PROBLEMAS RESUELTOS DE TECNOLOGÍA AEROESPACIAL (TAE) Tecnología Aeroespacial 2 PROBLEMAS RESUELTOS...

Tecnología Aeroespacial (TAE)

2008 – 2011

PROBLEMAS RESUELTOS DE

TECNOLOGÍA AEROESPACIAL (TAE)

Jose I. Rojas & Xavier Prats

Escola d’Enginyeria de Telecomuniació y Aeroespacial de Castelldefels (EETAC)

Universitat Politècnica de Catalunya (UPC BarcelonaTech)

Tecnología Aeroespacial

2

PROBLEMAS RESUELTOS TAE

JOSE I. ROJAS Y XAVIER PRATS 1.-

a) Presión dinámica y presión total en la garganta del tubo (sección 2):

Presión dinámica en la garganta del tubo es: 25.15312

1 222 Vq Pa

Presión total en la garganta del tubo es: 25.7290622 qpp ST Pa

b) Presión dinámica y presión total en la entrada del tubo (sección 1):

Presión dinámica en la entrada del tubo es: 2452

1 211 Vq Pa

Presión total en la entrada del tubo es: 25.7290621 TT pp Pa

c) Presión estática en la entrada del tubo:

Presión estática en la entrada del tubo es: 25.7266111 qpp TS Pa

2.-

Partiendo de la ecuación de continuidad o de conservación de la masa y suponiendo régimen incompresible se halla la expresión para la velocidad en la garganta:

cteAV 22

212

1 VRVR

2

2

112

R

RVV

Partiendo de la ecuación de Bernoulli y la ecuación anterior se halla la expresión para la presión estática en la garganta:

cteVp 2

2

1 2

222

11 2

1

2

1VpVp

4

2

121

211

22

2112 2

1

2

1

2

1

2

1

R

RVVpVVpp

Que se puede reescribir de dos formas:

4

2

12112 1

2

1

R

RVpp

4

2

1212 2

1

R

RVpp T


3

3.-

a) Ángulo de ataque que proporciona sustentación nula:

02

1 2 LSCVL 02.04.0 LC º2

b) Representación gráfica de la característica de este perfil:

4.-

a) Velocidad de pérdida:

º11S 6.22.04.0 SMAXLC

WSCVL L 2

2

1 422

MAXL

S SC

WV

m/s


4

b) Velocidad para vuelo horizontal con ángulo de ataque nulo:

º0 4.0)0( LC

WSCVL L 2

2

1 1072

)0(

)0(

LSC

WV m/s

c) Si el avión aumenta el ángulo de ataque manteniendo la velocidad: Aumenta el coeficiente de sustentación, lo que se traduce a su vez en un aumento de la sustentación que pasa a ser mayor que el peso del avión (el factor de carga aumenta y pasa a ser mayor que la unidad). Se produce por tanto un desequilibrio de las fuerzas que actúan sobre el avión y la consecuencia de esto es que aparece una aceleración hacia arriba, el avión comienza a subir. d) Ángulo de ataque: Si se plantean las fuerzas que actúan sobre el avión en el eje vertical (suponiendo que los ángulos son pequeños):

maF maWL 135000 maWL N

LSCVL 2

2

1 602.02

2

SV

LCL

º01.12.0

4.0

LC

e) Factor de carga de esta maniobra:

51.111

g

a

W

ma

W

maW

W

Ln [g]

f) Velocidad mínima a la que se podría hacer esa maniobra:

MAXLMIN SCVL 2

2

1135000 5.51MINV m/s

g) Velocidad para vuelo horizontal con ángulo de ataque nulo a 30000 ft:

2556.40 )0000226.01( h 458.030000 kg/m3

º0 4.0)0( LC

WSCVL L 2

2

1 1732

)0(3000030000)0(

LSC

WV m/s

h) Velocidad de pérdida a 30000 ft: Con el aumento de la altitud de vuelo la densidad del aire disminuye con respecto a su valor en SL, con lo que la velocidad de entrada en pérdida aumenta. Esta variación es perjudicial ya que la posibilidad de entrar en pérdida se acentúa.

º11S 6.22.04.0 SMAXLC

WSCVL L 2

2

1 682

30000

MAXL

S SC

WV

m/s


5

5.- a) Ángulo máximo de inclinación: Con el aumento del ángulo de inclinación, la componente de la fuerza de sustentación que compensa al peso disminuye. Para que esa componente siga siendo capaz de compensar el peso, debe aumentar el valor de la sustentación, que sólo se logra aumentando el ángulo de ataque, si se supone que el resto de parámetros no cambia (en particular la superficie alar, la velocidad de vuelo y la densidad del aire). El ángulo máximo de inclinación se produce para el caso en que, bajo las condiciones dadas, tenemos un valor de sustentación máxima, que se corresponde a vuelo con el ángulo de entrada en pérdida. Si en esa condición se aumenta el ángulo de inclinación, como no es posible incrementar la sustentación (dado que no son alcanzables ángulos de ataque mayores porque se produciría la entrada en pérdida), la componente correspondiente es incapaz ya de compensar el peso y no es posible el vuelo en el plano horizontal.

