Probabilidad y estadística - Grupo Editorial...

Aplicaciones a la ingeniería y las cienciasEduardo Gutiérrez GonzálezProfesor de matemáticas de la UPIICSA–IPNSección de Estudios de Posgrado e Investigación

Olga Vladimirovna PanteleevaProfesora de matemáticas de la UACHÁrea de matemáticas

PRIMERA EDICIÓNMÉXICO, 2014

Probabilidad y estadística

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Estela Delfín RamírezSupervisor de preprensa: Gerardo Briones GonzálezDiseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/SignxImágenes: Adrian Zamorategui BerberFotografías: © Thinkstockphoto

Revisión Técnica: Alex Polo VelázquezUniversidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco

Probabilidad y estadística. Aplicaciones a la ingeniería y las cienciasDerechos reservados:© 2014, Eduardo Gutiérrez Gónzalez/ Olga Vladimirovna Panteleeva© 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaAzcapotzalco, México D. F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial MexicanaRegistro Núm. 43

ISBN: 978-607-438-766-7

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presenta obra en cuales-quiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in Mexico

Primera edición: 2014


Eduardo Gutiérrez GonzálezDoctor en Ciencias (f ísico-matemáticas), realizó estudios de licenciatura, maestría y doctorado en la Universidad Estatal de San Petersburgo, Federación Rusa en análisis matemático de 1984-1994. Doctor en Ciencias (estadística), realizó estudios de maestría de 2002-2004 y doctorado de 2005-2009 en el Colegio de Posgraduados-México en el programa en Estadística. Maestro en ingeniería, realizó estudios de maestría en el Posgrado de Ingeniería de la UNAM-México, en Ingeniería de Sistemas en el campo disciplinario de Investigación de Operaciones de 2004-2006. Actualmente académico de tiempo completo en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de UPIICSA-IPN, becario por la DEDICT-COFAA y E.D.D.

Olga Vladimirovna PanteleevaMaestra en Ciencias Físico-Matemáticas (matemáticas aplicadas), realizó estudios de licenciatura y maestría en la Universidad Es-tatal de San Petersburgo, Federación Rusa, en Matemáticas aplicadas y procesos de control de 1986-1992. Doctora en Ciencias (esta-dística), realizó estudios de maestría de 2005-2007 y doctorado de 2008-2012 en el Colegio de Posgraduados-México en el progra ma en Estadística. Actualmente académica de tiempo completo en la Universidad Autónoma de Chapingo en el área de matemáticas.

AgradecimientosCuando se termina una obra existen infinidad de compañeros y colegas a los que se les debe en cierta forma la conclusión de esta y sin hacer a un lado a nadie, agradecemos infinitamente a todos nuestros compañeros de trabajo, tanto de las Academias de Matemá-ticas como de Investigación de Operaciones y de la Sección de Graduados de UPIICSA-IPN, así como a los compañeros del Programa en Estadística del colegio de Posgraduados campus montecillo, donde adquirimos grandes conocimientos sobre la probabilidad y la estadística que han hecho posible la escritura de este texto. Muy en particular agradecemos a los compañeros del grupo Gitam (Gru-po de Investigación y Trabajos Académicos de Matemáticas, de las academias de matemáticas de UPIICSA-IPN, fun dado en 2013) a través de la línea 2 de investigación sobre probabilidad y estadística por las aportaciones obtenidas durante el Seminario de Probabi-lidad y Estadística (2013--), así como a los integrantes del Diplomado en Formación Docente en Probabilidad y Estadística con vigen-cia 2013-2015. Por último, agradecemos a todos los revisores de la editorial cuyas contribuciones han sido inmejorables para que el texto tenga una mejor presentación y calidad en su desarrollo.

Eduardo Gutiérrez y Olga Vladimirovna


Palabras de los autoresEn términos generales el libro está divido en tres partes. En la primera trabajamos con los fenómenos probabilísticos; en la se-gunda con la estadística tanto descriptiva como inferencial y en la tercera los modelos de regresión lineales. Con estas tres partes, el libro se perfecciona con un avance completo de los con-ceptos básicos que tienen mayor aplicación en problemas prác-ticos de las diferentes esferas de la ingeniería.

La primera parte del libro inicia con la explicación de las diferentes corrientes que existen en la asignación de probabili-dades a un suceso. Durante los primeros tres capítulos se realiza una construcción matemática de la teoría de las probabilidades, apoyada con los espacios muestrales, el álgebra de eventos, téc-nicas de conteo, probabilidad condicional y eventos indepen-dientes.

