Problema 16

La E.L. Griffith Company es un fabricante grande de zapatos, ubicado en la región del medio oeste en los Estados Unidos de Norteamérica. La Griffith es especialista en la fabricación de botas vaqueras y no vende en forma directa al público sino que, en cambio, vende a través de expendios al menudeo. Según las fluctuaciones en los costos de los diversos componentes, la compañía ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro. Debido a estas variaciones en los costos (y al bajo costo de manejo y almacenamiento que es de $ 1.00 por mes por par de botas), la Griffith considera que resulta conveniente fabricar pares de botas en exceso en algunos meses para venderlas en meses posteriores. Los administradores de la Griffith han pronosticado la demanda y los costos por los siguientes siete meses como se muestra en la tabla P3-16. La compañía desea programar la producción para minimizar los costos totales de producción y manejo. Plantee un modelo de PL para el problema. (No existe restricción de capacidad sobre la producción o sobre el almacenamiento)

Tabla P3-16

Mes

Demanda pronosticada

Costo proyectado (por par)

1

150000

36.00

2

110000

42.00

3

180000

38.00

4

100000

40.00

5

200000

35.00

6

180000

39.00

7

110000

37.00

Definición: Determinar cómo programar la producción de los próximos 7 meses para minimizar los costos

Alternativa a:

Variables: Xi: cantidad (pares) producida en el mes i=1,2,3,4,5,5,7

i : cantidad (pares) de unidades al final del mes i=1,2,3,4,5,5,7

Limitantes: - Satisfacer la demanda

Inventario Final del último periodo

No negatividad

min z = 36 X1 + 42 X2+ 38 X3 + 40 X4 +35 X5 + 39 X6 + 37 X7 + 100 ( Ii )

S.A.:

0

+

X1

=

150000

+

I1

I 1

+

X2

=

110000

+

I2

I 2

+

X3

=

180000

+

I3

I 3

+

X4

=

100000

+

I4

I 4

+

X5

=

200000

+

I5

I 5

+

X6

=

180000

+

I6

I 6

+

X7

=

110000

+

I7

I 7 = 0

X i 0

Alternativa b:

Variables:

Xij: Unidades fabricadas en el periodo i (1,…,7) y vendidas en el periodo j(1,…7)

Inventario 1:

X11

X12

X13

X14

X15

X16

X17

X22

X23

X24

X25

X26

X27

Inventario 2:

X33

X34

X35

X36

X37

Inventario 3:

X44

X45

X46

X47

X55

X56

X57

Inventario 4:

X66

X67

X77

Inventario 5:

Limitantes:

Inventario 6:

Demanda pronosticada en cada mes

No negatividad

Min.Z= 36 X1j + 42 X2j +38 X3j + 40 X4j + 35 X5j + 39 (X66 +X67) + 37 (X77) +

1(X12+X23+X34+X45+X56+X67) + 2(X13+X24+X35+X46+X57) + 3(X14+X25+X36+X47) + 4(X15+X26+X37) +

5(X16+X27) + 6(X17)

s.a.:

X11

= 150000

X12 + X22

= 110000

Xi3

= 180000

Xi4

= 100000

Xi5

= 200000

Xi6

= 180000

Xi7

= 110000

Xij > 0

Problema 17

Una cooperativa agrícola del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla P3-17ª describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen Limitantes sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla P3-17b reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 5, 5, y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los cultivos son $500, $150 y $200, respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL, que permita a la cooperativa a determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximicen las utilidades esperadas por la cooperativa.

Tabla P3-17 a

Granja

Disponibilidad de agua

Disponibilidad de tierras

(pies cúbicos)

(acres)

1

480000

450

2

1320000

650

3

370000

350

4

890000

500

Tabla P3-17b

Granja

Granja

Granja

Granja

Cultivo

1

2

3

4

A

200

300

100

250

B

150

200

150

100

C

200

350

200

300

Definición: Determinar la cantidad de acres que deben plantarse de cada cultivo para maximizar utilidades

Variables: Xij: cantidad (acres) de cultivos i= A,B,C en cada granja j=1,2,3,4

Limitantes: - Disponibilidad de acres

Disponibilidad de agua

Cantidad máxima de acres

No negatividad

max z = 500XAj + 350XBj + 500XCj

S.A.:

6XA1

+

5XB1

+

4XC1

480

6XA2

+

5XB2

+

4XC2

1320

6XA3

+

5XB3

+

4XC3

370

6XA4

+

5XB4

+

4XC4

890

Xi1

450

Xi2

650

Xi3

350

Xi4

500

XA1

200

XB1200

XC1200

XA2

300

XB2300

XC2300

XA3

100

XB3100

XC3100

XA4

250

XB4250

XC4250

X i 1

= X i 2

= X i 3 =

X i 4

450

650

350

500

X ij 0

Problema 20

El gerente de la línea de producción de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajadores en cada uno de los trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen de operación y prueba administrado por el departamento de ingeniería industrial (véase la tabla P3-20). Suponiendo que un operador pueda ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas.