º11S 6.22.04.0 SMAXLC

1834562

1 2 MAXLMAX SCVL N

De las ecuaciones de viraje en el plano horizontal:

WL cos WL MAXMAX cos º62.60MAX

b) Avión a 30 000 pies de altitud: No es posible el vuelo horizontal rectilíneo uniforme a 30 000 pies con una velocidad de vuelo de 120 kt. El ángulo de ataque necesario para lograrlo es mayor que el ángulo de entrada en pérdida.

6.-

Ángulo de ataque para vuelo invertido: Planteando el equilibrio de fuerzas sobre el avión en el eje vertical, necesario para mantener un vuelo en el plano horizontal, y con el criterio de signos convencional:

0WL 90000L N

LSCVL 2

2

1 92.0LC

2.04.0 LC º6.6

7.-

Demostración de la expresión de la eficiencia aerodinámica máxima:

)(2

0

L

LD

L

D

L CEkCC

C

C

C

D

LE

Suponiendo que el coeficiente de resistencia parásita y el parámetro k son constantes, la eficiencia aerodinámica es una función que sólo depende del coeficiente de sustentación. Derivando con respecto a este coeficiente e igualando a cero se puede hallar el máximo de la eficiencia aerodinámica y el coeficiente de sustentación al que se produce (que se llama coeficiente de sustentación óptimo).


6

02

22

0

22

0

2

0

LD

LLD

L

LD

L

L kCC

kCkCC

dC

kCC

Cd

dC

dE

El denominador es siempre mayor que cero porque el producto de k y el coeficiente de sustentación al cuadrado es siempre mayor o igual que cero y el coeficiente de resistencia parasita es siempre mayor que cero. Luego se puede pasar multiplicando al otro lado de la igualdad:

02 22

0 LLD kCkCC k

CDOPT

0LMAXEL CC

0

2

0 2

1)(

DOPTLD

OPTLOPTLLMAX

kCkCC

CCCEE

8.-

a) Representación gráfica de la curva:

b) Valor de la eficiencia aerodinámica máxima:

01.0;01.0 0 DCk 502

1

0

D

MAXkC

E


7

9.- Resistencia mínima del avión en vuelo horizontal: Suponiendo que el peso es constante, el vuelo en el plano horizontal con mínima resistencia aerodinámica está asociado a vuelo con máxima eficiencia aerodinámica. Esto se demuestra a continuación:

WL D

W

D

LE

MINMAXMAX D

W

D

WE

5000

MAXMIN E

WD N

10.-

Resistencia inducida i resistencia parásita del avión: Para volar en condiciones de máximo planeo (o ángulo de descenso mínimo), se debe volar con eficiencia aerodinámica máxima como se demuestra a continuación, partiendo de las ecuaciones del vuelo de descenso y considerando la hipótesis habitual de ángulo de descenso pequeño:

LWW cos

DWW sin EL

D

W

D 1

MAXMIN E

1

A su vez, de forma análoga a lo visto en el problema 9, en el vuelo de descenso con ángulos pequeños, la condición de mínima resistencia aerodinámica está asociada al vuelo con máxima eficiencia aerodinámica:

LWW cos D

W

D

W

D

LE

cos

MINMAX D

WE

5000MAX

MIN E

WD N

Para hallar la resistencia parásita y la inducida partiendo de este dato falta recurrir a las propiedades del vuelo con eficiencia aerodinámica máxima (vistas en clases de Teoría):

k

CDOPT

0LC 0

2· DOPTLMAXEDi CCkC

Lo que significa que, en la condición de vuelo con eficiencia aerodinámica máxima, la resistencia parásita y la inducida son idénticas:

iPMINPi DDDDD 22 25002

MINiP

DDD N

11.-

a) Coeficiente de resistencia aerodinámica para ángulo de ataque crítico:

6.22.04.0 SMAXLSL CC

28.004.001.0 2 SLSD CC


8

b) Coeficiente de resistencia aerodinámica para ángulo de ataque nulo:

4.0º0 0 LL CC

0164.0º004.001.0º0 2 LD CC

c) Valor de la eficiencia aerodinámica máxima:

252

1

0

D

MAXkC

E

d) Valor de los coeficientes de sustentación y resistencia en condiciones de

eficiencia aerodinámica máxima:

5.00 k

CCC D

OPTLMAXEL

02.02 0

2

00

2

0

D

DDOPTLDMAXED C

k

CkCkCCC

e) Ángulo de ataque para vuelo con eficiencia aerodinámica máxima:

OPTOPTLC 2.04.0 º5.02.0

4.0

OPTL

OPT

C

f) Representación gráfica de la curva polar:


9

12.- Velocidad de máximo planeo a nivel del mar: Como se ha demostrado en el problema 10, para volar en condiciones de máximo planeo (o ángulo de descenso mínimo), se debe volar con eficiencia aerodinámica máxima. A su vez, como ha quedado demostrado en el problema 9, el vuelo en el plano horizontal con máxima eficiencia aerodinámica está asociado al vuelo con mínima resistencia. De todo ello resulta que la velocidad para máximo planeo es la velocidad de mínima resistencia:

