Resolución de un problemautilizando el método de Gauss

El supermercado

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta

igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

Datos del problema

156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva

1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche

1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche

Planteamiento

x = coste del kg de jamón

y = coste del l de leche

z = coste del l de aceite de oliva

6x + 24y +12z = 156

z = 3y

x = 4y + 4z

Resolución

Vamos a utilizar el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones que se nos ha planteado.

Resolución: Método de Gauss

Escribimos el sistema ordenando las incógnitas

6x + 24y +12z = 156

-3y + z = 0

x - 4y - 4z = 0Intercambiamos la 2ª y la 3ª ecuación

6x + 24y +12z = 156

x - 4y - 4z = 0

-3y + z = 0

Resolución: Método de Gauss

Multiplicamos la 2ª ecuación por 6 y le restamos la 1ª ecuación. Colocamos el resultado en la 2ª ecuación:

6x + 24y +12z = 156

48y + 36z = 156

-3y + z = 0

Resolución: Método de Gauss

Multiplicamos la 3ª ecuación por 16 y le sumamos la 2ª ecuación. Colocamos el resultado en la 3ª ecuación:

6x + 24y +12z = 156

48y + 36z = 156

52z = 156

Resolución: Método de Gauss

Despejamos la z de la 3ª ecuación:

52z = 156

z = 3

Resolución: Método de Gauss

Sustituimos el valor de la z en la 2ª ecuación y despejamos la y:

48y + 36z = 156

48y + 36*3 = 156

48y = 156 – 108

48y = 48

y = 1

z = 3

Resolución: Método de Gauss

Sustituimos el valor de la y y de la z en la 1ª ecuación y despejamos la x:

y = 1

z = 3 6x + 24y + 12z = 156

6x + 24*1 + 12*3 = 156

6x + 24 + 36 = 156

6x + 60 = 156

6x = 156 -60

6x = 66 x =11

Resolución: Método de Gauss

Con el sistema resuelto respondemos al problema

El jamón cuesta 11 euros el kilo

La leche cuesta 1 euro el litro

El aceite cuesta 3 euros el litro