Investigacin Operativa Tomo ICaptulo I

OBJETIVOS DEL CAPTULO I

Al finalizar el captulo el alumno estar en capacidad de:

1.-Tener una perspectiva de lo que es la Investigacin Operativa2.-Mejorar la toma de decisiones gerenciales3.-Entender el concepto de modelo4.-Entender los cinco pasos ms importantes en I.O..a.- Definicin de un problema.b.- Construccin de un modelo.c.- Solucin del modelo.d.- Validacin del modeloe.- Implementacin.5.-Ver como se construye un modelo en dos aplicaciones gerenciales en programacin lineal y anlisis de decisiones.

LA INVESTIGACIN OPERATIVA

INTRODUCCIN

La Investigacin Operativa es una tcnica o, mejor, conjunto de tcnicas que han surgido para coordinar la teora con la prctica, para ayudar a resolver los problemas cada vez ms complicados que surgen en la empresa.

Muchos de los avances de la Investigacin Operativa se han debido a que han encontrado nuevas tcnicas matemticas, el desarrollo de la Computacion, y, sobre todo mtodos ms abreviados de clculo numrico, que ha hecho factibles las soluciones a problemas que hace unos aos se consideraban fuera de nuestras posibilidades. Un caso, quiz el que ms se ha popularizado, es el de la PROGRAMACIN LINEAL.

Una de las razones principales que hacen indispensable esta ciencia es que tiene que resolver cuestiones que se refieren a la empresa como totalidad.

La Investigacin Operativa es una ciencia considerada en formacin, de ah que no existe un concepto generalizado, y quiz por ello, estn sugiriendo muchas inquietudes, pues, se puede plantear y resolver problemas en una amplia gama de actividades, originando frecuentemente ms y nuevas posibilidades de accin prctica en esta materia.

Estas caractersticas a la vez que va confirmando la utilidad de la Investigacin Operativa, derivan interesantes oportunidades para crear modelos y aplicaciones muy subjetivas y de esta forma facilitar la "TOMA DE DECISIONES" en empresas y organizaciones.

La Investigacin Operativa, rene un conjunto de ciencias como la Fsica, Biologa, Psicologa, Sociologa, Economa y Matemtica, que identificadas a un problema concreto contribuyen a encontrar la relacin CAUSA-EFECTO, de un fenmeno y, en base a mtodos matemticos, estadsticos y criterios cualitativos procura una definicin del problema y una solucin prctica.

Mediante la aplicacin de modelos se puede reunir el conjunto de variables de carcter controlable y otras no controlables, integrndolas en un contexto general y predeterminando su posible comportamiento.

Regularmente la Investigacin Operativa utiliza mtodos de aproximaciones sucesivas, es decir, generando alternativas y opciones para la decisin final, tratando obviamente de MINIMIZAR los riesgos inherentes a cada posicin.

ORIGEN Y EVOLUCIN DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA

La Investigacin Operativa es tan antigua como la conducta humana, pues el avance cientfico es consecuencia de la acumulacin de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas.

A inicios de la segunda guerra mundial, los mandos militares, solicitaron ayuda de numerosos cientficos para la resolucin de problemas estratgicos y tcticos.

Los cientficos procedentes de diferentes disciplinas se organizaron en equipos dirigidos inicialmente a buscar la utilizacin ptima de los recursos. Estos fueron los primeros equipos de Investigacin Operativa.

Surgieron tres elementos bsicos para definir una operacin de ataque militar.

ESTRATEGIA:(Precisin de un objetivo)LOGISTICA:(Recursos disponibles)TACTICA :(Forma, habilidad para cumplir el objetivo con los recursos)

Se realizaron muchos ensayos para comprobar el razonamiento cientfico, intensas investigaciones, procesos de observacin estadstica, probabilidades, llegando a precisar una nueva forma de apreciacin sobre los problemas.

Al pasar el tiempo surgieron nuevos modelos, amplindose la iniciativa a la empresa, se la consideraba como un todo, integrndola en muchos aspectos: produccin, tecnologa, administracin, tareas, personal, etc., es decir, dando importancia a todos aquellos factores que directa o indirectamente tienen que ver con la permanencia del producto y de la empresa.

Los casos resueltos a travs de los modelos de la Investigacin Operativa realmente son numerosos y con sentido de practicidad y eficiencia. Problemas planteados y resueltos mediante programacin lineal, programacin dinmica, problemas de colas, Problemas de transporte, mtodos GANT PERT, entre los ms importantes, han despertado varias ideas de aplicacin.

Hoy podra decirse, que toda empresa de dimensin grande o mediana aplican los mtodos de la Investigacin Operativa, pues, contribuye eficazmente a optimizar una gran parte de los objetivos.

LAS FASES DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA

La Investigacin Operativa comienza describiendo algn sistema mediante un modelo que luego se lo ampla con el propsito de determinar la mejor forma de operacin del sistema. Las principales fases de un estudio de Investigacin de Operaciones son las siguientes:

a) Formulacin del problema.b) Construccin de un modelo representativo del sistema de estudio.c) Bsqueda de una solucin a partir del modelo.d) Prueba del modelo y de la solucin deducida a partir de ste.e) Establecimiento de controles sobre la solucin.f) Poner la solucin a trabajar: EJECUCION.

FORMULACIN DEL PROBLEMA

En la formulacin de un problema deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de accin, las restricciones y los efectos del sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solucin correcta a un problema incorrectamente planteado.

CONSTRUCCIN DE UN MODELO

El siguiente paso luego de la formulacin de problema, es la construccin del modelo, las caractersticas esenciales de los modelos permiten describirlos de diferentes maneras. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propsitos, temas o grado de abstraccin. Los tipos bsicos de modelos son los siguientes:

1.- Modelos Icnicos

Un modelo icnico es la presentacin fsica de un objeto o de una situacin. Esta representacin puede darse en dos dimensiones como sucede con los planos, los mapas o la fotografa o, tambin, en tres dimensiones como sucede con las maquetas.

2.- Modelos Analgicos

Son representaciones que por analoga muestran caractersticas de una determinada situacin. Se los utiliza, especialmente, para representar situaciones dinmicas. Son ejemplos de estos modelos las curvas de demanda, las curvas de distribucin de frecuencia y los diagramas de flujo.

3.- Modelos Simblicos o Matemticos

Son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma de cifras y smbolos matemticos. Estos son los modelos especialmente utilizados por la Investigacin Operativa y un tipo de modelo simblico es una ecuacin.

DEDUCCIN DE LA SOLUCIN

Una vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solucin al problema a partir del modelo. Este paso se lo desarrolla determinando la solucin ptima del modelo y luego aplicando esta solucin al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemticas del modelo impiden obtener la solucin ptima, en estos casos, una BUENA respuesta es suficiente. En otros casos, la solucin ptima del modelo es una aproximacin de la situacin real, sin embargo, un modelo bien formulado y probado aproxima su solucin ptima verdadera.

PRUEBA DEL MODELO Y DE LA SOLUCIN

Despus de obtener una solucin del modelo, el modelo y la solucin deben probarse. Esto puede hacerse en dos pasos:

1.-Usando datos pasados, haciendo una comparacin entre el rendimiento real del sistema y el rendimiento indicado por el modelo.2.- Permite operar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento con aquel del modelo.

ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES

Una vez que un modelo y su solucin se consideran aceptables, deben colocarse controles sobre la solucin con el objeto de detectar cualquier cambio significativo de las condiciones en las cuales se basa el modelo; obviamente, si cambian tanto que el modelo ya no es una representacin precisa del sistema, el modelo debe ser invalidado.

EJECUCIN

La ejecucin es una solucin obtenida a partir de un modelo, es la ltima fase de un estudio de investigacin de Operaciones. En esta fase se explica la solucin a la administracin responsable del sistema en estudio. Es importante que la explicacin de la solucin se haga en funcin de los procedimientos usados en el sistema real.

Despus de aplicar la solucin al sistema, se observa la respuesta de ste a los cambios introducidos, esto permite realizar los ajustes y modificaciones adicionales requeridas por el rendimiento del sistema.

METODOS CUANTITATIVOS QUE ESTUDIA LA I.O.

A continuacin se presenta una breve descripcin de los diferentes modelos que estudia la I.O.

1.-Teora de probabilidades.2.-Varias tcnicas matemticas.3.-Modelos de secuenciacin.4.-Modelos de reemplazo.5.-Modelos de inventario.6.-Modelos de asignacin.7.-Modelos de programacin dinmica.8.-Modelos competitivos.9.-Modelos de lneas de espera.10.-Tcnicas de simulacin.11.-Modelos de ruta. 12.-Mtodos de bsqueda y heursticos.13.-Mtodos combinados de investigacin de operaciones.14.-Modelo de Programacin Lineal.