83.9522

4

0

DOPTL

MIND C

k

S

W

SC

WV

m/s

13.-

Ángulo de ataque para máximo planeo:

)(2

0

E

kCC

C

C

C

D

LE

LD

L

D

L

LLL CCC 0

Suponiendo que el coeficiente de resistencia parásita y el parámetro k son constantes, la eficiencia aerodinámica es una función que depende del coeficiente de sustentación. Se conoce una relación entre éste y el ángulo de ataque, luego se puede encontrar una expresión que proporciona la eficiencia aerodinámica en función únicamente de la variable ángulo de ataque, suponiendo que la ordenada en el origen y la pendiente de la curva característica del perfil son constantes. Derivando la eficiencia aerodinámica con respecto al ángulo de ataque e igualando a cero se halla el ángulo de ataque que proporciona máxima eficiencia aerodinámica y el valor de ésta.

0

222

0

2

00

2

0

L

LD

LLDLL

L

LD

L

L

L

CkCC

kCkCC

d

CCd

dC

kCC

Cd

d

dC

dC

dE

d

dE

El denominador y la pendiente de la curva característica del perfil son siempre mayores que cero. El denominador es siempre mayor que cero porque el producto de k y el coeficiente de sustentación al cuadrado es siempre mayor o igual que cero y el coeficiente de resistencia parásita es siempre mayor que cero. Luego se puede pasar multiplicando al otro lado de la igualdad y la pendiente de la curva característica:

02 2

0 LLD kCkCC k

CDOPT

0LMAXEL CC

k

CCCC D

OPTLLOPTL0

0

0

01L

D

LOPT C

k

C

C

14.-

Ángulo de ataque óptimo para cambio de configuración de flaps: El ángulo de ataque óptimo para cambio de configuración de flaps está relacionado con el punto de intersección de las curvas polares consideradas.


10

La intersección se expresa matemáticamente igualando los coeficientes de sustentación o de resistencia de las dos configuraciones consideradas: Intersección de curvas polares para configuración limpia y flaps deflectados 10º:

º10CC DCLEAND

22 028.006.0111.004.0 LL CC 49.0LC

Paso de configuración limpia a flaps deflectados 10º:

49.0LC 3.03.0 LC º63.03.0

3.0

LC

Paso de flaps deflectados 10º a configuración limpia:

49.0LC 3.04.0 LC º30.03.0

4.0

LC

Intersección de curvas polares para flaps deflectados 10º y flaps deflectados 20º:

º20º10CC DD

22 01.01.0028.006.0 LL CC 49.1LC

Paso de flaps deflectados 10º a flaps deflectados 20º:

49.1LC 3.04.0 LC º63.33.0

4.0

LC


11

Paso de flaps deflectados 10º a configuración limpia:

49.1LC 3.07.0 LC º63.23.0

7.0

LC

15.-

a) Velocidades óptimas de cambio de configuración de flaps: Paso de configuración limpia a flaps deflectados 10º o viceversa:

49.0LC WSCVL L 2

2

1 56.972

LSC

WV

m/s

Paso de flaps deflectados 10º a flaps deflectados 20º o viceversa:

49.1LC WSCVL L 2

2

1 95.552

LSC

WV

m/s

b) Incremento de resistencia si el cambio de 10º a 20º se hace a 130 kt:

WSCVL L 2

2

1 104.12

2

SV

WCL

Resistencia con flaps a 10º:

094.0028.006.0 2 LD CC 4.85252

1 2º10 DSCVD N

Resistencia con flaps a 20º:

112.001.01.0 2 LD CC 2.101442

1 2º20 DSCVD N

8.1618º10º20 DDD N

c) Incremento porcentual:

99.18[%]º10

º10º20

D

DDD %

16.- Demostración para la expresión de sustentación creada por el plano de cola:

a) Correspondencia entre dispositivos y efectos: El dispositivo que produce un aumento de la ordenada en el origen de la curva de sustentación, o lo que es lo mismo, un aumento de la sustentación para ángulo de ataque nulo, es el flap, a través del aumento que origina en la curvatura del perfil. El dispositivo que produce un aumento del ángulo de ataque de entrada en pérdida o ángulo crítico es el slot, gracias al control que ejerce sobre la capa límite en el extradós, a la que comunica energía, retrasando así la entrada en pérdida.


12

b) Velocidad de pérdida para cada tipo de combinación:

WSCVL L 2

2

1 MAXL

S SC

WV

2

Configuración limpia:

2.55.02.0 SMAXLC 7.302

MAXL

S SC

WV

m/s

Configuración con flap desplegado:

5.55.05.0 SMAXLC 8.292

MAXL

S SC

WV

m/s

Configuración con slot habilitado:

7.65.02.0 SMAXLC 0.272

MAXL

S SC

WV

m/s

Configuración con flap desplegado y slot habilitado:

0.75.05.0 SMAXLC 5.262

MAXL

S SC

WV

m/s

17.- Demostración para la expresión de sustentación creada por el plano de cola:

