, é dicir, o que maior frecuencia posúe dentro da distribución. A moda simbolizase coa letra M.

Media aritmética: é o promedio de todos os valores que pode tomar a variable, polo que só existirá se a variable é cuantitativa.

A media aritmética obtense ao dividir a suma de todos os valores da variable, multiplicados polas súas frecuencias absolutas, entre a suma destas últimas. Tamén se pode obter ao sumar os produtos de cada valor pola súa frecuencia relativa. Simbolízase con x .

x = x1⋅f 1x2⋅f 2...xn⋅fn

N = ∑ xi⋅f i

N=∑ xi⋅hi

Onde:x1, x2, ... xn : valores que toma a variableN: número de individuos (N = Σ fi )f1, f2, ... fn: frecuencias absolutashi: frecuencias relativas

Mediana: se ordenamos os valores dunha variable cuantitativa de menor a maior, a mediana, Me, é o valor que ocupa o lugar intermedio desa ordenación.

Para achar a mediana primeiro ordenamos de menor a maior os valores da variable, repetíndoos tantas veces como indiquen as súas frecuencias absolutas. Entón:

Se o tamaño, N, é impar a mediana é o valor que ocupa o lugar n 12 da ordenación.

Se o tamaño, N, é par a mediana é a media aritmética dis valores que ocupan os lugares n2 e

n2 1 da secuencia ordenada.

Cando a distribución ven dada mediante intervalos, estes se representan mediante as marcas de clase (xi) e as medidas de centralización obtense por medio dos valores numéricos.

10


Exemplo: Sexa a seguinte distribución:

Variable Marca de clase (xi)

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia absoluta acumulada Fi

[150;160) 155 4 4

[160;170) 165 2 6

[170;180) 175 10 16

[180;190) 185 8 24

N = 24

Media aritmética: x = 155⋅4165⋅2...185⋅824

= 174.13 A clase media da distribución é a que

contén este valor [170;180).

A clase modal é a de maior frecuencia [170;180) a partir dela asígnase como valor individual da moda a marca de clase de dito intervalo M = 175

A clase mediana corresponde o intervalo que ocupa os lugares 12 e 13 e corresponde ao intervalo [170;180) polo que a mediana será a marca de clase de dito intervalo Me = 175

VANTAXES E INCONVENIENTES DAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Tipo de medida Vantaxes Inconvenientes Función

Media aritmética

É fácil de calcularRepresenta todos os datos, xa que todos eles interveñen no seu cálculo.É a máis utilizada e coñecida, sendo o parámetro que promedia, por excelencia, a totalidade dos valores dunha distribución.

Non sempre é calculable.Poden darse distribucións moi diferentes que dean a mesma media, polo que a información que aporta é moi relativa. Centraliza o tamaño dos datos

Moda

Dá idea de cal é a maioría, o que en certos casos, é o dato máis relevante.É a única medida de centralización que se pode aplicar se a variable é cualitativa.É fácil de deducir a través da representación gráfica da distribución.

Na súa determinación non interveñen todos os datos da distribución.Pode estar nun extremo da distribución, desvirtuándose o seu carácter centralizador.Pode non existir, por exemplo se todos os valores teñen a mesma frecuencia.

Centraliza a frecuencia dos datos

Mediana Complementa e interpreta a media aritmética

É un dato posicional e non nos di nada sobre o valor dos demais. Centraliza a posición dos datos

Exemplo 7. Xan foi anotando as temperaturas do seu pobo durante os sete días dunha semana:

19 Cº 21 Cº 19 Cº 18Cº 18 Cº 20 Cº 18Cº

Que valores representan as temperaturas desa semana?

Exemplo 8. Dados os datos seguintes, ordéneos nunha táboa de frecuencias e calcule as medidas de centralización.

12 10 11 13 12 11 13 12 13 13 12 13 11 12 13 13 11 12 11 12 11 14 12 14 12 11 12 13 11 13

11


4.2 Medidas de dispersión

Promedian as desviacións de cada un dos valores da variable con respecto á media aritmética. Serven para medir como de dispersos están os datos. Son a desviación media, a desviación típica e a varianza.

Desviación media: é a media aritmética dos valores absolutos das desviacións (diferencias de cada un dos datos con respecto á media aritmética) de todos eles. Simbolízase con dx.

