Conceptos MCD

8/17/2019 Conceptos MCD

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CONCEPTOS GENERALES

MECÁNICA DE MATERIALES


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INTRODUCCIÓN La Mecánica de Materiales es una rama de la Mecánica Aplicada que estudia elcomportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a varios tipos de cargas. Tambiénrecibe el nombre de Mecánica de Cuerpos Deformables o Resistencia de Materiales.

El objetivo principal de la Mecánica de Materiales es determinar los esfuerzos,deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y sus componentes

debido a las cargas que actúan sobre ellas.La Mecánica se divide en:

Mecánica de Cuerpos Rígidos: establece que los cuerpos a considerar no sedeforman aunque estén sujetos a grandes fuerzas.

Mecánica de Cuerpos Deformables: se refiere a los objetos sólidos que no son

rígidos y se deforman en cierto grado aunque se le apliquen cargas pequeñasMecánica de Fluidos: se refiere al estudio del comportamiento de los líquidos y delos gases.

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RESEÑA HISTÓRICA El desarrollo histórico de la mecánica de materiales es una mezcla tanto de teoría como deexperimentación. La teoría ha señalado el camino para obtener resultados útiles enalgunos casos y la experimentación lo ha hecho en otros.

Algunos personajes famosos como Leonardo da Vinci (1452-1519) y Galileo Galilei (1564-

1642) realizaron experimentos para determinar la resistencia de alambres, barras y vigas,aunque no desarrollaron teorías adecuadas (con respecto a las normas actuales) paraexplicar los resultados de sus pruebas.

En contraste, el famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló la teoríamatemática de las columnas y en 1744 calculó la carga crítica de una columna, muchoantes que existiera alguna evidencia experimental que demostrara la importancia de susresultados.

Los resultados de Euler permanecieron sin usarse durante más de cien años, aunque en laactualidad constituyen la base del diseño y análisis de la mayoría de las columnas.

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RESEÑA HISTÓRICA El estudio teórico – experimental continuó en Francia con personajescomo Barre de Saint Venant (1797 – 1886), Simeon Denis Poisson (1781 – 1840), Louis Marie Henri-Navier (1785 – 1836), los cuales basaron susinvestigaciones en aplicaciones de la mecánica a los materiales y

llamaron a este estudio Resistencia de Materiales.

Actualmente se aplican matemáticas avanzadas y técnicas decomputación para resolver problemas más complejos, lo que extendióla Mecánica de Materiales a otras áreas tales como La Teoría de la

Elasticidad y Teoría de la Plasticidad.

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MIEMBROS ESTRUCTURALES

Barras y ejes prismáticos

Alambres y cablesArmaduras

Mecanismos

Vigas.

TIPOS DE CARGAS

Los tipos de cargas serán de lossiguientes tipos:

Puntuales: Axiales en ejes o barras

Transversales en vigas

Distribuidas uniformemente ovariables:• Axiales en ejes o barras

• Transversales en vigas

Pares flexionantes en vigas.

Pares torsionales puntuales enejes.

Pares torsionales distribuidos enejes.

Efectos de temperatura en ejes obarras.

Deformaciones inducidas en ejes obarras.


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ESFUERZOS

El esfuerzo es la fuerza por unidad de área. Estos puedenser: normales y cortantes.

ESFUERZOS NORMALES

El esfuerzo normal es el esfuerzo en dirección

perpendicular a la sección plana y se denota por la letragriega σ (sigma).

Donde

P es la fuerza axial que actúa en el centroide de la sección.A es el área nominal de la sección transversal de la barraprismática.

Las unidades comunes de esfuerzo son lb/plg2 o klb/plg2,para el sistema norteamericano y N/m2 o kN/m2 para elsistema internacional.

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DEFORMACIÓN NORMAL

Alargamiento o acortamientolongitudinal de un elemento recto,

definido por la letra griega delta (δ).

−

= deformación axial de la barra;puede ser de alargamiento o deacortamiento.

= longitud final de la barra, luegode aplicada la fuerza axial.

L = Longitud sin deformar de labarra.

DEFORMACIÓN UNITARIA AXIAL

La deformación unitaria puede darsepor tensión o por compresión.

ϵ = es la deformación unitaria.

Unidades: cantidad adimensional,

aunque puede usarse en mm/m,in/in, etc.

Condiciones:

Material homogéneo en toda labarra prismática: Debe tener lamisma composición (y enconsecuencia las mismaspropiedades elásticas) en cadapunto.

Carga aplicada en el centroide de lasección.


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Ejemplo

Un poste corto, construido con untubo circular hueco de aluminio,soporta una carga de compresión de26 klb.

