problemasresueltosdeanlisisrealsec3-140810205810-phpapp02

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

FRANCISCO MORAZÁN FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

Departamento de Ciencias Matemáticas

PROBLEMAS DE ANÁLISIS REAL, SECCIÓN B: Primer período 2012

Ejercicios de la sección 3.3

1. Sea1

: 8x y 1

1 22:

n nx x para .n N

Demostrar que está acotada y es

monótona. Encontrar

el límite.

a) Por demostrar que ( )n

x está acotada: 4 8n

x

1

1

1 1

2 2

1

2

1

2

1

2

1

1.

: 8 4

4 4

4 (4)

2

2 2 2

2 4

( )

n n

n n

n

n

n

n

Demostrar que la proposición vale para n

x

Suponer que x y demostrar x

x x Monótona del producto

x Cerradura para el producto

x Monótona de la suma

x Cerradura para la suma

x

4

, , 4.n

Sustitución

Por tanto para todo n x

N

b) Por demostrar que ( )n

x es decreciente.

1 1

2 2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

2 2 2

1

2

4 4

2

2

2

2

2

( )

1

,

n n

n

n

n n

n n n n

n n

Cerradura para el producto

Cerradura para la suma

Distributiva y neutro producto


x

x

x x

x x x x Monótona de la suma

x x opuesto neutro y ceradura pa

1

2

1

1

2

, ,

n n

n n

n n

Conmutativa para la suma

ra la suma

x x

x x Sustitución

Por tanto para todo n x x

N

c) Por el teorema de la convergencia monótona, ( )n

x es convergente

1 1

1 12 2

1 1

2 2

1

2

2 2

2 2

2

4

:n n n n

n n

L í m L í mx x x x

x x x x

x

x

2. Sea 1

1x y 1

12:

n nx

x para .n N Demostrar que ( )

nx está acotada y es monótona.

Encontrar el límite.

a) Por demostrar que( )n

x está acotada inferiormente. Es decir, , 1.n

n x N

1 1

1

1

1

2

1

1

1

1

1 1

1

2 2 1

2 1

1

1( )n n


Al tomar recíprocos se invierte la desigualdadx

Monótona de la sumax

Cerradura para la sumax

x Sustitución

Suponer que x hipótesis de inducción y demostrar que x

1

1

1

1

1

1 1

1

2 2 1

2 1

1

, , 1

n n

n

n

n

n

n


Al tomar recíprocos se invierte la desigualdadx

Monótona de la sumax

Cerradura para la sumax

x Sustitución

Por inducción matemática n x

N

b) Por demostrar que ( )n

x es decreciente.

2

2

1 1

2 1 0

( 1) 0 ,n n n

n n

x x El cuadrado de un número es no negativo y además x

x x Teorema del binomio

2

1

1

1 2 1 .

12

, ,

n n n

nn

n n

n n

Monótona de la suma y prop operaciones en

Monótona del producto

x x x

xx

x x Sustitución

Por tanto para todo n x x

R

N


x es convergente.

1 1

2

2 2

1 12 2

12 2 1

2 1 1)

1

:

0 ( 0

n nn nn n

L í m L í mx xx x

x x xx

x x x

x

3. Sea1

2x y 1

1 1:n n

x x para .n N Demostrar que ( )n

x es decreciente y está

acotada inferiormente. Encontrar el límite.


x está acotada inferiormente. Es decir, , 2.n

n x N

1 1

1

1

1

1

2

2 1 2 1

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 2

2

2 (n

x x Monótona de la suma


x Tomando raíz cuadrada en los dos miembros

x Monótona de la suma


x Sustitución

Suponer que x hipótesis de inducc

1

1

) 2

2 1 2 1

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 2

n

n n

n

n

n

n

n

ión y demostrar que x

x x Monótona de la suma


x Tomando raíz cuadrada en los dos miembros

x Monótona de la sumaCerradura para la suma


x

2 Sustitución

, , 2n

Por inducción matemática n x N

b) Por demostrar que( )n

x es decreciente.

2

2

2

2 2

2 1 0 : 2 1 1 0

3 2 0

3 2 1 1 : 1

2 1 1 .

0

( )( )n n

n n n n

n n

n n n n n

n n n

Monótona del producto

Efectuando las multiplicaciones indicadas

Monótona de la suma Se suma dos lados

Prop ope

x x Definición de

x x x x

x x

x x x x x

x x x

2

1

1 1

1 1 1

1 1 .

