Del problema del c䐀rculo de Gauss al flujo geod䐀sico...

Del problema del cırculo de Gauss al flujogeodesico (1)

Pierre PyCNRS, Universite de Strasbourg, UNAM

Diciembre 2015

Pierre Py CNRS, Universite de Strasbourg, UNAM Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico (1)

Del problema del cırculo de Gauss al flujo geodesico


Introduccion


Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z

2, u2 + v2 ≤ r2},


Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z

2, u2 + v2 ≤ r2},N(r) es el numero de puntos en el plano R

2, con coordenadasenteras y cuya norma Euclidiana es menor o igual a r .


Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z



El tema del curso es estudiar la funcion r 7→ N(r) y sucomportamiento cuando r tiende a infinito,


Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z



El tema del curso es estudiar la funcion r 7→ N(r) y sucomportamiento cuando r tiende a infinito, ası como estudiargeneralizaciones de este problema cuando Z

2, R2 y la normaEuclidiana los sustituimos por otros objetos geometricos mascomplicados.


Introduccion

SeaN(r) = #{(u, v) ∈ Z



El tema del curso es estudiar la funcion r 7→ N(r) y sucomportamiento cuando r tiende a infinito, ası como estudiargeneralizaciones de este problema cuando Z

2, R2 y la normaEuclidiana los sustituimos por otros objetos geometricos mascomplicados.

Veremos relaciones con teorıa de grupos, sistemas dinamicos,geometrıa.


Introduccion

Si x es un numero real, sea [x ] el mayor entero tal que [x ] ≤ x .


Introduccion

Si x es un numero real, sea [x ] el mayor entero tal que [x ] ≤ x . Sepuede escribir :

N(r) = #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ r2}

= #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ [r2]}

= N(√

[r2]).


Introduccion

Si x es un numero real, sea [x ] el mayor entero tal que [x ] ≤ x . Sepuede escribir :

N(r) = #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ r2}

= #{(u, v) ∈ Z2, u2 + v2 ≤ [r2]}

= N(√

[r2]).

Es suficiente estudiar los valores de N(r) cuando r es la raızcuadrada de un entero.


Introduccion

N(0) = 0,


Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,


Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,

N(√2) = 5 + 4 = 9,


Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,

N(√2) = 5 + 4 = 9,

N(√3) = 9 + 0,


Introduccion

N(0) = 0,

N(1) = 5,

N(√2) = 5 + 4 = 9,

N(√3) = 9 + 0,

N(√4) = 13,

...

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc bc


Introduccion

Aquı podemos discutir un poco una relacion con teorıa denumeros.


Introduccion

Aquı podemos discutir un poco una relacion con teorıa denumeros. Sea τ(n) el numero de soluciones de u2 + v2 = n, donde

(u, v) ∈ Z2.


Introduccion


(u, v) ∈ Z2. Existen valores de n tal que τ(n) sea cero. Acabamos

de ver que τ(3) = 0.


Introduccion




Regresaremos a este asunto mas tarde,


Introduccion




Regresaremos a este asunto mas tarde, por ahora nada masobservamos que :

N(r) =∑

0≤m≤[r2]

τ(m).


La estimacion de Gauss

El comportamiento de la funccion r 7→ N(r) ya fue estudiado porGauss (Disquisitiones arithmeticae, 1802). Vamos a ver la primeraestimacion de Gauss.




SeaΛ(r) = {p ∈ Z

2, ||p|| ≤ r .}Ası que N(r) = #Λ(r).




SeaΛ(r) = {p ∈ Z

2, ||p|| ≤ r .}Ası que N(r) = #Λ(r). Si p ∈ Z

2, sea C (p) el cuadrado de lado 1en el plano cuyo vertice “inferior a la izquierda” es p.




SeaΛ(r) = {p ∈ Z

2, ||p|| ≤ r .}Ası que N(r) = #Λ(r). Si p ∈ Z

2, sea C (p) el cuadrado de lado 1en el plano cuyo vertice “inferior a la izquierda” es p. En dibujo :

bc

p

C(p)



bc

p

En formula :

C (p) = {(x , y) ∈ R2(x , y)− p ∈ [0, 1] × [0, 1]}



Como cada cuadrado C (p) tiene area 1, podemos escribir

N(r) = Area

⋃

p∈Λ(r)

C (p)

.