Calcúlase a través da expresión:

dx =∣x1−x∣⋅f 1∣x2−x∣⋅f 2...∣xn−x∣⋅fn

N = ∑∣xi−x∣⋅fi

N=∑ ∣xi−x∣⋅hi

Onde: x1, x2, ... xn : valores que toma a variableN: número de individuosf1, f2, ... fn: frecuencias absolutashi: frecuencias relativasx : é a media aritmética

Se temos os datos organizados nunha táboa de frecuencias, facilítanse os cálculos se introducimos na táboa unha columna cos valores absolutos das desviacións ∣xi−x∣ e outra cos produtos ∣xi − x∣⋅ f i

Desviación típica: baséase na utilización dun tipo de promedio denominado media cuadrática.

A media cuadrática (mc) dunha serie de datos numéricos x1, x2, x3, ..., xn é igual a mc = x12x 2

2...xn2

N

A desviación típica dunha serie de datos numéricos é a media cuadrática das desviacións de cada un deles con respecto a súa media aritmética. Simbolízase por σ.

Para calculala aplícase a expresión: = x1−x 2⋅f 1x2−x2⋅f 2... xn−x 2⋅fn

N = ∑ xi−x 2⋅f i

N =∑ xi−x2⋅hi

Para facilitar os cálculos podemos introducir na táboa de frecuencias tres columnas:

Unha coas diferencias xi−x Outra cos cadrados destas xi−x 2

A terceira cos produtos xi−x 2⋅f i

O cadrado da desviación típica, σ2 , denomínase varianza.

Exemplo 9. Obter as medidas de dispersión da seguinte distribución de notas:

2 4 4 4 5 7 9 9 10

12


5. Uso da calculadoraPara o cálculo dos parámetros estatísticos podemos utilizar a calculadora, de pantalla sinxela ou descritiva, pero sempre unha calculadora científica e traballando en modo estatístico: mode SD.

Prepare a calculadora en modo SD

Borre os datos anteriores: INV AC

Introduza os datos, escribindo os valores e premendo a tecla DATA.

Resultados (teclas):

n : dá o número de datos introducidos

x : dá o valor da media.

n: dá o valor da desviación típica.

13


II. Azar e probabilidade

1. Experimento aleatorioNa nosa vida diaria atopámonos moitas veces con acontecementos dos que non podemos predicir se ocorrerán ou non. Dependen do azar.

Intentaremos predicir o resultado destes experimentos: lanzar un dado, xogar á bonoloto, lanzar unha moeda ao aire e medir a lonxitude dunha circunferencia da que coñecemos o radio.

Experimento aleatorio: É aquel en que non se pode predicir o resultado antes de realizalo, é dicir, aquel que depende do azar. Por exemplo. lanzar un dado e saber que puntuación se obterá.

Espazo mostral: é o conxunto de resultados posibles dun experimento aleatorio. Denótase coa letra E.

Tomemos como exemplo o lanzamento dun dado. Os posibles resultados do lanzamento dun dado serian:

Todos estes resultados forman o espazo mostral: E = {1,2,3,4,5,6}

Sucesos aleatorios: son subconxuntos extraídos do espazo mostral.

No exemplo de lanzar un dado, algún dos sucesos son: A = {1,2} B = {3,6} C = {2,4,6}

Tipos de sucesos aleatorios:

Suceso elemental: aquel que está determinado por un único resultado. Por exemplo,lanzar un dado e obter un 3. Representaríase A = {3}

Suceso composto: aquel que está determinado por dous ou máis resultados do mesmo. Por exemplo, obter un número par. Representaríase B = {2,4,6}

Suceso seguro: o suceso que sempre se verifica. Por exemplo lanzar un dado e obter un número menor que 7.

Suceso imposible: O que non se realiza nunca xa que non pode ocorrer. Por exemplo, lanzar un dado e obter un 7.

Suceso contrario: un suceso é contrario doutro cando ao realizar o experimento ocorre un ou o outro pero non os dous ao mesmo tempo. Se C é un suceso, chamaremos C ao suceso contrario. Por exemplo, ao lanzar un dado se C é o suceso sacar número par o suceso contrario C sería sacar número impar.

Exemplo 10. Utilice os conceptos expostos para un experimento aleatorio que consiste en lanzar ao aire dúas moedas e anotamos o resultado.