0

, ,

( )

( )n n

n n n

n n

n n

n n

raciones en los reales

Factorización del trinomio cuadrado perfecto

Monótona y Prop operaciones en los reales

x x

x x Tomando raíz cuadrada x

x x

x x Sustitución

Por tanto Para todo n x x

N1

c) Por e l teorema de la convergencia monótona, ( )n

x es convergente.

1 1

2

2 2

1 1 1 1

1 1 1

2 1 1 3 2

0

2. ,

:

1

0

( 1) ( 2) 1 2.

1 2.

n n n nn n

n

L í m L í m

Por lo tanto

x x x x

x L x x

x x x x x

x x x ó x

Se descarta x porque x x

4. Sea 1

: 1x y 1

2:n n

x x para .n N Demostrar que( )n

x converge y encontrar el límite.


x está acotada superiormente. Es decir, , 2.n

n x N

1 1

2 1

1

1

2 2

2

: 2 1 2

: : 1 3 2 3 2

2 ( ) 2

2 4

n n

n n

x x Por dato y porque

x x Sustitución y porque

Suponer que x hipótesis de inducción y demostrar que x

x x Monótona suma y cerradura para la suma

1

2

2

2 4

2 4 2

2

, , 2

n n

n

n

n

x x Tomando raíz cuadrada de Números positivos

x

x Sustitución

Por inducción matemática n x

N


x es creciente.

2

2

2 2 0

2 1 1 0

2 0

2

2 0

0 :

. ,

( )( )n n

n n n

n n

n n

n n n

n

Definición de

Efectuando las multiplicaciones indicadas

Monótona de la suma y simplificación

x x

x x Monótona del producto x

x x

x x

x x Tomando raíz cuad en ambos lados x

x x

1

1, ,

n

n n

Sustitución

Por tanto Para todo n x x

N


x es convergente

1 1

2

2

2 2

2

2

2 0

0

0. ,

:

( 1) ( 2)

1 2.

1 2.

n n n nn n

n

L í m L í m

Por lo tanto

x x x x

x x

x x

x x

x x

x ó x

Se descarta x porque x x

5. Sea 1

: ,y p donde 0p y 1

:n n

y p y para .n N Demostrar que( )n

y converge y

encontrar el límite. [Sugerencia: una cota superior es 1 2 .p ]


y es creciente.

2 22 2 2 22 1 1 1 1 1 2 1 2

2 2 2 23 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3

0

0

: : : :

: : :

y y p y p p y p y p y y y y

y y p p y p y p y y y y y y y y

2 2 2 24 3 2 2 2 2 3 2 3 4 3 4

1 2 2 3 3 4 1 1

1

0

. . .

: : :

, :

( ),

n n n n

n n

y y p p y p y p y y y y y y y y

Es decir llegamos a la cadena de implicaciones

y y y y y y y y y y

Si suponemos que se cumple y y como en efecto se cumple debemos demostrar

qu

1 2

2 22 1 1

2 21 2

1 2

1

0

.

: : :

, ,

n n

n n n n n n n n

n n

n n

n n

e también se cumple y y

y y p p y p y p y y y y

y y

y y

Por tanto para todo n y y

N


y está acotada superiormente por 1 2 .p

1

1

2 2

1

1

0 0 0 0 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1

1 1 1 2

1 2

( ) .n n

n n n

n n

n

p p p p p p p

p p y p

y p y p

y p y p p p y p

y p p p y p

y p

Demostrar que se cumple pana n

p

Suponer hipótesis inductiva y demostrar que

p p

p p

Por tanto

1 2, ,n

ppara todo n y N


x es convergente.

21 1

2

0 1 1 0 0.

0

1 1 41 4 1 4 1 1 4

2

:

1 1 4

2

1 1 4 1 1 4

2 2

n n n nn n

L í m L í m

pp p p p

y p y y p y y p y y p y

py y p y

p py ó y

0. ,1 1 4 1 1 4

.2 2n

Por lo tantop p

Se descarta y porque y y

6. Sea 0a y 1

0.z Se define1

:n n

z a z para .n N Demostrar que ( )n

z converge y

encontrar el límite.

CASO No. 1: 1

01 1 4

.2

az

a) Demostrar que ( )n

z es acotada superiormente por1 1 4

.2

a

Probar que se cumple para n = 2.