Al contrario de lo que dice el enunciado, se supone que los puntos de aplicación de la sustentación del ala y de la sustentación del plano de cola son los centros de presión del ala y del plano de cola respectivamente. A modo de recordatorio cabe destacar que el centro de presión (cp) es aquel punto en el que el sistema de presiones actuando sobre la superficie en cuestión (ala y plano de cola) se reduce únicamente a una fuerza resultante (el momento resultante del sistema de presiones es nulo en el cp). Las distancias definidas en el enunciado son las correspondientes a los cp y no a los centros aerodinámicos (ca). CAMINO 1: El largo: La condición de vuelo horizontal rectilíneo uniforme impone que la resultante del sistema de fuerzas que actúa sobre el avión es nula. De los equilibrios de fuerza según los tres ejes se utiliza en este caso la ecuación correspondiente al eje perpendicular al plano horizontal, porque es la que proporciona información interesante:

0F WLL

La condición de equilibrio impone que el momento resultante, respecto al centro de gravedad por ejemplo, del sistema de fuerzas que actúa sobre el avión es nulo. De los equilibrios de momentos según los tres ejes se utiliza en este caso la ecuación correspondiente al equilibrio de momentos según el eje perpendicular al plano de simetría del avión, porque es la que proporciona información interesante:

0CGM 0)( PCCMCM ddLLd

Usando la primera ecuación:

0)1( CM

PC

CM

PC

d

dLW

d

dLL

PC

CM

d

dWL


13

CAMINO 2: El corto: En lugar de tomar momentos respecto al centro de gravedad, se evalúan respecto al centro de presiones del ala (que se supone que es el punto de aplicación de la sustentación generada por el ala). La condición de equilibrio impone de nuevo que el momento resultante, respecto al centro de presiones del ala, del sistema de fuerzas que actúa sobre el avión es nulo. De los equilibrios de momentos según los tres ejes se utiliza en este caso la ecuación correspondiente al equilibrio de momentos según el eje perpendicular al plano de simetría del avión (eje yb), porque es la que proporciona información interesante:

0CPM 0 CMPC WdLd PC

CM

d

dWL

18.- STATEMENT OF WORK: Dado el conducto convergente de sección circular, cuya vista en alzado se puede

apreciar en la figura (this could be for instance the sketch of a vectorial nozzle), y las siguientes hipótesis y datos:

- Flujo estacionario y uniforme - No existe disipación de energía por efectos viscosos ni conducción de calor - Velocidad del sonido: 340 m/s - Se puede suponer que el flujo es incompresible1 en todo momento

Se pide:

a) Calcular: velocidad en la sección de salida del conducto área de la sección transversal del conducto en función de x velocidad del flujo en cada sección en función de x velocidad en la sección a 2.5 m de la sección de entrada

b) Sabiendo que las condiciones del flujo a la entrada son las de la atmósfera ISA

a nivel del mar. Calcular: presión total en la sección de entrada del conducto presión estática en la sección de salida del conducto presión estática en función de x


14

presión estática en la sección a 2.5 m de la sección de entrada


15

RESOLUTION: a) Acudiendo a la ecuación de continuidad y sabiendo que la densidad se puede considerar constante:

cteAV cteAV

OOII VAVA 135159

IO

IO V

A

AV m/s

Para conocer el área de la sección transversal del conducto en función de x es necesario conocer el radio en función de x. Las ecuaciones de las rectas correspondientes a los puntos más altos y a los más bajos de las secciones son, respectivamente:

35

2 xy [m] 3

5

2 xy [m]

Cualquiera de las dos proporciona el valor del radio de la sección en función de x:

2)35

2()()( xxRxA [m2]

Acudiendo de nuevo a la ecuación de continuidad para fluido incompresible:

2)35

2(

135

)()(

xV

xA

AxV I

I [m/s] 75.33)3

2

5

5

2(

135)

2

5(

2

V m/s

b) Como el flujo es estacionario, el régimen es incompresible y no existe disipación de energía por efectos viscosos ni conducción de calor (esta última condición es equivalente a considerar que el fluido es ideal), tiene validez la ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles:

TS pcteVp 2

2

1 1014632

1 20 IISIT Vpp Pa

903002

1 20 OITOS Vpp Pa

ITS pxVxp 20 )(

2

1)( 2

0 )(2

1)( xVpxp ITS

4)3

5

2(

8125.11162101463)(

xxpS [Pa]

100765)3

2

5

5

2(

8125.11162101463)

2

5(

4

Sp Pa


16

19.- STATEMENT OF WORK: Un avión provisto de motor turborreactor realiza un vuelo horizontal:

- 10000M kg

- 40S m2

- 3.02.0 LC ; º11S

- 0075.00 DC

- 6.19A

- 85.0e NOTA: Suponer siempre vuelo a nivel del mar, 10g m/s2 y 2 Kt 1 m/s.

a) Calcular: MIND , MINDV , velocidad de máximo alcance y de máxima autonomía

b) Calcular el máximo tiempo en vuelo del avión (máxima autonomía) suponiendo

que el piloto mantiene constantes a lo largo del vuelo (horizontal y rectilíneo) la velocidad y el empuje del motor, con los valores correspondientes para la máxima autonomía