14


2. Probabilidade

2.1 Dos sucesos elementais

Aínda que un suceso aleatorio é imprevisible, as Matemáticas permiten realizar unha valoración numérica, chamada probabilidade, que indica ata que punto se pode esperar que ese suceso ocorra ou non.

Para designar a probabilidade dun suceso S, escribiremos p[S].

A probabilidade é un número comprendido entre 0 e 1 que se asigna a cada un dos sucesos asociados a un experimento aleatorio, de xeito que:

A un suceso imposible asígnaselle unha probabilidade igual a 0.A un suceso seguro asígnaselle unha probabilidade igual a 1.Todos os demais sucesos teñen unha probabilidade maior que 0 e menor que 1.

A probabilidade dun suceso ten unha interpretación porcentual. Por exemplo se P[A] = 0.25 existe un 25 % de posibilidades de que se produza; xaque logo, de cada 100 veces que realicemos o experimento aleatorio cabe esperar que 25 veces ocorra o suceso A.

Así a probabilidade dun suceso infórmanos sobre o que sucede por termo medio pero non garante o que vai ocorrer en cada momento, é dicir, indica o grao de confianza que podemos ter en que aconteza. Pódese asegurar que:

Sempre que a probabilidade sexa un número próximo a cero, o suceso será pouco probable.Sempre que a probabilidade sexa un numero próximo a un, será case seguro.

Hai dúas formas de asignar probabilidades aos sucesos elementais asociados a un experimento aleatorio:

Probabilidade a priori, asígnase aos sucesos elementais sen necesidade de realizar o experimento, baseándose no feito de que cada un deles ten igual probabilidade de ocorrer (sucesos equiprobables) previa á realización do experimento. Nestes casos cóntase o número N de sucesos elementais e dise

que cada un dos mesmos ten unha probabilidade igual a 1N .

Por exemplo, ao lanzar unha moeda os resultados posibles son cara ou cruz, ambos teñen idéntica

probabilidade de ocorrer polo que se lles asigna 12 de probabilidade a cada un deles, que equivale a un

50 %.

Probabilidade a posteriori, é consecuencia da experimentación. Unha vez realizado o experimento cada un dos sucesos elementais considérase un valor da variable aleatoria, con todo isto realízase unha táboa de distribución de frecuencias e se toman como probabilidades para cada un destes sucesos elementais os valores redondeados das frecuencias relativas.

Por exemplo, lánzase un dado irregular 3000 veces e obtense os resultados que se recollen na táboa:

x fi hi As probabilidades neste caso serán:1 486 0.162 p{1} = 0.1622 672 0.224 p{2} = 0.2243 356 0.119 p{3} = 0.1194 846 0.282 p{4} = 0.2825 325 0.108 p{5} = 0.1086 315 0.105 p{6} = 0.105

15


2.2 Dos sucesos compostos. Lei de Laplace

Un suceso composto pode escribirse como a unión de dous ou máis sucesos elementais. Por exemplo, o suceso obter número impar ao lanzar un dado pode escribirse como: {1,3,5} = {1} U {3} U {5}.

A probabilidade de que ocorra un suceso composto obtense sumando as probabilidades de cada un dos sucesos que o determinan.

Así, no exemplo anterior a probabilidade de obter un número impar ao lanzar un dado será:

p({1,3,5}) = p({1}) + p({3}) + p ({5}) = 16 1

61

6= 3

6= 1

2

Lei de Laplace. Cando os sucesos elementais asociados ao espazo mostral dun experimento aleatorio son equiprobables, a probabilidade de que se verifique un suceso calquera A é:

P [A ]=nº de casos favorablesnº de casos posibles

No exemplo anterior: nº casos favorables = 3, nº de casos posibles = 6

p({1,3,5}) = 36= 1

2

Exemplo12: Lanzamos un dado. Achar a probabilidade dos seguintes sucesos:

A = { 2, 4, 6} B = {3, 4} C = {2} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Exemplo 13. Dunha rifa vendéronse 1 000 papeletas numeradas do 1 ao 1 000. Cal é a probabilidade de que me toque se comprei unha papeleta? E se compro sete?