En los capítulos 4 al 8 se introduce al estudio de las funcio-nes al cálculo de probabilidades, por medio del concepto de variables aleatorias. Es decir, de manera más formal se inicia el uso de funciones, tanto discretas como continuas, en el de-sarrollo de la teoría de las probabilidades. El paso que se da en estos capítulos es uno de los más trascendentales en el desarrollo de la obra, debido a la introducción a las funciones en el es-tudio de las probabilidades, formaliza la creación de una ver-dadera ciencia matemática de las probabilidades. El capítulo 8 tiene una relevancia teórica que forma el vínculo para pasar de la probabilidad a la estadística. En este capítulo se revisan las transformaciones de las variables aleatorias por medio de los métodos más comunes como: la función de distribución acumu-lada, la función generatriz de momento y la técnica de los ja-cobianos. Con estas técnicas se sustenta la demostración de la mayoría de fórmulas que utilizamos en la segunda parte del tex-to sobre la estadística inferencial.

La segunda parte del libro la dedicamos al estudio de la estadística; se inicia en los capítulos 9 y 10 con la parte descrip-tiva. En el capítulo 9 revisamos la estadística descriptiva para da-tos no agrupados, donde analizamos las diferentes medidas, tanto centrales como de desviación. Dentro de las medidas centrales estudiamos la media, mediana, moda, media geométrica, me-dia ponderada, media armónica y cuantiles. En las medidas de desviación analizamos el rango, la varianza y la desviación es-tándar. Revisamos los coeficientes de variación y covarianza, y los parámetros de forma para un conjunto de datos; al final se

revisan algunas aplicaciones de los datos no agrupados a in-versiones. En el capítulo 10 realizamos un trabajo bastante completo sobre la estadística descriptiva para datos agrupados. Estudiamos las clases de frecuencias y sus medidas centrales (antes mencionadas) y cuantiles. Agregamos un apartado para las gráficas de las clases de frecuencia, con las que se analizan las distribuciones de los datos; simetría, sesgo y curtosis. Por úl-timo, revisamos la técnica gráfica Q-Q, para realizar una prue-ba de bondad de ajuste.

El estudio sobre las distribuciones muestrales lo iniciamos en el capítulo 11 donde se explica a detalle sobre las distribucio-nes muestrales de la media y diferencia de medias para varia-bles normales. Ampliamos las distribuciones muestrales para la suma y el promedio de las distribuciones más comunes estu-diadas en la teoría de las probabilidades. Es decir, en el caso dis-creto, hablamos sobre las distribuciones Bernoulli, binomial, geométrica, Poisson, etc., mientras que en el caso continuo nos referimos a la familia exponencial, beta, Pareto, etc. Continua-mos el capítulo con una breve introducción sobre las estadís-ticas de orden. Al final, hacemos una revisión detallada del Teorema Central del Límite en sus diferentes presentaciones, media, suma y distribuciones específicas.

En el capítulo 12 se habla de manera breve sobre los estima-dores puntuales y sus propiedades más importantes: suficiencia, insesgamiento, eficiencia relativa y varianza mínima. Veremos algunas propiedades asintóticas deseables de una sucesión de estimadores. Después, revisamos con mucho detalle los inter-valos de confianza. Iniciamos con los conceptos básicos sobre las propiedades de un buen intervalo de confianza, con estos conceptos revisamos a detalle la parte metodológica de los intervalos de confianza para los parámetros de poblaciones normales o aproximadamente normales, para una población y comparación de estas. Al final con intervalos de confianza para proporciones y diferencia de proporciones en muestras grandes.

En el capítulo 13 hacemos una revisión similar a la del capí-tulo 12, pero ahora utilizamos las pruebas de hipótesis. Se inicia con la descripción de los conceptos básicos sobre pruebas de hipótesis y su metodología. Primero revisamos qué es una hipó-tesis estadística y cuáles son los errores que cometemos al lle-var a cabo una prueba. Asimismo, tratamos a detalle la poten cia de la prueba. Hacemos un resumen de los casos más co munes en las pruebas de hipótesis: simple contra simple, simple contra

Prefacio


Prefacio v

compuesta y compuesta contra compuesta, donde tratamos so-bre la prueba uniformemente más potente. Al final, revisamos a detalle la parte metodológica de las pruebas de hipó tesis para los parámetros de poblaciones normales o aproximadamente normales y poblaciones tipo Bernoulli.