Si p ∈ Λ(r), el cuadrado C (p) esta contenido en el disco de radior +

√2 centrado en la origen,



Si p ∈ Λ(r), el cuadrado C (p) esta contenido en el disco de radior +

√2 centrado en la origen, porque cualquier punto (x , y) de

C (p) se escribe como(x , y) = p + q

donde q esta en [0, 1]2. Entonces

||(x , y)|| ≤ ||p||+ ||q||

≤ r +√2.

Esto demuestra que N(r) ≤ π(r +√2)2.


De manera similar podemos ver que los cuadrados

(C (p))p∈Λ(r)

cubren el disco de radio r −√2.



(C (p))p∈Λ(r)

cubren el disco de radio r −√2. Entonces la area de la union de

estos cuadrados es al menos π(r −√2)2.



(C (p))p∈Λ(r)

cubren el disco de radio r −√2. Entonces la area de la union de

estos cuadrados es al menos π(r −√2)2. Todo esto demuestra :

π(r −√2)2 ≤ N(r) ≤ π(r +

√2)2

si r ≥√2.


De esto deducimos :N(r)

πr2→ 1

cuando r → +∞.


De esto deducimos :N(r)

πr2→ 1

cuando r → +∞.

Entonces a partir de ahora escribimos N(r) = πr2 + E (r) dondeE (r) es el error. El punto es dar una estimacion del error E (r).



La estimacion anterior nos da :

|E (r)| ≤ 2π(1 +√2r) ≤ 2π(1 +

√2)r .

(suponemos r ≥√2)



La estimacion anterior nos da :

|E (r)| ≤ 2π(1 +√2r) ≤ 2π(1 +

√2)r .

(suponemos r ≥√2) Entonces tenemos :

E (r) = O(r)



Problema : ¿ se puede mejorar esta estimacion ?




Aqui va una lista de resultados. Se sabe que E (r) = O(rα) paralos siguientes valores de α :





1 α = 23 (Sierpinski, 1906)






2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)






2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)






2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)






2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)






2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)

6 α = 70108 + ε (Kolesnik, 1982)






2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)

6 α = 70108 + ε (Kolesnik, 1982)

7 α = 1422 + ε (Iwaniec y Mozzochi, 1988)






2 α = 74112 (Van der Corput, 1923)

3 α = 3046 (Titchmarch, 1934)

4 α = 2640 + ε (Hua, 1941)

5 α = 2437 (Chen, 1963)

6 α = 70108 + ε (Kolesnik, 1982)

7 α = 1422 + ε (Iwaniec y Mozzochi, 1988)

8 α = 4673 + ε (Huxley, 1993)



Se conjetura que el error E (r) es O(r12+ε) para cualquier ε > 0.




Esto es relacionado con muchos problemas importantes de teorıade numeros.




Esto es relacionado con muchos problemas importantes de teorıade numeros. Las mejores estimaciones fueron obtenidas por Huxley.



Teorema

(Fermat) Un entero m es suma de dos cuadrados enteros si y solosi cualquier factor primo de m que es congurente a 3 modulo 4tiene un exponente par en m.

30 = 2× 3× 5 no es suma de dos cuadrados porque 3 aparece conexponente impar.

Tambien hay una formula que da el numero de soluciones τ(m) dem = u2 + v2 en Z

2 (que no enunciaremos).



Acabamos de ver que N(r)r2

= π + O(1r). Si r =

√m, tenemos

tambien N(√m) =

∑mj=0 τ(j).




= π + O(1r). Si r =

√m, tenemos

tambien N(√m) =

∑mj=0 τ(j). Obtenemos :

1

m

m∑

j=0

τ(j) → π




= π + O(1r). Si r =

√m, tenemos

tambien N(√m) =

∑mj=0 τ(j). Obtenemos :

1

m

m∑

j=0

τ(j) → π

Se puede decir que “en promedio” el numero de soluciones dem = u2 + v2 es π.


Perspectivas

Sea (X , d) un espacio metrico y Isom(X , d) su grupo deisometrıas.


Perspectivas

Sea (X , d) un espacio metrico y Isom(X , d) su grupo deisometrıas.Es decir, Isom(X , d) es el grupo de todas las aplicaciones

f : X → X ,

biyectivas, y tales que d(f (x), f (y)) = d(x , y).


Perspectivas


f : X → X ,


Ejemplo 1 (X , d) = (R, | · |) : Isom(X , d) = {x 7→ ±x + t, t ∈ R},es isomorfo como grupo a R⋊ Z/2Z.


Perspectivas


f : X → X ,


Ejemplo 1 (X , d) = (R, | · |) : Isom(X , d) = {x 7→ ±x + t, t ∈ R},es isomorfo como grupo a R⋊ Z/2Z.Ejemplo 2 (X , d) = (R2, || · ||) :Isom(X , d) = {v 7→ A(v) + u}A∈O(2),u∈R2 , es isomorfo como

grupo a R2⋊O(2).


Perspectivas

Vamos a estudiar subgrupos particulares de Isom(X , d).

Definicion

Un subgrupo Γ < Isom(X , d) es discreto si para todo puntox ∈ X, y para todo numero real C ≥ 0,

{γ ∈ Γ, d(γ(x), x) ≤ C}

es un conjunto finito.


Perspectivas

Vamos a estudiar subgrupos particulares de Isom(X , d).

Definicion

Un subgrupo Γ < Isom(X , d) es discreto si para todo puntox ∈ X, y para todo numero real C ≥ 0,

{γ ∈ Γ, d(γ(x), x) ≤ C}

es un conjunto finito.

Comentarios

1 Es suficiente averiguar esta condicion para un punto particularx0 y para todo C ≥ 0.

2 En muchos casos se puede definir una topologıa sobre elgrupo Isom(X , d) de manera que un subgrupo Γ sea discretoen el sentido de esta definicion si y solo si es discreto con latopologıa inducida por Isom(X , d).


Perspectivas

Ejemplos de subgrupos discretos.


Perspectivas


El grupo Z2 < Isom(R2) actuando por traslaciones, es discreto.


Perspectivas


El grupo Z2 < Isom(R2) actuando por traslaciones, es discreto. A

v ∈ Z2 asociamos la isometrıa fv : x 7→ x + v .


Perspectivas




d(fv (x), x) = ||x + v − x || = ||v ||.


Perspectivas




d(fv (x), x) = ||x + v − x || = ||v ||.

Veremos otros ejemplos de subgrupos discretos en la proximaplatica.


Perspectivas

Ahora si Γ < Isom(X , d) es discreto, y si fijamos un “origen” x0 enX , sea

N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.


Perspectivas


N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.Este numero es finito dado que Γ es discreto.


Perspectivas


N(r) = #{γ ∈ Γ, d(γ(x0), x0) ≤ r}.Este numero es finito dado que Γ es discreto. Si X = R

2, Γ = Z2,

este numero no depende de x0, regresamos a la situacion anterior.


Perspectivas



2, Γ = Z2,


¿Que se puede decir de la funcion r 7→ N(r) ?


Perspectivas



2, Γ = Z2,


¿Que se puede decir de la funcion r 7→ N(r) ?

Dependiendo del contexto, de que espacio X se considera, esteproblema esta relacionado con muchas partes de las matematicas.


Perspectivas

Analogo del problema del cırculo en Rd . Estudiar

N(r) = #{v ∈ Zd , ||v || ≤ r}. Se sabe que

N(r) = vol(B(r)) + O(rd−2) si d ≥ 5.


Perspectivas



N(r) = vol(B(r)) + O(rd−2) si d ≥ 5. (El teorema deLagrange dice que todo entero es suma de cuatro cuadrados,ayuda...)


Perspectivas




Otro ejemplo : N(r) = #{(x , y , z) ∈ Z3, ||(x , y , z)|| ≤

r , x2 + y2 − z2 = −1, z > 0}. Se relaciona con geometrıahiperbolica de dimension 3.


Perspectivas




Otro ejemplo : N(r) = #{(x , y , z) ∈ Z3, ||(x , y , z)|| ≤

r , x2 + y2 − z2 = −1, z > 0}. Se relaciona con geometrıahiperbolica de dimension 3.

En lo que sigue, vamos a estudiar este tipo de problema cuando elespacio X es el plano hiperbolico, que introduciremos en lasiguiente platica.


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