Los diámetros interior y exterior deltubo son d 1 = 4.0 plg y d 2 = 4.5 plg,respectivamente, y su longitud es 16plg. El acortamiento del poste debidoa la carga es de 0.012 plg.

Determine el esfuerzo de compresióny la deformación unitaria en el poste.

(Desprecie el peso propio del poste.)

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PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS

MATERIALESENSAYO DE TENSIÓN

Muestra calibrada de la ASTM:

L = 2.0 in, d = 0.505 in

ASTM = American Society of Testingand Material.

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ENSAYOS DE TENSIÓN

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ENSAYOS DE TENSIÓN

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Estricción de una barra de acero dulce en tensión.


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ENSAYOS DE TENSIÓN

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DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA

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Comportamiento Elástico: en la región lineal se puede obtener el módulode elasticidad o módulo de Young.

∆∆

Límite de proporcionalidad: punto donde el material deja de ser elástico.Esfuerzo de Cedencia: ( − ) aquel que hace que el material deja deser elástico y se adquiere deformaciones permanentes.

Esfuerzo ultimo: es el máximo esfuerzo que puede resistir el material.

Módulo de resiliencia: es el área bajo la curva en el tramo de la región

elástica y representa la capacidad del material de absorber energía sindeformarse.

Tenacidad: es el área bajo toda la curva de esfuerzo vs deformaciónunitaria y representa la capacidad del material de absorber y liberarenergía dentro del intervalo elástico.

MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN 14


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MÉTODO DE DESPLAZAMIENTO PARA ESTABLECER EL

ESFUERZO DE FLUENCIA

Se aplica para gráficas demateriales sin punto de fluenciabien definido.

Se traza una línea recta paralelaal tramo inicial de la curva,desplazada hasta unadeformación unitaria de 0.002(0.2%).

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DEFINICIONES BÁSICAS

Resistencia: es un término que se refiere a la capacidad de una estructura para resistircargas.

Rigidez: se refiere a la capacidad de una estructura para resistir cambios de forma (porejemplo para resistir alargamiento, flexión o torsión.

Elasticidad: propiedad de un material de volver a sus dimensiones originales cuando sedescarga.

Plasticidad: característica de un material de sufrir deformaciones unitarias inelásticas,más allá de la deformación unitaria en el límite elástico.

Flujo plástico: deformación unitaria grande en la región plástica.

Termofluencia: deformación unitaria adicional de un material que es cargado duranteperiodos largos.

Material isotrópicos: material que tiene las mismas propiedades en todas lasdirecciones (ya sea axial, lateral o cualquier otra dirección).

Material anisotrópicos: Si las propiedades difieren en distintas direcciones.

La fatiga: se define como el deterioro de un material por acción de ciclos repetidos deesfuerzo y deformación, lo que resulta en un agrietamiento progresivo que finalmenteproduce la fractura.

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P (lb) (pulg)

0 0

1000 0.0002

2000 0.0006

6000 0.0019

10000 0.003312000 0.0040

12900 0.0043

13400 0.0047

13600 0.0054

13800 0.0063

14000 0.0090

14400 0.0102

15200 0.0130

16800 0.023018400 0.0336

20000 0.0507

22400 0.1108

22600 0.1200

s (psi) e (pulg/pulg) 0 0

4992.6 0.00010

9985.2 0.00030

29955.6 0.00095

49926.1 0.0016559911.3 0.00200

64404.6 0.00215

66900.9 0.00235

67899.5 0.00270

68898.0 0.00315

69896.5 0.00450

71893.5 0.00510

75887.6 0.00650

83875.8 0.0115091864.0 0.01680

99852.1 0.02535

111834.4 0.05540

112832.9 0.06000

Longitud = 2.000 pulg

Diámetro = 0.505 pulg


EJEMPLO 1

Datos GráficoCálculos


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EJEMPLO 2

s

(MPa)

e (m/m)

0.00 0.00000

8.00 0.00320

17.50 0.00730

25.60 0.01110

31.10 0.01290

39.80 0.01630

44.00 0.01840

48.20 0.02090

53.90 0.02600

58.10 0.03310

62.00 0.04290

62.10

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500

s (Mpa)

e

Datos L-1Gráfico L-2


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ENSAYO DE COMPRESIÓN DE CILINDROS DE CONCRETO.

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El espécimen de concreto para ensayos de compresión deberá tener lasdimensiones siguientes:

L = 12 plg, d = 6 plg (ASTM).


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LEY DE HOOKE Se le llamó así a esta ecuación en honor del famoso científico inglesRobert Hooke (1635-1703), quien fue la primera persona queinvestigo científicamente las propiedades elásticas de los materiales y

probo varios de ellos como metal, madera, piedra, hueso y tendones.Esta ecuación representa la relación lineal entre el esfuerzo y ladeformación unitaria para una barra en tensión o compresión simple.

