Problemas Resueltos de Interes Compuesto

PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERS COMPUESTO

1. Cul es la tasa de inters por periodo de:

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

c) 2% trimestral?

d) 15% anual?

SOLUCIONES

SOLUCION

Para conocer la tasa de inters por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversin:

a) 30% anual capitalizable mensualmente

Tasa anual = 30%

Frecuencia de conversin = 12

025.012

30.0

conversin de frecuencia

anual inters de tasai

i = 2.50% mensual

b) 16% anual capitalizable trimestralmente

Tasa anual = 16%


04.04

16.0



i = 4% trimestral

c) 2% trimestral

periodo = trimestre

Tasa anual = 2% x 4 = 8%


02.04

08.0



i = 2% trimestral

d) 15% anual

Tasa anual = 15%


15.01

15.0



i = 15% anual

2. Cul es la frecuencia de conversin de los ejemplos del problema anterior?

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

SOLUCION

Periodo = mes


b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

SOLUCION

Periodo = trimestre


c) 2% trimestral?

SOLUCION

Periodo = trimestre


4. Determine el inters que gana en un ao un depsito de $1 000 en:

a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual simple.

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.

d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.

SOLUCION

DATOS

I ?

Plazo = 1 ao

C = $1,000.00

a) i = 20% anual simple

La frmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el inters simple:

Como el plazo es 1 ao, t = 1.

200.00I

20)(1)(1,000)(0.

I

CitI

I = $200.00

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.

SOLUCION

Se utiliza la frmula de inters simple, con

I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:

200.00I

)20)(1(1,000)(0.

I

CitI

I = $200.00

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:

j = 20%

m =2

n = (1) (2) = 2 semestres

semestralsemestralm

ji 10.0%10

2

%20

00.210,1

21.1000,1

10.1000,1

10.01000,1

1000,1

2

2

M

M

M

M

iMn

00.000,100.210,1

I

CMI

I = $210.00

d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:

j = 20%

m = 4

n = (1) (4) = 4 trimestres

trimestraltrimestralm

ji 05.0%5

4

%20

51.215,1

21550625.1000,1

05.1000,1

05.01000,1

1000,1

4

4

M

M

M

M

iMn

00.000,151.215,1

I

CMI

I = $215.51

5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga

15% anual convertible mensualmente:

a) Al cabo de un ao

b) Al cabo de dos aos

SOLUCION

Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto:

DATOS

C = $50 000.00

j = 15%

m = 12

La tasa de inters compuesto para cada inciso es:

mensualmensualm

ji _0125.0_%25.1

12

%15

El nmero de periodos n depende del plazo, y se obtiene multiplicando el nmero de aos por la

frecuencia de conversin.

a) Al cabo de un ao

n = 1(12) = 12 meses

160754518.1000,50

025.1000,50

.0125.01000,50

1

12

12

M

M

M

iCMn

M = $58,037.73

b) Al cabo de dos aos

n = 2(12) = 24 meses

34735105.1000,50

0125.1000,50

.0125.01000,50

1

12

24

M

M

M

iCMn

M = $67,367.55

9. Cunto dinero debe pagarse a un banco que hizo un prstamo de $300 000 si se reembolsa al ao

capital e inters y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente?

DATOS

C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)

Tasa nominal anual = 0.24 = 24%

Plazo = 1 ao

Periodo de capitalizacin = trimestre

Frecuencia de conversin = 4 (un ao tiene 4 trimestres)

M = ?

SOLUCION

trimestral 6%


anual nominal tasa

4

24.0i

i

trimestres

aos en plazoconversin de frecuencia

414

n

n

26247696.1000,300

06.1000,300

06.01000,300

1

4

4

M

M

M

iCMn

M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)

26. Cunto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en

un plazo de 2 aos, y la tasa de inters es de 9% convertible mensualmente?

DATOS

C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)

M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)

Plazo = 2 aos

j = 9%

m = 12

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.

n = 2(12) = 24 meses

C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular

$250 000.00 en dos aos)

0075.0%75.0

12

%9

i

m

ji

957.85 208

0.8358314250000

0075.1250000

0075.01250000

1

24

24

C

C

C

C

iMCn

27. Qu cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de prstamo si ha firmado un

documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene

vencimiento en 18 meses?

DATOS

C = ? (La cantidad que recibe en prstamo es un valor actual)

M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)

Plazo = 18 meses

j = 18%

m = 4

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.

n = (18/12)(4) = 6 trimestres

C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en prstamo

30. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagar que incluye intereses a razn de

3% trimestral, y que ser pagadero al cabo de un ao. Qu cantidad puede obtenerse por l si se

descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de inters de 12% convertible mensualmente?

DATOS

M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagar)

i = 3% trimestral (Tasa de inters por periodo de la deuda)

plazo = 1 ao (Tiempo en que se pagar la deuda)

plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se document la deuda)

45.0%50.4

4

%18

i

m

ji

132.229881 499

0.76789574000 650

045.1000 650

045.01000 650

1

6

6

C

C

C

C

iMCn

plazo = 12 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)

j = 12%

m = 12

SOLUCION

Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses despus de que se firm

el pagar.

01.0%

12

%12

i

m

ji

n = 8 meses

C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se

descuenta)

34. Por la venta de una casa, una compaa inmobiliaria recibe un pagar por $140 000 con

vencimiento a 5 aos que devenga intereses a razn de 10% anual convertible semestralmente. Qu

cantidad recibir la empresa si al cabo de un ao descuenta el documento en su banco y ste le

cobra 16% de inters anual?

