Del problema del c䐀rculo de Gauss al flujo geod䐀sico...

Del problema del cırculo de Gauss al flujogeodesico (4)

Pierre PyCNRS, Universite de Strasbourg, UNAM

Diciembre 2015

Pierre Py CNRS, Universite de Strasbourg, UNAM Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico (4)

Unos ejercicios

1 Sea A = {at}t∈R, K = SO(2). Demostrar que todo elementog de SL2(R) se escribe g = k1ak2, con ki ∈ SO(2) y a ∈ A.

2 Sea G un grupo topologico localmente compacto yφ : SL2(R) → G un homomorfismo. Demostrar que si φ no espropio existe una secuencia tn de reales tal que |tn| → ∞ yφ(atn) esta contenido en un compacto.

3 Siguiendo con las notaciones del ejercicio anterior, deducir(usando los mismos argumentos que en el lema de Mautner)que si φ no es propio, φ(n+s ) = 1G y φ(n−s ) = 1G .

4 Deducir que cualquier homomorfismo continuo de SL2(R)hacia un grupo topologico localmente compacto es propio oconstante (igual a 1G ).

5 Deducir que cualquier homomorfismo continuo de SL2(R)hacia un grupo ortogonal O(N) es trivial.


Introduccion


Introduccion

El menu de hoy es :

1 Ergodicidad y propriedad de mezcla ( ¿mezclante ?) del flujogeodesico,

2 representaciones unitarias y lema de Mautner,

3 fin de la demostracion del teorema de conteo hiperbolico.


Teorıa ergodica


Teorıa ergodica

Sea (X , ν) un espacio de probabilidad y f t : (X , ν) → (X , ν) unflujo que preserva la medida.


Teorıa ergodica

Sea (X , ν) un espacio de probabilidad y f t : (X , ν) → (X , ν) unflujo que preserva la medida. Es decir, para todo t, y todoconjunto medible A, tenemos :

ν((f t)−1(A)) = ν(A).


Teorıa ergodica


ν((f t)−1(A)) = ν(A).

Tambien tenemos la propriedad de flujo : f t+s = f t ◦ f s .


Teorıa ergodica


ν((f t)−1(A)) = ν(A).


Definicion

Se dice que el flujo es ergodico si todo conjunto medible invariantetiene medidad 0 o 1.


Teorıa ergodica


ν((f t)−1(A)) = ν(A).


Definicion

Se dice que el flujo es ergodico si todo conjunto medible invariantetiene medidad 0 o 1.

Lema

El flujo f t : (X , ν) → (X , ν) es ergodico si y solo si toda funciong ∈ L2(X , ν) que es invariante (g ◦ f t = g) es constante.


Definicion

Se dice que el flujo f t es mezclante (mixing en ingles) si para todog1, g2 en L2(X , ν) tenemos :

∫

X

g1 · g2 ◦ ftdν →

∫

X

g1dν

∫

X

g2dν

Comentarios

1 Un flujo mezclante es ergodico.


Definicion

Se dice que el flujo f t es mezclante (mixing en ingles) si para todog1, g2 en L2(X , ν) tenemos :

∫

X

g1 · g2 ◦ ftdν →

∫

X

g1dν

∫

X

g2dν

Comentarios

1 Un flujo mezclante es ergodico.

2 Para un sistema dinamico mezclante, se puede estudiar lavelocidad de la mezcla...


Teorema

Si Λ es una reticula, el flujo geodesico en T 1(H/Λ) es mezclante(en particular ergodico).


Teorema


No mencionamos con respecto a que medida.


Teorema


No mencionamos con respecto a que medida. Hay una medidanatural µ sobre T 1(H/Λ), que es una forma de volumen (suave), ymejor,


Teorema


No mencionamos con respecto a que medida. Hay una medidanatural µ sobre T 1(H/Λ), que es una forma de volumen (suave), ymejor, cuando se hace la identificacion

T 1(H/Λ) ≃ Λ\PSL2(R)

la medida µ es invariante bajo toda la accion de PSL2(R) portraslaciones a la derecha.


Teorema





Λg 7→ Λgg0


Teorema





Λg 7→ Λgg0

Aquı se usa que Λ es una reticula (para la finitud de µ).


Teorema





Λg 7→ Λgg0

Aquı se usa que Λ es una reticula (para la finitud de µ). µ seproyecta sobre µ,


Teorema





Λg 7→ Λgg0

Aquı se usa que Λ es una reticula (para la finitud de µ). µ seproyecta sobre µ, trataremos de no mezclar las notaciones...