Tabla P3-20

Número de

Número de trabajo

Operador

1

2

3

4

5

1

12

16

24

8

2

2

6

8

20

14

6

3

10

6

16

18

12

4

2

4

2

24

20

5

7

10

6

6

18

Definición: Determinar cómo asignar las tareas a los individuos para maximizar utilidades

Variables: Xij: asignación del operador i= 1,2,3,4,5 a la tarea j=1,2,3,4,5

Limitantes: - Cada operador puede recibir sólo una tarea

Cada tarea puede asignarse al operador 1,2,3,4, ó 5

No negatividad

Max

Z = 12X11 + 16X12 + 24X13 + 8X14 + 2X15 + 6X21 + 8X22 + 20X23 + 14X24 + 6X25 + 10X31 +

6X32

+ 16X33

+ 18X34 + 12X35 + 2X41 + 4X42 + 2X43 + 24X44 + 20X45 + 7X51 + 10X52 + 6X53 + 6X53 +

6X54

+ 18X55

s.a.:

Para los trabajadores

Para las tareas

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1

X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1

X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1

X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1

Xij≥ 0

Problema 23.

La Riccardo Manufacturing Company está considerando ampliar la capacidad de su planta para los próximos ocho trimestres. El objetivo de la compañía es hacer que su capacidad fabril sea tan amplia como sea posible al final de dos años (al final de los ocho trimestres). La compañía fabrica un solo producto. Los costos de materias primas y otros costos variables son de $l20 por unidad. Cada unidad que se fabrica requiere 1.2 unidades de capacidad de producción. Todos los costos y requerimientos de producción ocurren en un solo periodo; las ventas ocurren en el periodo inmediatamente posterior. Cada unidad se vende en $175.

Por propósitos de expansión (en cualquier periodo) la compañía tiene dos políticas; pueden utilizarse una o ambas de ellas. Bajo la política 1, cada unidad de capacidad adicional requiere $24,000 al principio del periodo; la capacidad nueva está disponible al principio del siguiente periodo. Cada unidad de capacidad adicional bajo la política 2 requiere $ 18,000,al principio del periodo en el que se comienza la ampliación; pero esa capacidad no está disponible sino hasta el principio de dos periodos siguientes al periodo de ampliación.

La compañía tiene $320,000 al principio del periodo 1. Ese dinero debe utilizarse para financiar la producción y la expansión de la planta. Después del periodo 1 no existen fondos “externos” disponibles. Tanto la producción como la expansión de la planta, después del periodo 1, deben financiarse del fondo para materiales o de fondos generados con ventas. A principios del periodo 1, resultan funcionales un total de 960 unidades de capacidad. Todas las ampliaciones deben estar en condiciones de operarse: hacia finales del periodo 8. Plantee un modelo de PL que señale el número de activos de capacidad que la Ricardo debe adicionar en cada trimestre y la política o políticas de construcción que debe emplear en la ampliación.

Definición: Determinar cuántas unidades de capacidad debe expandir a través de cada política en cada período y adicional las unidades producidas en cada período para maximizar la capacidad fabril.

Variables:

Xij = unidades de capacidad adicional por la alternativa i = 1, 2 en el período j = 1........

8.

Yi = unidad producida en el período i = 1..........

8.

Si = dinero no utilizado en el período i = 1..........

8.

1

2

3

4

5

6

7

8

X11

X12

X13

X14

X15

X16

X17

X18

X21

X22

X23

X24

X25

X26

X27

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Limitantes:

Disponibilidades de capital tanto para producir unidades como para la expansión.

Capacidad de producción.

No negatividad.

Max z= 960 + x1j + x2j

s.a

24000x11 + 18000x21 + 120y1 + S1 = $320,000

24000x12 + 18000x22 + 120y2 + S2 = S1 +175y1

24000x13 + 18000x23 + 120y3 + S3 = S2 + 175y2

24000x14 + 18000x24 + 120y4 + S4 = S3 + 175y1

24000x15 + 18000x25 + 120y5 + S5 = S4 + 175y4

24000x16 + 18000x26 + 120y6 + S6 = S5 + 175y5

24000x17 +120y7 + S7 = S6 + 175y6

120y8 + S8 = S7 + 175y7

1.2 y1 960

1.2 y2 960

+ x11

1.2 y3 960

+ x11 + x12 + x21

1.2 y4 960

+ x11 + x12 + x13 + x21

+ x22

1.2 y5

960

+ x11 + x12 + x13 + x14 + x21 + x22

+ x23

1.2 y6

960

+ x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x21

+ x22

+ x23 + x24

1.2 y7 960 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x21 + x22 + x23 + x24 + x25