2

2

2 1 2

1 1 4 1 2 1 4 1 4 2 2 1 4 4 1 1 4 2

2 4 4 2

1 1 4 2 1 1 4 1 1 4 2

2 2 2

1 1 4 1 1 4

2 2

1 1 4 1 1 4 1 1 4

2 2 2

a a a a a a a

a a a a aa

a a

a a az a z a z

Suponer que1 1 4

2n

az

(hipótesis de inducción) y demostrar que

1

1 1 4 1 1 4 1 1 4

2 2 2n n n

a a az a z a z

b) Demostrar que ( )n

z es creciente.

Por demostrar que para todo1.,

n nn z z N

1 1 1

2 2 2

1 1 4 1 4 1 40

2 2 2n n

a a az z

1 1 4

2para todo .

n

az n

N

1 1 1

2 2 2

2 2 21 1 1

2 2 2

21

2

21 1 12 2 2 2 2

1 4 4 2

2 2 2 21 1 1

1 4 1 4 1 4 1 4

2 2 2 2

4 1 4 1

4 4

1 1 4 4 10 0

2 4

4 10

4

0

( )

n n

n n n

n n

n n n n n n n n n

n n n n n n

a a a az z

a az z z

a az z

az z a z z a z z a z z z

z z z z z z

CASO No. 2: 1

1 1 4.

2

pz

a) Demostrar que ( )n

z es acotada inferiormente por 1 1 4

.2

p

Probar que se cumple para n = 2.

2

1 1 4 1 2 1 4 1 4 2 2 1 4 4 1 1 4 2

2 4 4 2

a a a a a a a

2

2 1 2

1 1 4 2 1 1 4 1 1 4 2

2 2 2

1 1 4 1 1 4

2 2

1 1 4 1 1 4 1 1 4

2 2 2

a a a a aa

a a

a a az a z a z

Suponer que1 1 4

2n

az

(hipótesis de inducción) y demostrar que

1

1 1

1 1 4

2

1 1 4 1 1 4 1 1 4

2 2 2

.n

n n n

az

a a az a z a z

1 1 4

2, ,

n

aPor tanto Para todo n z

N

b) Demostrar que( )n

z es decreciente.

Por demostrar que1.

n nz z

1 1

2 2

21

2

21

2

1 12 2 2 2 21 4 4

21

2

2 2 2 21 1 1

1 1 4 1 4 1 4

2 2 2

4 1

4

4 10

4

4 10

4

0

( )

n n

n

n

n n n n n n n n

n

n n n n n n

a a az z

az

az

z z a z z a z z a z z

az

z z z z z z

c) En el CASO No. 1, la sucesión ( )n

z es creciente y acotada superiormente. En el CASO No. 2,

la sucesión ( )n

z es decreciente y acotada inferiormente. Luego, por el teorema de la

convergencia monótona, la sucesión( )n

z es convergente.

1 1

2

20

0 1 1 0 0.

0. ,

:

1 1 4

2

1 1 4 1 1 4

2 2

1 1 41 4 1 4 1 1 4

2

1 1 4 1 1 4.

2 2

n n n nn n

n

L í m L í m

Por lo tanto

z a z z a z

z a z

z a z

z z a

az

a az ó z

aa a a a

a aSe descarta z porque z z

7. Sea1

0:x a y1

1:

n nn

x xx

para .n N Determinar si( )n

x converge o diverge.

a) Demostrar que( )n

x es creciente.

En primer lugar,1

0n

x porque es la suma de dos números: n

x y .1

nx

Donde el primer sumando

es positivo porque se va obteniendo de la suma de un positivo y su recíproco, mientras que el

segundo sumando es positivo por ser el recíproco de un número positivo. Luego,

1

1n n n n

n

x x x xx

Por lo tanto, ( )n

x es creciente.


x no es superiormente acotada.

Suponer que( )n

x es superiormente acotada, es decir que existe 0M tal que .n

x M

1

2 2

2

22 2

1 1

1 1 0

4 0.

4 0 4 1 1 4 0 2 2 0.

,

:

( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n n nn n

n n n n

x M x acotada x M x M x x M xx x

x M x x M x

Para que se cumpla está inecuación cuadrática debe cumplirse también que su

diciminante b a c

b a c M M M M

Haciendo la tabla de variación de signos,

-2 2

2M

– + +

2M

– – +

2 2( )( )M M

+ – +

De la tabla se ve que los valores que satisfacen la desigualdad son todos aquellos que están

entre -2 y 2, incluyendo tanto 2 como -2, es decir, -2 ≤ M ≤ 2. Pero como M es positivo,

entonces se cumple: 0 < M ≤ 2, luego:

12

nn

xx

2 2 212 1 2 2 1 0 ( 1) 0

n n n n n nn

x x x x x xx

Como 2( 1) 0,

nx el único valor que satisface 2

( 1) 0n

x es 1.n

x

Ahora bien,

0 : , .