SOLUCION

El pagar produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la fecha de su

vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los siguientes:

DATOS

C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)

Plazo = 5 aos (tiempo en que vencer el pagar)

j = 10%

m = 2

M = ? (valor nominal del pagar)

2446174.1611

20.92348322000 50

01.01000 50

1

8

C

C

C

iMCn

M = $228 045.25 (valor del pagar cuando venza)

Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento que aplica el banco:

M = 228 045.25

Plazo = 4 aos

j = 16%

m = 1

C = ?

C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un ao

despus)

36. En cunto tiempo se duplica un capital si la tasa de inters efectiva anual es de:

a) 10%?

b) 20%?

DATOS

Plazo = ?

C = C (el capital puede ser cualquier cantidad)

M = 2C (el monto ser el doble del capital)

De la frmula del monto a inters compuesto se despeja el plazo (n):

a) 10%?

2477.228045

628894627.1140000

05.01140000

1

10

M

M

M

iCMn

3615.125947

552291097.025.228045

16.0125.2280454

C

C

C

272540897.7041392685.0

301029995.0

10.1log

2log

10.1log2log

10.1log2log

10.12

10.12

10.012

1

n

n

n

C

C

CC

iCM

n

n

n

n

n

a) 20%?

39. Una inversin duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de inters. En cunto

tiempo lo triplicar?

SOLUCION

La inversin inicial puede ser cualquier cantidad, la condicin es que 18 meses despus ser el doble

de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de inters con la que se duplica:

C = C

M = 2C

n = 18 meses

n = ?

aplicando la frmula de la tasa de inters compuesto, que se despeja de la frmula del monto a

inters compuesto:

Despejando, tenemos:

Sustituyendo los datos, se tiene:

Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos son:

n = 7.272540897 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al

10% efectivo anual

8018.3079181246.0

301029995.0

20.1log

2log

20.1log2log

20.1log2log

20.12

20.12

20.012

1

n

n

n

C

C

CC

iCM

n

n

n

n

n

n = 3.8018 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 20%

efectivo anual

ni1CM

1C

Mi n

60.03925922i

1039259226.112

12

1

18

18

i

C

Ci

C

Mi n

A esta tasa se duplica el capital

C = C

M = 3C

i = 3.9259226% mensual

n = ?

Ahora, de la frmula del monto a inters compuesto se despeja otra para calcular el plazo:

meses 28.53n

i1log

C

Mlog

n

52932504.28n

80.01672388

40.47712125

61.03925922log

3logn

60.039259221log

C

3Clog

n

40. Se realiza una inversin de $50 000 en un banco el da 1 de febrero. En qu fecha valdr

$55 000 si la tasa de inters es de 15% compuesta mensualmente?

SOLUCION

La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la fecha inicial. Los $55 000 es el

monto (M)(o valor futuro de la inversin) y se busca la fecha final. Para encontrarla, primero

calculamos el plazo de la inversin, determinando el valor de n a inters compuesto:

j = 15%

m = 12

exacto) tiempo ndo(considera septiembre de 22 final fecha

exacto) (tiempo das 233 365 x 7.67/12 n

)aproximado tiempo ndo(considera septiembre de 21 final fecha

das 20 meses 7n

meses 7.67n

i1log

C

Mlog

n

672370808.7n

18870.00539503

50.04139268

1.0125log

1.1logn

0.01251log

50000

55000log

n

La inversin se triplica en 28.53 meses

0.0125i

12

15%

m

ji

42. A qu tasa de inters un capital quintuplica su valor en 10 aos?

SOLUCION

El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5 veces C, es decir, 5C.

DATOS

C = C

M = 5C

Plazo = 10 aos

m = 1 (la frecuencia de conversin es 1, pues el plazo se expresa en aos)

n = 10 aos

De la frmula del monto a inters compuesto se despeja la tasa de inters compuesto, se sustituyen

los datos, y se resuelve:

43. Qu tasa de inters nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha incrementado a $50

000 en 3 aos, si dicho inters se capitaliza:

a) mensualmente?

b) trimestralmente?

SOLUCION

Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de inters por periodo (i), con la frmula

que se despeja de la frmula del monto a inters compuesto:

DATOS

j = ?

C = $20 000

M = $50 000

Plazo = 3 aos

a) mensualmente?

La frecuencia de conversin es:

m = 12 Entonces:

n = 3 aos x 12 = 36 meses

anual %17.4618943i

174618943.01174618943.1

1515

1

1010

i

iC

Ci

C

Mi n

periodo) por (tasa mensual 2.578%i

025779201.01025779201.1

15.2120000

50000

1

3636

i

ii

C

Mi n

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

J = 30.94% anual convertible mensualmente

b) trimestralmente?

La frecuencia de conversin es:

m = 4 Entonces:

n = 3 aos x 4 = 12 trimestres

periodo) por (tasa trimestral 7.9348438%i

079348438.01079348438.1

15.2120000

50000

1

1212

i

ii

C

Mi n


44. Pablo Prez deposit $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 aos y 9 meses. Actualmente

tiene $208 862, y desea saber cul es la tasa de inters que ha ganado si la capitalizacin es

trimestral.

DATOS

C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)

M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depsito)

plazo = 3 aos y 9 meses

j = ?

m = 4 (la frecuencia de conversin es trimestral, o sea, 4 por ao)

309350417.0

j

j

jmi

m

ji

1210.02577920

mentetrimestral econvertibl anual 31.74%j

317393752.0480.07934843j

jmi

m

ji

SOLUCION

Se busca la tasa de inters por periodo y luego la tasa nominal:

n = 15 trimestres (3 aos x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 trimestres

periodo) por (tasa trimestral 5.03%i

050325627.01050325627.1

108862.21100000

208862

1

1515

i

ii

C

Mi n


mentetrimestral econvertibl anual

201302508.04050325627.0

20.13% i

j

jmi

m

ji

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