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ALGEBRA

ARTHU

1. BINOMIO AL CUADRADO (TCP)

o 2 2 2(a+b) =a +2ab+b (binomio suma)

o 2 2 2(a-b) =a -2ab+b (binomio diferencia)

Tener en cuenta que:2 2(a-b) =(b-a)

2. IDENTIDADES DE LEGENDRE

o 2 2 2 2(a+b) +(a-b) =2(a +b )

o 2 2(a+b) - (a-b) =4ab

o

4 4 2 2(a+b) -(a-b) =ab(a +b )

3. IDENTIDAD DE LAGRANGE

o 2 2 2 2 2 2

(a!+b") +(a"-b!) =(a +b )(! +" )

. DI!ERENCIA DE CUADRADOS

o 2 2(a+b)(a-b)=a -b

En "enera#$m n m n 2m 2n(a +b )(a -b )=a - b

%. TRINOMIO AL CUADRADO2 2 2 2(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc

LLuu

##

LE$E% &E E'*E*TE%

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2

&. BINOMIO AL CUBO

o 2 2 (a+b) =a +a b+ab +b (forma desarro,,ada)

o (a+b) =a +b +ab(a+b) (forma abreviada - Cauchy)

o

2 2

(a-b) =a -a b+ab -b (forma desarro,,ada)o

(a-b) =a -b -ab(a-b) (forma abreviada - Cauchy)Otra' r*e+a+e'$

o 2 2(a+b) +(a-b) =2a(a +b )

o 2 2(a+b) -(a-b) =2b(a +b )

,. SUMA - DI!ERENCIA DE CUBOS

o 2 2a +b =(a+b)(a -ab+b )

o 2 2a - b =(a-b)(a +ab+b )

. TRINOMIO AL CUBO

o (a+b+c) =a +b +c +(a+b)(a+c)(b+c)

o

(a+b+c) =a +b +c +(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc

o

2 2 2(a+b+c) =a +b +c +a (b+c)+b (a+c)+c (a+b)+abc

/. PRODUCTO DE MULTIPLICAR BINOMIOS CON UN T0RMINO COMN

o2(!+a)(!+b)=! +(a+b)!+ab

o 2(!+a)(!+b)(!+c)=! +(a+b+c)! +(ab+ac+bc)!+abc

o 2(!-a)(!-b)(!-c)=! -(a+b+c)! +(ab+ac+bc)!-abc

1. IDENTIDAD TRINMICA (ARGAN4D)

o2 2 4 2(! +!+.)(! -!+.)=! +! +. (I5rtante)

o2 22 2 4 2 2 4(! +!"+" )(! -!"+" )=! +! " +"

En general:

o

2n n 2n n 4n 2n(! +! +.)(! -! +.)=! +! +.

o

2m m n 2n 2m m n 2n 4m 2m 2n 4n(! +! " +" )(! -! " +" )=! +! " +"

11. IGUALDADES CONDICIONALES

%i: a676c8/ se demues0ra 1ue:

o

2 2 2a +b +c =-2(ab+ac+bc)

o a +b +c =abc (I5rtante)

o

4 4 4 2 2 2 2 2 2a +b +c =2(a b +a c +b c )

iensa en #rande/ iensa en3

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o

a +b +c =-abc(ab+ac+bc)

o

2 a +b +c =(abc) -2(ab+ac+bc)

o

2 2 2 2 4 4 4(a +b +c ) =2(a +b +c )

o

2 2 2 2 2 2 2(ab+ac+bc) =a b +a c +b c

o

2 2 2 a +b +c a +b +c a +b +c=

2

o

2 2 2 5 5 5a +b +c a +b +c a +b +c=

2 5

CASOS ESPECIALES EN R

%i:2 2 2a +b +c =ab+ac+bc , en0onces:

o a = b = c

%i:

a +b +c =abc , en0onces:

o a = b = c

%i se 6eri7ca 1ue:2 2 2 2a +b +c +888+n =9 , en0onces se cum,ir cuando:

o a = b = c = 3 = n = 9

E9ERCICIOS PROPUESTOS : BLO;UE I

E9ERCICIO N< 1

Reducir:2 2 2

L (! .) (! 2) 2(! .)= + + + - -

a) 10x+3 b) 10x+1 c) 10x-3 d) 0 e) 3x+5

E9ERCICIO N< 2

%i:4 4 2 2

a b 24 " a b - = - = ; ca,cu,ar:2 2

a b+

a) 21 b) 8 c) 12 d) 6 e) 27

E9ERCICIO N< 3;arcar ()