- 3000TOTALFM kg

- 2ec N/hN

c) Calcular el ángulo de descenso mínimo y la distancia máxima que recorrería

(alcance máximo) este avión si apagara el motor y descendiera planeando desde una altura de 1000m

d) Calcular la distancia máxima que el avión puede recorrer (alcance máximo)

suponiendo que el piloto mantiene constantes a lo largo del vuelo (horizontal y rectilíneo) la velocidad y el empuje del motor, con los valores correspondientes al alcance máximo. Los datos son los mismos que para el apartado b)

- 3000TOTALFM kg

- 2ec N/hN

RESOLUTION: a) De la condición de vuelo horizontal: DT 100000 MgWL N

CAMINO 1: El valor de la eficiencia aerodinámica máxima lo podemos calcular porque depende únicamente de datos de los que ya disponemos.

019.01

Ae

k

88.412

1

0

kC

ED

MAX

Nos interesa calcularlo porque en el vuelo horizontal la resistencia mínima se produce cuando existe eficiencia aerodinámica máxima (que a su vez se produce cuando se vuela con coeficiente de sustentación óptimo).

MINMAX D

WE 77.2387

MAXMIN E

WD N

59.802

4

0

D

MIND C

k

S

WV

m/s


17

CAMINO 2: El valor del coeficiente de sustentación óptimo lo podemos calcular porque depende únicamente de datos de los que ya disponemos.

019.01

Ae

k

628.00 k

CC DLOPT

Nos interesa calcularlo porque en el vuelo horizontal la resistencia mínima se produce cuando se vuela con coeficiente de sustentación óptimo.

20 LDD kCCC 015.02 0

2

0 DOPTLDDD CkCCCMIN

59.8022

4

0

OPTLD

MIND SC

W

C

k

S

WV

m/s

DSCVD 2

2

1 77.23872

1 2 MINDDMINDMIN CSVD N

En un turborreactor las velocidades demandadas son las siguientes:

59.80 MINDAUTMAX VV m/s

06.10634 MINDALCMAX VV m/s

b) Por un lado, el consumo de combustible en un turborreactor es proporcional al empuje dado por el motor, y la constante de proporcionalidad es el consumo específico.

Tcc e

Por otro lado, el empuje es igual a la resistencia (por ser vuelo horizontal) y, como se ha visto en el apartado a) y en la teoría del tema 3, para un turborreactor la máxima autonomía se da volando con mínima resistencia. De ahí que el empuje de máxima autonomía en vuelo horizontal sea igual a la resistencia mínima:

54.4775 MINeAUTMAXe

AUTMAX DcTcc N/h

Se vio también en teoría la siguiente relación que debemos integrar:

dt

dWc F FdWcdt FW

F

tdWcdt

00

Integrando a ambos lados y sabiendo que c es constante a lo largo del vuelo (por ser constantes el consumo específico y el empuje según dice el enunciado):

FWct

Si queremos calcular el máximo tiempo de vuelo tendremos que entrar en esta ecuación con el peso total de combustible porque se habrá consumido todo:

38.6c

Wt TOTALF

AUTMAX h

c) El ángulo de descenso mínimo se produce para el vuelo con eficiencia aerodinámica máxima y vale justamente su inverso:

0239.01

MAX

MIN E rad º368.1


18

41880 hEh

d MAXMIN

MAX m

d) Nuevamente constamos con la siguiente ecuación:

Tcc e

Por otro lado, el empuje es igual a la resistencia (por ser vuelo horizontal) y, como se ha visto en la teoría del tema 3, toma la expresión siguiente:

SV

WkSCVSkCVSCVSCVDT DLDD 2

2

0222

022 2

2

1

2

1

2

1

2

1

Se puede resolver la expresión anterior entrando directamente con la velocidad de máximo alcance para obtener el empuje de máximo alcance. Si se hace paso a paso, primero se calcula el coeficiente de sustentación para mantener el vuelo horizontal con la velocidad de máximo alcance:

LSCVWL 2

2

1 363.02

2

SV

WC

ALCMAXALC

MAXL

Luego se calcula el correspondiente coeficiente de resistencia y con él el empuje:

2

0 LDD kCCC 01.02

0 ALCMAXLD

ALCMAXD CkCC

9.27552

1 2 ALCMAXD

ALCMAX

ALCMAX

ALCMAX CSVDT N

8.5511ALCMAXe

ALCMAX Tcc N/h


c

V

dtdWdt

dx

dW

dx

FF

FdWc

Vdx FW

F

xdW

c

Vdx

00

Integrando a ambos lados y sabiendo que c y V son constantes a lo largo del vuelo (por ser constantes el consumo específico, el empuje y la velocidad según dice el enunciado):

FWc

Vx

Si queremos calcular el máximo alcance tendremos que entrar en esta ecuación con el peso total de combustible porque se habrá consumido todo, y con los valores de c y V que proporcionan máximo alcance:

2078 TOTALF

ALCMAX

ALCMAX

ALCMAX W

c

Vx km


19

20.- STATEMENT OF WORK: Un avión provisto de motor alternativo y hélice realiza un vuelo horizontal:

- 13000M kg

- 10.59S m2

- 25.00 LC ; 28.0LC ; º12S

- 29.0CRUCEROec Kg-f/hkW

- 022.00 DC

- 035.0k

- 85.0P

- 81.25b m

NOTA: Suponer siempre vuelo a nivel del mar, 10g m/s2 y 2 Kt 1 m/s.

a) Calcular el coeficiente de sustentación y el coeficiente de resistencia para tener

eficiencia aerodinámica máxima, el valor de EMAX y el ángulo de ataque al que debe volar el piloto para conseguir EMAX

b) Calcular: MIND , MINDV , velocidad de máximo alcance y de máxima autonomía

c) Calcular la potencia necesaria para el vuelo de máximo alcance y la potencia

que debe proporcionar el motor en este caso d) Calcular la distancia máxima que el avión puede recorrer (alcance máximo)

suponiendo que el piloto mantiene constantes a lo largo del vuelo (horizontal y rectilíneo) la velocidad y la potencia del motor (o potencia al eje/árbol-motor), con los valores correspondientes al alcance máximo

- 4000TOTALFM kg

- 29.0CRUCEROec kg-f/hkW

RESOLUTION: a)

793.00 k

CC D

OPTL

044.02 0

2

0 DOPTLDMAXED CkCCC

182

1

0

MAXED

OPTL

D

MAX C

C

kCE

LLL CCC 0 º94.10

L

LOPTLOPT C

CC

b)

3.6722

4

0

OPTLD

MIND SC

W

C

k

S

WV

m/s

CAMINO 1:

MINMAX D

WE 22.7222

MAXMIN E

WD N

CAMINO 2:

72142

1

2

1 22 MAXEDMINDDDMINDMIN CSVCSVD

MIN N


20

En un avión provisto de motor alternativo y hélice las velocidades demandadas son las siguientes:

14.513

14

MINDAUTMAX VV m/s

3.67 MINDALCMAX VV m/s

c)

DVPR 5.485 MINDMINALCMAXR VDP kW

Por ser vuelo horizontal, la potencia requerida es igual a la disponible:

SPAR PPP 2.571P

AS

PP

kW

d) Contamos con la siguiente ecuación por tratarse de un avión con motor alternativo:

Pcc e

2.571ALCMAXSP kW

64.165ALCMAXSe

ALCMAX Pcc kg-f/h

El kilogramo-fuerza (kg-f) es una unidad de medida de fuerzas (como el Newton N) empleada habitualmente en el sector de la ingeniería (especialmente en el mundo anglosajón). Su conversión a unidades N es la siguiente: 1 kg-f g N

En nuestro caso empleamos 10g , luego queda:

1 kg-f 10 N 4.1656ALCMAXc N/h


c

V

dtdWdt

dx

dW

dx

FF

FdWc

Vdx

FW

F

xdW

c

Vdx

00

Integrando a ambos lados y sabiendo que c y V son constantes a lo largo del vuelo (por ser constantes el consumo específico, la potencia y la velocidad según el enunciado):

FWc

Vx

Si queremos calcular el máximo alcance tendremos que entrar en esta ecuación con el peso total de combustible porque se habrá consumido todo, y con los valores de c y V que proporcionan máximo alcance:

58511000

1

1

360040000

/4.1656

/3.67

m

km

h

sN

hN

smW

c

Vx F

ALCMAX

ALCMAX

ALCMAX km


21

21.- STATEMENT OF WORK:

Se pretende calcular las actuaciones de un avión provisto de un motor alternativo y hélice. El avión realiza inicialmente un vuelo horizontal rectilíneo uniforme y con velocidad de viento nula. Suponer, mientras no se diga lo contrario, que la tracción que proporciona el motor (T) es constante y que las alas se mantienen a nivel (vuelo sin balance).

- 950M kg

- 7.14S m2

- 30.1MAXLC

- 1200T N

- 030.00 DC

- 073.0k

- 225.10 kg/m3

- 10.0ec kg/kW·h

NOTA: Suponer vuelo a nivel del mar, 10g m/s2 y 2 Kt 1 m/s.

Suponer que los ángulos son muy pequeños.

a) Calcular, en el vuelo horizontal descrito, la velocidad (o velocidades) y el coeficiente (o coeficientes) de sustentación con los que sería posible mantener el vuelo

b) Ahora el piloto ya no desea mantener el vuelo horizontal y es libre de volar en

el plano vertical. Calcular, en ausencia de esa ligadura, el valor del ángulo

(ángulo de asiento de velocidad, que es el que forma la velocidad con el plano horizontal) y la velocidad vertical en dos casos:

- primero, el piloto vuela con velocidad 180 km/h - segundo, el piloto vuela con velocidad 250 km/h

c) Calcular el ángulo de ascenso máximo y la velocidad de vuelo a la que se produce

d) La tracción máxima que es capaz de proporcionar el motor alternativo sigue

esta ley de variación con la altitud: hTMAX 0378.01400 (con la altitud en

pies). Calcular el techo operacional de la aeronave

RESOLUTION: a)

De las ecuaciones del vuelo horizontal:

WSCVL L 2

2

1 SV

WCL 2

2

))2

((2

1)(

2

1

2

1 220

220

22

SV

WkCSVkCCSVSCVDT DLDD

(1)

Sustituyendo los valores de las variables conocidas en (1):

2

2 189.73172227.01200V

V

078.271008444.4444 24 VV Resolviendo esta ecuación de cuarto orden se obtienen los siguientes valores:

01.272 V m/s 446.12 LC > MAXLC

95.601 V m/s 284.01 LC


22

Sólo sería posible mantener el vuelo a la velocidad de segundo régimen porque, en el caso de intentar estabilizar el avión en vuelo horizontal a la velocidad de primer régimen, antes de alcanzar esa velocidad se produciría la entrada en pérdida.

b) Las ecuaciones de vuelo en un plano vertical, una vez hacemos efectiva la hipótesis de ángulos pequeños, son las siguientes:

sinWDT WDT W

DT (2)

cosWL WL SV

WCL 2

2

(3)

))2

((2

1)(

2

1 2

2022

02

SV

WkCSVkCCSVD DLD

(4)

CASO 1: velocidad 180 km/h:

Conociendo la velocidad se puede calcular el coeficiente de sustentación en (3) y con éste el de resistencia inducida. Hecho esto se puede obtener mediante (4) la resistencia aerodinámica y entrando en (2) con ella se obtiene el ángulo de asiento de velocidad:

50V m/s 422.0LC 0244.0 rad

043.0DC 22.1/ CR m/s

97.967D N CASO 2: velocidad 250 km/h:

Operando de manera análoga al caso anterior se obtiene:

70V m/s 22.0LC 0268.0 rad

033.0DC 86.1/ DR m/s

21.1454D N

c) De la ecuación del vuelo en el plano vertical se deduce que, si se pretende maximizar el ángulo de asiento de velocidad (equivalente a maximizar el sinus de ese ángulo, dado que la función sinus es creciente con el ángulo), se debe volar con la mínima resistencia aerodinámica, teniendo en cuenta que según el enunciado la tracción y el peso son constantes:

W

DT sin

W

DT

W

DT MINMAXMAX

)()(sin

Luego la velocidad de vuelo para ángulo de ascenso máximo es la velocidad de mínima resistencia aerodinámica que se obtiene con la siguiente expresión bajo la hipótesis de ángulos de vuelo pequeños:

WL 57.4022

4

0

DOPTL

MINDMAX C

k

S

W

SC

WVV

m/s

Operando como en el apartado b), una vez conocida esta velocidad se puede calcular el resto de variables:

35.889MIND N 0327.0MAX rad


23

d) El techo operacional es la altitud máxima a la que una aeronave puede mantener el vuelo horizontal rectilíneo uniforme. Dicha altitud es, por definición, aquélla en la que el empuje máximo que puede proporcionar el motor se iguala a la resistencia aerodinámica mínima en el vuelo horizontal rectilíneo. A mayor altitud que el techo, el empuje máximo del motor no es capaz de compensar la resistencia aerodinámica mínima y por tanto no se puede mantener el vuelo horizontal.

35.889)()(2

1 20

20

2 OPTLD

OPTLOPTLDMINDMINMAX kCC

C

WkCCSVDT N

Aplicando la condición que se acaba de exponer al caso que nos ocupa:

35.8890378.01400)( hhTMAX 13500h ft

8.4114h m


24

22.- STATEMENT OF WORK:

Un avión con una masa de 4000 kg y una superficie alar de 20 m2 tiene un ala con las siguientes configuraciones de flaps:

Configuración limpia (0º):

- 1.01.0º0

FLAPSLC

- º10S

- 01.0º0

DFLAPSL CC

Configuración de flaps a 10º:

- 1.01º10

FLAPSLC

- º10S

- 135.02º10

DFLAPSL CC

a) Calcular cuánto vale la velocidad de pérdida para cada configuración en vuelo

horizontal y a altitud 7000 ft (donde la densidad vale aproximadamente 1 kg/m3) b) Calcular cuánto vale la velocidad óptima de cambio de flaps para pasar de flaps

a 10º a configuración limpia y a qué ángulo de ataque corresponde RESOLUTION: a)

1.1º0

FLAPSMAXLC 3.602

º07000

º0

FLAPSMAXL

FLAPSS CS

WV

m/s

0.2º10

FLAPSMAXLC 7.442

º107000

º10

FLAPSMAXL

FLAPSS CS

WV

m/s

b) El punto óptimo de cambio de configuración de flaps se encuentra por intersección de las curvas polares correspondientes a cada configuración:

º10º0FLAPSDFLAPSD CC

22 5.0135.001.0 LL CC

5.0LC 892

7000

LSC

WV

m/s

º51.0

1

LC


25

23.- STATEMENT OF WORK: Suppose the following hypotheses for the motion of a fluid inside a given duct with

circular cross-sectional shape (see figure below, which could be for instance the sketch of a vectorial nozzle):

- The problem is stationary and uniform - The fluid is ideal - The velocity of sound is: 340 m/s - The fluid can be considered uncompressible1 at any time

a) Obtain the flow velocity in the outlet as a function of the velocity at the inlet and also for a particular case in which the inlet velocity is 30 m/s

b) Obtain the flow velocity for a generic section as a function of coordinate x and

also for a particular case in which x is 0.4 m

c) Obtain the static pressure for a generic section as a function of coordinate x and also for a particular case in which x is 0.4 m

d) The pilot adjusts the outlet section radius and sets a new value of 0.15 m. How

much bigger is the flow velocity at the outlet in the first case as compared to the flow velocity for this wider outlet?