CAMPOS DE APLICACIN DE LA INVESTIGACIN OPERTIVA

La I.O. tiene mltiples campos de aplicacin, se utiliza en casi toda gestin que requiere la intervencin de recursos para un objetivo determinado y rena caractersticas muy bien definidas.

En forma sucesiva los mtodos operacionales han ido encontrado aceptacin en los siguientes campos o sectores:

- Industria- Energa- Agricultura- Banca- Construccin- Minera- Comercio- Comunicaciones- Transporte- Servicios pblicos o privados

Desde el punto de vista de unidades econmicas, la I.O. es un valioso instrumento para resolver problemas relacionados con los siguientes aspectos:

- Produccin- Precios- Inventarios- Mercados- Distribucin- Comercializacin- Seleccin de equipos- Informtica- Problemas de espera- Administracin- Organizacin y sistemas- Gerencia- Localizacin LAY-OUT- Factor humano- Financiamiento- Seguridad industrial

De acuerdo a lo anterior la I.O. refleja su versatilidad para plantear, analizar y sugerir la mejor solucin a los diferentes problemas que por sectores econmicos o factores internos de la empresa pueden presentarse.

LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA

As como esta materia nos permite resolver muchos tipos de problemas, tambin, encontramos algunas limitaciones en la prctica, las que pueden sintetizarse en las siguientes:

a) Capacidad del equipo investigador.- Se refiere a las restricciones en cuanto a contar con profesionales especializados en la rama.

b) Costo de la investigacin.- El costo es alto, pero, es necesario anotar que muchas empresas lo consideran como inversin ya que les permite minimizar errores.c) El uso del computador.- Actualmente es necesario la utilizacin de los lenguajes de computacin.d) Grado de inters de la empresa.- En los pases menos desarrollados no dan el apoyo respectivo a estas investigaciones.e) Servicios de informtica.- Generalmente las empresas no cuentan con unidades sistematizadas de informacin, capaz de dar agilidad a la obtencin de datos, fundamentalmente con los necesarios para la identificacin de coeficientes tcnicos por unidad. Esta es una restriccin que obstaculiza el proceso de la investigacin. Es indudable, desde luego, para las empresas que cuentan con servicios internos de informacin, obtengan mejores resultados a travs de los medios de la informtica.

METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA

La metodologa debe pretender que el decidor, aquel que tomar el riesgo de la decisin (riesgo porque es de su responsabilidad el xito o fracaso de la operacin), puede afectar la decisin ms racional posible, o sea, que se minimice el riesgo de ser equivocado. La metodologa a utilizarse debe adaptarse A fin de facilitar la decisin, para ello contar con modelos fundamentalmente matemticos, con la calificacin de los factores que intervienen en el proceso.

Conocido el modelo matemtico, cuantificados los parmetros que en l intervienen, habr que hacer uso del juego lgico matemtico para obtener soluciones.

Captulo IIProgramacin Lineal

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Para el modelo de (LA COMPAA REDDY MIKKS). produce pinturas para exteriores como para interiores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos bsicos del problema: Toneladas de materia prima por tonelada de Pintura para Exteriores Pintura para InterioresDisponibilidad mxima diaria(toneladas)

Materia prima, M1

6424

Materia prima, M2

126

Utilidad por tonelada (1000 dlares)54

Una encuesta de mercado restringe la demanda mxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Adems, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de la pintura para exteriores por ms de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto ptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria. Construya cada una de las siguientes restricciones y exprselas con un lado derecho constante:

a) La demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la pintura para exteriores cuando menos por 1 tonelada.b) El empleo diario de materia prima M2, es cuando mucho de 6 toneladas y cuando menos 3 toneladas.c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pintura para exteriores.d) La cantidad mnima de pintura que debe producirse, tanto para interiores como para exteriores, es de 3 toneladas.e) La proporcin de pintura para interiores con la produccin total de pinturas, tanto para interiores como para exteriores, no debe exceder de 5.

2) Para la solucin factible X1 = 2, X2 = 2 del modelo de Reddy Mikks, determine.

a) La cantidad no utilizada de materia prima M1.b) La cantidad no utilizada de materia prima M2.

3) Suponga que Reddy Mikks le vende su pintura para exteriores a un solo mayorista, con un descuento por cantidad. El resultado final es que la utilidad por tonelada ser de 5.000 dlares si el contratista compra no ms de 2 toneladas diarias o de lo contrario de 4.500 dlares. Es posible modelar esta situacin como un modelo de PL?

4) Determine el espacio de solucin y la solucin ptima del modelo de Reddy Mikks para cada uno de los siguientes cambios independientes:

a) La demanda mxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas.b) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 toneladas.c) La demanda diaria de pintura para interiores es exactamente de 1 tonelada ms que la pintura para exteriores.d) La disponibilidad diaria de materia prima, M1, es de por lo menos 24 toneladas.e) La disponibilidad diaria de materia, prima M1, es de 24 toneladas como mnimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la pintura para exteriores en por lo menos 1 tonelada.

5) La seorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer ao en la Pontificia Universidad Catlica del Ecuador. Comprende que slo el trabajo y nada de diversin hacen de Fernanda una muchacha aburrida. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al da, entre el trabajo y la diversin. Calcula que el juego es dos veces ms divertido que el trabajo. Tambin quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar ms de cuatro horas al da. Cmo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfaccin tanto en el trabajo como en el juego?

6) Para el modelo (DE LA DIETA). Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Libra por libra de alimento para ganado

Alimento para ganadoProtenasFibraCosto (/libra)

Maz0.090.020.30

Semilla de Soya0.600.060.90

Los requerimientos dietticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de protenas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mnimo diario de la mezcla de alimento, supongamos que la disponibilidad diaria de maz se limita a 450 libras. Identifique el nuevo espacio de solucin y determine la nueva solucin ptima.

7) Para el modelo de la dieta anterior. Qu tipo de solucin ptima dara el modelo si la mezcla de alimento no excediera de 800 libras al da? Tiene sentido esta solucin?

8) Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisin acerca de cuntas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrs en el trabajo. Basndose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrs son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrs aumenta por hora, ella supone que el estrs total al final de la semana es proporcional al nmero de horas que trabaja en la tienda. Cuntas horas debe trabajar en cada tienda?

9) En el modelo de Reddy Mikks (problema 1), considerar la solucin factible x1 = 3 toneladas y x2 = 1 tonelada. Determine el valor de las holguras asociadas para la materia prima M1, y M2.

10) En el modelo de la dieta (problema 6), determine la cantidad excedente de alimento que consiste en 500 libras de maz y 600 libras de semilla de soya.

11) Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de produccin por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la mquina es de 2.500 minutos por da. En un da cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no ms de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dlar por minuto.

a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son.6.0 y 7.50 dlares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel ptimo de fabricacin para cada producto, as como cualesquiera nmero de horas extra necesarias en el centro.b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dlares, la compaa debe utilizar horas extras?

12) Determine grficamente el rango ptimo, para los siguientes problemas. Observe los casos especiales donde c1 o c2 pueden asumir un valor de cero

a)

b)

13) En el problema de la dieta (ejercicio 6),

a) Determine la gama de optimilidad para la razn del costo por libra de maz con el costo por libra de alimento de semilla de soya.b) Si el costo por libra de maz se incrementa 20% y el del alimento de semilla de soya disminuye 5%, la solucin actual seguir siendo ptima?c) Si el costo por libra de maz se mantiene fijo a 30 centavos de dlar y el costo por libra de alimento de semilla de soya aumenta a 1.10 dlares, la solucin actual seguir siendo ptima?

14) La tienda de comestibles B&K vende dos tipos de bebidas no alcohlicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, B&K de colas, ms econmica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dlar por lata, mientras que la de la bebida de cola B&K suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende ms de 500 latas de ambas bebidas de cola al da. An cuando A1 es una marca ms conocida, los clientes tienden a comprar ms latas de marca B&K, porque considerablemente es ms econmica. Se calcula que la venta de la marca B&K superan a las de la marca A1 en una razn de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, B&K vende, como mnimo, 100 latas de A1 al da.

a) Cuntas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad?b) Determine la razn de las utilidades por lata de A1 y B&K que mantendr inalterada la solucin en (a).

15) Baba Furniture Company emplea a cuatro carpinteros durante 10 das para ensamblar sillas y mesas. Se requieren 30 minutos para ensamblar una silla.y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo comn, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13.5 dlares por mesa y 5 dlares por silla. La compaa opera un turno de 8 horas al da.

a) Determine grficamente la mezcla de produccin ptima de los 10 das.b) Determine el rango de la razn de utilidades por unidad, que mantendr inalterada la ptima (a).c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen 10%, utilice la respuesta en (b) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta la solucin ptima obtenida en (a).d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dlares, utilice el resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiar o no la solucin en (a).

