Probabilidade e Estatística - Aula 04

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Probabilidade e EstatísticaELEMENTOS DE PROBABILIDADE

Aula 04

Prof.: Augusto Junior

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Introdução à teoria das probabilidadesAté meados do século XIX, a estatística baseava-se, somente, na organização e apresentação dos dados observados (Estatística Descritiva).Somente com o desenvolvimento da teoria das probabilidades que a estatística teve o seu campo de ação ampliado Técnicas de amostragem mais

adequadas e formas de relacionar as amostras com as populações de onde vieram (Inferência Estatística).

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Introdução à teoria das probabilidades

A probabilidade é uma área “nova” da matemática, e tem como finalidade a modelagem de fenômenos aleatórios.Dependendo do fenômeno estudado, o modelo matemático pode ser de dois tipos: Modelo Determinístico: Ao conhecer as variáveis de

entrada (condições do experimento), determinam-se as variáveis de saída (resultados) Exemplo: Usando a expressão , se os valores “v” e “t”

são conhecidos, pode-se determinar o valor de “s”.

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Introdução à teoria das probabilidades

Modelo probabilístico (aleatório): Mesmo conhecendo as condições de experimento, não é possível determinar o seu resultado. Neste modelo, é introduzido o componente aleatório e, com isso, só é possível determinar a “chance” de ocorrência de um resultado. Exemplo: Fenômenos da biologia.

O nascimento de um bebê. Não é possível determinar o sexo do embrião, somente a sua probabilidade de ocorrência: 0,5 para sexo feminino e 0,5 para sexo masculino.

A modelagem de um experimento aleatório visa responder três questões fundamentais: Quais as possíveis formas de ocorrência? Quais as chances de cada ocorrência? De que forma pode-se calcular isso?

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Estudo das probabilidades:História Século XVII:

Pascal e Fermat: resolver problemas relacionados com jogo de azar.

Século XVIII: Jacques Bernoulli (Arte das conjecturas) e Abraham de

Moivre (Doutrina das mudanças). Primeira dedução da distribuição normal.

Século XIX: Laplace (Teoria analítica das probabilidades): Estudo da

área sobre a curva normal e prova formal sobre o método dos mínimos quadrados;

Carl Friedrich Gauss: Estudo da distribuição dos erros de medida com base na curva normal

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Estudo das probabilidades:Conceitos fundamentaisExperimento probabilístico, ou aleatório: É toda experiência cujos resultados podem não ser os

mesmo, ainda que sejam repetidos sob condições idênticas.

Principais características: Cada experimento pode ser repetido indefinidamente

sob condições inalteradas; Embora não seja possível afirmar qual resultado

ocorrerá, é sempre possível descrever o conjunto de todos os possíveis resultados;

Quando um experimento é realizado repetidamente, os resultados individuais parecem ocorrer de forma acidental; mas se repetido por muito tempo, surge uma regularidade, ou configuração definida.

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Estudo das probabilidades:Conceitos fundamentaisEspaço amostral (S): É o conjunto de todas os possíveis resultados de um

experimento aleatório. Cada experimento aleatório está associado à um

conjunto de resultados possíveis.

Exemplos: enumerável e finito; enumerável e infinito; contínuo e infinito.

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Estudo das probabilidades:Conceitos fundamentaisEvento ou ocorrência: É todo conjunto particular de resultados d espaço

amostral (S). Geralmente é designado por uma letra maiúscula (A,

B, C). A todo evento será possível associas uma

probabilidade.

Exemplo: Se ; então, são eventos de S:

; B = Ocorrência de números pares; C = {5}.

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Estudo das probabilidades:Conceitos fundamentaisOperações com eventos: Como o espaço amostral (S) e os eventos são

conjuntos, as mesmas operações realizadas para conjuntos são válidas para eventos.

Exemplo: Se A e B são eventos de S, então:

Ocorre , se ocorrer A ou B (ou ambos); Ocorre , se ocorrer A e B; Ocorre , se ocorrer S, mas não ocorrer A; Ocorre , se ocorrer A, mas não ocorrer B.

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Estudo das probabilidades:Conceitos fundamentaisPonto Amostral: Qualquer resultado particular de um experimento

aleatório. Todo espaço amostral e todo evento são constituídos

por pontos amostrais.

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Estudo das probabilidades:Conceitos fundamentaisEventos especiais:

Evento impossível: Evento que nunca irá ocorrer, também conhecido pelo

conjunto vazio ().

Evento certo: Ocorre toda vez que se realiza o experimento,

portanto, ele é o próprio “S”.