1.2 y8

960

+ x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16

+ x17

+ x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26

xij 0 , yi 0

Problema 24

La BL & C Paper Company fabrica papel y lo vende a su vez a vendedores comerciales. La compañía fabrica un rollo de papel “estándar” de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es frecuente que la compañía reciba pedidos para rollos más angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos más angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes siguiente, la compañía ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos:

Ancho de Rollo

Pedidos

80 plg

1800

70 plg

500

60 plg

1200

50 plg

1400

A la BL & C le gustaría determinar el número mínimo de rollos estándar que se requerirán para satisfacer esta demanda. Plantee un modelo de PL apropiado para el problema.

Definición: Determinar las combinaciones de corte para cada rollo para minimizar perdidas o para minimizar rollos.

Variables: xi = cantidad de rollos cortados de la forma i, donde i = 1, 2 , 3, 4 , 5.

X1 = cantidad de rollo cortados 80-40

X2= cantidad de rollos cortados 70-50

X3 = cantidad de rollos cortados 60-60

X4 = cantidad de rollos cortados 60-50-10

X5 = cantidad de rollos cortados 50-50-20

Limitantes:

Satisfacer Demanda.

min Min z = x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6

s.a

x1

1800

x2

500

2x3 + x4

1200

x2

+ x4 + 2x5 1400

xi 0

Problema 25

La D. M. Riddle Company vende al menudeo productos novedosos. La compañía está considerando añadir dos nuevos productos a la línea que ya tiene. La empresa ha decidido trabajar los productos, a prueba, durante dos años. Adquirirá ambos productos con un mayorista. El costo por unidad para cada producto para el horizonte de tiempo de dos años se muestra en la tabla P3-25. El producto 1 se venderá en $1.20 y el producto 2 en $1.05. El precio de venta será fijo para el periodo de dos años.

Costo

Ventas

Producto

Año 1

Año 2

Año1

Año 2

1

$0.75

$0.80

6 unidades

7 unidades

2

$0.70

$0.85

9 unidades

12 unidades

La compañía reconoce que las ventas de los nuevos productos dependerá en gran medida de la publicidad. El departamento de publicidad ha proyectado las ventas para los próximos dos años. Estas proyecciones, expresadas en unidades vendidas por dólar de publicidad se muestran también en la tabla P3-25. El departamento de publicidad ha pronosticado también que en ambos años cuando menos el 30%, pero no más del 60% del total de unidad vendidas (de ambos productos), serán del producto tipo 2.

A principios del año 1, la compañía tenía $12,000 disponibles para publicidad y compras. Los productos pueden comprarse un año y conservarse hasta el año siguiente sin incurrir en costos de mantenimiento. La publicidad en cualquier año tiene efecto sólo sobre las ventas de ese año. Los gastos de compras y publicidad en el año 2 pueden financiarse con las utilidad des del año 1. A la Riddle le gustaría desarrollar un modelo que refleje los dólares de publicidad y compras que deben invertirse en cada uno de los dos siguientes años con el objeto de maximizar las utilidades totales para los dos años.

Definición: Determinar cuanto invertir en cada producto en cada año y en publicidad en cada producto para maximizar utilidades.

Variables: xij = $ en compra en productos i = 1,2 en el año j= 1,2.

Yij = $ en publicidad del producto i= 1,2 en el año j= 1,2

$ invertidos en compras $ invertidos en publicidad

x11

x12

y11

y12

x21

x22

y21

y22

unidades compradas

unidades vendidas

x11/0.75

x12/0.80

6y11

7y12

x21/0.70

x22/0.85

9y21

12y22

Limitantes:

% mínimo y máximo de ventas en cada año del producto 2.

Disponibilidad para publicidad y compras en cada año.

Disponibilidad para la venta.

No negatividad.

Max z= 1.20 (x11/0.75 + x12/0.80

) + 1.05 ( x21/0.70 + x22/0.85 ) - x11 +x12 +

x21 + x22

S.A.

0.3 9y21/(6y11 + 9y21) 0.6

0.3 12y22/ (7y12 + 12 y22) 0.6

(x11 + x21) + ( y11 + y21) +S1 = 12000

(x12 + x22) + (y12 + y21) +S2 = S1 + 1.20 (x11/0.75) + 1.05 (x21/0.70)

6y11 x11/0.75

9y21 x21/0.70

7y12 x12/0.80 + x11/0.75 – 6y11 12y22 x22/0.85 + x21/0.70 –9y21 xij 0

yij 0