En la tercera parte del texto en un solo capítulo hacemos una revisión detallada de los modelos de regresión tanto sim-ples como múltiples. En el primer caso explicamos cómo llevar a cabo un análisis sobre la regresión, desde la construcción de un diagrama de dispersión, hasta los intervalos de confianza y pruebas de hipótesis de los parámetros de regresión. Durante el desarrollo de los resultados de una regresión vemos cómo en-contrar e interpretar su ecuación, cómo obtener predicciones y cómo calcular intervalos de confianza para estas. Con la regresión múltiple ampliamos los modelos a regresiones curvi-líneas, casos con errores multiplicativos y problemas de Cobb-Douglas. Además de explicar a detalle los diferentes problemas que se pueden presentar con las observaciones de una muestra como puede ser la multicolinealidad, datos aberrantes, trans-formaciones Box-Cox para variables de respuesta no normales, etcétera.

Sin importar los avances que tengamos en computación y en la teoría de la estadística en los textos metodológicos so-bre aplicaciones de la estadística inferencial se conserva el viejo esquema del uso exclusivo de la distribución normal para las fórmulas y métodos que se acostumbra usar en los intervalos de confianza y prueba de hipótesis. Por otro lado, los textos que hablan sobre las bases teóricas para diferentes tipos de distri-buciones resultan ser demasiado teóricos de manera que a un lector sin formación matemática se le dificulta comprender el desarrollo del libro.

En la presente obra damos un enfoque teórico y metodoló-gico. Así, el lector que solo tenga interés en la parte metodológi-ca de la estadística descriptiva e inferencial podrá avanzar en su estudio sin problemas. De manera paralela a la metodología damos un desarrollo teórico de la probabilidad, así como de la estadística descriptiva e inferencial. De esta manera los lectores más avanzados podrán comprender las bases teóricas para la creación de otros estimadores puntuales de los parámetros de poblaciones diferentes a la normal. Es decir, con estas bases los lectores más avanzados estarán en posibilidad de construir in-tervalos de confianza y llevar a cabo pruebas de hipótesis para parámetros de poblaciones diferentes a la normal.

Otra aportación de transcendencia de la presente obra con respecto a otras reside en que la parte de probabilidad la mayo-ría de los autores se refieren a esta como un simple escalón para el desarrollo de la estadística. En este texto mostramos parte de su importancia, además de resaltar las aplicaciones actuales de la teoría de las probabilidades, en diferentes áreas de las cien-cias, por ejemplo:

• Administración • Ingeniería • Informática • Simulacióndesistemas • Controldecalidad

• Tomadedecisiones • Evaluacióndeproyectos • Entremuchasotras

Unas palabras del estilo y forma de escritura El estilo de escritura del libro es muy sencillo, muestra con-ceptos que son la base para los desarrollos teóricos. Cada tema tratado en el libro está reforzado por una gran cantidad de ejemplos y ejercicios prácticos, en cada sección abarcan di-ferentes formas de ver un problema (en total se tienen más de 1 600 ejercicios que incluyen más de 2 800 incisos). Las solu-ciones y sugerencias a la mayoría de los problemas están en el CD-ROM y fueron hechas en Excel-Microsoft bajo la con-sideración de todos los dígitos, por estas razones las solucio-nes que obtenga el lector pueden variar ligeramente respecto a las mostra das en el CD-ROM, pero estas variaciones deben ser mínimas.

El libro está escrito de la siguiente forma: Cada sección se escribe con el número del capítulo al que pertenece, seguida de un punto y el número correspondiente a la sección dada; se ini-cia con la sección uno en cada capítulo. Ejemplo 4.3, significa la sección 3 del capítulo 4. En el caso de las subsecciones, se utiliza una tipograf ía diferente para diferenciarlos.

Bases teóricas requeridasPara la comprensión de los temas se requiere solo conoci-mientos básicos de los cursos de cálculo diferencial e integral. En algunos temas tal vez no sea necesario el manejo de las demostraciones, pero en los ejemplos y ejercicios correspon-dientes sí.

Objetivos del textoEl objetivo de este libro es presentar, a los futuros profesionistas, herramientas cuantitativas que puedan aplicar en los problemas que les corresponda resolver dentro de su ámbito laboral, y así llegar a una mejor toma de decisiones. Al final del texto espe-ramos que el lector sea capaz de:

• Describir las diferentes corrientes de la probabilidad de eventos.

• Definir el concepto de variable aleatoria. • Nombrar los tipos de modelos discretos y continuos más

comunes. • Identificar el tipo de modelo al que pertenece el experi-

mento. • Ejemplificar las diferentes corrientes de probabilidad y los

modelos más comunes de probabilidad. • Resolver problemas para el cálculo de probabilidades. • Aplicar los diferentes modelos en su área de trabajo. • Proponer e investigar experimentos aleatorios para crear

modelos probabilísticos.


vi Prefacio

• Describir las diferentes técnicas de la estadística descripti-va, para llevar a cabo un estudio detallado del comporta-miento de los datos.