El módulo de elasticidad con frecuencia se llama módulo de Young,en honor de otro científico ingles, Thomas Young (1773-1829), quien

introdujo la idea de un “modulo de la elasticidad” en conexión conuna investigación de tensión y compresión de barras prismáticas.

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RELACIÓN DE POISSON La deformación unitaria lateral ϵ’ encualquier punto en una barra esproporcional a la deformación unitariaaxial ϵ en el mismo punto, si el materiales linealmente elástico. La relación deesas deformaciones unitarias es unapropiedad del material conocida como

relación de Poisson.ν − ′

La relación de Poisson recibe su nombreen honor del matemático francés

Simeon Denis Poisson (1781-1840)Condiciones. Material linealmenteelástico, homogéneo e isotrópico.

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Ejemplo:

Un tubo de acero con longitud L = 4.0 ft,diámetro exterior d 2 = 6.0 in y diámetro interiord 1 = 4.5 in, se comprime mediante una fuerzaaxial P = 140 k. El material tiene un módulo deelasticidad E = 30 000 ksi y una relación dePoisson ν = 0.30.

Determine las siguientes cantidades para eltubo:

(a) Su acortamiento δ.

(b) La deformación unitaria lateral ϵ’.

(c) El aumento Δd 2 del diámetro exterior y elaumento Δd 1 del diámetro interior.

(d) El aumento Δt en el espesor de la pared.

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ESFUERZO CORTANTE

El esfuerzo cortante es el queactúa de manera tangencial a la

superficie del material.Esfuerzo cortante promedio: sedenota con la letra griega τ (tau).

A

Donde

V es la fuerza cortante otangencial a la superficie y

A es el área de la sección.

Conexión con perno en la que esteestá sometido a cortante doble.


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ESFUERZO DE SOPORTE PROMEDIO

Es el esfuerzo que resiste el perno cuando esaplastado por las placas.

σb es el esfuerzo de aplastamiento. F b es la fuerza de aplastamiento.

Ab es el área aplastada en el perno proyectada

ortogonalmente.

LEY DE HOOKE EN CORTANTE

τ Gγ G es el módulo de elasticidad en cortante

γ es la deformación unitaria cortante.

G E2 1 + ν

Conexión con perno en la que el pernoesta sometido a cortante simple.


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Ejemplo:En la fi gura se muestra un punzónpara hacer agujeros en placas deacero. Suponga que se utiliza unpunzón con un diámetro d = 20 mmpara hacer un agujero en una placade 8 mm de espesor, como semuestra en la vista transversalcorrespondiente.

Si se requiere de una fuerza P = 110kN para hacer el agujero, cuál es el

esfuerzo cortante promedio en laplaca y el esfuerzo de compresiónpromedio en el punzón?

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Ejemplo:Para la conexión mostradaen la figura determine elesfuerzo cortante y elesfuerzo de aplastamientoen cada perno si P = 60 klb.

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FACTOR DE SEGURIDAD

El factor de seguridad tiene una base probabilística y considera la incertidumbre en larespuesta del material cuando cumple su función. considera también:

La resistencia y servicio de la estructura a diseñar.

La probabilidad de sobrecarga, tipos de cargas, fatiga, corrosión, mala construcción, etc.

El factor de seguridad se expresa como

Donde

n es el factor de seguridad.La resistencia verdadera en el mayor de los casos es el esfuerzo de cedencia del material.

La resistencia requerida el máximo esfuerzo que se espera resista el material. También se le denominaesfuerzo permisible o de trabajo.

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ESFUERZO PERMISIBLE

Para tensión Para cortante

Para acero dúctil en tensión n = 1.67. Si el material no tiene un esfuerzo de cedencia bien definido sepuede utilizar el esfuerzo último.

CARGAS PERMISIBLES

× á

Para tensión y compresión pura × Para cortante directo × Para aplastamiento ×


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DISEÑO POR CARGAS AXIALES Y CORTANTE DIRECTO

El diseño es la selección de las dimensiones de un miembro estructural,conociendo las propiedades del material con la cual es fabricado y considerandoaspectos de resistencia, servicio, rigidez y estabilidad.

◦ Servicio es la capacidad del miembro diseñado de funcionar de acuerdo al propósito delmismo.

◦ Estabilidad es la capacidad del miembro de resistir pandeo bajo cargas de compresión.

Es importantes optimizar el diseño en términos de peso y costos.

Para el diseño lo mas común es determinar el área de la sección al esfuerzo

En el caso por tensión sería

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Ejemplo:1. Para la conexión mostrada

determine el diámetro mínimo quedeben tener los pernos si P = 60 klb.