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Estudo das probabilidades:Conceitos fundamentaisEventos mutuamente exclusivos Dois eventos A e B associados a mesmo espaço

amostral “S”, são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um impede a ocorrência do outro ()

Exemplos: Experimento 1: Lançamento de uma moeda.S = {cara, coroa}. Se definirmos:A = Ocorrência de caraB = Ocorrência de coroa; Experimento 2: Lançamento de um dado.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se definirmos:A = Ocorrência de número ímpar A = {1, 3, 5}B = Ocorrência de número maior que 4 B = {5, 6}

São mutuamente exclusivos

Não são mutuamente exclusivos

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Conceitos de probabilidade:Clássico

Seja “E” um experimento aleatório e “S” o espaço amostral associado, com n pontos amostrais, todos equiprováveis.Se existe em “S” m pontos favoráveis à realização de um evento “A”, então a probabilidade de A acontecer, indicada por P(A), será:

Para que essa expressão seja validada, deve-se atender a duas pressuposições : O espaço amostral “S” é enumerável e finito; Os elementos de “S” são todos equiprováveis.

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Conceitos de probabilidade:ClássicoExemplo: Lançamento de uma moeda honesta, duas vezes, e observação da face superior. O espaço amostral S = {cc, ck, kc, kk}, e todos os

seus pontos amostrais são equiprováveis.

Definimos o evento: A = ocorrência de uma cara. Então:

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Conceitos de probabilidade:Frequência relativa

Seja “E” um experimento aleatório de um “A” evento.Se após n realizações do experimento “E” (sendo n suficientemente grande), forem observados m resultados favoráveis a “A”, então uma estimativa da probabilidade P(A) é dada pela frequência relativa:

Princípio estático da estabilidade: A medida que o número de repetições n aumenta, a frequência relativa se aproxima de P(A).O n deve ser suficientemente grande para que se obtenha um resultado com a margem de erro razoável: f – P(A) = erro

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Conceitos de probabilidade:Frequência relativaExemplo: Em Sobral, observaram-se 6 anos de seca no período de 1901-1966 (66 anos). Qual é a probabilidade de haver seca no próximo ano?

R.: A frequência relativa “f” será uma estimativa da probabilidade de ocorrer seca no próximo ano.

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Conceitos de probabilidade:Conceito moderno

Se “A” é um evento do espaço amostral “S”, então o número real P(A) será denominado probabilidade da ocorrência de “A” se satisfizer os seguintes axiomas: Axioma 1: ; Axioma 2: ; Axioma 3: Se A e B são eventos

mutuamente exclusivos de S, então:

Nota-se que A e B são mutuamente exclusivos se, e somente se, .

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Teoremas para o cálculo de probabilidades Teorema 1: Se é um evento impossível, então:

Teorema 2: Se é o complemento de A, então:

Teorema 3: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

Teorema 4: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

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Probabilidade condicional e independência

Sejam A e B dois eventos associados a um mesmo espaço amostral “S”. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (), então A e B poderão ser eventos independentes ou condicionados.

Para definir os dois tipos de eventos, utilizaremos, como exemplo, um experimento aleatório.

Experimento: Uma caixa contém cinco bolas de mesmas dimensões, sendo três azuis e duas brancas. Duas bolas são retiradas uma a uma e a sua cor é observada. Definimos então dois eventos:

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Eventos condicionadosPara esse caso, consideraremos que a primeira bola

retirada não é reposta (retirada sem reposição). Sendo o espaço amostral enumerável, finito e

equiprovável, podemos calcular a probabilidade dos eventos pelo conceito clássico. Deste modo:

Entretanto, a probabilidade do acontecer vai depender da ocorrência, ou não, do . Se ocorreu , então: ; Se não ocorreu , então: .

A probabilidade condicional de A é denotada por P(A/B) = probabilidade do evento A ocorrer, dado que já ocorreu o evento B.

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Eventos independentesPara esse caso, consideraremos que a primeira bola

retirada é reposta (retirada com reposição). Sendo o espaço amostral enumerável, finito e

equiprovável, podemos calcular a probabilidade dos eventos pelo conceito clássico. Deste modo:

Como a primeira bola foi reposta, independente de ter ocorrido ou não , a probabilidade de ocorrência de será a mesma. Se ocorreu , então: ; Se não ocorreu , então: .

Dois eventos quaisquer, A e B, são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro, ou seja: P(A) = P(A/B) e P(B) = P(B/A)

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Produto das probabilidadesSe A e B são dois eventos quaisquer, então:

Se A e B são dois eventos independentes, então:

Logo:

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Exercícios1 – Em 660 lançamentos de uma moeda (honesta), foram observadas 310 caras. Qual a probabilidade de, num outro lançamento dessa moeda, obter-se coroa?