?82 2(a 2) a 4888888888888( )+ = +

??82 2

(b .) b b .88888888( )- = + +

???82

(. !)(. !) . ! 888888( )+ - = -

a) b) !! c) !!! d) ! e) !E9ERCICIO N<

3

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4

Reducir:2 2 2

L (! .) (! 2) 2! = + + - - -

a) -x b) -2x c) -3x d) -"x e) 2x

E9ERCICIO N< %

Reducir: (! ) (! ) .9'= + + - -

a)2

' b) 2x c)

4' d)

2' e)

2'-

E9ERCICIO N< &

Reducir:2 2 4

@ (! ")(! " )(! ") "= + + - +

a) y b) x c)2

" d)2

! e)4

!

E9ERCICIO N< ,

%i: a + b = 5 " ab = ca,cu,ar:2 2

a b+

a)2# b)3# c)"# d)1# e)#

E9ERCICIO N<

%i: ! " = ca,cu,ar:2

* (! ") 4"(2" !) = - - - +

a)52 b)62 c)72 d)82 e)#2

E9ERCICIO N< /

&e0erminar:2

(! " C)(! " C) (! C)+ - - - - -

a)2

" b) -2

" c)2

C d) -2

C e)1

E9ERCICIO N< 1Reducir:2

(! 4)(! 4! .) !(! 2)(! 2) 4+ - + - + - -

a)0 b)5" c)50 d)3x e)"x

E9ERCICIO N< 11%i:

a b c .9 " ab ac bc 4+ + = + + = ; Ca$cu$are e$ va$or de%2 2 2

a b c+ +

a). b)D9 c)D2 d) e)4

E9ERCICIO N< 13&adas ,as condiciones:2 2 2

a b c 2 = (a b c)(. ab bc ca) 2 =

a,cu,e: a+b+c

a)4 b). c) 2 d)4 e).

E9ERCICIO N< 1

iensa en #rande/ iensa en3

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%iendo: ! 4" DC 9 =

%e#Fn e,,o reducir:

2 2 2! 2" 2" C C !

!" "C !C

a)42 b)- c) d). e)2!"C

E9ERCICIO N< 1%

%iendo: !" .99 .9 .

2 2 ! " . .9=

a,cu,ar e, 6a,or de:

4 4! " ! "

a)44 b) c) -.99 d)- e)9E9ERCICIO N< 1&

u, es e, 6a,or 1ue asume ,a e!resin

2 2! " ! 2" 2"

T!" 2! ! "

=

%i:

. . 4

! " ! " =

a)44 b) c) -.99 d)- e)9E9ERCICIO N< 1,

%abiendo 1ue se cum,e 1ue:

a b2

b a =

Ha,,ar e, menor 6a,or de:

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

a b a bE

a b a b

=

a) b)2 c) . d)9 e)2ab

E9ERCICIO N< 1

%i:

2! C C

.C " (! ")(C ")

=

Ha,,ar:

2 2 2C ! ! " C "

E" C !

=

a)5 b) c)4 d) e)

E9ERCICIO N< 1/

%i se sabe 1ue:

2 2 2! " C !" !C "C =

a,cu,ar e, 6a,or de:

.9

D.9 .9 .9

! " C;

! " C

=

a)4 b) c) d)2 e).E9ERCICIO N< 2

5

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6

%i:. .

!" "! 2

= 8 a,cu,ar e, 6a,or de:

n n

2n

! "!

;"!

=

a)29 b). c).5 d). e).D

E9ERCICIOS PROPUESTOS = BLO;UE II

E9ERCICIO N< 1

%i:a b 2 ab = =

8 a,cu,ar:

2 2

a b;

a b

=

a) b)4 c) d)5 e)

E9ERCICIO N< 2

%i: .! ! = 8 a,cu,ar e, 6a,or de:2 2

; ! ! ! !

=

a) b)4 c) d)5 e)

E9ERCICIO N< 3

A ar0ir de ,a i#ua,dad:

! " C4

"C !C !" =

a,cu,ar e,

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7/11

a,cu,ar e, 6a,or de:

(! a)(! b) !