16) El Banco del Pacfico est asignando un mximo de 200.000 dlares para prstamos personales y de automviles durante el prximo mes. El banco cobra 14% por prstamos personales y 12% por prstamos para automviles. Ambos tipos de prstamos se liquidan al final de un periodo de un ao. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los prstamos personales y del 2% de los prstamos para automviles nunca se liquidan. Por lo comn, el banco asigna cuando menos el doble de los prstamos personales a los prstamos para automviles.

a) Determine la asignacin ptima de fondos para los tipos de prstamos y la tasa neta de utilidad que obtendr el banco de todos los prstamos.b) Determine el rango de optimilidad para la razn de las tasas de inters de prstamos personales y para automvil que mantendr inalterada la solucin en (a).c) Supongamos que el porcentaje de prstamos personales y para automvil no liquidados cambia a 4% y 3%, respectivamente, Cmo afectara este cambio la solucin ptima en (a)?.

17) Electra produce dos tipos de motores elctricos, cada uno en una lnea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos lneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo 1 emplea 10 unidades de cierto componente electrnico y el motor tipo 2 slo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8.000 piezas al da. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dlares, respectivamente.

a) Determine la mezcla ptima para la produccin diaria.b) Determine el rango de optimalidad de la razn de utilidades por unidad que mantendr inalterada la solucin en (a)

18) Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dlar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado, as como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta slo requiere 1/3 de libra. La participacin de mercado de las compaas se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dlares, respectivamente.

a) Desarrolle un programa de produccin ptima para Popeye.b) Determine la razn del precio por caja con el precio por caja de pasta que permitir que Popeye produzca ms cajas de jugo que de pasta.

19) Deans Furniture Company ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada: regulares y de lujo. Los gabinetes regulares estn pintados de blanco y los de lujo estn barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un mximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete del lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura /barnizado se dedica nicamente a las unidades de lujo, terminara 180 unidades diarias. La compaa calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dlares, respectivamente.

a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de produccin ptima por da.b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dlares, respectivamente. Utilice el anlisis de sensibilidad para determinar si la solucin ptima en (a) se mantiene inalterada o no.

20) Wild West produce dos tipos de sombreros estilo vaquero. El sombrero tipo 1 requiere el doble de tiempo de trabajo que el de tipo 2. Si todos los sombreros producidos nicamente son del tipo 2, la compaa puede producir un total de 400 sombreros al da. Los lmites diarios del mercado son de 150 y 200 sombreros de los tipos 1 y 2, respectivamente. La utilidad del sombrero tipo 1 es de 8 dlares y la del sombrero tipo 2 es de 5 dlares.

a) Utilice la solucin grfica para determinar el nmero de sombreros de cada tipo que se debe producir.b) Determine el valor de incrementar la capacidad de produccin de la compaa en un sombrero tipo 2 y el rango para la cual es aplicable este resultado.c) Si l lmite de la demanda del sombrero tipo 1 disminuye a 120, determine el efecto correspondiente en la utilidad ptima, utilizando el valor unitario del recurso.d) Cul es el incremento en el valor por unidad en la participacin de mercado del sombrero tipo 2? En cunto se puede incrementar la participacin de mercado, al mismo tiempo que rinde el valor calculado por unidad?

21) Una compaa fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compaa no puede vender ms de 100 unidades de A por da. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad mxima diaria se limita a 240 libras al da. Las proporciones de utilizacin de la materia prima son 2 libras para cada unidad de A y 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dlares, respectivamente.

a) Determine la mezcla ptima de los dos productos.b) Determine el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima y su rango de aplicabilidad.c) Utilice el anlisis de sensibilidad para determinar el efecto de cambiar la demanda mxima del producto A por 10 unidades.

22) Una compaa que opera 10 horas al da fabrica cada uno de los productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema:

Minutos por unidad

ProductoProceso 1Proceso 2Proceso 3Utilidad por unidad

11068$2

252010$3

a) Determine la mezcla ptima de los dos productos.b) Supongamos que se est considerando los tres procesos para una expansin y usted necesita determinar su prioridad. Disee una forma lgica para lograr esta meta.

23) Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio o la televisin locales. El presupuesto para anuncios est limitado a 10.000 dlares al mes. Cada minuto de anuncios por radio cuesta 15 dlares y cada minuto de comerciales por televisin cuesta 300 dlares. A Show & Sell le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisin. Por lo pronto, no es prctico utilizar ms de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisin son 25 veces ms efectivos que los de la radio.

a) Determine la asignacin ptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisin.b) Determine el valor por unidad de incrementar el lmite mensual en la publicidad por radio.c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dlares, utilice la definicin de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria.

24) Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energa con turbina de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depsitos de carbn, la planta genera vapor con carbn. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estndares de emisin. Las regulaciones de la Environmetal Protection Agency (Agencia de Proteccin Ambiental) limitan la descarga de dixido de azufre a 2.000 partes por milln y la descarga de humo de las chimeneas de la plante a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo comn, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por milln) es un promedio ponderado de la proporcin de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbn.

Grado de carbnDescarga de azufre en partes por millnDescarga de humo en libras por horaVapor generado en libras por hora

C11 8002.112 000

C22 1000.99 000

a) Determine la proporcin ptima para mezclar los dos grados de carbn.b) Determine el efecto de relajar el lmite de la descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de vapor generado por hora.

25) La divisin de Educacin Continua en Ozark Community College ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prcticos, como trabajos en madera, procesador de palabras y mantenimiento de automviles; y humansticos, como historia, msica y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La divisin calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prcticos y humansticos son aproximadamente 1.500 y 1.000 dlares por curso, respectivamente.

a) Cmo debe asignar la escuela sus cursos?b) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mnimo de los cursos prcticos con un curso ms.c) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mnimo de los cursos humansticos con un curso ms.

26) Burroughs Garment Company fabrica camisas para caballero y blusas para damas para Walmark Discount Strores. Walmark aceptar toda la produccin que le proporcione Burroughs. El proceso de produccin que incluye corte, costura y empacado. Burroughs emplea a 25 trabajadores en el Departamento de corte, a 35 en el Departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado. La fbrica trabaja un turno de 8 horas, slo 5 das a la semana. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para las dos prendas:

Minutos por unidad

PrendaCorteCosturaEmpacadoUtilidad por unidad ($)

Camisas2070122.50

Blusas606043.20

a) Determine el programa de produccin semanal ptima para Burroughs.b) Si los requerimientos mnimos diarios de Walmark son de 2.000 camisas y 3.000 blusas, es posible que Burroughs proporcione estas cantidades con su semana de trabajo actual de 5 das? De no ser as, puede usted sugerir alguna forma para que Burroughs satisfaga estos requerimientos? Cul ser el programa de produccin ptimo en este caso?c) Determine el valor por hora de los procesos de corte, costura y empacado.

27) ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos de materia prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dlares y produce 0.5 unidad de solucin A y 0.5 unidad de solucin B. Adems, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dlares y produce 0.6 unidad de solucin A y 0.4 unidad de solucin B. La demanda diaria de la solucin A es entre 10 y 15 unidades y la de la solucin es entre 12 y 20 unidades.

a) Encuentre la mezcla ptima de A y B que debe producir ChemLabs.b) Determine el valor por cambio de unidad en los lmites de la demanda de los productos A y B.

28) Una lnea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce dos modelos de radios: Hi-fi-1 y Hi-fi-2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo.

Minutos por unidad

Edicin de trabajoHi-fi-1Hi-fi-2

164

255

346

El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%. 14% y 12% respectivamente, del mximo de 480 minutos disponibles para casa estacin, cada da.

a) La compaa desea determinar la mezcla ptima de productos que minimizar los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo.b) Determine el valor de disminuir 1 punto de porcentaje el tiempo diario de mantenimiento para cada estacin.

29) Un ejecutivo de negocios tiene la opcin de invertir ms dinero en dos planes; el plan A garantiza que cada dlar invertido ganar 0.70 de aqu a un ao y el plan B garantiza que cada dlar invertido ganar 2 dlares despus de 2 aos. En el plan A, las inversiones se pueden hacer anualmente y en el plan B, las inversiones se permiten nicamente en los perodos que son mltiplos de dos.

a) Cmo debe invertir el ejecutivo 100.000 dlares para maximizar las ganancias al final de 3 aos?b) Vale la pena que el ejecutivo invierta ms dinero en los planes?

30) OilCo construye una refinera para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles/da) de esos productos son 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Irn y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de produccin que especifica la OPEP (Organizacin de Pases Exportadores de Petrleo) la nueva refinera puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irn, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecern estables durante los 10 aos siguientes.

Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irn rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avin. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mnima de la refinera, en barriles de crudo por da.

31) Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mnimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnologa, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnologa dan ms rendimiento, son ms arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un mximo de 60% del total.

Cul es la cantidad mnima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversin?

32) Una empresa fabrica cuatro productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere dos horas de fresado, una hora de montaje y 10 dlares de inventario en proceso. Cada unidad del producto B necesita una hora de fresado, tres horas de montaje y un costo de cinco dlares de proceso de inventariado. Una unidad del producto C requiere 2 horas de fresado, 2 horas de montaje y dos dlares de proceso de inventariado. Por ltimo, cada unidad del producto D requiere cinco horas de fresado, no necesita montaje y cuesta 12 dlares de proceso de inventariado.

La empresa tiene 120 horas de fresado y 160 horas de montaje disponibles. Adems, no puede disponer de ms de mil dlares para proceso de inventario.

Cada unidad del producto A genera un beneficio de 40 dlares; una unidad del producto B genera un beneficio de 24 dlares; las unidades del producto C generan 36 dlares y las del producto D, 23 dlares. No se pueden vender ms de 20 unidades del producto A, ni ms de 16 unidades del producto C; puede venderse cualquier nmero de unidades de los productos B y D. Sin embargo, hay que producir y vender por lo menos 10 unidades del producto D para satisfacer un requisito contractual.

Formule el problema anterior como un problema de programacin lineal. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios que resultan de la venta de los cuatro productos. Resuelva el problema en computadora.

33) Una compaa vende dos productos diferentes, A y B. La informacin del precio de venta y de los costos unitarios es la siguiente:

Producto AProducto BPrecio de venta $ 60 $ 40Costo unitario 30 10Beneficios unitarios $ 30 $ 30

Los dos productos se fabrican en un proceso de produccin comn y se venden a dos mercados distintos. El proceso de produccin tiene capacidad de 30 000 horas de trabajo. Se requieren tres horas para producir una unidad A y una hora para producir una unidad B. El mercado se ha estudiado y los funcionarios de la compaa consideran que el nmero mximo de unidades de A que pueden vender es 8.000; el mximo de B es 12 000 unidades. Los productos se pueden vender en cualquier combinacin, con las limitaciones anteriores.

Formule el problema anterior como un problema de programacin lineal; es decir, escriba las ecuaciones apropiadas y resulvalo graficamente.

34) Mangus Electric Products Co. (MEPCO) produce grandes transformadores elctricos para la industria elctrica. La compaa tiene pedidos (Tabla) para los prximos seis meses. Se espera que el costo de manufactura de un transformador vare un poco en los prximos meses, por cambios esperados en los costos de los materiales y en las tarifas de trabajo. La compaa puede producir hasta 50 unidades al mes con tiempo normal y hasta 20 unidades adicionales si utiliza tiempo extra. En la tabla se muestran los costos del tiempo normal y los del tiempo extra.

Mes

Ene.Feb.Mar.Abr.MayoJun.

Pedidos (unidades)583634697243

Costo por unidad con tiempo

regular (miles de dlares)18171718,51919

Costo por unidad con tiempo

extra (miles de dlares)201919212222

El costo de almacenamiento en inventarios de los transformadores que no se vendan es 500 dlares por mes. Al 10 de enero, la compaa tiene 15 transformadores en existencias y desea tener no menos de cinco en existencias para el 30 de junio.

Formule un problema de programacin lineal para determinar el programa de produccin ptimo para MEPCO.

35) La compaa de diamantes Transval extrae diamantes de tres minas de Sudfrica. Las tres difieren en cuanto a capacidad, nmero, peso de las gemas y costos; estos datos se presentan en la tabla.

MinaCapacidad(m3 de tierraprocesada)Costos detratamiento(rands por m3)Grado(quintales m3)Recuento degemas (nmerode piedras m3)

Planta 183000RO.600,360,58

Planta 2310000RO.360,220,26

Planta 3190000RO.500,2630,21

Segn las consideraciones de mercadotecnia, se requiere una produccin mensual exacta de 148 000 gemas, mientras que otro requisito exige por lo menos 130 000 quilates (as, el tamao promedio de las gemas es, por lo menos, de 130/148 = 0.88 quilates).

El problema para el gerente de la compaa es cumplir con las exigencias de mercadotecnia al menor costo.

36) Queremos seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a 10 000 dlares y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a 10 000 dlares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarn dos veces ms nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisin o en una revista; una unidad de publicidad en televisin cuesta 20.000 dlares y llega a aproximadamente 2.000 personas del primer grupo y a 8.000 del segundo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta 12. 000 dlares y llega a 6.000 personas del primer grupo y a 3.000 del segundo. Hay que usar por lo menos seis unidades de publicidad en televisin y no podemos usar ms de 12 unidades de publicidad en la revista, por cuestiones de poltica. El presupuesto para publicidad es de 180 000 dlares.

Formule este problema como un problema de programacin lineal, definiendo todas las variables que utilice. Resuelva por el mtodo grfico para encontrar la estrategia de publicidad ptima.

37) En fechas recientes, Super Sausage Company (SSC) ha experimentado cambios radicales en los precios de las materias primas, y el gerente ha dado instrucciones a una analista para que examine las proporciones de mezcla de ingredientes que se usa SSC para fabricar salchichas.

La fabricacin de salchichas debe cumplir con dos requisitos clave para el producto. El porcentaje de protena en peso debe ser por lo menos del 15% y el porcentaje de grasas en peso no puede exceder el 30% (el peso restante es de relleno). SSC dispone de las cuatro materias primas siguientes para sus mezclas, con las caractersticas que se indican:

Porcentaje De Porcentaje Costo porIngrediente Protena de grasas kilogramo A4010 $ 1.80 B2015 0.75 C1035 0.40 D 540 0.15

Formule un modelo de programacin lineal que ayude a SSC a determinar el programa de mezclas ms deseable. Resuelva el problema en computadora.

38) Remtase al problema de mezcla de productos. Una empresa de manufactura fabrica productos, A y B, cada uno de los cuales debe procesarse en dos mquinas diferentes. Una mquina tiene 24 horas de capacidad disponibles y la otra slo tiene 16 horas. Cada unidad del producto A necesita tres horas en cada mquina, mientras que una unidad del producto B necesita tres horas en la primera mquina y una hora en la segunda. Los beneficios marginales son de seis dlares por unidad del producto A y siete dlares por unidad del producto B y la empresa puede vender todas las unidades que puede fabricar de los dos productos.

El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios. El problema es determinar cuntas unidades de los productos A y B deben producirse dentro de los lmites de las capacidades disponibles de las mquinas. Resuelva el problema con los dos productos A y B

Suponga que la empresa tiene un tercer producto, C, que puede producirse en la primera o en la segunda mquina. Si se produce en la primera mquina se requiere una hora; si se hace en la segunda mquina, se necesitan dos horas. El producto C tiene beneficios marginales de nueve dlares por unidad.

Modifique la formulacin del problema para incluir el producto C.

39) Delight Dary Company (DD) produce una amplia gama de productos lcteos. Los productos se han separado en dos categoras principales, con el fin de planificar la produccin: helados (varios sabores y tamaos) y especialidades (helado en palito, emparedados de helado, conos de helado, etc.) Cada clase de producto tienen su propio equipo de empaquetado, pero ambas usan una misma mquina de fabricacin de helado; tambin emplean el mismo grupo de trabajadores para producir y empaquetar cada clase de producto.

Los helados requieren dos horas de la mquina de fabricacin de helados, una hora en su propia lnea de empaquetado y tres horas de trabajo para producir 4.000 litros de producto terminado.

Las especialidades requieren una hora de la mquina de fabricacin de helado, una hora en su propia lnea de empaquetado y seis de trabajo para producir el equivalente de 4.000 litros de producto terminado. DD puede vender 4.000 litros de helado en 300 dlares, y 4.000 litros de especialidades en 500 dlares. Los costos de materias primas son aproximadamente iguales para ambas clases de productos.

En la actualidad, la compaa tiene un turno de trabajo (40 horas por semana) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un empleado de de tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de trabajo a la semana.

Formule un modelo de programacin lineal para la planificacin de la produccin de Delight Dairy y resuelva graficamente.

40) Empire Abrasive Company (EAC) produce polvo de xido de alumno que utiliza en sus afiladoras y en sus abrasivos. Hay dos tipos de producto terminado: polvo fino polvo grueso. Existen adems dos tipos de insumos llamados crudo de Surinam y crudo chino (segn el pas de donde proviene la bauxita de la cual se obtiene el crudo). Por ltimo, hay dos modos de procesamiento, llamados rpido y lento, que pueden aplicarse a cualquiera de los materiales de entrada para producir diversos porcentajes de los productos terminados. La tabla describe los porcentajes de cada producto terminado que se obtienen de las posibles combinaciones de los materiales de entrada y de los modos de procesamiento.