Vamos a mostrar nada mas la ergodicidad y vamos a admitir lapropriedad de mezcla.


Vamos a mostrar nada mas la ergodicidad y vamos a admitir lapropriedad de mezcla. Existen dos acercamientos para mostrar laergodicidad de este flujo.



1 Uno al estilo “dinamica diferenciable”, que se generaliza encurvatura no constante,




2 Otro al estilo “teorıa de representaciones”, que se generaliza yes muy util en el estudio de grupos de Lie...




2 Otro al estilo “teorıa de representaciones”, que se generaliza yes muy util en el estudio de grupos de Lie...

Vamos a seguir el segundo camino. Esto utiliza ideas de teorıa derepresentaciones, y el hecho de que el espacio

L2(Λ\PSL2(R))

admite una accion de todo el grupo PSL2(R).


Para g ∈ PSL2(R), sea α(g) : Λ\PSL2(R) → Λ\PSL2(R) latransformacion

Λh 7→ Λhg−1.



Λh 7→ Λhg−1.

Ejercico. Demostrar que g 7→ α(g) es un homomorfismo dePSL2(R) hacia el grupo de homeomorfismos de Λ\PSL2(R).



Λh 7→ Λhg−1.

Ejercico. Demostrar que g 7→ α(g) es un homomorfismo dePSL2(R) hacia el grupo de homeomorfismos de Λ\PSL2(R). Esdecir, demostrar que α(gh) = α(g) ◦ α(h).


Representaciones unitarias



Definicion

Una representacion unitaria de un grupo Γ en un espacio de Hilbertcomplejo H es un homomorfismo

π : Γ → U(H )

donde U(H ) es el grupo unitario de H .



Definicion


π : Γ → U(H )


1 Si H es de dimension finita k , una representacion en U(H )es equivalente a un homomorfismo en el grupo de matricesunitarias k × k .



Definicion


π : Γ → U(H )


1 Si H es de dimension finita k , una representacion en U(H )es equivalente a un homomorfismo en el grupo de matricesunitarias k × k .

2 En general, U(H ) es el grupo formado por los operadoresA : H → H biyectivos tales que 〈Av ,Au〉 = 〈u, v〉.



En general si el grupo Γ tiene una topologıa, uno requiere que πsea continuo en el sentido siguiente :




Γ → H

g 7→ π(g)(v)

tiene que ser continuo para todo vector v .




Γ → H

g 7→ π(g)(v)


Ejemplos

1 la accion natural de U(k) en Ck ,




Γ → H

g 7→ π(g)(v)


Ejemplos


2 cualquier representacion lineal compleja de un grupo finito esunitaria, para un producto escalar adecuado,




Γ → H

g 7→ π(g)(v)


Ejemplos



3 la accion de un grupo Γ sobre ℓ2(Γ),




Γ → H

g 7→ π(g)(v)


Ejemplos



3 la accion de un grupo Γ sobre ℓ2(Γ),

4 si Γ actua en un espacio de probabilidad (X , ν), preservandoν, obtenemos una representacion unitaria de Γ en L2(X , ν).



Regresamos al estudio de una reticula Λ < PSL2(R).



Regresamos al estudio de una reticula Λ < PSL2(R). SeaX = Λ\PSL2(R).



Regresamos al estudio de una reticula Λ < PSL2(R). SeaX = Λ\PSL2(R). El grupo PSL2(R) actua sobre L2(X , µ) por :

π(g)(f ) = f ◦ α(g)−1.




π(g)(f ) = f ◦ α(g)−1.

Esto define una representacion unitaria de PSL2(R) en L2(X , µ).




π(g)(f ) = f ◦ α(g)−1.


Para mostrar ergodicidad : tomamos f ∈ L2(X , µ),π(at)-invariante.




π(g)(f ) = f ◦ α(g)−1.


Para mostrar ergodicidad : tomamos f ∈ L2(X , µ),π(at)-invariante. Hay que mostrar que es constante.




π(g)(f ) = f ◦ α(g)−1.


Para mostrar ergodicidad : tomamos f ∈ L2(X , µ),π(at)-invariante. Hay que mostrar que es constante. Esto esequivalente a decir que f es invariante bajo todo

π(PSL2(R)).


Vamos a ver que esto es un fenomeno general. No tiene nada quever con L2(X , µ).


Vamos a ver que esto es un fenomeno general. No tiene nada quever con L2(X , µ).

