Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.

- Sean v1, v2, u1, u2 cuatro vectores de un espacio vectorial V. Si gen{v1,v2}= gen{u1,u2},

entonces {v1, v2, u1, u2} es linealmente dependiente en V.

- Sea v un vector de un espacio vectorial V con base ordenada B={v1,v2, …vn}. Si [v]B=0,

entonces v es el vector neutro de V.

- Si V es un espacio vectorial con bases ordenadas distintas B1 y B2, entonces la matriz de

transición de B1 a B2 es la matriz identidad.

- Sea V un espacio vectorial. Sea S un conjunto linealmente independiente en V. Si w es un vector

cualquiera de V, entonces es linealmente independiente en V.

- Sea V un espacio vectorial. Sea S un conjunto linealmente independiente en V. Si w es un vector

cualquiera de V, entonces es linealmente independiente en V.

-Sea W un subespacio del espacio vectorial V . Si w∉W y α∈ R , entonces αw∉W

Sea V=¿ un espacio vectorial real con operaciones definidas ⊕ y⊙ tal que:

⊕ : (x1 , y1 , z1 )⊕ (x2 , y2 , z2 )=(x1+ x2 , y1 y2 , z1+z2 )

⊙ :α⊙ (x , y , z )=(αx , yα , αz )

Sea W=L {(1,3 ,−1 ) (2,9 ,−2 ) , (1,3,1 ) } un subespacio vectorial de V .

Justificando su respuesta, determine lo siguiente:

a. Si (3,9 ,−3 )∈W .b. Una base, β , de W .c. (5 ,243 ,1 )β

d. Sea V=R3 y sean B1={(111) ,(110) ,(100)} y B2={( 10

−1) ,(020) ,(111)} dos bases de V.

e. a) Determine [ v1 ]B1 si v1=(−2

31 ).

f. b) Determine [ v2 ]B2 si [2v1−v2 ]B1

=( 4−12 )

Sean V=R3 y los subconjuntos de V .

S={(abc )/a+b=−2c=0}, H={(abc )/a−b=2c+2}, T={(abc) /a−3b=−c+b }

Determine:

a) Los subconjuntos que son subespacios vectoriales de V .b) El subespacio intersección de los subespacios obtenidos en a), y su dimensión.

Sea A la matriz de los coeficientes del sistema lineal:

2 x+ y−z=ax− y+2 z=bx+2 y−3 z=c

a) Determine el espacio fila, el núcleo y el recorrido de A

b) Si c=2a+b , determine si el vector

u=(abc ) pertenece a Im (A )

Sea V=M 2×2 y sean

H= {A∈M 2×2/A=−AT }W={(0 −1

1 0 ) ,(1 00 2 ) ,(−1 1

0 0 )}

a) Demuestre que H es un subespacio de V

b) Determine una base para H∩W

c) Determine si la matriz identidad pertenece a H+Wd) A partir de la base de H∩W .Determine una base para V.

Sean y B2={V 1 ,V 2 ,V 3 } dos bases del espacio vectorial V=P2 . Sea C la matriz de transición de B2 a B1 :

Determine:

a)[ p( x )]B1 . Si

b) Los vectores de B2

c)

d)

Sea V = P3. Considere el conjunto de todos los subespacios de V tal queH(a) = gen (1 + ax + x2 + x3, 1 + ax + (1 − a)x2+ x3, x + (2a)x2+ 2x3, 1 + (1 + a)x + (1 + a)x2+ 3x3)

a) Determine el valor de a para que dimH = 2b) Halle una base y la dimensi´on de los subespacios H(0) ∩ H(1) y H(0) + H(1)

Sea y sean los subespacios:

, . Determine:

a. Una base para y

b. Una base y la dimensión de

c. Una base y la dimensión de

d. ¿Es un subespacio de ?

Sea y sean los vectores:

y sea . Determine el valor de a tal que:

a.

b. Si , determine la base de W.

Sea A∈M 3 x 4 , tal que:

A=(1 −8 2 −53 11 −1 134 3 1 8 )

a) Encuentre una base y determine la dimensión del espacio columna de A

b) Extienda la base obtenida en el literal anterior y complete una base para ℜ3

Sea el espacio vectorial real V=M 2 x 2 . Sean los subespacios de V :

H1={(a bc d )∈M 2 x2 /c=2a+b∧d=a−b}

H2=gen {(1 −15 1 ) ,(2 2

2 1 )}

H3={(a bc d )∈M 2 x 2/a=3c−8b−5d }

a) Encuentre una base y determine la dimensión de H1∩H2

b) Determine si H1∪H3 es un subespacio de V . Justifique su respuesta

c) ¿(−8 −519 4 ) ∈ H2+H 3

? Justifique su respuesta