.

n

n

tal que se satisfagano existe M n x M

x no es superiomente acotada

N

Por lo tanto, ( )n

x es divergente.

8. Sea ( )n

a una sucesión creciente, ( )n

b una sucesión de decreciente, y suponer quen n

a b para toda

.n N Demostrar que n nlím a lím b de donde se deduce la propiedad de los intervalos

anidados 2.5.2 del teorema de convergencia monótona 3.3.2.

Demostración:

Se demostrará que( )n

a está acotada superiormente porn

b y que ( )n

b está acotada inferiormente por

.n

a

Como n n

a b para toda ,n N entonces ( )n

a está acotada superiormente por .n

b

En forma similar, Como n n

a b para toda ,n N entonces ( )n

b está acotada inferiormente por .n

a

Luego, como ( )n

a es creciente y está acotada superiormente por ,n

b por el teorema de la

convergencia monótona, ( )n

a es convergente.

Luego, como ( )n

b es decreciente y está acotada inferiormente por ,n

a por el teorema de la

convergencia monótona, ( )n

b es convergente.

Por el teorema 3.2.5.

n n n

n n

x y x y

n , x y .

nX y Y son sucesiones convergentes de números reales y si

para toda entonces L i m L i m

Si

N

1

2 11

1 11 1 2

1

1 12 2 0.5 2.5 2.

2

n n nn

n nn

x x xx

x xx

Que al hacer las sustituciones correspondiente se obtiene que n nlím a lím b y esto era lo que

queríamos demostrar.

De este resultado, tomando los intervalos , ,n n n

I a b que son intervalos anidados, se obtiene,

como consecuencia inmediata del teorema de la convergencia monótona 3.3.2., la propiedad de los

intervalos anidados 2.5.2. Cumpliéndose, según ,n nL i m a L i m b que existe un número

R tal que .n n n n

a L i m a L i m b b De donde, para toda ,nN .n n

a b

9. Sea A un subconjunto infinito de R que está acotado superiormente y sea : ( ).u sup A Demostrar

que existe una sucesión creciente ( )n

x conn

x A para toda nN tal que : ( ).n

u lím x

Demostración:

Por ser A un subconjunto infinito de R que está acotado superiormente, debe cumplirse que

cualquier sucesión ( )n

x formada tomando elementos de A también debe estar acotada, es decir,

existe un 0M tal que y M para toda .y A En particular, nx M para toda ,nx A para

toda .nN Esto más, conviene tomar :M u . Puesto que ( )n

x está acotada, este conjunto debe

estar contenido en un intervalo , ,a b es decir, si existe tal sucesión ( ),n

x entonces ,a b

debe

contener a todos los términos de esa sucesión( ).

nx Como A es infinito existe un elemento z de A

que está en el intervalo , .a b Sea 1 1 1

[ , ] [ , ],I a b a b verificándose que la longitud de

1I es

02

,b a

b a

tomemos1 1 1

, ,y z x y Se divide el intervalo1

I en dos subintervalos iguales1

'I y

1''I , cumpliéndose que al menos uno de los dos subintervalos contiene infinitos puntos de A y sea

2 2 2[ , ]I a b

uno de tales subintervalos, verificándose que la longitud de

2I es

12 2,

b a b a

seleccionemos un elemento z de 2,I tomemos 2 2 1 2

, , .y z x máx y y Se divide el intervalo2

I en

dos subintervalos iguales2

'I y 2

''I , cumpliéndose que al menos uno de los dos subintervalos

contiene infinitos puntos de A y sea 3 3 3

[ , ]I a b uno de tales subintervalos, verificándose que la

longitud de 3

I es 24 2

,b a b a

seleccionemos un elemento z de 3

I y tomemos

3 3 1 2 3, , , .y z x máx y y y Si continuamos con este proceso llegamos a obtener un intervalo

nI

que contiene infinitos puntos de A, verificándose que la longitud de n

I es 1

2,

n

b a considerando

un elemento z de n

I y tomando a 1 2 1, , , , , , .

n n n ny z x máx y y y y La sucesión

( )n

y tal

como está construida tiene cada elemento en una sucesión de intervalos ( )n

I donde se cumple que

1 2,

nI I I es decir, cada término

ny de la sucesión ( )

ny está en uno de los intervalos

anidados ( ).

