Probabilidades_Euromillón_Primitiva_Loteria

LOTERÍA S Y PROBABILIDAD “En el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números”

Pierre Simon Laplace

“Es preciso que el azar sea otra cosa que el nombre que damos a nuestra ignorancia”

H. Poincaré

LOTERIAS DE ESPAÑA

Los españoles podrían programar sus apuestas en función de las probabilidades pero, para esto, tendrían que analizar los índices de cada uno de los sorteos existentes. De mayor a menor, las probabilidades de tener más suerte y ganar son las siguientes:

• La Lotería Nacional, en el sorteo de los jueves, la probabilidad es de 1 entre 600.000, y en el sorteo de navidad , la probabilidad es de 1 entre 85.000.

• Seguida a mayor distancia de la Quiniela, que para llevarse el pleno, la probabilidad es de uno entre casi cinco millones.

• La suerte de ganar el premio mayor con la Lotería Primitiva es de uno entre 14 millones. Le sigue El Cuponazo, con una probabilidad de uno entre 15 millones.

• Luego se sitúa El Gordo de la Primitiva con una probabilidad de llevarse el primer premio de 1 entre unos 31 millones y por último El Euromillón , con una probabilidad de uno entre 117 millones.

En cuanto a los juegos que más pasiones levantan destaca sin duda la Lotería Nacional, con una participación del 57%; seguida por la Primitiva, con el 25%; la Bono Loto, con el 7%; la Quiniela con el 6% y, por último, El Gordo de la Primitiva, con el 4%.

Vamos a hacer un estudio detallado de cada una de las probabilidades de las distintas loterias nacionales:

• La Primitiva y la Bono Loto » 1 entre 13.983.816

• El Gordo de la Primitiva » 1 entre 31.625.100

• Euromillones » 1 entre 116.531.800

• Lotería Nacional » 1 entre 600.000 (Jueves) 1 entre 85.000(Navidad)

• La Quiniela y el Quinigol » 1 entre 4.782.969

• Hípica nacional » 1 entre 8.835.372 (Lototurf) 1 entre 60.080.000 (Quíntuple Plus)

• Cupón Once » 1 entre 15 millones

• El Combo de la Once » 1 entre 15 millones

Esperanza matemática de las Loterías

Las probabilidades de las loterías por si mismas son irrelevantes. Lo que realmente importa es la esperanza matemática del juego. Casi siempre, cualquier juego real de apuestas tiene esperanza menor que 1: lo más probable es perder dinero y es por eso que dicen que las loterías son un impuesto del gobierno al desconocimiento de las matemáticas. Veremos este asunto esencial para comprender las loterías al final de este artículo.

1.- EUROMILLÓN: matemáticamente “imposible”

Euromillones es el sorteo europeo que reparte los premios más grandes, llegando a superar con creces los 100 millones de euros en algunos botes, pero ello hace que este sorteo tenga que tener una complicación añadida: el enorme número de combinaciones posibles. Las probabilidades de que nos toque el Euromillón, con el nuevo sistema, se han reducido, tal y como se viene percibiendo en los últimos sorteos, a 1 entre 117 millones (116.531.800 exactamente). En la Lotería Primitiva tradicional la probabilidad de acertar 6 números entre 49 es de 1 entre 14 millones (13.983.816 exactamente), nueve veces más fácil. En conjunto, en los Euromillones sólo hay un 4,25% de probabilidades de acertar algún premio (en cualquier categoría)... algo así como 1 probabilidad entre 20 más o menos.

La famosa frase de «ni en un millón de años...» podría ser perfectamente aplicable al juego de los Euromillones. Como se ve ni siquiera jugar una apuesta todas las semanas durante un millón de años (52 millones de semanas, más o menos) sería garantía más o menos fiable de obtener el premio de primera categoría... porque las probabilidades son ínfimas.

1.1.- Cálculo de probabilidades en el juego del Euromillón

A - Comparativa entre el antiguo y el nuevo sistema

Antes del 7 de mayo de 2011 se elegían cinco números del 1 al 50 y dos números del 1 al 9. Lo que vamos a hacer es contar cuántas formaciones de cinco números entre 1 y 50 y dos números entre 1 y 9 podemos formar. Como tenemos que contar dos tipos de configuraciones numéricas, las vamos a contar por separados y después multiplicaremos los resultados:

• Números del 1 al 50 (es la matriz principal): Teniendo en cuenta que da igual el orden en que vayamos eligiendo los números (por tanto no importa ese orden) y que no hay repetición de números (no podemos tomar el mismo varias veces), tendremos que usar combinaciones sin repetición. En este caso de 50 elementos tomados de 5 en 5, quedando que hay

disposiciones distintas, por lo que tenemos ese número de formas distintas de elegir los cinco números entre los 50.