• Definir los conceptos de parámetros y estadísticos. • Nombrar las diferentes técnicas que se pueden utilizar

para realizar inferencias. • Identificar en un problema dado, cuándo un dato se refie-

re a un parámetro y cuándo a un estadístico. • Ejemplificar las diferentes técnicas para estimar un pará-

metro, tanto puntual como por intervalos.

• Aplicar las inferencias a su área laboral. • Experimentar desde el punto de vista de la estadística in-

ferencial. • Proponer e investigar experimentos donde se tengan dis-

tribuciones muestrales para hacer inferencias con respecto a sus parámetros.

• Aplicar la regresión lineal para determinar relaciones en-tre variables y poder lograr hacer predicciones en situacio-nes de su área laboral.


Contenido

Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

capítulo 1 Bases de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 .1 Modelos determinísticos y probabilísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 .2 Interpretaciones de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Corriente frecuentista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Corriente clásica (a priori ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Corriente subjetivista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Corriente bayesiana (a posteriori ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 .3 Álgebra de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Conceptos fundamentales de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Relaciones fundamentales entre eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Diagramas de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Operaciones fundamentales entre eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Particiones de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Generalización de la unión e intersección de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Leyes del álgebra de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 .4 Axiomatización de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

capítulo 2 Técnicas de conteo y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 .1 Regla de la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 .2 Diagrama de árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 .3 Arreglos con y sin repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Arreglos con repetición (reemplazo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Arreglos sin repetición: permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Permutaciones con elementos indistinguibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Permutaciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


viii Contenido

2 .4 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Propiedades en el cálculo de C nk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Combinatorias multinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 .5 Regla de la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 .6 Aplicación de las técnicas de conteo a la probabilidad . . . . . . . . . . 46

capítulo 3 Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 .1 Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Comprobación de los axiomas de Kolmogórov para P (A B ) . . . . . . . . . . . . . . . 61Tabla de probabilidad conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 .2 Regla de la multiplicación de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Generalización de la regla de multiplicación de probabilidades . . . . . . . . . . . . 66Empleo de los diagramas de árbol en la probabilidad condicional . . . . . . . . . . 67

3 .3 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 .4 Eventos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Elecciones sin reemplazo en poblaciones grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Generalización de eventos independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Eventos independientes aplicados a circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

capítulo 4 Variables aleatorias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 .1 Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Generalización de la asignación de probabilidades a los valores de la variable . 98

4 .2 Variables aleatorias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Distribución de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4 .3 Función de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4 .4 Valor esperado de una vad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Propiedades del valor esperado de una vad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 .5 Variancia de una vad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Propiedades de la variancia de una vad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4 .6 Generadores de números aleatorios discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

capítulo 5 Modelos discretos de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5 .1 Modelo uniforme discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Cálculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


Contenido ix

5 .2 Modelos de Bernoulli y binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Notación de la función de distribución acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Cálculo de probabilidades de los modelos binomiales y uso de tablas binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Modelos “aproximadamente binomiales” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 .3 Modelo geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Cálculo de probabilidades de un modelo geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5 .4 Modelo de Pascal o binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5 .5 Modelo hipergeométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Aproximación hipergeométrica por binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5 .6 Modelo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Cálculo de probabilidades de modelos de Poisson y uso de tablas . . . . . . . . . . 150Aproximación de la binomial por Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

capítulo 6 Variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6 .1 Variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Función de densidad de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Función acumulada de una variable aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Propiedades de una función de distribución acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Cálculo de probabilidades mediante la función de distribución acumulada . . . . 172

6 .2 Valor esperado y variancia de una variable aleatoria continua . . . . 174Propiedades del valor esperado de una vac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Variancia de una variable aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Propiedades de la variancia de una vac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6 .3 Desigualdad de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6 .4 Generadores de números aleatorios con la función de distribución acumulada, caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

capítulo 7 Modelos continuos de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7 .1 Modelo uniforme continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7 .2 Modelo triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7 .3 Modelo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Relación entre las distribuciones exponencial y de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 200