2. Determine la carga máxima P quepuede aplicarse a la conexión si eldiámetro de cada perno es de ½pulgadas.

Considere que los esfuerzos permisiblesson

30 20

Solución

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Elementos cargados

axialmente MECÁNICA DE MATERIALES

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CAMBIOS DE LONGITUD DE ELEMENTOS CARGADOS AXIALMENTE

Si

y Entonces

y

Donde

es la constante de rigidez o fuerza requeridapara producir un alargamiento unitario.

es la constante de flexibilidad o alargamientodebido a una fuerza unitaria.De lo anterior resulta que

y

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BARRAS PRISMÁTICAS

Si y se obtiene

Con se obtiene

Despejando de la ecuación anterior queda

Es la fórmula para obtener el alargamiento o acortamiento de una barraprismática, debido a una carga axial P.

Como entonces

Si el miembro consta de dos o mas secciones prismáticas como lo muestra lafigura, entonces la deformación se puede obtener como

=

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Ejemplo 2.

La barra rígida abc está sostenida por unalambre en a y tiene una carga P aplicada en el punto c, tal como semuestra en la figura. Determine eldesplazamiento del punto c debido a laacción de la carga P .

Ejemplo 1. Determinar la deformación axial en los siguientes casos.


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ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Una estructura se considera indeterminada estáticamente cuando no es posibledeterminar sus reacciones aplicando las ecuaciones de equilibrio, es decir,

0 ; 0 ; 0

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ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS:

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

El propósito del método es transformar la estructuraindeterminada en estructuras determinadas, paraanalizarlas individualmente.

El método de superposición suma los efectos porseparado, de las cargas y efectos externos, más elefecto de la redundante (ver figura).

Se consideran las relaciones geométricas asociadas ala redundante, y se expresan mediante una ecuacióndenominada de compatibilidad.

Para la figura se selecciona a la reacción en A como laredundante y dado que se suelta ese extremo, sedetermina el desplazamiento o deformación de esepunto para cada caso por separado.

+ 0 Lo que procede es determinar el desplazamiento delpunto A para cada caso y despejar el término RA.

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EjemplosPara cada barra indeterminada determine la deformación de cadatramo, si se sabe que E = 29000 ksi.

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EjemplosLa barra rígida abcd está sostenida por alambres en a y en c y tiene unacarga P aplicada en el punto d , tal como se muestra en la figura.Determine el desplazamiento del punto d debido a la carga P .

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EFECTOS TÉRMICOS

Ecuación de deformación unitaria portemperatura

∆

deformación unitario por temperatura. coeficiente de dilatación térmica.∆ cambio de temperatura.

∆

∆

Donde es la deformación por efectostérmicos.

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DESAJUSTES Y DEFORMACIONES PREVIAS

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CARGA DE IMPACTO Las cargas se pueden clasificar como estáticas odinámicas, dependiendo de si permanecenconstantes o varían con el tiempo.

Carga estática: se aplica lentamente para que nocause efectos vibratorios o dinámicos en laestructura. La carga aumenta gradualmente de

cero a su valor máximo y después permanececonstante.

Carga dinámica: puede adoptar muchas formas,algunas cargas se aplican y se remuevenrepentinamente (cargas de impacto), otraspersisten durante periodos largos y varíancontinuamente de intensidad (cargas fluctuantes).

Las cargas de impacto se producen cuando dosobjetos colisionan o cuando un objeto en caídagolpea una estructura. Las cargas fluctuantes seproducen por maquinaria rotatoria, transito,rachas de viento, olas de agua, sismos y procesosde manufactura.

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CARGA DE IMPACTO: ALARGAMIENTO MÁXIMO DE LA BARRA

+ + + +

ℎ 12

ℎ ℎ + á

á

ℎ + á á

2

á +

+ 2ℎ

á + +2ℎ

á 1 + 1 + 2ℎ

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CARGA DE IMPACTO: ESFUERZO MÁXIMO DE LA BARRA

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Ejemplo:Una barra prismática redonda deacero (E = 210 GPa), longitud L = 2.0m y diámetro d = 15 mm cuelgaverticalmente de un soporte en suextremo superior. Un collarín

deslizante con masa M = 20 kg caedesde una altura h = 150 mm sobreuna brida en el extremo inferior dela barra sin rebotar.

a) Calcule el alargamiento máximo

de la barra debida al impacto.b) Calcule el esfuerzo de tensión

máximo en la barra.

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Ejemplo:Una barra horizontal AB con longitud L recibe un impacto en su extremolibre por un bloque pesado con masa M que se mueve horizontalmente convelocidad v .

(a) Determine el acortamiento máximo δmáx de la barra debido al impacto.

(b) Determine el esfuerzo de compresión máximo σ máx de la barra. (Sea EAla rigidez axial de la barra).

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