Si PSL2(R) actua sobre un espacio de Hilbert, todo vectorπ(at)-invariante es invariante bajo todo el grupo.


Teorema (Mautner)

Sea π : SL2(R) → U(H ) una representacion unitaria. Sea v ∈ H .Si π(at)(v) = v para todo real t, entonces π(g)(v) = v para todog en SL2(R).


Teorema (Mautner)


Reformulacion :


Teorema (Mautner)


Reformulacion : el hecho de que v sea invariante bajo un subgrupomuy pequeno (isomorfo a R) es suficiente para implicar que v esinvariante bajo tod SL2(R).


Teorema (Mautner)


Reformulacion : el hecho de que v sea invariante bajo un subgrupomuy pequeno (isomorfo a R) es suficiente para implicar que v esinvariante bajo tod SL2(R).

Ejercicio. Entender la version mas general del lema de Mautnerenunciada enhttps : //en.wikipedia.org/wiki/Mautner′s lemma.


Demostracion del teorema de Mautner :


Demostracion del teorema de Mautner : usaremos las siguientesmatrices en SL2(R) :

at =

(e

t2 0

0 e−t2

)



at =

(e

t2 0

0 e−t2

)

n+s =

(1 s0 1

)



at =

(e

t2 0

0 e−t2

)

n+s =

(1 s0 1

)

n−s =

(1 0s 1

)


Vamos a usar las relaciones entre estas matrices.


Calculamos :


Calculamos :

atn+s =

(e

t2 e

t2 s

0 e−t2

)


Calculamos :

atn+s =

(e

t2 e

t2 s

0 e−t2

)

atn+s a−t =

(1 ets0 1

)


Calculamos :

atn+s =

(e

t2 e

t2 s

0 e−t2

)

atn+s a−t =

(1 ets0 1

)

Es decir : atn+s a−t = n+

ets.


Calculamos :

atn+s =

(e

t2 e

t2 s

0 e−t2

)

atn+s a−t =

(1 ets0 1

)

Es decir : atn+s a−t = n+

ets. Cuando uno conjuga la matriz n+s por

at , uno obtiene n+ets

.


De manera similar se muestra que :

atn−

s a−t =

(1 0

e−ts 1

)= n−

e−ts.


En particular tenemos que :

atn+s a−t → Id

si t → −∞,


En particular tenemos que :

atn+s a−t → Id

si t → −∞, yatn

−

s a−t → Id

si t → +∞.


Usando todas estas relaciones, podemos ahora establecer elteorema de Mautner.


Usando todas estas relaciones, podemos ahora establecer elteorema de Mautner. Sea v ∈ H un vector invariante por π(at)para todo t. Sea s un real. Como π es continua, tenemos que

π(atn+s a−t)(v) → v

cuando t → +∞.


Usando todas estas relaciones, podemos ahora establecer elteorema de Mautner. Sea v ∈ H un vector invariante por π(at)para todo t. Sea s un real. Como π es continua, tenemos que

π(atn+s a−t)(v) → v

cuando t → +∞. Es decir :

||π(atn+s a−t)(v)− v || → 0

Vamos a demostrar que la cantidad a la izquierda no depende de t,ası que tendra que ser igual a 0.


||π(atn+s a−t)(v)− v || = ||π(atn

+s )(π(a−t)(v))− v ||

Pero π(a−t)(v) = v entonces esto se simplifica :

= ||π(at)π(n+s )(v)− v ||


||π(atn+s a−t)(v)− v || = ||π(atn

+s )(π(a−t)(v))− v ||


= ||π(at)π(n+s )(v)− v ||

Aplicamos π(a−t) que preserva la norma :

= ||π(n+s )(v)− π(a−t)(v)||


||π(atn+s a−t)(v)− v || = ||π(atn

+s )(π(a−t)(v))− v ||


= ||π(at)π(n+s )(v)− v ||

Aplicamos π(a−t) que preserva la norma :

= ||π(n+s )(v)− π(a−t)(v)||

= ||π(n+s )(v)− v ||.

Esto no depende de t.


Ya hicimos progresos.


Ya hicimos progresos. Sabemos que el vector v no solo esinvariante bajo la accion de las matrices diagonales pero sinotambien de las triangulares superiores n+s .


Ya hicimos progresos. Sabemos que el vector v no solo esinvariante bajo la accion de las matrices diagonales pero sinotambien de las triangulares superiores n+s . De manera similar sedemuestra que v es invariante bajo las matrices n−s (s ∈ R).