RESOLUTION: a) Using the continuity equation for uncompressible fluids:

cteAV cteAV

2211 VAVA 112

2

12

12 4

1.0

2.0VVV

A

AV

[m/s]

301 V m/s 1204 12 VV m/s

1 Flow velocities inside aircraft and rocket nozzles are in the supersonic regime, thus in reality air cannot be considered uncompressible in these cases.


26

b) To find a formula for the value of the cross-sectional area as a function of coordinate x, it is necessary to know the radius of the duct as a function of coordinate x too. This former equation is nothing else but the equation of the straight line that joins the points (0, 0.2) and (0.8, 0.1):

xxR80.0

10.02.0)( [m]

So the value of the cross-sectional area as a function of coordinate x:

2)80.0

10.02.0()()( xxRxA [m2]

Using again the continuity equation for uncompressible fluids:

)()(11 xVxAVA 12

2

11

)8.0

1.02.0(

2.0

)()( V

xV

xA

AxV

[m/s]

112

2

12

2

78.1)15.0(

2.0

)4.08.0

1.02.0(

2.0)4.0( VVVxV

[m/s]

c) To obtain the static pressure distribution for the flow through the duct we use Bernoulli’s equation. This equation is valid for this problem due to the assumed hypotheses:

2211 )(

2

1)(

2

1xVxpVp 22

11 )(2

1)( xVVpxp

4

32

11

2

12

22

11

)8.0

1.02.0(

106.11

2

1

)8.0

1.02.0(

2.0

2

1)(

xVpV

xVpxp

d) We already now that for the first case (let’s call it case A), the one in which the outlet is 0.1 m wide, the flow velocity at the outlet is:

12 4VV A

In the second case (let’s call it case B), the one in which the outlet is 0.15 m wide, the flow velocity at the outlet is:

BVAVA 2211 112

2

12

12 78.1

15.0

2.0VVV

A

AV

BB

[m/s] The relationship between flow velocity at the outlet in case A and B is as follows: 25.2

78.1

4

1

1

2

2 V

V

V

V

B

A

Flow velocity in the first case is then 2.25 times the flow velocity in the second case (or we can say also that it the flow velocity in the first case is 225% of the flow velocity in the second case).


27

24.- STATEMENT OF WORK: Suppose the following hypotheses for the study of the performances of an airfoil

inside a wind tunnel: - The problem is stationary and uniform - The fluid is ideal - The fluid can be considered uncompressible at any time

a) Which is the angle of attack (AOA), the chord, the camber and the thickness of

the airfoil in this test, considering that the upper surface is a convex parabola?

b) Obtain the flow velocity for a generic section of the wind tunnel, over the upper surface and below the lower surface, as a function of coordinate x

c) Obtain the static pressure for a generic section of the wind tunnel, over the

upper surface and below the lower surface, as a function of coordinate x

RESOLUTION: a) The AOA is null, the chord is 2 m long, the (maximum) camber is 0.1 m (5%) and the (maximum) thickness is 0.2 m (10%). Note that the airfoil will generate lift although the AOA is null due to its camber being non-zero.

b) The lower surface is coincident with the chord and the x axis. Due to the lower surface being flat, the cross-sectional area of the virtual duct for the flow passing below the lower surface does not vary. As a consequence, neither the flow velocity nor the static pressure of that part of the flow is altered by the airfoil (according to continuity and Bernoulli equations). Summarizing, the flow velocity below the lower surface does not change with x, it is constant and equal to V1. For the flow passing over the upper surface the velocity and static pressure will be altered since the cross-sectional area of the virtual duct changes over the upper surface. The curve describing the upper surface is:

22.02.0)( xxzE [m]

Say w is the width of the wind tunnel and h the height of the virtual duct (semi-height of the wind tunnel). The value of the cross-sectional area as a function of coordinate x for this particular wind tunnel (in which both the width and the semi-height are 1 m) is:

)()( xzhwxA E [m2] )(1)( xzxA E [m2]


28

Using the continuity equation for uncompressible fluids:

cteAV cteAV

)()(11 xVxAVA 2

111

1

2.08.0)(1)()(

x

V

xz

VV

xA

AxV

E

[m/s]

c) According to the flat shape of the lower surface, the static pressure does not change with x, it is constant and equal to p1.

To obtain the static pressure distribution for the flow passing over the upper surface we need to use Bernoulli’s equation. This equation is valid for this problem due to the assumed hypotheses:

2211 )(

2

1)(

2

1xVxpVp 22

11 )(2

1)( xVVpxp

22

211

2

212

112.08.0

11

2

1

2.08.02

1)(

xVp

x

VVpxp

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