nI

Puesto que la longitud de

nI es

12

,n

b a cuya longitud es cada vez más pequeña,

es decir, 0,:n n n

ínf I ínf b a n N por el teorema 2.5,3 (página 59), existe un número

único contenido en .n

I Además, como

n ny I se cumple que

12

n n

b ay

De donde,

1

2 2 22 1 1 1, ( )

nlog log log

b a b a b a b an n K

Es decir, de acuerdo a la definición de convergencia, ( )n

y converge a

. Por otro lado, la sucesión

( )n

x tal como se va construyendo, no es más que una ordenación de ( )n

y pues se verifica que

1 2.

nx x x Siendo ( )

nx la sucesión creciente que se buscaba y al ser acotada como se

demostró al principio, según el teorema de la convergencia monótona, ( )n

x es convergente. Esto

más, ( ) : : ,n n

lím x sup x n N según el mismo teorema.

También, : :n n

sup x n sup y n N N porque ambos conjuntos tienen los mismos elementos

en distinto orden.

Además, : ( )n

sup y n sup A N porque .n

y A

Por otro lado, para cualquier 0, tal que ( ) ( ).z A sup A z sup A En efecto, los puntosn

y

definidos anteriormente, pertenecen a un subintervalon

I y al conjunto A, respectivamente, es decir,

( ),n n

a y sup A y, como ( ), ,n

a sup A n entonces para cualquier 0, ( )k N tal

que( ) ( )

( ) ( )K K

sup A a y sup A

y se llega a la desigualdad ( ) ( )sup A z sup A

considerando a ( )K

z y

Por lo tanto, , ( )n

n sup A I N y ( ) : : : : : : ( ).n n n

lím x sup x n sup y n sup A N N

10. Sea ( )n

x una sucesión acotada, y para toda ,nN sea : :n k

s sup x k n y : : .n k

t inf x k n

Demostrar que ns y n

t son monótonas y convergentes. Demostrar asimismo que si

( ) ( ),n n

Lím s Lím t entonces ( )n

x es convergente. [ A ( )n

Lím s se le llama límite superior de ( )n

x

y a

( )n

Lím t se le llama límite inferior de ( )]n

x

Demostración:

En primer lugar ambas sucesiones son acotadas. La explicación es porque tanto ns como n

t son

términos de ( )n

x y, al ser ( )n

x acotada, se cumple que existe un 0M tal quen

x M para toda

.nN Para este mismo valor de M se cumple también que n

s M y n

t M para toda nN

y, por lo tanto ambas sucesiones son acotadas.

Ahora bien, 1: : 1 ,

k k n nsup x k n sup x k n s s resultando que n

s es decre-

ciente. De igual forma, 1: : 1 ,

k k n ninf x k n inf x k n t t resultando que n

t es

creciente. Por otro lado, también se cumple que : : ,k n k

inf x k n x sup x k n resultando

además que .n n n

t x s

Como ambas, ns y n

t son monótonas y acotadas, por el teorema de convergencia monótona,

ambas son convergentes.

Como n n n

t x s y ( ) ( ),n n

Lím s Lím t por el teorema de compresión, se sigue que( )n

x es

convergente y además, ( ) ( ) ( ).n n n

Lím s Lím x Lím t

11. Establecer la convergencia o divergencia de la sucesión( ),n

y donde

1 1 1

1 2 2: . . . para .

ny n

n n n

N

Obsérvese que:

1 1 1 1 1 22 1 1 2 12( 1 2( 1 2( 1

2 1 21 12 1 2( 1 2 2 1 1

2 2 2 2

2 2 1 1

) ) )

( ) ( 1)

) ( ) ( )

1

( ) ( )

n n nn n n

n nn n n n

n n n

n n

2 2n

2 2 1 1

10

2 2 1 1

1

( ) ( )

( ) ( )

n n

n n


y es creciente.

1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 1 2 2 2 1 12( 1

11

: . . . . . .)n

yn n n n n n n nn

n

1 1 1 1 12 2 2 1 12( 1

. . .)n n n nn

1

1

1 1 1 12 2 2 1 2( 1

.

. . .)

:

,

n

n n

n n n n

y

n y y

b) Demostrar que ( )n

y es superiormente acotada.

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2

1

, , . . ., ,1

,

1: . . . . . . 1

1

Por tanto, Para todo , 1.

n

n

n n n n n n n n

Luego

y nn n n n n n n n n

n vecesn

n y

N


y es convergente.