• Números del 1 al 9 (son las estrellas): Igual que antes, no importa el orden y no hay repetición de elementos, por lo que volvemos a tener que usar combinaciones sin repetición, en este caso de 9 elementos tomados de 2 en 2, quedando que tenemos

formas distintas de elegir estos dos números.

Multiplicando ahora estos dos resultados obtenemos la cantidad de apuestas correctas que podríamos realizar en el Euromillón:

No está nada mal, ¿verdad? Esto nos da la siguiente probabilidad de acertar el premio mayor validando una apuesta:

Vamos, muy, muy, muuuuuuuy baja.

¿Qué ocurre ahora con la nueva norma sobre las estrellas? Pues que se eligen entre once números en vez de entre nueve, lo que hace que el segundo resultado obtenido anteriormente cambie al siguiente:

Hay diferencia, pero podría no parecer demasiada. Vamos a calcular igual que antes el número total de configuraciones que podríamos obtener:

¡¡ Guau !! , casi nada: 116531800 de apuestas posibles, lo que nos da la siguiente probabilidad de llevarnos el premio gordo con una apuesta:

Comparando los dos resultados obtenidos

vemos que la probabilidad con el nuevo sistema de Euromillón es bastante más baja, casi un 34 % menor.

Y lo mismo ocurre con el resto de premios que contienen alguna estrella. Es decir, vale que han introducido una categoría nueva que recibe premio, pero han aumentado bastante la cantidad de configuraciones válidas, por lo que ha disminuido la probabilidad de acierto.

Y para terminar este apartado una curiosidad, la probabilidad de acertar 2+1 es 1 entre 46, la de acertar 2+0 es 1 entre 23…y la de acertar 0+2 (las dos estrellas pero ningún número) es…1 entre 95. Es decir, es más difícil acertar 0+2 que 2+0 ó 2+1, pero 0+2 no tiene premio.

B - Distribución probabilística de todos las categorías del Euromillón

Con el cambio en Euromillones todo el cálculo de probabilidades ha cambiado sensiblemente, ahora las probabilidades de que nos toque el euromillón se han reducido, tal y como se viene percibiendo en los últimos sorteos, a 1 entre 116.531.800. Como ligera compensación se ha añadido una categoría nueva donde con solo 2 números se obtienen un premio que rondará los 4 euros.

• (5+2) 1 entre 116.531.800 • (5+1) 1 entre 6.473.989 • (5+0) 1 entre 3.236.994 • (4+2) 1 entre 517.919 • (4+1) 1 entre 28.773 • (4+0) 1 entre 14.387 • (3+2) 1 entre 11.771 • (2+2) 1 entre 821 • (3+1) 1 entre 654

• (3+0) 1 entre 327 • (1+2) 1 entre 156 • (2+1) 1 entre 46 • (2+0) 1 entre 23

La siguiente lista muestra cual era el orden de probabilidades anterior, podemos apreciar que las categorías intermedias se conservan en un orden muy similar al anterior sistema.

• (5+2) 1 entre 76.275.360 • (5+1) 1 entre 5.448.240 • (5+0) 1 entre 3.632.160 • (4+2) 1 entre 339.002 • (4+1) 1 entre 24.214 • (4+0) 1 entre 16.143 • (3+2) 1 entre 7.705 • (3+1) 1 entre 550 • (2+2) 1 entre 538 • (3+0) 1 entre 367 • (1+2) 1 entre 102 • (2+1) 1 entre 38

1.2.- Fondo de premios del Euromillón

Se destina a premios el 50% de la recaudación íntegra en euros, globalizándose a dicho efecto el total de las apuestas validadas en el conjunto de los países que comercializan este juego, y se distribuirá entre trece categorías de premios en la forma que sigue:

Distribución de premios EUROMILLÓN por categorías Números acertados Porcentaje

Categoría Matriz de números Matriz de estrellas Fondo de premios

1ª 5 2 32,00%

2ª 5 1 4,80%

3ª 5 0 1,60%

4ª 4 2 0,80%

5ª 4 1 0,70%

6ª 4 0 0,70%

7ª 3 2 0,50%

8ª 2 2 2,30%

9ª 3 1 2,20%

10ª 3 0 3,70%

11ª 1 2 6,50%

12ª 2 1 17,60%

13ª 2 0 18,00%

Fondo de reserva 8,60%

2.- PRIMITIVA Y BONO LOTO: más al alcance

La Primitiva y la Bono Loto consiste en elegir 6 números del 1 al 49, además de otro número complementario y uno distinto del 0 al 9 para determinar el reintegro. Los sorteos de la Primitiva se realizan los jueves y sabados y el precio de cada apuesta es de 1 euro. Los de Bono Loto los lunes, martes, miércoles y viernes y el precio de cada Apuesta son 50 Céntimos. Se destina a premios el 55% de la recaudación, distribuyéndose esta cantidad entre cinco categorías de premios más el reintegro.

Aquí tienes un resumen de las probabilidades de tocar algún premio:

Categoría Aciertos Favorables Probabilidad

1º 6 1 0,0000000715

2º 5 + C

0,000000429

3º 5

0,0000180

4º 4

0,000969

5º 3 0,0176

Existen 13.983.816 posibles combinaciones de 6 números sobre 49 números posibles, y las probabilidades de acertar los diversos premios en la Loto son:

• 6 . . . . . 1 entre 13.983.816 • 5+C . . . 1 entre 2.330.636 • 5 . . . . . 1 entre 55.491 • 4 . . . . . 1 entre 1.032 (0,097%) • 3 . . . . . 1 entre 57 (1,77%) • R . . . . . 1 entre 10 (10%) (reintegro)

La probabilidad que no aciertes ningún número no es tan baja:

• 0 aciertos: 1 entre 2,27, casi un 50%

Como cada apuesta cuesta 1 €, para asegurarnos el premio deberíamos invertir en un sólo sorteo la cantidad de 13.983.816 €. Dicho de otro modo, podríamos estar durante 268.920 años haciendo cada semana una primitiva distinta... y ¡quizás no nos tocara nunca!

Las probabilidades por si mismas son irrelevantes. Lo que realmente importa es la esperanza matemática, de la cual hablaremos luego.

2.1.- Primitiva: probabilidad de 6 Aciertos

El juego consiste en adivinar 6 números de 49 posibles. Dos de estos boletos son diferentes cuando lo es algún elemento. Es decir los boletos {6 - 13 - 23 - 34 - 45 - 47} y {6 - 34 - 45 - 13 - 23 - 47} son el mismo. Dicho boleto es una combinación de seis elementos de las posibles que se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, ..., 49. El número de las mismas es

y la probabilidad de que UNA de ellas sea la premiada es, por la regla de Laplace :

En conclusión, la probabilidad que uno acierte los 6 números es alrededor de 1 entre 14 millones. En otras palabras, si juegas 14 millones de apuestas (columnas) y ninguna apuesta es idéntica a otra, ¡te toca seguro!

2.2.- Primitiva: probabilidad 5 Aciertos + complementario

Como hay que acertar 5 de los 6 números premiados, el número de posibles boletos son combinaciones de 6 elementos tomados de 5 en 5, C 6,5 (seis casos, dejo fuera cada vez a un número) por combinaciones de 1 elementos tomado de 1 en 1, C 1,1, (1 caso, una vez que has acertado 5 números, el sexto tiene que ser obligatoriamente el complementario)

Aplicando la regla de Laplace:

En palabras significa que por apuesta jugada la probabilidad de acertar 5 números y el complementario es 6 veces la probabilidad de acertar los 6 números, menos de 1 entre 2 millones (2.330.636) posibilidades.

2.3.- Primitiva: probabilidad 5 Aciertos

Como hay que acertar 5 de los 6 números premiados, el número de posibles boletos son combinaciones de 6 elementos tomados de 5 en 5, C 6,5 (seis casos, dejo fuera cada vez a un número) por combinaciones de 43 elementos tomados de 1 en 1, C 42,1, (42 casos, una vez que he acertado 5 números, el sexto tiene que ser no premiado, ni complementario, por lo tanto quedán 42 bolas)


Resumiendo, la probabilidad de acertar 5 de 6 bolas en La Primitiva es 252 veces la probabilidad de acertar los 6 números, más o menos 1 entre 55.491 posibilidades.


Como hay que acertar 4 de los 6 números premiados, el número de posibles boletos son combinaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4, C 6,4 por combinaciones de 43 elementos tomados de 2 en 2, C 43,2, (una vez que he acertado 4 números, los otros dos pueden ser cualquiera de los 43 no premiados)


Resumiendo, la probabilidad de acertar 4 de 6 bolas en La Primitiva es 13545 veces la probabilidad de acertar los 6 números, o sea más o menos 1 entre 1032 posibilidades.


Como hay que acertar 3 de los 6 números premiados, el número de posibles boletos son combinaciones de 6 elementos tomados de 3 en 3, C6,3 por combinaciones de 43 elementos tomados de 3 en 3, C 43,3 (una vez que he acertado 3 números, los otros tres pueden ser cualquiera de los 43 no premiados)


Resumiendo, la probabilidad de acertar 3 de 6 bolas en La Primitiva es 246.820 veces la probabilidad de acertar los 6 números, o sea más o menos 1 entre 57 posibilidades.


No acertar ninguna supone escoger 6 números de los 43 no premiados. Por lo tanto el número de boletos favorables son combinaciones de 43 elementos tomados de 6 en 6, C43,6


En conclusión, la probabilidad de no acertar ningún número es más o menos 1 entre 2,29. Bastante alta.

2.7.- Probabilidad de ganar el Joker

Este es uno de los cálculos de probabilidad más sencilla, entre otras cosas, porque en el Joker no hay apuestas múltiples, sólo podemos jugar un número en cada sorteo, un número que es de siete cifras y que debemos comparar con el número aleatorio extraído en el sorteo, os damos la probabilidad para cada uno de los premios posibles en esta tabla.

Categoría de premio Cifras acertadas Probabilidad estadística

1 7 últimas cifras 1 entre 10.000.000

2 6 últimas cifras 1 entre 1.000.000

3 5 últimas cifras 1 entre 100.000



6 2 últimas cifras 1 entre 100

Cómo véis, comparada con otros juegos es bastante elevada.

2.8.- Distribución de las apuestas en funcion de los aciertos que tiene cada apuesta

Dentro de las 13.983.816 apuestas sabemos que hay 1 apuesta con 6 aciertos, pero vamos a ver la distribución de las apuestas en función de los aciertos que tienen:

Aciertos Nº de apuestas 6 1

5+C 6

5 252

4 13.545

3 246.820

2 1.851.150

1 5.775.588

0 6.096.454

Total 13.983.816

2.9.- Selección de un grupo de números

Hemos visto el nº de combinaciones posibles partiendo de 49 números, pero resulta absurdo marcar los 49 números dado que el coste seria muy elevado, por tanto lo habitual será seleccionar un grupo de números de entre los 49 posibles, teniendo en cuenta que cuantos mas números seleccionemos tendremos mas posibilidades de acertar, pero el coste de la inversión también será mayor.

Vamos a ver ahora un ejemplo con el nº de apuestas que jugamos cuando seleccionamos 20 números, y la distribución de los aciertos entre las apuestas jugadas, según el número de aciertos que tengamos entre los 20 números seleccionados:

Numeros Jugados

Numero Apuestas

Numeros Acertados

Aciertos 6

Aciertos 5+C

Aciertos 5

Aciertos 4

Aciertos 3

Aciertos 2

Aciertos 1

Aciertos 0

20 38.760 6+C 1 6 78 1.365 7.280 15.015 12.012 3.003

20 38.760 6 1 - 84 1.365 7.280 15.015 12.012 3.003

20 38.760 5+C - 1 14 525 4.550 13.650 15.015 5.005

20 38.760 5 - - 15 525 4.550 13.650 15.015 5.005

20 38.760 4 - - - 120 2.240 10.920 17.472 8.008

20 38.760 3 - - - - 680 7.140 18.564 12.376

20 38.760 2 - - - - - 3.060 17.136 18.564

20 38.760 1 - - - - - - 11.628 27.132

20 38.760 - - - - - - - - 38.760

2.10.- Funcionamiento del metodo reducido

El método directo, que es el que hemos visto antes, consiste en jugar todas las combinaciones posibles. Podemos observar que en el desarrollo por el metodo directo aparece una única apuesta con 6 aciertos, varias apuestas con 5+C aciertos, con 5 aciertos, con 4 aciertos y con 3 aciertos. El objetivo del método reducido es desarrollar combinaciones reducidas, donde la inversión sea mucho menor y en las que podamos asegurar de forma matemática, una apuesta con al menos 5, 4 o 3 aciertos. Teniendo en cuenta la presencia de las apuestas con 5, 4 y 3 aciertos, es posible reducir el nº de apuestas que jugamos, lo que implica menor inversión económica, garantizando matemáticamente unos resultados aceptables. La máxima reducción matemática que se puede conseguir viene dada por el cociente entre el nº de apuestas del desarrollo directo y el nº de apuestas que consideramos útiles, según queramos reducir a 5, a 4, etc...

• Por ejemplo, si queremos jugar las 13.983.816 combinaciones posibles asegurándonos como mínimo 4 aciertos, tendríamos que el nº de combinaciones útiles serian: 1 apuesta con 6 aciertos 6 apuestas con 5+C aciertos 252 apuestas con 5 aciertos 13.545 apuestas con 4 aciertos en total el nº de combinaciones útiles es 13.804 y por tanto dividiendo 13.983.816/13.804 = 1013,0264 (=> 1014 apuestas) tenemos que para garantizar como mínimo 4 aciertos hay que cubrir 1.014 apuestas.

• Para el caso anterior en que seleccionamos 20 números de los 49 posibles, de las 38.760 combinaciones posibles, y suponiendo que entre los 20 números acertamos 6+C, el nº de combinaciones útiles para tener 4 aciertos serian: 1apuesta con 6 aciertos 6 apuestas con 5+C aciertos 78 apuestas con 5 aciertos 1.365 apuestas con 4 aciertos

en total el nº de combinaciones útiles es 1.450 y por tanto dividiendo 38.760/1.450 = 26,73 (=> 27 apuestas) tenemos que para garantizar 4 aciertos entre 20 números con 6+C aciertos, hay que cubrir 27 apuestas como mínimo.

Vamos a ver un ejemplo con las apuestas que jugamos al método directo cuando seleccionamos 20 números y el número de apuestas mínimo que tenemos que jugar haciendo una reducción al 6, 5, 4, 3, 2 y 1, en función de los aciertos que tengamos entre los números seleccionados.

Números Jugados

Número Apuestas

Números Acertados

Reduce a 6

Reduce a 5+C

Reduce a 5

Reduce a 4

Reduce a 3

Reduce a 2

Reduce a 1

20 38.760 6+C 38.760 5.538 456 27 5 2 2

20 38.760 6 38.760 38.760 456 27 5 2 2

20 38.760 5+C - 38.760 2.584 72 8 3 2

20 38.760 5 - - 2.584 72 8 3 2

20 38.760 4 - - - 323 17 3 2

20 38.760 3 - - - - 57 5 2

20 38.760 2 - - - - - 13 2

20 38.760 1 - - - - - - 4

20 38.760 0 - - - - - - -

2.11.- Condiciones habituales de la Primitiva (estadísticas de los sorteos)

Si bien es cierto que cualquier numero puede salir en el sorteo desde un punto de vista matemático, también es cierto que si examinamos los resultados de todos los sorteos realizados desde los inicios de la primitiva, podemos observar como la combinación ganadora suele cumplir una serie de condiciones:

El numero de bolas bajas (menor que 25) suele estar entre 2 y 4 El numero de bolas altas (mayor o igual a 25) suele estar entre 2 y 4 El numero de bolas pares suele estar entre 2 y 4 El numero de bolas impares suele estar entre 2 y 4 El numero de bolas seguidas suele estar entre 0 y 2 El numero de terminaciones iguales suele estar entre 1 y 2 El numero de decenas diferentes suele estar entre 3 y 4 Por tanto podemos desperdiciar una serie de apuestas, sabiendo que las posibilidades de que sean la combinación ganadora son mínimas, aunque hay que tener presente que esto es azar y puede pasar cualquier cosa.

3.- Lotería Nacional

En la Lotería Nacional, además de los números en juego, hay que tener en cuenta las series. En el sorteo semanal de los jueves se emiten 6 series de 100.000 números (00.000-99.999), de los cuales 35.450 se llevan algún tipo de premio -varios premios "mayores", aproximaciones, premios "menores" y reintegros- mientras que los sábados y sorteos especiales como el de la Cruz Roja o el de julio llegan a las 10 series, con el mismo número de premios que los jueves.

En un sorteo de los jueves, la probabilidad de que nos toque un primer premio de 100.000 € es de 1 entre 100.000 (número de billetes distintos) pero además hay un premio de 200.000 € para ese número de una seria determinada, con lo que la probabilidad disminuye a 1 entre 600.000 ( 6 series de 100.000 números)

En cuanto al sorteo extraordinario de Navidad, se ponen en juego 195 series de 85.000 billetes (desde el número 00000 al 84999), de los cuales 13.334 se llevan premio. Así, por ejemplo, si jugamos un billete de lotería en el premio de Navidad, la probabilidad de que nos toque el premio mayor de 3.000.000 € ("el gordo") es de 1 entre 85.000 (1 dividido entre los números de una serie porque todas las series tienen los mismos premios).

¿Qué probabilidad tenemos de que nos toque el Gordo?

Como hemos dicho antes, vamos a comenzar siendo claros y directos. Teniendo en cuenta que en el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional entran en el bombo 85000 números, la probabilidad de que nuestro décimo (suponiendo que sólo tengamos uno) sea el premiado es:

Esto es, bajísima. Y no podía ser de otra manera. Si un sorteo de este tipo está bien pensado y estudiado, la probabilidad de llevarse el premio gordo debe ser muy baja.

Bien, vamos a ser un poco menos ambiciosos. Partiendo de la base de que hemos comprado un décimo, ¿cuál es la probabilidad de obtener algún premio (aunque sea el reintegro)? Pues vamos a ver algunos datos sobre los distintos premios que ofrece este sorteo.

La emisión de billetes del Sorteo de Navidad consta de 195 series de 85000 billetes. Cada uno de estos billetes consta de 10 décimos, por lo que tenemos 1950 décimos de cada uno de los números que entran en sorteo. Dado que se entregan 13334 premios entre el Gordo, el segundo, el tercero, los cuartos, los quintos, las aproximaciones a algunos de ellos, las “pedreas” y los reintegros, tenemos que en este sorteo habrá 26001300 décimos premiados (esto es, el producto de los 13334 premios por los 1950 décimos que tiene cada número).

Teniendo en cuenta que en total se venden 85000 · 10 · 195=165750000 décimos, se tiene que la probabilidad de que nuestro décimo obtenga algún premio es la siguiente:

No es gran cosa (evidentemente), pero esto ya está mejor. Un 15% de posibilidades de “pillar” premio con nuestro décimo…

¿Cómo es este sorteo comparándolo con otros?

…¿cómo es de bueno ese tanto por ciento? Pues, comparándolo con otros sorteos que se hacen en España la verdad es que no está mal. Por poner un par de ejemplos, en la Quiniela hay 14348907 combinaciones de resultados distintas, por lo que la probabilidad de acertar una de 15 aciertos con una apuesta simple es de:

Aunque bueno, como se pueden hacer apuestas múltiples y los conocimientos de la competición (y todo lo que la rodea) también influyen, en realidad la probabilidad podría ser más alta.

En la Lotería Primitiva tenemos un total de 13983816 combinaciones distintas, por lo que la probabilidad de acertar una de 6 aciertos es:

También bastante más baja que la de la Lotería de Navidad, aunque algo más alta que la de la Quiniela.

Y posiblemente el Euromillón se lleve la palma, ya que entre los cinco números a elegir entre el 1 y el 50 y las dos estrellas entre el 1 y el 9 tenemos la friolera de 116.531.800 ombinaciones distintas, por lo que la probabilidad de acertar el premio mayor es irrisoria.

De todas formas, si comparamos la Lotería de Navidad con los otros tres juegos de azar, la primera tiene una ventaja sobre los demás: a alguien tiene que tocarle. Sería tremendamente extraño que no se vendiera ningún décimo de alguno de los números que entran en sorteo, por lo que el día 22 de diciembre justo antes del sorteo alguien (de hecho bastante gente) tendrá un décimo correspondiente al Gordo de la Lotería de Navidad sin saberlo todavía. En los otros tres cabe la posibilidad de que el premio mayor no le toque a nadie, ya que hay tantas combinaciones posibles que en principio no tienen por qué haberse jugado todas en todos los sorteos.

4.- Cómo medir qué esperamos ganar? La Esperanza Matemática.

Las probabilidades de las loterías por si mismas son irrelevantes. Lo que realmente importa es si el premio multiplicado por la probabilidad (en escala de 0 a 1) es mayor o menor que el costo del billete. De hecho, ninguna lotería cumple esta lógica (y es por eso que dicen que las loterías son un impuesto del gobierno al desconocimiento de las Matemáticas.

Bueno, en resumidas cuentas, casi todos jugamos alguna lotería. Partiendo de eso, ¿cuánto esperamos ganar?

En Teoría de Probabilidades hay una medida que nos puede decir lo que podemos esperar ganar en este tipo de juegos. Y, como no podía ser de otra forma, se denomina Esperanza Matemática (o simplemente Esperanza). No me voy a meter a definir formalmente esta medida (igual en otro artículo más adelante), pero voy a contar un poco qué significa en este tipo de juegos. Para estos sorteos la esperanza se calcula de la siguiente forma:

E = {Premio} * {Probabilidad acertar} - {Cantidad p agada} * {Probabilidad no acertar}

Por ello en estas situaciones la esperanza puede decirnos cuál es la cantidad que esperamos ganar con nuestra apuesta, teniendo en cuenta la probabilidad de acertar y la de no acertar, el gasto que tenemos que hacer y el premio que conseguimos si acertamos. En las definiciones formales el cero suele ser el «juego justo», y los valores negativos o positivos indican «positivo o negativo para el jugador».

Vamos a ver algunos ejemplos sencillos:

• Supongamos que tenemos que pagar 1 € para jugar al siguiente juego: se tira una moneda al aire, si sale cara nos dan 5 € y si sale cruz no nos dan nada. Tenemos entonces una probabilidad 0,5 de ganar y lo mismo de perder. La esperanza de este juego es la siguiente:

Esto es, por cada euro gastado se espera que ganemos 2 €. Está bien el juego entonces (es un juego favorable para el jugador).

• Supongamos ahora que tenemos que pagar 1 € por jugar al siguiente juego: se lanza un dado al aire, si sale un 4 nos pagan 5 € y si sale cualquier otro

perdemos nuestro euro. Tenemos, por tanto, una probabilidad de ganar y una

probabilidad de perder. La esperanza en este caso es:

Esto significa que no esperamos ni ganar ni perder nada (es lo que se denomina un juego justo).

• Veamos qué ocurre ahora con este juego, por el que también pagamos 1 € por jugar: se meten diez bolas en una urna numeradas del 1 al 10 y sacamos una de las bolas. Si sale un 7 nos pagan 5 € y si sale cualquier otro no recibimos nada y nos quedamos sin nuestro euro. Aquí tenemos una probabilidad 0,1 de ganar y una probabilidad 0,9 de perder, por lo que la esperanza es:

Uhmmm…mal asunto, ya que cada vez que juguemos se espera que perdamos 0,4 € (esto es un juego desfavorable para el jugador).

Ya que más o menos hemos nos hemos debido quedar con la idea de esperanza matemática, ¿qué esperáis que sea cualquiera de los sorteos comentados anteriormente (en particular el Sorteo de Navidad)? Pues, claramente, un juego desfavorable para el jugador (mal asunto para las arcas del Estado si la cosa no fuera así). Esto, como se ha visto en el último ejemplo, significa que lo que podemos esperar participando en este sorteo es que perdamos dinero. Por ello, como dijimos anteriormente, si pensamos con mente matemática no deberíamos jugar…aunque a la postre todos, matemáticos o no, terminaremos comprando Lotería por si acaso.

5.- Esperanza matemática de las loterías

No hay mejor forma de presentar un concepto matemático que con una bonita integral

Esta integral representa el concepto de esperanza matemática, que formalmente representa el valor medio de un fenómeno aleatorio. Si llevamos este concepto al contexto de las loterías del Estado, al ser las variables de estas apuestas discretas se puede transformar esta integral en un sumatorio del que podemos sacar una definición más fácil de entender, la esperanza matemática es la relación entre los premios obtenidos y la probabilidad de acierto.

El resultado de esta relación comparado con el precio de la apuesta realizada nos da una estimación de lo favorable o desfavorable que es un juego para el jugador.

La esperanza matemática es un valor importante que conocer para cualquier tipo de premio, en función de su dificultad, y para cada sorteo concreto.

Por ejemplo el mítico juego de la ruleta, la EM es la probabilidad de acierto (1/37) * el premio obtenido (36 €) = 0.97€ por cada 1 € apostado. La expectativa después de muchos lanzamientos es perder una mínima parte de lo invertido.

En base a todo esto se puede definir la norma universal de juego científico, que nos dice que lo racional es apostar cuando se pueda equilibrar a favor del jugador la probabilidad de acierto de acuerdo a los premios estimados.

Por supuesto, cualquier juego de lotería real está diseñado para ser desfavorable al jugador y favorable a la banca, por lo que en principio lo más probable es perder dinero. Pero en realidad esta afirmación solo es 100% cierta en condiciones y entornos perfectos, a veces la realidad supera a la ficción y es posible equilibrar en favor del jugador la esperanza matemática.

Un caso muy conocido es la historia de los Pelayo a los que han llegado a prohibir la entrada en la mayoría de casinos del mundo. Basándose en la premisa de que no existe la aleatoriedad perfecta en las ruletas y examinando miles de números ganadores en busca de sesgos e imperfecciones, fueron capaces de convertir el juego de la ruleta en un juego favorable.

Pero volvamos a las loterías del Estado: ¿cuál es la esperanza matemática en la bonoloto, primitiva o euromillón? En este caso la esperanza varía entre cada sorteo, porque las cantidades recaudadas y el premio estipulado a cada categoría es variable en función del numero de participantes y acertantes (a diferencia de la lotería donde los premios son fijos). Calculando un promedio histórico se puede estimar que en este tipo de loterías la esperanza matemática promedio está en torno a un 0.5. Por lo tanto cuanto mayor sea la cantidad invertida y cuanto más tiempo se juegue las perdidas esperables serán del 50% de la inversión realizada.

En concreto, en la Lotería Primitiva , la esperanza matemática general o promedio es sencillamente 0,55 y en Euromillones es 0,5. Se corresponde a la cantidad que se devuelve en premios: el 55% o el 50% del total apostado por los jugadores. Ese dinero siempre se devuelve, teniendo en cuenta que con el tiempo los premios no entregados se acumulan en Botes.

En la Primitiva el reparto de premios funciona de modo que la cantidad jugada por todos los jugadores (excepto el 45% que se queda la organización) se suma y reparte en diversas categorías: una parte para los de más aciertos, otra parte para premios menores, reintegros, etc. Esto marca ciertamente diferencias entre la esperanza matemática (premios por probabilidad) de las diferentes categorías de premios. La esperanza matemática más alta es la del Reintegro que es de 0,1 (10 %).

Estos cálculos, que de por sí son sencillos, se ven complicados por algunas reglas relativamente recientes, como el «premio fijo para los acertantes de 3» o «los acertantes de 5 nunca pueden ganar más que los de 6», pero son en cualquier caso calculables con precisión.

En general, y para la Loto tradicional la norma a grandes rasgos es que la esperanza matemática es mayor que 1 cuando la cantidad de premios total (el bote más el 55% de la cantidad que todos los jugadores apuestan ese día) es mayor de lo que valen 13,9 millones de apuestas (dado que la probabilidad de acertar es de 1 entre 13,9 millones) y esto ocurre en muy muy muy raras ocasiones.

Pero imaginemos como hipótesis de trabajo que llega un día en el que se ha acumulado un bote de 20 millones de euros y en el que por alguna circunstancia nadie juega a la Loto excepto una persona. A 1 euro por apuesta, esto supondría pagar unos 14 millones de euros para jugar a todas las combinaciones y embolsarse todos los premios: el bote más lógicamente la recuperación del 55% de lo apostado y un 10% en reintegros (7,7

millones de euros, correspondiente al resto de premios menores de 5, 4, reintegros, etc.) Resultado: apostando 14 millones se recuperarían 27,7 millones de euros. Casi otros 14 millones de beneficio. ¡Buen negocio!

Un ejemplo real excepcionalmente raro fue el sorteo de Bonoloto (Loto 6/49) del 18/11/1990. Un bote de 1.151 millones de pesetas se sumó a una recaudación de sólo 374 millones. A 25 pesetas por apuesta se hicieron en total unos 15 millones de apuestas. La probabilidad de acertar 6 era de 1 entre 14 millones, como siempre (y en total se repartía el 55% de la recaudación, como siempre). El premio de 1.200 millones que recibió un único acertante de 6 números tenía como base una esperanza matemática de 3,2 (frente a 1 que sería lo normal en un “juego justo” o 0,55 en un día convencional sin bote). Es decir, si el juego hubiera sido “justo” tanto para el jugador como para la banca, el premio debería haber sido de sólo unos 350 millones. Pero el ganador se llevó 1.200 millones porque había un bote acumulado de muchísimas semanas. La esperanza matemática promedio de ese día, contando todos los premios, era de 3,6. ¡Ese día ciertamente era mejor jugar a la Loto que no jugar!

Otro concepto matemático que puede ayudarnos a mejor la probabilidad de acierto en este tipo de loterías son las reducciones matemáticas. Se trata de optimizar las combinaciones jugadas para garantizar un premio menor al más grande con el mínimo combinaciones posibles necesarias. Las reducciones funcionan muy bien, hay hasta un ranking de reducidas récord, pero para ser rentable sigue siendo necesario un filtrado previo difícil de acertar debido a la aleatoriedad pura del sorteo. No sucede así en la quiniela, donde las reducciones matemáticas son una herramienta fundamental en pequeñas inversiones.

Casi siempre, cualquier juego real de apuestas tiene esperanza menor que 1: lo más probable es perder dinero. El motivo por el que se juega es que en caso de ganar, los premios son de escándalo. Estamos dispuestos a perder una cantidad pequeña de dinero casi con seguridad a cambio de la posibilidad, por pequeña que sea, de hacernos ricos de la noche a la mañana.

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