Problemas Propuestos de matematicas
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Problemas Propuestos Unidad 4.
17.- Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
a) al 5% efectivo anual.
VA = 100 n= 10 años i= 5% efectivo anual
VF=VA∗(1+ i)n
VF=100∗(1+0,05 )10
VF=100∗1,628894627
VF=162,8894627
b) al 5% capitalizable mensualmente.
VA = 100 n= 10 años i= 5% capitalizable trimestralmente.
VF=VA∗(1+ i)n
VF=100∗(1+ 0,0512 )
12∗10
VF=100∗1,647009498
VF=164,7009498
c) al 5% capitalizable trimestralmente.
VA = 100 n= 10 años i= 5% capitalizable trimestralmente
VF=VA∗(1+ i)n
VF=100∗(1+ 0,054 )
4∗10
VF=100∗1,643619463
VF=164,3619463
d) al 5% capitalizable semestralmente
VA = 100 n= 10 años i= 5% capitalizable semestralmente.
VF=VA∗(1+ i)n
VF=100∗(1+ 0,052 )
2∗10
VF=100∗1,63861644
VF=163,861644
18.- Hallar el valor futuro a interés compuesto de:
a) $5.000 al 6% capitalizable semestralmente en 20 años.
VA = 5000 n= 20 años i = 6% capitalizable semestralmente
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=5.000∗(1+ 0,062 )
2∗20
VF=5.000∗3,262037792
VF=16.310,18896
b) $4.000 al 7% capitalizable semestralmente en 70 años.
VA = 4.000 n= 70 años i = 7% capitalizable semestralmente
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=4.000∗(1+ 0,072 )
2∗70
VF=4.000∗123,4948853
VF=493.979,5411
c) $9.000 al 7 ½ % capitalizable trimestralmente en 12 años.
VA = 9.000 n = 12 años i = 7 ½ % capitalizable trimestralmente.
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=9.000∗(1+ 0,0754 )
4∗12
VF=9.000∗2,439191196
VF=21.952,72077
d) $8.000 al 6 ½ % capitalizable mensualmente en 30 años.
VA = 8.000 n = 30 años i = 6 ½ % capitalizable mensual
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=8.000∗(1+ 0,06512 )
12∗30
VF=8.000∗6,991797982
VF=55.934,38386
19.- Hallar el VF de $20.000 depositados al 8% capitalizable anualmente
durante 10 años 4 meses en forma: a) Teórica, b) Comercial
VA = 20.000 n = 10 años 4 meses i = 8% capitalizable anualmente
a) Teórica:
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=20.000∗(1+0,08 )(10+ 4
12)
VF=20.000∗2,21502589
VF=44.300,51779
b) Comercial: como tiene periodo de capitalización fraccionario, se calculan
los años por interés compuesto y los meses por interés simple
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=20.000∗(1+0,08 )10
VF=20.000∗2,158924997
VF=43.178,49995
ahora calculamos los meses restantes con la formula de valor futuro en interés
simple.
Valor Futuro en interés simple VF=C (1+ i∗t)
VF=43.178,49995∗(1+ 0,08∗412
)
VF=43.178,4995∗1,026666667
VF=44.329,9 2661
20.- Hallar el VF de $10.000 depositados al 8% capitalizable trimestralmente
durante 32 años 7 meses 22 días.
VA = 10.000 i= 8% capitalizable trimestral n= 32 años 7 meses 22 días, lo
que es equivalente a 130 trimestres y 52 días.
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=10.000∗(1+ 0,084 )
130
VF=10.000∗13,12267367
VF=131.226,7367
ahora el periodo fraccionario por interés simple
VF=C (1+ i∗t)
VF=131.226,7367∗(1+ 0,08∗52360 )
VF=132.743,1345
21.- Una persona deposita $3.000 el 22 de abril de 1995, en una caja de
ahorros que paga el 6% capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de
diciembre de cada año. ¿Cuánto podrá retirar el 14 de noviembre del 2002?
VA = 3.000 i = 6% capitalizable semestral
n = del 22 de abril de 1995 al 30 de junio del 1995 = 69 días
del 01 de julio de 1995 al 30 de junio de 2002 = 7 años
del 1 de julio de 2002 al 14 de noviembre de 2002 = 137 días
VF=C (1+ i∗t)
VF=3.000∗(1+ 0,06∗69360 )
VF=3.000∗1,0115
V F=3.034,5
ahora calculamos los periodos completos
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=3.034,5∗(1+ 0,062 )
2∗7
VF=3.034,5∗1,512589725
VF=4.589,95352
ahora calculamos los días restantes por interés simple.
VF=C (1+ i∗t)
VF=4.589,95352∗(1+ 0,06∗137360 )
VF=4.589,95352∗1,022833333
VF=4.694,757459
22.- Un banco pagaba el 5% de interés compuesto, capitalizable
trimestralmente. El 1ª de enero de 1996 modifico la tasa, elevándola al 7%
capitalizable semestralmente. Calcular el monto compuesto que tendrá el 1º de
enero del 2016, un deposito de $10.000 efectuado el 1ª de abril de 1993.
VP = 10.000 i = 7% capitalizable semestralmente
n = 1 de abril de 1993 al 31 de diciembre de 1995 = 11 trimestres.
1 de enero de 1996 al 1 de enero de 2016 = 20 años.
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=10.000∗(1+ 0,054 )
11
VF=10.000∗1,146424215
VF=11.464,24215
Ahora calculamos con la nueva tasa de interés de 7% capitalizable
semestralmente
VF=11.464,24215∗(1+ 0,072 )
40
VF=11.464,24215∗3,959259721
VF=45.389,91218
23.- Un padre muere el 20 de marzo de 1996, y deja a su hija $100.000 para
que les sean entregados al cumplir 18 años. La herencia se deposita en una
cuenta que gana el 6% capitalizable anualmente. El 22 de septiembre del año
en que murió el padre, la hija cumplió 10 años; calcular la cantidad que recibirá
en la edad fijada ( interés real).
VA = 100.000 i = 6% capitalizable anualmente
n = 20 de marzo de 1996 al 31 de diciembre de 1996 = 286 días
1 de enero de 1997 al 31 de diciembre de 2003 = 7 años
1 de enero de 2004 al 22 de septiembre del 2004 = 265 días.
VF=C (1+ i∗t)
VF=100.000∗(1+ 0,06∗286365 )
VF=100.000∗1,047013699
VF=104.701,3699
Ahora calculamos los periodos completos por interés compuesto
VF=VA∗(1+ i)n
VF=104.701,3699∗(1+0,06 )7
VF=104.701,3699∗1,503630259
VF=157.432,1479
Ahora calculamos los días restantes por interés simple
VF=C (1+ i∗t)
VF=157.432,1479∗(1+ 0,06∗265365 )
VF=157.423,1479∗1,043561644
VF=164.290,1511
24.- Hallar el valor futuro de un capital de $100 depositados durante 10 años 5
meses, a la tasa efectiva anual del 6,32%
VA = 100 i = 6,32% n = 10 años 5 meses.
VF=VA∗(1+ i)n
VF=100∗(1+0,0632 )10
VF=100∗1,845651412
VF=184,5651412
Ahora los meses restantes por interés simple
VF=C (1+ i∗t)
VF=184,5651412∗(1+ 0,06∗512 )
VF=184,5651412∗1,025
VF=189,1792698
25.- ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% capitalizable
trimestralmente?
j = 8% capitalizable trimestralmente
1+i=(1+ jm)
m
1+i=(1+0,084 )
4
1+i=1,024
1+i=1,08243216
i=0,08243216
La tasa del 8% capitalizable trimestralmente es igual a una tasa del 8,24312%
efectiva anual.
Ahora se transforma la efectiva anual a una tasa semestral
1+i=(1+ jm)
m
1+0,08243216=(1+ j2 )
2
Elevamos a raíz cuadrada para eliminar el exponente
√1,08243216=1+ j2
1,0404=1+ j2
1,0404−1= j2
2∗0,0404= j
0,0808= j
la tasa del 8% capitalizable trimestral es equivalente a una tasa de 8,08%
capitalizable semestral
26.- Calcular la tasa de interés simple equivalente al 7% capitalizable
semestralmente durante 12 años.
1+i=(1+ jm)
m
1+12∗i=(1+ 0,072 )
12∗2
1+12∗i=2,283328487
12∗i=1,283328487
i=1,28332848712
i=0,10694404
La tasa del 7 % capitalizable semestralmente es igual a la tasa del
10,694404% de interés simple.
27.- Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se
convierten en $12.500 en 5 años
VF = 12.500 VA = 10.000 n= 5 años i = X convertible semestralmente
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
12.500=10.000∗(1+ x2 )
10
12.50010.000
=(1+ x2 )
10
elevamos a raíz decima para eliminar el exponente
10√(12.50010.000 )=1+ x
2
10√1,25=1+ x2
1,022565183 = 1 + x2
1,022565183−1= x2
2∗0,022565183=x
0,045130365=x
la tasa nominal convertible semestralmente es de 4,5130365%
28.- Se estima que un bosque maderable avaluado en $750.000 aumentara su
valor cada año en 8,5% durante los próximos 6 años. ¿Cuál será su valor al final
del plazo calculado?
VA= 750.000 i= 8,5% n= 6 Años
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=750.000∗(1+0,085 )6
VF=750.000∗1,631467509
VF=1.223 .600,632
29.- ¿Cuántos años deberá dejarse un deposito de $6.000 en una cuenta de
ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?
VA = 6.000 i = 8% semestral VF = 10.000
n= logVF−logVPlog(1+i)
n= log10.000−log 6.000
log (1+0,08
2)
n=0,2218487490,017033339
n=13.02438383
el valor de “n” es semestral, por lo tanto lo dividimos por 2 para sacar el valor
en años, lo que da un resultado de 6,512191917 años
30.- Calcular el monto de $4.000 depositados durante 12 años 5 meses al 6,4%
con acumulación semestral.
VP = 4.000 i = 6,4 acumulación semestral n= 12 años 5 meses
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=4.000¿ (1+ 0,0642
)2∗(12+ 5
12)
VF=4.000∗2,186313733
VF=8.745,254939
31.- ¿Qué es mas conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza
duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de
ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?
n = 10 años
Supuesto:
VF= 2 VP=1
Sociedad Maderera
i=n√(VPVP )−1
i=10√ 21−1
i=0,071773462
la tasa de interés de la sociedad maderera equivale a 7,1773462% anual
ahora calculamos la tasa efectiva anual de la cuenta de ahorros
1+i=(1+ jm)
m
1+i=(1+0,064 )
4
1+i=1,061363551
i=0,061363551
la tasa de interés de la cuenta de ahorro es del 6,1363551% anual.
La tasa obtenida en la sociedad maderera es del 7,1773462% anual, por lo
cual es mas conveniente invertir en la sociedad maderera.
32.- Una población aumento de 475.000 habitantes a 1.235.000 en 25 años.
¿Cuál fue el tipo anual aproximado de crecimiento?
VP = 475.000 VP = 1.235.000 n = 25 años
i=n√(VPVP )−1
i=25√( 1.235.000475.000 )−1
i=25√2,6−1
i=0,038960254
la población creció a una tasa de 3,8960254% anual
33.- Un inversionista ofreció comprar un pagare de $120.000 sin intereses que
vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual;
calcular el precio ofrecido.
VF = 120.000 n = 3 años i = 8% anual
VP= VF
(1+i )n
VP= 120.000
(1+0,08 )3
VP= 120.0001,259712
VP=95.259,86892
34.- Un pagare de $18.000 a intereses simples del 6% con vencimiento a 5
años, es comprado por un inversionista 3 años antes de su vencimiento por la
cifra de $20.300. Hallar la tasa efectiva de rendimiento que produce la
inversión.
VP= VF1+i∗n
18.000=20.3001+i∗2
18.000∗(1+i∗2 )=20.300
18.000+36.000∗i=20.300
36.000∗i=20.300−18.000
i= 2.30036.000
i=0,0638
la tasa efectiva es de 6,38%
35.- Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa continua
del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%,
convertible mensualmente.
VP = 20.000 n = 10 años i = 5%
Interés Continuo
VF=VA∗ei∗n
VF=20.000∗e0,05∗10
VF=20.000∗1,648721271
VF=32.974,2541
Interés convertible mensualmente
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=20.000∗(1+ 0,0512 )
120
VF=20.000∗1,647009498
VF=32.940,18997
Problemas Propuestos Capitulo 5
13.- Hallar el valor actual de:
a)$10.000 pagaderos dentro de 10 años al 5% con acumulación anual
VF = 10.000 n= 10 años i= 5% acumulación anual
VP= VF
(1+i )n
VP= 10000
(1+0,05 )10
VP= 10.0001,628894627
VP=6.139,132535
b)$5.000 pagaderos dentro de 6 años al 6% capitalizable trimestralmente
VF = 5.000 n= 6 años i= 6% capitalizable trimestralmente
VP= VF
(1+i )n
VP= 5.000
(1+ 0,064 )
6∗4
VP= 5.0001,429502812
VP=3.497,719598
c)$8.000 pagaderos dentro de 7 ½ años al 8% capitalizable semestralmente.
VF = 8.000 n = 7 ½ años i = 8% capitalizable semestral
VP= VF
(1+i )n
VP= 8.000
(1+ 0,082 )
2∗7,5
VP= 8.0001,800943506
VP=4.442,116022
d)$4.000 pagaderos dentro de 5 años al 7,4% con capitalización anual.
VF = 4.000 n = 5 años i = 7,4% capitalizable anualmente
VP= VF
(1+i )n
VP= 4.000
(1+0,074 )5
VP= 4.0001,428964392
VP=2.799,230004
14-.- Hallar el valor actual de $6.000 pagaderos dentro de 5 años 4 meses al 6%
capitalizable trimestralmente:
VF = 6.000 i = 6% capitalizable trimestralmente n= 5 años 4 meses
n = 21 trimestres 1 mes
a) según la regla comercial.
VP= VF
(1+i )n
VP= 6.000
(1+ 0,064 )
21
VP= 6.0001,367057832
VP=4.388,987694
Ahora el valor que tenemos, según regla comercial, lo calculamos por el mes
restante con la formula de interés simple.
VP= VF1+i∗n
VP=4.388,987694
1+0,06∗1
12
VP=4.388,9876941,005
VP=4.367,151934
b) Efectuando el calculo teórico.
VP= VF
(1+i )n
VP= 6.000
(1+ 0,064 )4∗(5+ 4
12)
VP= 6.0001,373859226
VP=4.367,259676
15.- Hallar el valor actual de $96.000 pagaderos dentro de 20 años al 8% con
capitalización mensual.
VF = 96.000 n = 20 años i = 8% capitalización mensual
VP= VF
(1+i )n
VP= 96.000
(1+ 0,0812 )
12∗20
VP= 96.0004,926802775
VP=19.485,2533
16.- Hallar la cantidad que es necesario depositar en una cuenta que paga el
8% capitalización trimestral, para disponer de $20.000 al cabo de 10 años
VF = 20.000 n = 10 años i = 8% capitalización trimestral
VP= VF
(1+i )n
VP= 20.000
(1+ 0,084 )
4∗10
VP= 20.0002,208039664
VP=9.057,808304
17.- ¿Qué oferta es mas conveniente para la venta de una propiedad, si la tasa
de interés es del 10%, con capitalización semestral?
a) $ 60.000 al contado
b) $ 30.000 al contado y $ 35.000a 3 años plazo.
i = 10 % capitalización semestral
para comparar ambas opciones traemos a valor presente los $35.000 a 3 años
plazo le sumamos los 30.000 y los comparamos con la primera oferta.
VP= VF
(1+i )n
VP= 35.000
(1+ 0,102 )
2∗3
VP= 35.0001,340095641
VP=26.117,53888
26.117,53888 + 30.000 = $56.117,53888
La oferta A de $60.000 es mayor a la oferta B de $56.117,53888
Por lo tanto, la oferta mas conveniente en la oferta A
18.-Una persona vende una propiedad avaluada en $120.000 y por ella ofrecen
$70.000 al contado. ¿ por cuanto debe aceptar un pagare por el saldo a 2 años
de plazo, si el tipo de interés es del 9%, capitalización trimestral?
VP =120.000 i = 9% capitalización trimestral n = 2 años
Pago al contado = 70.000
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=50.000∗(1+ 0,094 )
8
VF=50.000∗1,194831142
VF=59.741,55709
19.- Una persona posee un pagare de $60.000 a 5 años de plazo a un interés del
8%, con acumulación semestral. Tres años antes de su vencimiento lo ofrece en
venta a un prestamista que invierte al 10%, con capitalización trimestral. ¿qué
suma le ofrece el prestamista?
VP = 60.000 i = 8% acumulación semestral n = 5 años
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=60.000∗(1+ 0,082 )
2∗5
VF=60.000∗1,480244285
VF=88.814 .61571
ahora el valor futuro obtenido lo traemos a 3 años antes de su vencimiento a
una tasa de interés del 10% con capitalización trimestral
VP= VF
(1+i )n
VP=88.814,61571
(1+ 0,104 )
4∗3
VP=88.814,65711.34488824
VP=66.038,66097
20.- Un comerciante compra $100.000 en mercancías y paga $20.000 al
contado, $40.000 en un pagare a 3 meses y $40.000 a 6 meses. Hallar el valor
de contado de la mercancía, si la tasa de interés local es del 9%, con
capitalización mensual.
0 3 6
20.000 40.000 40.000
VP= VF
(1+ I )n
VP=20.000+ 40.000
(1+ 0,0912 )
12∗3+ 40.000
(1+ 0,0912 )
12∗6
VP=20.000+ 40.0001,308645371
+ 40.0001,712552707
VP=20.000+30.565,95842+23.356,94536
VP=73.922,90378
21.- Una persona debe pegar $50.000 dentro de 2 años; el acreedor acepta un
pago al contado de $20.000 y un nuevo pagare a 3 años. Hallar el valor del
nuevo pagare a la tasa del 8%, con acumulación semestral.
VP = 50.000 i = 8% acumulación semestral n = 2 años
VP = 20.000 n = 3 años
Fecha focal = año 3
los $20.000, como son al contado, los llevamos a la fecha focal ( año 3)
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=20.000∗(1+ 0,082 )
2∗3
VF=20.000∗1,265319018
VF=25.306,38037
ahora los $50.000 los llevamos a la fecha focal (año 3)
VF=50.000∗(1+ 0,082 )
2
VF=50.000∗1,0816
VF=54.080
ahora descontando los $20.000 al contado a valor futuro a los $50.000 a valor
futuro, nos da el valor del nuevo pagare
valor nuevo pagare = 54.080 – 25.306,38037 = 28.773,61963
22.- Un acreedor de una sociedad en liquidación acepta que se le pague al
contado el 75% del valor de dos pagares a cargo de la sociedad; uno de
$50.000 esta vencido desde hace 18 meses y el otro por $60.000 vence dentro
de 15 meses, si el rendimiento convenido es del 10% con acumulación
trimestral, hallar la suma que recibe el acreedor.
VF=V A∗(1+ im )
n∗m
VP= VF
(1+i )n
50.000∗(1+ 0,14 )
6
+ 60.000
(1+ 0,14 )
5
50.000∗1,159693418+ 60.0001,131408213
57.984,67091+53.031,25726
VP=111.015,9282
el acreedor acepta recibir el 75% del valor de los pagares y este valor es
111.015,9282∗75 %
83.261,9413
23.- Un pagare de $8.000 pagaderos dentro de 2 años y otro de $10.000
pagaderos dentro de 5 años van a liquidarse en un pago único dentro de 3 ½
años. Hallar el valor del pago único a la tasa del 9%, convertible
semestralmente.
VP = 8000 n = 2 años
VP = 10.000 n = 5 años
Fecha focal = año 5 i = 9% convertible semestralmente
0 1 2 3 4 5 años
8.000 10.000
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VP= VF
(1+i )n
al lado izquierdo calculamos el valor futuro de los pagos y al lado derecho
calculamos el valor al año 3 ½ del nuevo pagare
10.000+8.000 (1+ 0,092 )
2∗3
=X∗(1+ 0,092 )
3
10.000+8.000∗1.302260125=X∗1,1411166125
10.000+10.418,0811,1411166125
=X
20.418 .0811,1411166125
=X
17.893 .07139=X
La X representa el valor del pagare que se pagare al 3 ½ año.
24.- Una persona debe $20.000 pagaderos dentro de 3 años y $40.000
pagaderos dentro de 5 años. Hallar el valor de dos pagos iguales, a 2 y 4 años,
que sustituyen las deudas con el tipo de interés del 6% con capitalización
semestral.
VP = 20.000 n = 3 años
VP = 40.000 n = 5 años
i = 6% capitalización semestral Fecha Focal = año 5
Fecha nuevo pagares = año 2 y años 4
0 1 2 3 4 5 años
x 20.000 x 40.000
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VP= VF
(1+i )n
40.000+20.000∗(1+ 0,062 )
2∗2
=X∗(1+ 0,062 )
2∗3
+X∗(1+ 0,062 )
2
40.000+20.000∗1,12550881=X∗1,194055297+X∗1,0609
62.510,1762=2,255852297∗X
62.510 .17622,254952297
=X
x=27.721,28541
la X representa el valor de los nuevos pagares.
25.- Una persona vende un terreno y recibe dos pagares de $60.000 a 2 y 4
años de plazo. Hallar el valor de contado, si el rendimiento es del 8% con
capitalización semestral.
VF = 60.000 i = 8% capitalización semestral
n = 2 y 4 años
0 1 2 3 4 5 años
60.000 60.000
VP= VF
(1+i )n
VP= 60.000
(1+ 0,082 )
2∗2+ 60.000
(1+ 0,082 )
2∗4
VP= 60.0001,16985856
+ 60.0001,36856905
VP=51.288,25146+43.841,41231
VP=95.129,66377
26.- Una persona debe $100.000 y propone efectuar tres pagos anuales iguales
sucesivos. Si el tipo de interés es del 7% capitalizable anual, hallar el valor de
estos pagares.
VF = 100.000 i = 7% capitalizable anual
n = 1, 2 y 3 años
0 1 2 3 4 5 años
x x x
VP= VF
(1+i )n
x1+0,07
+ x
(1+0,07 )2+ x
(1+0,07 )3=100.000
x1,07
+ x1,1449
+ x1,225943
=100.000
x=38105
27.- Hallar el tiempo equivalente para el pago de las siguientes deudas:
$10.000 a 4 años, $8.000 a 3 años y $6.000 a 2 años. Tasa efectiva del 8%
VF = 10.000 n = 4 años
VF = 8.000 n = 3 años
VF = 6.000 n = 2 años
i = 8%
0 1 2 3 4 5 años
6.000 8.000 10.000
VP= VF
(1+i )n
24.000
(1+0,08 ) x= 6.000
(1+0,08 )2+ 8.000
(1+0,08 )3+ 10.000
(1+0,08 )4
24.000∗(1,08 )− x=5.144,032922+6.350,657928+7.350,298528
24.000∗(1,08 )− x=18.844,98938
1,08−x=18.844,9893824.000
1,08−x=0,7852078907
aplicamos logaritmo natural (ln) para eliminar el exponente
−x ln 1,08=ln0,7852078907
−x= ln 0,7852078907ln 1,08
−x=−3,141937332
multiplicamos por -1 para dejar todo positivo
x=3,141937332
el tiempo obtenido es de 3,141937332 años
28.- Una deuda de $5.000 a 2 años, y otra de $8.000 a 4 años, se liquidan con un
pago único de $12.800 a 3 años. Analizar el problema.
0 1 2 3 4 5 años
5.000 12.800 8.000
VF=VA∗(1+ i)n
VP= VF
(1+ I )n
5.000∗(1+ x )+ 8.0001+x
=12.800
29.- ¿a que tasa efectiva, un pago único de $20.000 hoy sustituye dos pagares
de $11.000 cada uno, con vencimiento a 1 y 2 años respectivamente?
0 1 2 3 4 5 años
11.000 11.000
VP= VF
(1+i )n
20.000=11.0001+x
+ 11.000
(1+x )2
20.000=11.000∗(1+x )+11.000
(1+x )2
20.000∗(1+x )2=11.000∗(1+x )+11.000
20.000∗(1+x )2−11.000∗1+x¿−11.000=0
ahora dividimos por 1.000 para trabajar con números mas pequeños
20∗(1+x )2−11 (1+x )−11=0
ahora (1+i) lo reemplazamos por X para trabajar más fácil con el
x=(1+i)
20∗x2−11∗x−11=0
ahora utilizamos la formula de ecuación cuadrática, la cual es:
x=−b±√(b2−4∗a∗c)
2∗a
x=11±√¿¿¿
x=11±√1.00140
x1=1,065964601x 2=−0,515964601
ahora que tenemos el valor de x, lo reemplazamos en x = (1+i)
1,065964601=1+i
1,065964601−1=i
0,065964601=i
la tasa efectiva de los pagares es del 6,5964601%
30.- Una persona debe $20.000 a 3 años de plazo al 10% acumulable
semestralmente y $30.000 sin intereses, a 2 años de plazo. Propone la
siguiente operación comercial a la tasa efectiva del 9%: pagar $10.000 al
contado, $25.000 a 2 años de plazo y el saldo a 3 años. Hallar el monto del
ultimo pago.
Fecha focal : año 3
0 1 2 3 4 5 años
10.000 25.000 30.000
VF=VA∗(1+ im )
n∗m
VF=20.000∗(1+ 0,012 )
6
VF=20.000∗1,340095641
VF=26.801,91281
ahora llevamos los 30.000 a la fecha focal
VF=30.000∗(1+0.9 )
VF=30.000∗1,09
VF=32.700
ahora los montos a repactar, que son los 10.000 y los 25.000 los llevamos a la
fecha focal para saber su valor
VF=10.000∗(1+0,09 )3
VF=10.000∗1,295029
VF=12.950 .29
VF=25.000∗(1+0,09 )
VF=25.000∗1,09
VF=27.250
ahora que tenemos todos los montos en valor futuro, procedemos a comparar y
descontar.
26.801,91281+32.700=59.501,91281
a los 59.501,91281 les descontamos los 10.000 en valor futuro y los 25.000 en
valor futuro, y el resultado es el valor del 3 pago.
59.501,91281−12.950,29−27250=19.301,62281
el monto del ultimo pago es de 19.301,62281