Entrada de crudo de SurinamEntrada de crudo Chino

Primer procesoSegundo procesoPrimer procesoSegundo proceso

Porcentaje de polvo grueso45253520

Porcentaje de polvo fino50706080

Perdidas en la produccin5550

La tonelada de crudo de Surinam cuesta 300 dlares, mientras que la de crudo chino cuesta 350. Una tonelada de procesamiento rpido cuesta 50 dlares, y una de procesamiento lento cuesta 40 dlares. La tonelada de polvo grueso se vende a 500 dlares y la de polvo fino a 325. La planta de EAC puede procesar 1.000 toneladas de crudo por semana. No hay lmites en cuanto al volumen de producto terminado que puede venderse.

Formule un modelo de programacin lineal para este problema que indique cmo puede llegar EAC a la situacin ms rentable. Nota: EAC puede usar ambos tipos de crudo y ambos tipos de procesos; es decir, puede existir soluciones fraccionarias.

41) Remtase al problema 33.

a) Resuelva el problema en forma grfica para encontrar la combinacin ptima de productos Para que los apartados (b) a (d) de este problema, considere que cada caso por separado. Convierta adems a millares todas las unidades y resuelva grficamente.b) Suponga que el nmero mximo de unidades del producto A que pueden venderse es 9.000 (en lugar de 8.000, como en el caso base) Cul es el efecto de la solucin? Cul es el efecto de los beneficios? Cul es el precio dual para la restriccin que limita las ventas del producto A?c) Suponga que el nmero mximo de unidades del producto B que pueden venderse es 13.000 (y no 12.000, como en el caso base). Cul es el efecto en los beneficios? Cul es el precio dual para la restriccin que limita las ventas del producto B?d) Suponga que hay 31.000 horas de trabajo disponibles, en lugar de las 3.000 del caso base. Cul es el efecto en el problema? Cul es el efecto de los beneficios? Cul es el precio dual de la restriccin del nmero de horas de trabajo?e) Remtase a los apartados (b), (c) y (d) anteriores. Determine en forma grfica los intervalos del trmino independiente en los cuales se mantienen los precios duales de las tres restricciones.

42) La compaa de prstamos U-Save planifica sus operaciones para el ao entrante. Ofrece cinco tipos de prstamos, descritos a continuacin, junto con el rendimiento anual (porcentaje) para la compaa.

Los requisitos legales y la poltica del a compaa imponen los siguientes lmites a las cantidades que pueden entregarse en los distintos tipos de prstamos.

Tipo de prstamosRendimiento anual(porcentaje)

Prstamos personales15

Prstamos para muebles12

Prstamos para automviles9

Segunda hipoteca de casa10

Primera hipoteca de casa7

Los prstamos personales no pueden exceder el 10% de la cantidad total de los prstamos. La cantidad de prstamos personales y para muebles, en conjunto, no debe ser mayor del 20%. Las primeras hipotecas deben constituir por lo menos el 40% de todas las hipotecas y por lo menos el 20% del total de prstamos. Las segundas hipotecas no pueden exceder el 25% del total de prstamos.

La compaa desea maximizar los ingresos de los intereses de los prstamos, sujetndose a las restricciones anteriores. La empresa puede prestar como mximo 1.5 millones de dlares. Formule este problema como uno de programacin lineal Resuelva en computadora..43) La empresa Whitt Window tiene slo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al da. Linda hace 4 marcos de aluminio por da. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por da. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados.

La compaa desea determinar cuntas ventanas de cada tipo producir al da para maximizar la ganancia total.

a) Construya y llene una tabla para este problema, identifique las actividades y los recursos.b) Formule un modelo de programacin lineal.c) Use el mtodo grfico para resolver el modelo.d) Un nuevo competidor en la ciudad tambin produce ventanas con marco de madera. Esto puede forzar a la compaa a bajar el precio y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. Cmo cambiara la solucin ptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40? Y de $60 a $20?e) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reducira el nmero de ventanas de madera que produce por da. (Cmo cambiara la solucin ptima si hace slo 5 marcos diarios?

44) La Apex Televisin Company debe decidir el nmero de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fbricas. La investigacin de mercado indica ventas de a lo ms 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El nmero mximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor est de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el nmero no excede el mximo indicado por el estudio de mercado.

a) Formule un modelo de programacin lineal.b) Use el mtodo grfico para resolver el modelo.

45) La compaa Worldlight produce dos dispositivos para lmparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes elctricas. La administracin desea determinar cuntas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes elctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes elctricas. La compaa tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes elctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar ms de 60 est fuera de consideracin.

a) Formule un modelo de programacin lineal.b) Utilice el mtodo grfico para resolver este modelo. (Cul es la ganancia total que resulta?

46) La compaa de seguros Primo est en proceso de introducir dos nuevas lneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es $5 por el seguro de riesgo especial y $2 por unidad de hipoteca.

La administracin desea establecer las cuotas de venta de las nuevas lneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes;

DepartamentoHoras-hombre por unidadHoras-hombredisponibles

Riesgo especialHipoteca

Suscripciones322.400

Administracin01 800

Reclamaciones201.200

a) Formule un modelo de programacin lineal. b) Use el mtodo grfico para resolver el modelo. 47) Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa mxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere 1/4 de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por ltimo, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10.

Weenies and Buns desea saber cuntos hotdogs y cuntos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia ms alta posible.

a) Formule un modelo de programacin lineal.b) Use el mtodo grfico para resolver el modelo.

48) Hoy es su da de suerte, Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicar $4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al or las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convenirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversin incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sera $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4 000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4 500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitiran participar con cualquier fraccin de participacin que quiera. Si elige una participacin parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversin de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fraccin.

Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (mximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinacin que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinacin.

a) Formule un modelo de programacin lineal.b) Use el mtodo grfico para resolver el modelo, cul es su ganancia total estimada?

49) Carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidi hacer una dieta continua de slo estos dos alimentos (ms algunos lquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que no es la dieta ms sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Cuenta con la siguiente informacin nutricional y de costo:

Granos de ingredientes por porcinRequerimiento diario (gramos)

IngredienteResPapas

Carbohidratos51550

Protenas20540

Grasa15260

Costo/porcin$4$2

Ralph quiere determinar el nmero de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumpliran con estos requerimientos a un costo mnimo. a) Formule un modelo de programacin lineal. b) Use el mtodo grfico para resolver el modelo.

50) Dwight es un maestro de primaria que tambin cra chanchos para tener ingresos adicionales. Intenta decidir qu alimento darles. Piensa que debe usar una combinacin de los alimentos que venden los proveedores locales. Desea que tenga un costo mnimo al mismo tiempo que cada chancho reciba una cantidad adecuada de caloras y vitaminas. El costo y los contenidos de cada alimento se muestran en la tabla.

ContenidoAlimento tipo AAlimento tipo B

Caloras (por libra)8001.000

Vitaminas (por libra)140 unidades70 unidades

Costo (por libra)$0.40$0.80

Cada chancho requiere al menos 8 000 caloras por da y 700 unidades de vitaminas. Una restriccin ms es que el alimento tipo A no sea ms de un tercio de la dieta (por peso), pues contiene un ingrediente txico si se consume en demasa.

a) Formule un modelo de programacin lineal.b) Use el mtodo grfico para resolver el modelo. Cul es el costo diario por chancho que resulta?

51) Una fbrica produce dos tipos de camisas A y B, las camisas tipo A requiere 2.5 minutos para cortarlas y 5 minutos para confeccionarlas, las de tipo B requieren 4 minutos para cortarlas y 4 minutos para confeccionarlas. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas para confeccionar. El beneficio es de 2.5 dlares por cada camisa tipo A y 3 dlares por cada camisa tipo B. Cuntas camisas de cada clase debe producirse para obtener la mxima ganancia?

52) Una empresa fbrica dos productos A y B. El beneficio para A es 25 dlares por tonelada y para B 20 dlares La planta consta de 3 departamentos de produccin: Cortado, Mezclado y Enlataje. El equipo en cada departamento puede, emplearse 1.5 horas diarias en el primer departamento, 4 horas en el segundo y al menos 4 en el tercer departamento. El proceso de produccin es el siguiente El producto A emplea 1/4 hora de la capacidad de cortado y enlataje, y 0.5 hora de mezclado por tonelada, El producto B requiere 0.5 hora por tonelada de la capacidad de mezclado y 1/3 de hora de la capacidad de enlataje. Qu combinacin de producto deber elaborar la empresa para maximizar su beneficio?

53) Una compaa produce dos tipos de pantalones A y B cada pantaln tipo A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben producir por lo menos 250 pantalones combinados. El mercado limita la venta diaria de pantalones tipo A, a un mximo de 75 y los de clase B a un total de 125 pantalones. Los beneficiados por pantaln son 6 dlares para el tipo A y 4 dlares para el tipo B. Determinar el nmero de pantalones de cada clase que maximice la ganancia.

54) Dos productos tienen el siguiente proceso. Hay un taller que lo ms que puede hacer es 200 productos del tipo A o 100 del tipo B por da. El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 120 productos del tipo A o 160 del tipo B. Tambin el tratamiento tcnico puede procesar un total de 90 artculos del tipo A por da. El producto A tiene una utilidad de 4 dlares y el producto B de 6 dlares. Determinar la produccin ptima que maximice los beneficios.

55) Se producen dos artculos A y B los mismos que son procesados por tres mquinas M1, M2 y M3. La mquina 1 procesa 0.5 unidad de A y 0.5 de B, M2 procesa 1 de A, 0.5 de B, M3 procesa 0.5 de A y 2 de B. Se dispone al menos de 65 horas semanales para M1, 95 para M2 y 100 para M3. El costo de A es de 3 dlares y 5 dlares el de B Cuntas unidades de A y B se deben producir para que el costo sea mnimo?

56) Un fabricante de gasolina para aviacin vende dos clases de combustible A y B. El combustible A tiene 12.5% de grado 1 y 2 y 25% de gasolina grado 3. El combustible B tiene 25% de gasolina grado 2 y 3. Disponible para produccin hay 25 galones/hora grado 1, 100 galones/hora grado 2 y 3. Los costos son 15 centavos por galn grado 1, el galn grado 2 cuesta 30 centavos y 45 centavos por galn grado 3. El combustible A puede venderse a 66.88 dlares por galn, mientras que el combustible B alcanza a 58.75 centavos por galn, Qu cantidad debe fabricarse de cada combustible para obtener el mayor beneficio?

57) Un laboratorio farmacutico desea preparar un tnico de tal manera que cada frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y 40 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas, el laboratorio emplea el aditivo X1, a un costo de 2 dlares por onza, el cual contiene 15 unidades de vitamina A, 2 de B y 4 de C, un aditivo X2 a un costo de 4 dlares por cada onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 de B y 14 de C. Cuntas onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo?

58) Las mquinas A y B pueden fabricar el mismo artculo, la mquina A produce 18 unidades por hora, mientras que la mquina B produce 10 unidades por hora. Se deben producir a lo mucho 600 unidades del artculo trabajando 40 horas semanales por lo menos; sin embargo la mquina B tiene una capacidad mxima de 35 horas semanales. Si el costo de operar la mquina A es de 25 dlares y 20 dlares la mquina B. Determinar cuntas horas por semana debe operar cada mquina para satisfacer las necesidades de produccin a un costo mnimo.

59) Una fbrica elabora dos clases de cerveza Plsener y Club, para lo cual dispone de ingrediente para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Plsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Plsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Plsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club. Cuntas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la mxima ganancia?

60) Una fbrica elabora dos clases de champ A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo ms en 70 botellas. La fbrica est en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. Cuntas botellas de A y B se deben llenar para que la fbrica obtenga Los mayores beneficios?

61) Se fabrica dos productos A y B. Unidad de A se lleve $2 de mano de obra y $6 cada unidad de B. De materia prima se lleva $4 cada unidad de A $2 cada unidad de B. El desgaste de equipo se supone proporcional a la produccin y es de $2 por cada unidad de A y $2 por unidad de B. Se dispone al menos de $36 para salarios, al menos $48 para materia prima y cuando mucho $32 para desgaste de equipo. Se estima que la demanda de A en el mercado es al menos 9 unidades. El beneficio de A es de 20 dlares cada unidad y 10 dlares cada unidad de B. Cul es la cantidad que se debe producir de cada producto para obtener las utilidades ms altas posibles?

62) Una compaa produce dos tipos de sombreros vaquero. Cada sombrero del primer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros son solamente del segundo tipo, la compaa puede producir un total de 1.000 sombreros al da. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 300 y 500 sombreros. Suponga que los beneficios por sombrero son $16 para el tipo A y $12 para el tipo B. Determine el nmero de sombreros que deben producirse de cada tipo a fin de maximizar el beneficio.

63) Una empresa planea una campaa de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320 mil individuos audiencia A, de los cuales al menos 120 mil tengan un ingreso mnimo anual de 5.000 dlares, y al menos 80 mil sean solteros. Se desea utilizar nicamente la radio y la televisin como medios de publicidad. Un anuncio de televisin cuesta 10 mil dlares y se estima que llegue a un promedio de 40 mil individuos audiencia A, de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 5.000 dlares anuales y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta 6 mil dlares y llega a un auditorio promedio de 10 mil oyentes clase A, de los cuales el 80% tienen ingresos superiores a los 5.000 dlares anuales y 4 mil son solteros. Hallar el nmero de anuncios por cada medio para minimizar el costo. 64) Nutrientes en fertilizantes.- Un agricultor comprar fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mnimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, con 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. Cuntas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?

65) Programa de produccin.- Una compaa petrolera, que tiene dos refineras, necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petrleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada da, la refinera I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinera II produce 100 barriles de alto grado, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2.500 para operar la refinera I y de $2.000 para la refinera II, cuntos das debe ser operada cada refinera para satisfacer los requerimientos de produccin a un costo mnimo? Cul es el costo mnimo? (Suponga que existe un costo mnimo).

66) Control de contaminacin.- A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminacin, una compaa qumica ha introducido en sus plantas un nuevo y ms caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la produccin de un qumico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dixido de azufre y 40 gramos de partculas a la atmsfera por cada litro de qumico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dixido de azufre y 20 gramos de partculas a la atmsfera por cada litro producido. La compaa obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no ms de 10.500 gramos de dixido de azufre y no ms de 30.000 gramos de partculas a la atmsfera cada da, cuntos litros de qumico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? Cul es la utilidad diaria?

67) Produccin. Una compaa fabrica tres tipos de muebles para patio; sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plstico y aluminio como se indica en la tabla siguiente. La compaa tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plstico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se venden en $7, $8 y $12 respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos, determine el plan de produccin de modo que el ingreso total sea maximizado. Cul es el ingreso mximo? Resuelva en computadora.MaderaPlsticoAluminio

SillaMecedoraTumbona 1 unidad1 unidad1 unidad1 unidad1 unidad2 unidades2 unidades3 unidades5 unidades

68) Produccin. Una compaa fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plstico y aluminio como se indica en la tabla que sigue. La compaa tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 de plstico y 1500 de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se vende en $6, $ 8 y $12, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos. cul es el ingreso mximo total que puede ser obtenido? Determine las posibles rdenes de produccin que generar ese ingreso. Resuelva en computadora

MaderaPlsticoAluminio

SillaMecedoraTumbona1 unidad1 unidad2 unidad1 unidad1 unidad3 unidades1 unidades2 unidades5 unidades

69) Produccin. Una compaa fabrica dos tipos de estantes Estndar y Ejecutivo. Cada tipo requiere tiempos de ensamblaje y de terminado como se indica en la tabla siguiente. La utilidad sobre cada unidad tambin se indica. El nmero de horas disponibles por semana en el departamento de ensamble es de 400 y en el departamento de acabado es de 510. A causa de un contrato sindical, al departamento de acabado se le garantizan al menos 240 horas de trabajo por semana. Cuntas unidades de cada tipo debe producir la compaa semanalmente para maximizar sus utilidades?

Tiempo de ensambleTiempo de acabadoUtilidad por unidad

EstndarEjecutivo 1 hora2 hora2 horas3 horas$10$12

70) Produccin. Una compaa fabrica tres productos: X Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de mquina en las mquinas A y B como se da en la tabla siguiente. El nmero de hora por semana que A y B estn disponibles para la produccin son 40 y 30, respectivamente. La utilidad por unidad de X, Y y Z es $50, $60 y $75, respectivamente. Las siguiente semana deben producir al menos cinco para ese perodo de Z. Cul deber ser el plan de produccin para ese perodo si la utilidad mxima es alcanzada? Cul es la utilidad mxima? Resuelva en computadora.

MquinaAMquinaB

Producto XProducto YProducto Z 1 hora2 horas2 horas1 hora1 hora2 horas

71) Inversiones. El folleto informativo de un fondo de inversiones establece que todo el dinero es invertido en bonos que estn considerados como A, AA y AAA; no mas del 30% de la inversin total est en bonos A y AA, y al menos el 50% est en bonos AA y AAA. Los bonos A, AA y AAA respectivamente obtiene un 8,7 y 6% anual. Determine los porcentajes de la inversin total que sern comprometidos a cada tipo de bono de modo que el fondo maximice el rendimiento anual. Cul es ese rendimiento? Resuelva en computadora.

72) Control de emisiones. Una planta de cemento produce 3.300.000 barriles de cemento por ao. Los hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no ms de 1000000, A y B libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles A y B. El dispositivo A reducir las emisiones a libra por barril y el costo es de $0.22 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones son reducidas a de libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de cemento producido. Determine el plan de accin ms econmico que la planta debe tomar de modo que mantenga su produccin anual de exactamente 3.300.000 barriles de cemento. Resuelva en computadora

73) Programacin de envos por camin. A causa de un incremento en los negocios, un servicio de abastecimiento encuentra que debe rentar camiones de entrega adicionales. Las necesidades mnimas son de 12 unidades de espacio con refrigeracin y 12 unidades de espacio sin refrigeracin. En el mercado de renta hay disponibles dos tipos de camiones. El tipo A tiene 2 unidades de espacio con refrigeracin y 1 unidad de espacio sin refrigeracin. El tipo B tiene 2 unidades de espacio con refrigeracin y 3 unidades sin refrigeracin. El costo por milla es de $0.40 para A i $0.60 para B. Cuntos camiones de cada tipo deben ser rentados de modo que se minimice el costo total por milla? Cul es el costo total por milla?

74) Costo de Transporte, Un comerciante tiene tiendas en Exton y Whyton, y almacenes A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere de exactamente 30 refrigeradores. En el almacn A hay 50 refrigeradores y en el B hay 20. Los medios de transporte para enviar los refrigeradores desde los almacenes a las tiendas estn dados en la siguiente tabla. Por ejemplo, el costo de enviar un refrigerador desde A hasta la tienda de Exton es de $ 15. Cmo debe solicitar los refrigeradores el comerciante de modo que los requerimientos se satisfagan y el costo total de transporte se minimice? Cul es el costo mnimo de transporte? Resuelva en computadora.

ExtonWhyton

Almacn AAlmacn B$ 15$ 11$ 13$ 12

75) Compra de Bateras, Un fabricante de automviles compra bateras de dos proveedores, X y Y. El fabricante tiene dos plantas A y B, y requiere exactamente de 6000 bateras de la planta A y de exactamente 4000 a la planta B. El proveedor X carga $30 y $32 por batera (incluyendo costos de transporte) a A y B, respectivamente. Para estos precios, X requiere que el fabricante de automviles ordene al menos un total de 2000 bateras. Sin embargo, X no puede proveer ms de 4000 bateras. El proveedor Y carga $34 y $ 28 por batera a A y a B, respectivamente, y requiere una orden mnima de 6000 bateras. Determine como debe hacer los pedidos de bateras el fabricante de automviles a fin de que su costo total sea mnimo. Cul es el costo mnimo? Resuelva en computadora.

76) Costo de mano de obra Una compaa paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $7 y $4 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $5 por hora y a los aprendices $2 por hora. La compaa requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y al menos 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. Tambin, deben contratarse al menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Resuelva por computadora para determinar el nmero de trabajadores de cada tipo que la compaa debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mnimo. Cul es el costo mnimo en salarios por hora? Resuelva en computadora.

77) Plan de produccin, Una compaa fbrica tres productos X, Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de las mquinas A y B como se indica en la tabla siguiente. El nmero de hora por semana que A y B estn disponibles para la produccin son 40 y 34, respectivamente. La utilidad por unidad sobre X, Y, y Z es $ 10, $ 15 y $ 22, respectivamente. Cul debe ser el plan de produccin semanal para obtener la utilidad mxima? Cul es la utilidad mxima? Resuelva en computadora, repita el problema si la compaa debe producir al menos un total de 24 unidades por semana.Mquina AMquina B

Producto XProducto YProducto Z1 hora2 horas2 horas1 hora1 hora2 horas

78) Suponga que tratamientos medicinales y por radiacin estn disponibles para un paciente. Cada onza de medicamento contiene 500 unidades curativas y 400 unidades txicas. Cada minuto de radiacin proporciona 1000 unidades curativas y 600 unidades txicas. El paciente requiere al menos de 2000 unidades curativas y puede tolerar no ms de 1400 unidades txicas. Si cada onza de la medicina provoca el mismo malestar que cada minuto de radiacin determine las dosis de medicamento y radiacin de modo que el malestar en el paciente sea minimizado.

79) Suponga que el medicamento A, el B y la terapia con radiacin son tratamiento disponible para un paciente. Cada onza de la medicinas A contiene 600 unidades curativas y 500 unidades txicas. Cada onza de la medicina B contiene 500 unidades curativas y 100 txicas. Cada minuto de radiacin proporciona 1000 unidades curativas y 1000 txicas. El paciente requiere al menos de 3000 unidades curativas y puede tolerar no ms de 2000 unidades txicas. Si cada onza de A y cada minuto de radiacin provocan el mismo malestar, y cada onza de B provoca dos veces ms malestar que cada onza de A, determine las dosis de medicamentos de radiacin de modo que el malestar para el paciente sea minimizado.

80) David, LaDeana y Lydia son socios nicos y trabajadores de una compaa que fabrica relojes finos. David y LaDeana, cada uno de ellos, tienen disponibilidad de trabajar un mximo de 40 horas semanales en la compaa, mientras que Lydia cuenta con un mximo de 20 horas semanales. La compaa fabrica dos tipos de relojes: un reloj de pie y uno de pared. Para fabricar uno, David (ingeniero mecnico) ensambla las partes mecnicas internas del reloj mientras que LaDeana (ebanista) fabrica las cubiertas de madera labrada a mano. Lydia es responsable de tomar rdenes y enviar los relojes. Se muestra en seguida el tiempo requerido para cada una de estas tareas.

Tiempo requenido

Tarea: Reloj de pie Reloj de pared

Ensamble de mecanismo de relojCubierta de madera labrada.envi6 horas8 horas3 horas4 horas4 horas3 horas

Cada reloj de pie fabricado y enviado proporciona una ganancia de $300, mientras que cada reloj de pared da una ganancia de $200.

Ahora, los tres socios quieren determinar cuntos relojes de cada tipo deben producir por semana para maximizar la ganancia total.

a) Formule un modelo de programacin lineal para este problema.b) Use el mtodo grfico para resolver el problema.c) Despliegue el modelo en una hoja de clculo.d) Usar el informe de sensibilidad para determinar si esta solucin ptima sigue ptima si la estimacin de la ganancia unitaria para los relojes de pie cambia de $300 a $375 (sin ms cambios en el modelo).e) Repita la parte (d) si, adems de este cambio en la ganancia unitaria de relojes de pie, la ganancia unitaria estimada para relojes de pared tambin cambia de $200 a $175.f) Use el anlisis grfico para verificar sus respuestas en las partes d y e.g) Para aumentar la ganancia total, los tres socios acordaron que uno de ellos aumentar ligeramente el mximo de horas de trabajo por semana. La eleccin de quin de ellos se basar en quin aumentara ms la ganancia total. Use el informe de sensibilidad para efectuar esta eleccin. (Suponga que no hay cambios en las estimaciones originales de las ganancias unitarias) h) Explique por qu uno de los precios unitarios es igual a cero. i) Es vlido usar los precios del informe de sensibilidad para determinar el efecto si Lydia cambiara su nmero mximo de horas disponibles de trabajo a la semana de 20 a 25? Si es as, cul sera el aumento en la ganancia total?j) Repita la parte (i) si, adems del cambio para Lydia, David tambin cambiara su nmero mximo de horas disponibles semanales de 40 a 35.k) Use el anlisis grfico para verificar su respuesta en la parte (j).

81) La Electrocomp Corporation fabrica dos productos elctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere 3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2 horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de produccin, estn disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15. Formule y resuelva esta situacin de mezcla de produccin de programacin lineal para encontrar la mejor combinacin de acondicionadores de aire y ventiladores que produzcan la ganancia mxima. Use el mtodo grfico para hallar la solucin.

82) La administracin de Electrocomp se percata de que no incluy dos restricciones crticas (vea el problema 109).En particular, la administracin decide que para garantizar un suministro adecuado de acondicionadores de aire de un contrato, se deben fabricar, por lo menos, 10 de estos aparatos. Como Electrocomp incurri en una sobreoferta de ventiladores en el periodo precedente, la administracin tambin insiste que no se produzcan ms de 80 ventiladores durante este periodo de produccin. Resuelva este problema de mezcla de productos para encontrar la nueva solucin ptima.

83) Un candidato a alcalde de un pequeo pueblo asign $40,000 para publicidad de ltimo minuto en los das previos a la eleccin. Se utilizarn dos tipos de anuncios: radio y televisin. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisin, que cuesta $500, afectar a unas 7000 personas. Al planificar la campaa de publicidad, la directora de sta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipul que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Adems, el nmero de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al nmero de anuncios de televisin. Cuntos anuncios de cada tipo se debern utilizar? A cuntas personas llegarn?

84) La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de da de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de produccin, estn disponibles 1200 horas de mano de obra segn un acuerdo con el sindicato. La firma tambin dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de da de campo, 6 horas de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarn una ganancia de $20 cada una. Cuntas bancas y mesas de da de campo deber producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia mxima posible? Use el mtodo grfico de programacin lineal.

85) El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoo. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado tambin dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. Cuntos cursos de licenciatura y posgrado debern ser impartidos en el otoo de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mnima expresin?

86) MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea cinco tcnicos, que trabajan 160 horas cada uno al mes en su lnea de ensamble. La administracin insiste en que se mantengan las horas de trabajo (es decir, todas las 160 horas) de cada trabajador durante las operaciones del mes siguiente. Se requieren 20 horas de mano de obra para ensamblar cada computadora Alpha 4 y 25 para elaborar cada modelo Beta 5. MSA desea producir por lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 Beta 5s durante el periodo de produccin. Las Alpha 4s generan $1200 de utilidad por unidad y las Beta 5s producen $1800 cada una. Determine el nmero ms rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente mes.

87) Un ganador de la Texas Lotto decidi invertir $50,000 al ao en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroqumica y una compaa de servicios pblicos. Aunque una meta a largo plazo es obtener los mximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el riesgo que implica la compra de acciones. Se asigna un ndice de riesgo de 1-10 (con 10 como el ms riesgoso) a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada accin por los dlares invertidos en ella. La tabla siguiente proporciona un resumen de la devolucin y el riesgo.

Al inversionista le gustara maximizar el rendimiento de la inversin, pero el ndice de riesgo promedio de sta no deber ser de ms de 6. Cunto deber invertir en cada accin? Cul es el rendimiento estimado de esta inversin?

88) Remtase a la situacin de la Texas Lotto del problema 115, y suponga que el inversionista cambi de actitud sobre la inversin y desea poner mayor atencin en el riesgo de la inversin. Ahora desea minimizar el riesgo de sta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8%. Ordene estos datos como un problema de PL y encuentre la solucin ptima. Cunto deber invertir en cada accin? Cul es el riesgo promedio de esta inversin? Cul es el rendimiento estimado de esta inversin?

89) Woofer Pet Foods produce un alimento de bajas caloras para perros obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90 y cada libra de grano $0.60. Una libra del alimento para perros debe contener por lo menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de granos contiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Ordene estos datos como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perros. Cuntas libras de carne y de granos debern ser incluidas en cada libra de alimento para perros? Cul es el costo y el contenido de vitaminas del producto final?

Captulo IVEl Problema de Transporte

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Tres plantas de energa elctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de kilovatios/hora, proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda mxima en las tres ciudades se calcula en 30, 35 y 25 millones de kilovatios/hora. En la tabla 4-1 se proporciona el precio por milln de kilovatios/hora en las tres ciudades.TABLA 4 - 1Ciudad

123

Planta1$ 600$ 700$ 400

2$ 320$ 300$ 350

3$ 500$ 480$ 450

Durante el mes de agosto hay un incremento de 20% en la demanda en cada una de las tres ciudades, que se puede satisfacer comprndole electricidad a otra red, a un precio ms elevado de 1.000 dlares por milln de kilovatios/hora. Sin embargo la red no est conectada con la ciudad 3. La compaa de servicios pblicos quiere determinar el plan ms econmico para la distribucin y la compra de la energa elctrica adicional.

a) Formule el problema como un modelo de transporte.b) Resuelva el problema con QM oTORA y determine un plan de distribucin ptima para la compaa de servicios pblicos.c) Determine el costo de la energa adicional comprada por cada una de las tres ciudades

2) Resuelva el problema 1 suponiendo que hay una prdida de 10% en la transmisin de la energa a todo lo largo de la red.

3) Tres refineras, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, abastecen a tres reas de distribucin con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta a las tres reas de distribucin a travs de una red de ductos. El costo de transporte es de 10 centavos de dlar por cada 1.000 galones por milla de ducto. La tabla 4 - 3 proporciona el millaje entre las refineras y las reas de distribucin. La refinera 1 no est conectada al rea de distribucin 3.

TABLA 4 3Tabla de distribucin

123

Planta1120180-

230010080

3200250120

a) Construya el modelo de transporte asociado.b) Utilice QM o TORA para determinar el programa de envo ptimo en la red.

4) En el problema 4, supongamos que la capacidad de la refinera 3 es de slo 6 millones de galones y que el rea de distribucin 1 debe recibir toda su demanda. Adems, cualquier faltante en las reas 2 y 3 incurrir en una penalidad de 5 centavos de dlar por galn.

a) Formule el problema como un modelo de transporte.b) Resuelva el modelo resultante con QM o TORA y determine el programa de envo ptimo.

5) En el problema 4, supongamos que la demanda diaria en el rea 3 desciende a 4 millones de galones. La produccin excedente en las refineras 1 y 2 se desva por camin a otras reas de distribucin. El costo de transporte por 100 galones es de 1.50 dlares desde la refinera 1 y 2.30 dlares desde la refinera 2. La refinera 3 puede desviar su produccin excedente a otros procesos qumicos dentro de la planta.

a) Formule el problema como un modelo de transporte. b) Resuelva el modelo por medio de QM oTORA y determine el programa de envo ptimo.

6) JoShop quiere asignar cuatro categoras diferentes de mquinas a cinco tipos de tareas. El nmero de mquinas disponibles en las cuatro categoras es de 25, 30, 20 y 30. El nmero de trabajos en las cinco tareas es de 20, 20, 30, 10 y 25. La categora de mquina 4 no se puede asignar al tipo de tarea 4. La tabla 4 - 4 proporciona el costo por unidad (en dlares) de asignar una categora de mquina a un tipo de tarea. El objetivo de problema es determinar el nmero ptimo de mquinas en cada categora que va a asignarse a cada tipo de tarea. Resuelva el problema por medio de QM oTORA e interprete la solucin.

TABLA 4 - 4Tipo de tarea

12345

Categora de mquina11023159

25101524

315514715

4201513228

7) La demanda de un artculo perecedero a lo largo de los prximos 4 meses es de 400, 300, 420 y 380 toneladas, respectivamente. Las capacidades de oferta para los mismos meses son de 500, 600, 200 y 300 toneladas. El precio de compra por tonelada vara de mes a mes y se calcula en 100, 140, 120 y 150 dlares, respectivamente. Debido a que el artculo es perecedero, la oferta de un mes actual debe comunicarse en el transcurso de 3 meses (incluyendo el mes actual). El costo mensual de almacenamiento por tonelada es de 3 dlares. La naturaleza del artculo no permite tener pedidos pendientes. Resuelva el problema como un modelo de transporte, por medio de QM o TORA y determine el programa de entrega ptimo para el artculo durante los prximos 4 meses.

8) La demanda de un pequeo motor especial a lo largo de los siguientes cinco trimestres es de 200, 150, 300, 250 y 400 unidades. El fabricante que suministra el motor tiene diferentes capacidades de produccin, calculadas en 180, 230, 430, 300 y 300 para los mismos cinco perodos. Los pedidos pendientes no estn permitidos, pero el fabricante puede utilizar horas extra de produccin para satisfacer la demanda, si es necesario. La capacidad de horas extra para cada perodo es igual a la mitad de la capacidad de la produccin regular. Los costos de produccin por unidad de capacidad de la produccin regular. Los costos de produccin por unidad para los cinco perodos son de 100, 96, 116, 102 y 106 dlares, respectivamente. El costo de las horas extra de produccin por motor es 50% ms alto que el costo de la produccin regular. Si un motor se fabrica ahora para utilizarlo en perodos posteriores, se incurre en un costo adicional de almacenamiento de 4 dlares por motor, por perodo. Formule el problema como un modelo de transporte. Utilice QM oTORA para determinar el nmero ptimo de motores que deben fabricarse durante las horas regulares y las horas extra de cada perodo.

9) En el problema de transporte en la tabla 4 - 5, la demanda total excedente a la oferta total. Supongamos que los costos de penalidad por unidad de demanda no satisfecha son de 5, 3 y 2 dlares para los puntos de destino 1, 2 y 3, respectivamente. Determine la solucin ptima.

TABLA 4-5

$5$1$710

$6$4$680

$3$2$515

752050

10) En el problema 9, supongamos que no hay costos de penalidad, pero que la demanda en el punto de destino 3 debe satisfacerse en su totalidad. Encuentre la solucin ptima.

11) En el problema de transporte no equilibrado en la tabla 4 - 6, si una unidad de un punto de origen no se enva (a cualquiera de los pu