Ejercicio. Los tres subgrupos (isomorfos a R) {at}, {n+s }, {n

−

s }generan PSL2(R).




−

s }generan PSL2(R).

Entonces v tiene que ser invariante bajo todo PSL2(R).




−

s }generan PSL2(R).

Entonces v tiene que ser invariante bajo todo PSL2(R). Estodemuestra el teorema-lema de Mautner.


Demostracion del teorema de conteo siguiendoEskin-McMullen

Fijamos una reticula Λ. Fijamos p ∈ H, p su imagen en Σ = H/Λ.Sea S(r) la imagen (proyeccion) en Σ = H/Λ de la esfera de radior centrada en p.



Fijamos una reticula Λ. Fijamos p ∈ H, p su imagen en Σ = H/Λ.Sea S(r) la imagen (proyeccion) en Σ = H/Λ de la esfera de radior centrada en p. Es una curva inmersa.



Fijamos una reticula Λ. Fijamos p ∈ H, p su imagen en Σ = H/Λ.Sea S(r) la imagen (proyeccion) en Σ = H/Λ de la esfera de radior centrada en p. Es una curva inmersa. Tambien es el conjunto depuntos q de Σ tales que existe un arco geodesico de longitud r dep a q.



Fijamos una reticula Λ. Fijamos p ∈ H, p su imagen en Σ = H/Λ.Sea S(r) la imagen (proyeccion) en Σ = H/Λ de la esfera de radior centrada en p. Es una curva inmersa. Tambien es el conjunto depuntos q de Σ tales que existe un arco geodesico de longitud r dep a q.Sea µr la “medida de arco” en S(r), normalizada. Uno consideraµr como una medida de probabilidad en Σ.

Teorema (Equidistribucion de grandes circulos)

Las medidas µr convergen debilmente hacia la medida de areahiperbolica normalizada µ/covolumen(Λ) en Σ cuando r tiende ainfinito.



Fijamos una reticula Λ. Fijamos p ∈ H, p su imagen en Σ = H/Λ.Sea S(r) la imagen (proyeccion) en Σ = H/Λ de la esfera de radior centrada en p. Es una curva inmersa. Tambien es el conjunto depuntos q de Σ tales que existe un arco geodesico de longitud r dep a q.Sea µr la “medida de arco” en S(r), normalizada. Uno consideraµr como una medida de probabilidad en Σ.

Teorema (Equidistribucion de grandes circulos)

Las medidas µr convergen debilmente hacia la medida de areahiperbolica normalizada µ/covolumen(Λ) en Σ cuando r tiende ainfinito. Es decir, para culaquier f : Σ → R continua con soportecompacto, ∫

Σfdµr →

1

µ(Σ)

∫

Σfdµ.



Sea νr la medida normalizada sobre la imagen en Σ de B(p, r).



Sea νr la medida normalizada sobre la imagen en Σ de B(p, r).(cuidado : este disco es solamente inmerso)

Proposicion

Las medidas νr convergen debilmente hacia 1µ(Σ)µ.



Sea νr la medida normalizada sobre la imagen en Σ de B(p, r).(cuidado : este disco es solamente inmerso)

Proposicion

Las medidas νr convergen debilmente hacia 1µ(Σ)µ.

Esto es una simple consecuencia del previo teorema, posponemossu demostracion.



Sea α : H → [0, 1] una funcion pastel con soporte en la vecindadde tamano ε de la Λ-orbita de p.



Sea α : H → [0, 1] una funcion pastel con soporte en la vecindadde tamano ε de la Λ-orbita de p. Suponemos

∫B(γ(p),ε) αdµ = 1

para toda γ.




∫B(γ(p),ε) αdµ = 1

para toda γ. Esto implica :

N(r − ε) ≤

∫

B(p,r)αdµ




∫B(γ(p),ε) αdµ = 1


N(r − ε) ≤

∫

B(p,r)αdµ

Tambien tenemos :∫

B(p,r)αdµ ≤ N(r + ε).




∫B(γ(p),ε) αdµ = 1


N(r − ε) ≤

∫

B(p,r)αdµ

Tambien tenemos :∫

B(p,r)αdµ ≤ N(r + ε).

Entonces tenemos que entender la funcion M(r) :=∫B(p,r) αdµ.



Podemos volver a escribir lo de antes como :

M(r − ε) ≤ N(r) ≤ M(r + ε).



Podemos volver a escribir lo de antes como :

M(r − ε) ≤ N(r) ≤ M(r + ε).

Es suficiente demostrar que

M(r)

µ(B(p, r))→

1

µ(Σ).



Sea π : H → Σ la proyeccion natural.



Sea π : H → Σ la proyeccion natural. Podemos escribir α = α ◦ πdonde α es continua con soporte compacto en Σ de integral unocon respecto a la medida hiperbolica en Σ.



Sea π : H → Σ la proyeccion natural. Podemos escribir α = α ◦ πdonde α es continua con soporte compacto en Σ de integral unocon respecto a la medida hiperbolica en Σ. Ası que

M(r)

µ(B(p, r))=

∫

Σαdνr .



Sea π : H → Σ la proyeccion natural. Podemos escribir α = α ◦ πdonde α es continua con soporte compacto en Σ de integral unocon respecto a la medida hiperbolica en Σ. Ası que

M(r)

µ(B(p, r))=

∫

Σαdνr .

Pero esto converge hacia

1

µ(Σ)

∫

Σαdµ =

1

µ(Σ)

segun la previa proposicion.


Convergencia de µr haciadµµ(Σ)

Ahora demostramos el teorema de equidistribucion de grandescirculos.



Ahora demostramos el teorema de equidistribucion de grandescirculos. El resultado de equidistribucion de discos (la proposicion)se deduce facilmente.




Lema (“wavefront lemma”)

Para cualquier abierto U en PSL2(R) que contiene Id, existe unabierto V tal que :

KVa ⊂ KaU

para todo a ∈ A.




Lema (“wavefront lemma”)

Para cualquier abierto U en PSL2(R) que contiene Id, existe unabierto V tal que :

KVa ⊂ KaU

para todo a ∈ A.

Ejercicio. Demostrar el “wavefront lema”.



Sea f : Σ → R continua con soporte compacto,



Sea f : Σ → R continua con soporte compacto, f = f ◦ π sulevantamiento a T 1Σ.



Sea f : Σ → R continua con soporte compacto, f = f ◦ π sulevantamiento a T 1Σ.Observacion geometrica. Sea p en H, Sp los vectores tangentes a pde norma hiperbolica 1. Entonces φt(Sp) es el conjunto de vectoresunitarios normales (y apuntando hacia el exterior) a S(p, t).



Sea f : Σ → R continua con soporte compacto, f = f ◦ π sulevantamiento a T 1Σ.Observacion geometrica. Sea p en H, Sp los vectores tangentes a pde norma hiperbolica 1. Entonces φt(Sp) es el conjunto de vectoresunitarios normales (y apuntando hacia el exterior) a S(p, t).

∫fdµr =

∫f dµr



Esta ultima integral se puede identificar con :

∫

K

f (kat)dk



Esta ultima integral se puede identificar con :

∫

K

f (kat)dk

Tomamos un abierto U muy pequeno cerca de Id y V asociado aU por el wavefront lemma.

Lema

Si ε > 0 esta dado y si U es suficiente pequeno,

|1

µ(KVat)

∫

KVat

f dµ−

∫

K

f (kat)dk | ≤ ε.




1

µ(T 1Σ)

1

µ(KVat)

∫

KVat

f dµ

tiende al promedio de f con respecto a µ (que es el promedio de fcon respecto a µ).




1

µ(T 1Σ)

1

µ(KVat)

∫

KVat

f dµ

tiende al promedio de f con respecto a µ (que es el promedio de fcon respecto a µ). Esto es consecuencia del hecho de que el flujogeodesico es mezclante.


Referencias

1 Topics in Geometric Group Theory, Pierre de la Harpe,University of Chicago Press, (ver capitulo I y las referenciasque se mencionan),


Referencias


2 A course in arithmetic, J.-P. Serre, Springer (tambien existe laversion original en frances),


Referencias



3 Van der Corput’s method of exponential sums, S. W. Grahamy G. Kolesnik, Cambridge University Press,


Referencias




4 Points entiers et groupes discrets : de l’analyse aux systemesdynamqies, Martine Babillot, en Rigidite, groupe fondamentalet dynamique, Panoramas et Syntheses, No. 13, SocieteMathematique de France (2002),


Referencias




4 Points entiers et groupes discrets : de l’analyse aux systemesdynamqies, Martine Babillot, en Rigidite, groupe fondamentalet dynamique, Panoramas et Syntheses, No. 13, SocieteMathematique de France (2002),

5 Mixing, counting and equidistribution in Lie groups, A. Eskinand C. McMullen, Duke Mathematical Journal.


¡Gracias !


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