12. Sea2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 2: . . . para toda .

nx n

n N Demostrar que n

x es creciente y que está

acotada y, por consiguiente que converge. [Sugerencia: Obsérvese que si 2,k entonces

.2

1 1 1 1

1 1( )k k k kk

]

a) Demostrar que nx es creciente.

b) Demostrar que nx está superiormente acotada.

13. Establecer la convergencia y encontrar los límites de las sucesiones siguientes

a)

2

2

2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0

1 11 1 1 0

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

k k k k k k k

k k k k k k k k kk kk

k k k k k k

k k k k k k k k k k k k

2 2 2 2 2 2 2 2 2(

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 1 2 2 1: . . . . . .

)

, para toda .

.

n

n n

n

xn n n

x x n

x es creciente

N

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 3 2 1 11 2 2

1 1 1 1 1 12 2 2

1 1

: . . . . . .

. .

n

n n n n

n

xn n n nn

x x x xn n n n

por el teorema de la convergencia monótona x converge

11

1n

n

1

1

1 1 11 1 1

1 11 1 1 0 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1

3.3.6, ,

(1) .

n n

n

n n n

n n

n n n n

n n n

Por el ejemplo en n

e en n n n n

L í m L í m

L í m L í m L í m L í m

Donde se aplicó que el límite del producto de dos sucesiones es igual al producto de sus

límites.

b)

21

1n

n

2

22

2

1 1 11 1 1

11

1 1 1 1 11 1 1 1 1

11

12 1

3.3.6,

( ) .

:

) Demostrar que está acotada.

3.3.6,

n n n

n

n n n n n

n

n

x

n n n n

n n n

Por el ejemplo en

e e en n n n n

an

Por el ejemplon

L í m

L í m L í m L í m L í m

OTRA FORMA

22

2 2

2

221 1

2( 1)2

1

1 12 1 4 1 9.

11

1 1 1 11 1 1 1

1 1

1 11 1

1

3 3

) Demostrar que es creciente.

3.3.6,

) ,

n n

n

n nn n

nn

n n

n n

bn

Por el ejemplon n n n

n n

x x

c Por el teorema de la convergencia monótona

2

2 2

2

11

11

1 1 11 1 2 1

1

.

:

,

, ,

n

n n

n n

convergen

nx ln x n

n n nn

Por un teorema del cálculo se puede cambiar la variable entera positiva n por la

variable continua x dado que entonces tenemos funciones derivables y en esta nu

lnln ln

, ' :

eva

situación es aplicable el teorema de L Hôpital

2 2 2

20

2 20 0

0

1 1 11 1 1

1 1 1 1

1

1

10

1

1 1

1 1

2 2 22.

1 1 0 1

. , ' :

n

n

n n z z

w

nw w

w

n

n z zx

n z z

ln w

w

Donde w y w cuando z Luego por la regla de L Hôpitalz

ln w wx

w

w

ln

ln

ln ln lnL í m L í m L í m L í m

L í m

L í m L í m L í m

L í m

2.

nnn

n

n

xx

x e

lnln

L í me eL í m L í m

Esta es una bonita forma de calcular el límite, sin embargo se evitará lo más posible de mezclar

estos dos puntos de vista diferentes: Cálculo y análisis de la variable real. Más bien, de ahora en

adelante, se enriquecerán las propiedades de los números reales y se pretenderá justificar el

cálculo, partiendo del análisis real. Esto se abordó de esta forma con la finalidad de establecer la

íntima relación que guardan las distintas ramas de la matemática.

c)

1 1 1 1

1

1 1 1 11 1 1 1

1 11 1

11 1

1 1

( ):

1 1 1 1

1:

1

n n n

n

n m

m

xn n n n

n mx m n

n m

11

1

n

n

111

1

1 11 1

0: : , ,

, , .

1

mm

n m

n n n

n

m

n m m

m

n

mm

x x

m m

Si X x converge y Y y converge y n y entonces la

Xsucesión converve es decir el límite del cociente es el cociente de los límites

Y

ex e

L í m

L í m L í m L í mL í m

L í m

d)

11

n

n

11

1

11

11 1 11

1 1 1

11

1 1 11 1 1

1 1 1

11

11 11

1

11

1

11

1

: . : 1.

:

11

11

11

m

m m m

m m

m

n

n

m m

m

m m

m

n m

n m m

m

m

m

m

mmm m m

x Sea n mn

xm m m

mm

m

mx x

m

m

m

L í m L í m L í m

L í m

L í m

1

m

e

1 1 1

( 1) ( 1)1 1

( 1) ( 1)

( 1)

( )11 1 1

1 1 1

1 111 1

1 1

1 11

11

1 11 1

11

:

( )

1

1

n nn n

m mn

m m

m

m

m

m

m

nOTRA FORMA SIMILAR

n n n n

m mSea n m

n m m

mm m

m

m m

emL í m

L

1 11 1

11

11

1 1 1 11 1 1 1

(1) , ( )

1

1 1 1

m

n

m m

m

n m

m

e e límite de unproductom m

m

n e

m m m m

L í mí m

L í m L í mL í m

14. Aplicar el método del ejemplo 3.3.5 para calcular 2 con cuatro cifras decimales de precisión.

1 2 31.5 1.4167 1.4142., ,s s s

15. Aplicar el método del ejemplo 3.3.5 para calcular 5 con cinco cifras decimales de precisión

1 2 3 42.5 2.25 2 23611, 2 23607., , . .s s s s

16. Calcular el númeron

e del ejemplo 3.3.6 para 2 4 8 16, , , .n

n 2 4 8 16

ne 2.25 2.44140625 2.565784513 2.637928497

17. Usar una calculadora para encontrar el valor den

e para 50 100 1000, y .n n n

n 50 100 1000

ne 2.691588029 2.704813829 2.716923932

PROBLEMAS ADICIONALES

1) Sea la sucesión : ( ) : 2, 2 2 , 2 2 2 , ... .n

X x

Demuestre que X es una sucesión

convergente y pruebe que converge a 2.

a) Demostrar que está acotada superiormente. Es decir,

1

1

1

2 2 2 4 2 4 2 2

: 2 2

Suponer que 2 y demostar que 2

2 2

2

, 2

n n

n n n n n

n

n

x

x x

x x x x x

x

n x


x es creciente.

21 1

2 2 2 21

2 2 2 21 1 1

0 1 11 2 0

2 2 0

2 2

2 2 1 2 0

0

( )( )

( )( )

n n

n nn n

n n n n

n n n n n n n n

n n n n n n

x xx x

x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x


x es convergente

1

2

2

2

2 2

2 0

1 2 0

1 2

1 0. Por lo tanto, 2.

( )( )

Se descarta = porque

n n

n

n n

ó

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x x

L í m L í m

( )n

x , 2n

n x

2) Demuestre que el límite de la sucesión ny definida por:

1 1 1...

1 2ny

n n n

Existe. Dedúzcase que el límite es menor que 1 pero no menor que 1

2.

En el ejercicio No. 11 se demostró que el límite existe y que .1n

x Ahora bien,

,1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 1 22

1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 22

12

12

, , . . ., .1

,

1: . . . . . .

1 2

, ,

n

n

n n n n n n nn

Luego

y nn n n n n n nn n

n vecesn

Por tanto Para todo n y

3) Sea la sucesión : ( )n

X x definida en forma recurrente por 1 1

1, 1 .n n

x x x

Demuestre

que X es una sucesión convergente y encuentre su límite.


x está acotada superiormente. Es decir, 1 1

2 25, .

nn x

1 1

1 2 2

1 1 1 1

12 2 2 2

21 1 1 1 5 3 1 3 1 1 1

2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 1

2 2 2 2 2 2

3 1 1 1

2 2 2 2

1 1

1 2 2

1 1

2 2

5

5 5

5 5 5 5 5

5 1 1 5 1 5

1 5 1 5

5

5

: 1

Suponer que y demostar que

,

n n

n n n

n n

n

n

x

x x

x x x

x x

x

n x

N


x es creciente.

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 21 1 1 1

5 52 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 21 1 1 1 1 5 5 1

2 2 2 2 2 4 2 2

21 1

2 2 21

1 5 5 5 5 0

0 5 0 5 0

0

5 5 0

5 5 0

1 1

1 1

También,

n n

n n

n n

n n n n

n n n n

n n n n n

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

1 1 1 125 5

2 2 2 2

25 12 2 2

1 2 2

2 2 2 21 1 1

0

1 0

0

n nn

n n n n n

n n n n n n

OTRA FORMA :

x x

x x x x x

x x x x x x

c) Por el teorema de la convergencia monótona, es convergente.

21 1

21 1 1 52 2

4 4 2 4

5 5 5 51 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

5 51 1

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

Se descarta ¿Por qué? Por tanto,

n n n nx x Lím x Lím x x x x x

x x x x x

x x x ó x

x x

4) Sea la sucesión : ( )n

X x definida en forma recurrente por 1 1

1, 3 .n n

x x x

Demuestre que

X es una sucesión convergente y encuentre su límite.