2.2.1 Reconto de datosPara poder aplicar a Lei de Laplace cómpre coñecer dous números: o de casos favorables e o de casos posibles; como con frecuencia os experimentos aleatorios formulan situacións nas que a obtención destes números non é inmediata resulta útil coñecer algunhas técnicas que permitan o reconto de datos de maneira sistemática como son:

Diagramas de árbore: pódense utilizar cando se combinan números e letras, cando se lanzan varias moedas, cando se lanza unha moeda varias veces ....

Exemplo 14: Lanzamos unha moeda 3 veces seguidas cal será a probabilidade de obter cando menos dúas caras?

O experimento constará deses 3 lanzamentos tomados de forma conxunta. Para cada un dos lanzamentos poderase obter cara (C) ou cruz (X). Para obter o total de resultados elementais podemos realizar o seguinte diagrama:

1º lanzamento

2º lanzamento

3º lanzamento Resultados O espazo mostral componse de 8 elementos:

E = {CCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX}

Cal é a probabilidade de obter cando menos dúas caras?

A = {CCC, CCX, CXC, XCC}

nº casos favorables = 4 nº casos posibles = 8

p(A) = 48= 1

2

C

CC CCC

X CCX

XC CXC

X CXX

X

CC XCC

X XCX

XC XXC

X XXX

16


Táboas de continxencia: por exemplo, as de dobre entrada, caracterízanse porque distribúen o reconto dunha serie de datos que recollen dúas ou máis características cada unha das cales aportan opcións que non son excluentes.

Exemplo 15: Nunha comunidade de veciños pregúntase se están de acordo en poñer unha Wifi. As respostas apúntanse Si (S), Non (N), Muller (M), Home (H) e recóllense na seguinte táboa:

S N Total

Da táboa dedúcese que 9 homes e 10 mulleres están de acordo coa proposta e que 4 homes e 7 mulleres non o están.

H 9 4 13M 10 7 17

Total 19 11 30

3. A probabilidade nos experimentos compostosDenomínanse experimentos compostos aqueles que están formados por varios experimentos aleatorios simples realizados de forma consecutiva. Poden ser:

Dependentes: se a aparición dun deles condiciona a doutro. Por exemplo, a extracción de bólas dunha bolsa sen devolvelas despois de cada extracción, a extracción dunha bóla inflúe na extracción seguinte xa que quedan menos bólas na bolsa.

Independentes: se a aparición dun deles non condiciona a doutro. Por exemplo, a extracción de bólas dunha bolsa devolvéndoas á bolsa despois de cada extracción, cada extracción realízase nas mesmas condicións.

A probabilidade dun suceso elemental derivado dun experimento aleatorio composto é o produto das probabilidades dos sucesos elementais dos experimentos aleatorios que o forman.

Exemplo 16: Unha bolsa contén 8 bólas brancas, 5 negras e 7 azuis. Extráense dúas bólas:

a) Cal é a probabilidade de que ambas bólas sexan azuis se despois da primeira extracción devolvemos a bóla á bolsa.

1ª extracción: O número total de bólas na bolsa é de 20 e o número de bólas azuis é de 7 polo que a

probabilidade de sacar unha bóla azul, aplicando a Lei de Laplace é de p(A) = 720

2ª extracción: O número total de bólas na bolsa segue a ser 20 e o número de bólas azuis 7 xa que devolvemos a bóla que sacamos na primeira extracción. Polo que a probabilidade de sacar unha bóla azul,

aplicando a Lei de Laplace é de p(A) = 720

A probabilidade de que a primeira e a segunda bóla sexan azuis será: p(1ªA e 2ª A) = 720

× 720

= 49400

b) Cal é a probabilidade de que ambas bólas sexan azuis se despois da primeira extracción non devolvemos a bóla á bolsa.

1ª extracción: O número total de bólas na bolsa é de 20 e o número de bólas azuis é de 7 polo que a

probabilidade de sacar unha bóla azul, aplicando a Lei de Laplace é de p(A) = 720

2ª extracción: O número total de bólas na bolsa agora é de 19 e o número de bólas azuis 6 (supoñendo que a primeira bóla que sacáramos fose azul) xa que non devolvimos a bóla que sacamos na primeira

extracción. Polo que a probabilidade de sacar unha bóla azul, aplicando a Lei de Laplace é de p(A) = 619

A probabilidade de que a primeira e a segunda bóla sexan azuis será: p(1ªA e 2ª A) = 720

× 619

= 42380

17

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE -...

Documents

Transcript of ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE -...