PROBLEMAS DE M

PROBLEMAS DE M.C.D. Y M.C.M. RESUELTOS

Mara quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en cuadrados iguales,grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningun trozo de cartulina.Cunto medir el lado de cada cuadrado?

Lo haremos utilizando el m.c.d. y vamos a explicar por qu:

1 Vamos a dividir en partes iguales. Para que no le sobre ningn trozo, calculamos los divisores del 40 y del 30:

divisores del 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

2 Como el ancho y el largo de un cuadrado son iguales, buscamos los divisores comunes:

divisores comunes del 40 y del 30: 1, 2, 5 y 10

3 Para que el cuadrado sea tan grande como se pueda, escogemos el mayor de estos divisores comunes, o sea el mximo comn divisor.

m.c.d.(30, 40) = 10

Respuesta: Cada cuadrado har 10 cm. de lado.

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Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez.De aqu a cuantas horas volver a tomarselos a la vez ?

En este caso, utilizaremos el m.c.m.

Estamos buscando un nmero de horas que ser mayor o igual a 12,buscamos un n que sea mltiplo de 8 y de 12 a la vez,de todos los mltiplos que lo cumplen nos interesa el ms pequeo.Por tanto, hacemos el mcm.

m.c.m.(8, 12) = 24

Respuesta: dentro de 24 horas se tomar ambos medicamentos a la vez.__________________________________________________

Eva tiene una cuerda roja de 15 m. y una azul de 20 m.Las quiere cortar en trozos de la misma longitud, de forma que no sobre nada.Cul es la longitud mxima de cada trozo de cuerda que puede cortar?

Estamos buscando un n que sea divisor de 15 y de 20 a la vez,de los nmeros que cumplan esto, escogeremos el mayor.

m.c.d.(15, 20) = 5

Respuesta: la longitud de cada trozo de cuerda ser de 5 m._____________________________________________

Lus va a ver a su abuela cada 12 das, y Ana cada 15 das.Hoy han coincidido los dos. De aqu a cuantos das volvern a coincidir en casa de su abuela?

Estamos buscando un n que ser mayor o igual a 15, que es un mltiplo de 12 y de 15 a la vez.De todos los mltiplos que lo cumplen escogemos el ms pequeo.Por tanto buscamos el m.c.m.

m.c.m.(12, 15) = 60

Respuesta: Volveran a coincidir dentro de 60 das.

Mximo Comn Divisor y Mnimo ComnMltiplo

Problema 46:

Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda11 y el tercero tarda12 segundos a dar una vuelta a la pista. Al cabo de cuntos segundos pasarn juntos por la lnea de salida?

SOLUCIN MCD y MCM 46Problema 45:

Hallar dos nmeros cuyo producto sea 7007 y su m.c.d 7.

SOLUCIN MCD y MCM 45Problema 44:

Hallar dos nmeros tales que su m.c.d. sea 36 y su m.c.m 5148

SOLUCIN MCD y MCM 44Problema 43:

Qu cifras deben sustituirse por los asteriscos del nmero 3*33*5, para que el nmero resultante sea divisible por 1125?

SOLUCIN MCD y MCM 43Problema 42:

Cul es el menor nmero no divisible por 4,6,9,11 y12 que al dividirlo por stos, se obtienen restos iguales?

SOLUCIN MCD y MCM 42Problema 41:

Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma lnea de una pista circular. En cada vuelta tardaron, respectivamente, 8, 10 y 12 segundos. Cuntas vueltas habr dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la lnea de partida?

SOLUCIN MCD y MCM 41Problema 40:

Seis campana tocan a intervalos de 3, 5, 7, 8, 9, 19 segundos, respectivamente. Qu tiempo pasar entre dos toques simultneos de todas las campanas?

SOLUCIN MCD y MCM 40Problema 39:

En un escollo hay 3 faros: uno gira en 2 minutos 12 segundos; otro en 3 minutos 7 segundos; el tercero, en 3 minutos 24 segundos. Lucen juntos a las 12 de la noche. Cundo volvern a lucir juntos?

SOLUCIN MCD y MCM 39Problema 38:

Cuatro hombres pueden caminar 105, 112, 126 y 168 km, respectivamente, por semana. Cul es la menor distancia que todos ellos pueden caminar en un nmero exacto de semanas?

SOLUCION MCD y MCM 38Problema 37:

Se tienen dos aljibes con 216 litros y 360 litros de vino, respectivamente. Se quiere trasvasar dicho vino a pequeos recipientes iguales, de forma que el nmero de ellos sea el menor posible y que contengan el vino, sin mezclar el de los aljibes. Qu cantidad tendr cada recipiente? Cuntos se emplearn para cada aljibe?

SOLUCIN MCD y MCM 37Problema 36:

Se pueden disponer en rectngulo 97 objetos?, y 415 objetos?

SOLUCIN MCD y MCM 36Problema 35:

De cuntas maneras se pueden colocar en rectngulo de varias filas 24 rboles?, y 30 rboles?, y 42 rboles?

SOLUCIN MCD y MCM 35Problema 34:

Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos das, el segundo cada seis das y el tercero cada ocho das. Si salieron juntos el 1 de mayo, qu da volver a salir juntos por primera vez?

SOLUCIN MCD y MCM 34Problema 33:

Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensin posible, para caber un nmero entero de veces en cada lado. Cul es esta dimensin y cuntas baldosas se emplearon?

SOLUCIN MCD y MCM 33Problema 32:

En una carretera hay mojones que sealan los hectmetros y postes de red elctrica cada 36 metros. Si en un punto coinciden ambos, a qu distancia coinciden de nuevo?

SOLUCIN MCD y MCM 32Problema 31:

Juan va a visitar a su abuela cada cinco das, y su primo Enrique cada siete das. Cada cuntos das coinciden all?

SOLUCIN MCD y MCM 31Problema 30:

Una campana tae cada 12 minutos y otra cada 15 minutos. Habiendo sonado juntas a las 12, a qu hora sonarn de nuevo?

SOLUCIN MCD y MCM 30Problema 29:

Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 aos y otro cada 60 aos. Habindose aproximado juntos al Sol en 1950, di la fecha ms cercana en que volvern a hacerlo juntos.

SOLUCIN MCD y MCM 29Problema 28:

Dos caones disparan cada 3 minutos uno y cada 5 minutos otro. Comienzan los dos al mismo tiempo. Al cabo de cunto tiempo dispararn juntos y cuntos caonazos habrn disparado para entonces cada uno?

SOLUCIN MCD y MCM 28Problema 27:

Halla la cabida de un tonel sabiendo que es la menor posible que se puede llenar exactamente con botellas de 60 cl, 90 cl, 1 litro y 2 litros.

SOLUCIN MCD y MCM 27Problema 26:

Por cunto multiplicaremos

para que el producto sea

SOLUCIN MCD y MCM 26Problema 25:

Por cunto habr que multiplicar

para que el producto sea la unidad seguida de seis ceros?

SOLUCIN MCD y MCM 25Problema 24:

Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 108 segundos y otro 120 segundos. Si los dos salen al mismo tiempo de la meta, Cundo volvern a coincidir en la misma?. Cuntas vueltas habr dado cada uno?

SOLUCIN MCD y MCM 24Problema 23:

Cul es el volumen del mayor trozo cbico que cabe exactamente en dos cajas de 276 y 345 dm3de capacidad? Cuntas veces cabr en cada caja?

SOLUCION MCD y MCM 23Problema 22:

Los libros de una biblioteca no pasan de 10000 y se pueden empaquetar por docenas, de 27 en 27 y de 49 en 49, sin que sobre ni falte ninguno. Cuntos son?

SOLUCIN MCD y MCM 22Problema 21:

Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. Cuntos son?

SOLUCIN MCD y MCM 21Problema 20:

Hallar el mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo de 6120 y 378

SOLUCIN MCD y MCM 20Problema 19:

El da 5 de marzo, y en un momento dado, se oyen cuatro campanas que tocan a la vez. Sabiendo que stas tocan cada 6,8,10 y 12 das, respectivamente, cul ser el primer da que vuelvan a tocar al mismo tiempo?

SOLUCIN MCD y MCM 19Problema 18:

Hallar tres nmeros enteros que, multiplicados respectivamente por 858, 2508 y 4554, den productos iguales. Se sabe que este producto est comprendido entre 8.000.000 y 10.000.000.

SOLUCIN MCD y MCM 18Problema 17:

Un empleado trabaja 5 das seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo en lunes. Cuntos das tienen que transcurrir para que le toque descansar en domingo?

SOLUCIN MCD y MCM 17Problema 16:

Calcular la capacidad mxima que ha de tener una vasija para que, con ella, se puedan medir exactamente los contenidos de tres recipientes de 1092, 1386 y 756 litros.

SOLUCIN MCD y MCM 16Problema 15:

Hallar el menor nmero por el cual hay que dividir 108675, para que su cociente sea un cuadrado perfecto.

SOLUCIN MCD y MCM 15Problema 14:

Hallar el menor nmero por el cual hay que multiplicar 4662, para que su producto sea divisible 3234.

SOLUCIN MCD y MCM 14Problema 13:

Qu mltiplos de 90 y 120 hay entre 400 y 800?

SOLUCIN MCD y MCM 13Problema 12:

Qu mltiplos comunes de 15 y 16 hay entre 300 y 600?

SOLUCIN MCD y MCM 12Problema 11:

Hallar un nmero comprendido entre 80000 y 100000, que sea divisible por 182 y 2156.

SOLUCIN MCD y MCM 11Problema 10:

Hallar todos los divisores del nmero 1134000 que sean cubos perfectos.

SOLUCIN MCD y MCM 10Problema 9:

Hallar el menor mltiplo de 168 y 1116, que sea divisible por 210.

SOLUCIN MCD y MCM 9Problema 8:

Hallar todos los divisores del nmero 5292 que sean cuadrados perfectos.

SOLUCIN MCD y MCM 8Problema 7:

Dgase qu nmeros comprendidos entre 75000 y 120000, son divisibles por 28, 72,147 y 539.

SOLUCIN MCD y MCM 7Problema 6:

Hallar todos los divisores primos no comunes de los nmeros 2660 y 7130.

SOLUCIN MCD y MCM 6Problema 5:

Hallar todos los divisores primos comunes de los nmeros 13299 y 3003.

SOLUCIN MCD y MCM 5Problema 4:

Hallar el mayor divisor comn de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.

SOLUCIN MCD y MCM 4Problema 3:

Hallar el mximo comn divisor de 13631 y 16167

SOLUCIN MCD y MCM 3Problema 2:

Cul es el menor nmero entero que, multiplicado por 429975, da un producto cuya raz cuadrada es exacta?

SOLUCIN MCD y MCM 2Problema 1:

Sabiendo que 435600 tiene raz cuadrada exacta, hallar el valor de sta sin recurrir a la regla general para su extraccin

SOLUCIN MCD y MCM 11Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.Averigua las veces que volvern a coincidir en los cinco minutos siguientes.

2Un viajero va a Barcelona cada 18 das y otro cada 24 das. Hoy han estado los dos en Barcelona.

Dentro de cuantos das volvern a estar los dos a la vez en Barcelona?

3Cul es el menor nmero que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9?

4En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto nmero de garrafas iguales. Calcular las capacidades mximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el nmero de garrafas que se necesitan.

5El suelo de una habitacin, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.

Calcula el lado de la baldosa y el nmero de las baldosas, tal que el nmero de baldosas que se coloque sea mnimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

6Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo nmero de manzanas o de naranjas y, adems, el mayor nmero posible. Hallar el nmero de naranjas de cada caja y el nmero de cajas necesarias.

7Cunto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un nmero exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? Y cuntasSolucin del ejercicio 1

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.

Averigua las veces que volvern a coincidir en los cinco minutos siguientes.

Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en segundos.

12 = 22 3

18 = 2 3260 = 22 3 5

m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 32 5 = 180

180 : 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos siguientes slo coinciden una vez.

Slo a las 6.33 h.

Solucin del ejercicio 2

Un viajero va a Barcelona cada 18 das y otro cada 24 das. Hoy han estado los dos en Barcelona.

Dentro de cuantos das volvern a estar los dos a la vez en Barcelona?

18 = 2 3224 = 23 3

m. c. m. (18, 24) =23 32= 72

Dentro de 72 das.Solucin del ejercicio 3

Cul es el menor nmero que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da resto 9?

m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 24 32 5 = 720

720 + 9 =729Solucin del ejercicio 4

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto nmero de garrafas iguales. Calcular las capacidades mximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el nmero de garrafas que se necesitan.

m. c. d. (250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 l.

Nmero de garrafas de T1= 250/10 = 25

Nmero de garrafas de T2= 360/10 = 36

Nmero de garrafas de T3= 540/10 = 54

Nmero de garrafas = 25 + 36 + 54 =115 garrafas.

Solucin del ejercicio 5

El suelo de una habitacin, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.

Calcula el lado de la baldosa y el nmero de la baldosas, tal que el nmero de baldosas que se coloque sea mnimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

Como las baldosas se suelen medir en centmetros, pasamos todo a centmetros.

3 m = 300 cm = 2 3 5

5 m = 500 cm = 2 5

A = 300 500 = 150000 cm2m. c. d. (300, 500) = 2 5 = 100 cmde lado

Ab= 1002= 10000 cm2150000 : 10000=15 baldosasSolucin del ejercicio 6

Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo nmero de manzanas o de naranjas y, adems, el mayor nmero posible. Hallar el nmero de naranjas de cada caja y el nmero de cajas necesarias.

Calculamos el mximo comn divisor.

12 028 = 2 31 97

12 772 = 2 31 103

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Cajas necesarias = 103 + 97 =200Solucin del ejercicio 7

Cunto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un nmero exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? Y cuntas baldosas se necesitan?

Pasamos las unidades a centmetros porque las baldosas se miden en centmetros.

8 m = 800 cm = 25 5 cm

6.4 m = 640 cm = 27 5 cm

m. c. d. (800, 640) = 25 5 =160 cmde ladoAb= 1602= 25600 cm2A = 800 640 = 512000 cm2512000 : 25600 =20 baldosas