Ea 2! b ab

=

%i:2

(a 2! b)(a 2! b) (a b) =

Ia).. b)9 c)4 d)2 e)

E9ERCICIO N< ,

a,cu,ar e, 6a,or de:2 2 .2

(. !)(. !)(. ! ! )(. ! ! )(. ! ! )

%abiendo 1ue:-! 2

a)- b)- c)-4 d)-5 e)-

E9ERCICIO N<

A, reducir:

2 2E 2 2

=

/ se ob0iene:

a).. b).9 c)D d) e)5

E9ERCICIO N< /

a,cu,ar: ; . ! . ! si ! = 9/5

a). b)2 c) d)4 e)

E9ERCICIO N< 1

%abiendo 1ue:

+ +a b

+

b a

=

/ ademas: a J b

a,cu,ar:

a bE

b a=

a) b)4 c)44 d)2 e)

E9ERCICIO N< 11

%i:- - -a b c 9 =

a,cu,ar:

D abc (a b c);

ab bc ac

=

a) b)4 c) d)2 e)5

E9ERCICIO N< 12

%i:

4 4

2 2 2 2 2 2

(a b) (a b)4

(a b ) (a b )

=

a,cu,ar:

5a b;

a 4b

=

7

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8/11

8

a). b)2 c)-2 d) e)4

E9ERCICIO N< 13E, e1ui6a,en0e de:

2 4(! .)(! .)(! .)(! .)8888n fac0ores

es:

a)n .

! 2

b)n .

2! .

c)n .

4! .

d)n .

2! .

e)n .

2! 2

E9ERCICIO N< 1

%i:2n 2n 2na b c 9 =

a,cu,ar e, 6a,or de:

n n na b c

;bc ac ab

=

a)4 b) c)2 d) e)

E9ERCICIO N< 1%%i: ab = .8 E, 6a,or de:

2 2

2 2

b . a .; a8 b8

a . b .

=

a). b) c) d)2 e)4

E9ERCICIO N< 1&

Ha,,ar e, 6a,or numKrico de:

2 2 2(a b) (b c) (a c)

;.2

=

%i se sabe 1ue: (a b) (b c) += =

a)9 b). c)2 d) e)4

E9ERCICIO N< 1,

%i:

. a b!

2 b a

=

Encon0rar e, 6a,or de:+

(! -!)

a)

+ +a b

b a

b)

+a b

c)+ +

a ab b

d)

2 2

a bb a

e)

+ +

a bb a

E9ERCICIO N< 1

%i:2 2 2 2

2(! ") 2(C M) (! " C M) (! " C M) =

Ha,,ar:

.9! "

EC M

=

iensa en #rande/ iensa en3

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a)9 b). c)2 d) e)4

E9ERCICIO N< 1/

%i: (a b c d)(a b c d) (c d a b)(c d a b) =

a,cu,ar:

2 2

2 2

a b;

c d

=

a)9 b) c). d)2 e)-.

E9ERCICIO N< 2E, e1ui6a,en0e sim,i7cado de ,a e!resin:

- + + - - - - + + - .D (m m n n )(m n )(m m n n ) n/ ser:

a)9 b) 2

m c)+

m d)-

m e)D

n

E9ERCICIO N< 21

%i:+

! . 9 ! .= / ca,cu,ar:

+ +

2

(! .) (! .)A

!!

=

a)9 b)2 c). d)-2 e)-.

E9ERCICIO N< 22

%i:

a b b cc a .

b a

= >

&e0erminar e, 6a,or de:

2 2 2a 2b c a b 2c b c 2a

b c a

a) b)2 c). d). e)9

E9ERCICIO N< 23

%i:

+ +

+ +

. .! " .

" C = =

8Ha,,ar e, 6a,or de:.92

(!"C) .

a)2 b)-. c)9 d). e)-2

E9ERCICIO N< 2

%i:

{ }

a/ b/c R

/ ca,cu,ar:

2

2

a

b c

%i se cum,e 1ue:2 2 2

a 2b 2a(b c) 2c=

a)2 b) c)4 d) e).9

E9ERCICIO N< 2%

ua,es de ,as si#uien0es roosiciones son 6erdaderas

#

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10

?82 2 (a-b)(a +ab+b )=a +b

??82 2(a+b) -(a-b) =4ab

???82 2 4 2(! +!+.)(! -!+.)=! +! +.

?>>< b) >> c) >> d) >> e)

E9ERCICIO N< 2

?ndicar 6erdadero o fa,so:

?8 Todo 0rinomio es cuadrado erfec0o8

??82! -es diferencia de cuadrados8

???8 ! - " es diferencia de cuadrados8

?

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E9ERCICIO N< 3

%i:+ + +

a b c - a b c 24 = =

a,cu,ar: E (a b)(a c)(b c)

a)9 b)2 c)4 d) e)

E9ERCICIO N< 31%i N!O " su in6erso mu,0i,ica0i6o suman 8 a,cu,ar e, 6a,or de ,a si#uien0e e!resin:

. . !!! !. .E ! !

! !

a)29 b)2. c)9 d)22 e)2

11