2 – Se os registros indicam que 504, das 813 máquinas de lavar louças automáticas vendidas por uma loja, exigiram reparos dentro da garantia dentro de um ano, qual é a probabilidade de uma mesma lavadora dessa loja não exigir reparo dentro da garantia?

3 – Um grupo de pessoas é constituído do 60 homens e 40 mulheres. Sabe-se que 45 desses homens e 30 dessas mulheres votaram numa determinada eleição. Tomando-se, aleatoriamente, uma dessas pessoas, calcule a probabilidade de:a) Ser homem; b) Ser mulher; c)ter votado; d) Ser mulher que votou; e) Ser homem que não votou

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Variáveis aleatóriasPara melhor entendimento, segue o exemplo abaixo:

Lançamento de uma moeda honesta três vezes consecutivas e observação do resultado em cada

momento.O espaço amostral desse experimento é:

S = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk}

Como a moeda é honesta, a probabilidade de ocorrer cara é a mesma de ocorrer coroa: .Para que ocorra o resultado três caras (ccc): É necessário que ocorram esses eventos

sucessivamente, ou seja, deve ocorrer a interseção desses três eventos.

Como os lançamentos são independentes entre si, a probabilidade de ocorrer cara é a mesma em todos eles.

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Variáveis aleatóriasLogo, a probabilidade de ocorrer três caras P(ccc), é dada pelo produto das probabilidades de ocorrer cara em cada lançamento:

De forma análoga, obtemos as probabilidades de todos os demais resultados possíveis. Desta forma, podemos dizer que:

P(ccc) = P(cck) = P(ckc) = P(kcc) = P(ckk) = P(kck) = P(kkc) = P(kkk) =

Observamos também que ao espaço amostral é formado pela união dos eventos, que são todos mutuamente exclusivos. Sendo assim, a probabilidade do espaço amostral, P(S), é dada pela soma das probabilidades de cada evento.

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Análise combinatóriaA seguir estão listados os principais assuntos. Notação fatorial: O produto dos inteiros positivos de 1

a n é representado pelo símbolo especial n! (Lê-se “n” fatorial).

10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 14! = 4 x 3 x 2 x 1

0! = 1

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Análise combinatória Técnicas de contagem desenvolvidas para determinar,

sem enumeração direta, o número de elementos de um certo conjunto, ou o número de resultados possíveis de um certo experimento.

Permutações: Grupos que se distinguem somente pela ordem de seus elementos. A sua representação é dada por:

Arranjos: Grupos que se distinguem pela ordem e natureza de seus elementos Utilizada em casos de retirada sem reposição do que

foi retirado.

(Lê-se: Arranjo de “n” elementos, tomados “x” a “x”)

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Análise combinatória Combinação: Grupos que se distinguem somente pela

natureza dos seus elementos. Utilizado em situações em que há retirada com

reposição do elemento retirado

(Lê-se: Combinação de “n” elementos, tomados “x” a “x”)

NOTE QUE, TANTO NO CÁLCULO DE ARRANJO QUANTO NO CÁLCULO DE COMBINAÇÃO, O VALOR

DE “x” SERÁ SEMPRE MENOR QUE O DE “n”!

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Exercícios1 – De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretende-se fazer um prato com 5 desses itens, de forma que contenha, ao menos, 2 proteínas. Qual o número máximo de pratos distintos que se consegue fazer?

2 – Em um refeitório há doces e salgados. Cada pessoa receberá um recipiente com 3 doces, dos 8 tipos disponíveis e 2 salgados, dos 7 tipos existentes. Quantas são as diferentes possibilidades de se encher o recipiente?

3 – Oito pessoas irão acampar e levarão 4 barracas. Em cada barraca dormirão 2 pessoas. Quantas são as opções de distribuição dessas pessoas?

4 – Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas disposições são possíveis, desde que os calçados do mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado, na sapateira?

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Exercícios5 – Cruzeiro(MG), Flamengo(RJ), Atlético-MG(MG) e São Paulo(SP) disputam um campeonato.a) Levando-se em consideração os clubes, de quantas maneiras

diferentes pode terminar o campeonato?b) E, levando-se em consideração a Unidade da Federação dos

Clubes?

6 – Um certo número de pessoas pode ser agrupado de duas em duas, não importando a ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes possibilidades de agrupamento. Quantas pessoas fazem parte desse grupo?

7 – Se enfileirarmos 3 dados iguais e observamos o valor visto da face superior, obteremos quantos agrupamentos possíveis?

8 – Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas. No entanto, só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ficar empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?

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Exercícios9 – Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALOUROS, sabendo que sempre haja a sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estarão juntas, qualquer que seja a ordem entre elas?

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