( )n

x


x está acotada superiormente. Es decir, 3,n

n x

1

1

1

3

3 3

3 3 9 3 9 3 3

3

3

: 1

Suponer que y demostar que

,

n n

n n n n

n

n

x

x x

x x x x

x

n x


x es creciente.

2 2

21 1

2 2 21

2 2 2 21 1 1

0 3 3 3 3 0

3 3

3 0

0

n n n n n n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n n

x x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

c) Por el teorema de la convergencia monótona, es convergente

1

2

2

3

3 3

3 0

3 0

0 3

0 0. 3.

( )

Se descarta = porque Por lo tanto,

n n

n

n n

ó

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x x

L í m L í m

( )n

x

5) Sea la sucesión ( )n

x tal que

Probar que( )n

x diverge.

Demostrar que la sucesión ( )n

x es creciente

1

1 1 1 1 1 1 12 3 2 3 1

1 . . . 1 . . .n n n

x x xn n n

Consideremos los términos: 2 4 8 16 32 64, , , , , , . . .x x x x x x Es decir, los términos cuyo índice es una

potencia de 2, esto es, son términos de la forma2

, 1, 2, 3, ...n

nx Luego, haciendo algunos

cálculos se puede establecer el comportamiento de crecimiento de la sucesión.

2

4

8

16

, ,32 64 128

1 31

2 2

1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 41 2

2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4 4 2

1 1 1 1 1 1 1 1 52 2

5 6 7 8 8 8 8 8 2

5 1 1 1 1 1 1 1 1 63

2 16 16 16 16 16 16 16 16 2

7 8 9: 4

2 2 2

1

La secuencia seguiría , . . .

x

x

x

x

x x x

A simple vista se observa que la sucesión crece sin cota, es decir, al aumentar el valor de n, cada

término de la sucesión también crece cada vez más. Seguidamente se puede obtener una

expresión en términos de n para cada valor superado3 5 7

2, 3, . . .2 2 2

, , , Para buscar una relación

entre cada término 2n

x en función de n, se construye la tabla que se muestra a continuación:

1 1 12 3

1 . . . para .n

x nn

n 2n Término

1 2 x2 1 2 3

2 2

2 4 x4 2 2 4

22 2

3 8 x8 3 2 5

2 2

4 16 x16 4 2 6

32 2

5 32 x32 5 2 7

2 2

n 2n 2

2

n

2 4

2

1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 41 2.

2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4 4 22

2 2 2 42.

22 2

2 2

22

2

2 2

2 3

2 22 2

21 1 1 1 1 1

2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 22

1

.

se cumple para = 2.

suponer y demostrar que

. . . . . .

n

n n

n n n n n n n n

x x

n

x

nn

n n

n

x

x x

x x

x

1 1 1 1 1

2 2 2 1 31 1 1 2

2 2 2 2 22 2 2 2 2. . .

n

n n n n n

n n n n

Por tanto, 2

22 2

, .n

nn x

Ahora se demostrará que la sucesión ( )n

x no es acotada superiormente.

2nx

2nvalor superado por x

2nx

Supongamos que la sucesión es acotada, entonces existe un real M > 0 tal que para cualquier

natural n se cumple que .n

x M En particular, todos los términos de la forma 2n

x también

deben satisfacer está condición, es decir, 2

.n

Mx

2 22 2, 2.

2 2 2 2n n

n nM M n M nx x

Sustituyendo 2M - 2 por P, se tiene que

, 2.n P n

Pero esto contradice el principio de Arquímedes: “Si x es un número real, entonces existe un

número natural nx tal que x < nx”, Es decir, que para cualquier real siempre se puede encontrar un

número natural que lo supere, o también que los números naturales no son acotados

superiormente. En el caso que nos ocupa, si sustituimos x por P y nx por n, el principio de

Arquímedes se leería: Si P es un número real, entonces existe un número natural n tal que

P < n. Sin embargo, el resultado , 2n P n afirma que P supera a cualquier número natural

mayor o igual a 2, o bien que no existen ningún número natural mayor o igual a 2 que pueda

superar a P. Esto contradice el principio de Arquímedes. Dicha contradicción se origina al

suponer que la sucesión es acotada superiormente. Por lo tanto, La sucesión dada no es acotada

superiormente.

Como la sucesión es creciente pero no es acotada superiormente, se concluye que la sucesión es

divergente.

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