7 .4 Modelo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Cálculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203


x Contenido

Propiedades de la distribución normal estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Uso de tablas de la función acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Uso de tablas porcentuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7 .5 Aproximación de la binomial por la normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7 .6 Modelos de probabilidad tipo gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Propiedades de la función gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7 .7 Modelos de probabilidad tipo Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7 .8 Modelos de probabilidad tipo Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7 .9 Modelos lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7 .10 Modelos de probabilidad tipo beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7 .11 Distribución ji cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Uso de tablas de la distribución ji cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7 .12 Distribución t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Uso de tablas de la distribución t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7 .13 Distribución F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Uso de tablas de la distribución F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

capítulo 8 Variables aleatorias conjuntas y transformaciones . . . . . . . . . . . 241

8 .1 Multivariables discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Distribución de probabilidad conjunta discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Función de distribución acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Función de probabilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Función de probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Variables aleatorias independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Distribución multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8 .2 Multivariables continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8 .3 Transformación de variables con la función de distribución acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8 .4 Funciones generadoras de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Función generatriz de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Función generatriz de momentos y variables independientes . . . . . . . . . . . . . . 272


Contenido xi

8 .5 Técnica de jacobianos para transformar variables aleatorias . . . . . . 273Transformaciones uno a uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Transformaciones que no son uno a uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

8 .6 Transformaciones y relaciones entre normales χ2n , t y F . . . . . . . . . 281

capítulo 9 Estadística descriptiva para datos no agrupados . . . . . . . . . . . . 287

9 .1 Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

9 .2 Población y muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Probabilidad contra estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Caracteres y variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Escalas de medición de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Escalas de medidas cuantitativas o métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9 .3 Técnicas de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Muestreo aleatorio simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Muestreo estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Muestreo sistemático con iniciación aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Muestreo por conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Tamaño de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Uso de tablas de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

9 .4 Parámetros y estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

9 .5 Medidas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300La media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300La mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302La moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Otros valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9 .6 Cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

9 .7 Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Variancia y desviación estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Desviación media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312Rangos intercuantiles o intercuantílicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Coeficiente de variación y covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

9 .8 Parámetros de forma en la distribución de la muestra . . . . . . . . . . 318

9 .9 Aplicación de las medidas para datos no agrupados a inversiones . 323

capítulo 10 Estadística descriptiva para datos agrupados . . . . . . . . . . . . . . 333

10 .1 Clases de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334Cálculo de las frecuencias acumuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335


xii Contenido

Distribución de frecuencias para variables cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Distribución de frecuencias para variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

10 .2 Medidas centrales en clases de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Media por clases de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Moda en clases de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

10 .3 Cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Cálculo de los cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Clasificación de los cuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

10 .4 Medidas de dispersión en clases de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . 345

10 .5 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Gráfico de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348Gráficos lineales, polígonos de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Diagrama de tallo y hoja (stem-leaf ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Diagrama circular o de pastel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Desviación cuartil y cajas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

10 .6 Asimetría y curtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

10 .7 Aplicación de las gráficas a pruebas de bondad de ajuste . . . . . . . 362Técnica gráfica Q-Q para una prueba de ajuste de distribuciones . . . . . . . . . . . 362Ejemplo de la técnica gráfica Q-Q para una prueba de normalidad . . . . . . . . . . 362Técnica analítica Q-Q, para una prueba de normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

capítulo 11 Distribuciones muestrales y teorema central del límite . . . . . . . 377

11 .1 Muestra aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

11 .2 Estadísticas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Media y varianza de la media muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Media y varianza de una diferencia de medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385Media y varianza de la varianza muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385Media y varianza de una combinación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

11 .3 Distribuciones muestrales asociadas a la normal . . . . . . . . . . . . . . 386Sumas, promedios y combinaciones lineales de variables aleatorias normales con la misma media y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Cálculo del tamaño de la muestra en distribuciones normales . . . . . . . . . . . . . 388Fórmulas para el tamaño mínimo de muestra en distribuciones normales . . . . 390Diferencia de medias de distribuciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Cálculo del tamaño de la muestra para diferencia de medias . . . . . . . . . . . . . . 393

11 .4 Distribuciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395Distribución de la suma de variables de Bernoulli (Binomial) . . . . . . . . . . . . . . 395Media y varianza de una proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395


Contenido xiii

Media y varianza de una diferencia de proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396Distribución muestral de la suma y media de otras distribuciones . . . . . . . . . 397

11 .5 Introducción a las estadísticas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

11 .6 Teorema central del límite media y suma muestral . . . . . . . . . . . . 400Teorema central del límite para la media de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Teorema central del límite suma de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

11 .7 Teorema central del límite para diferencia de medias . . . . . . . . . . 404

11 .8 Teorema central del límite para proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . 407Teorema central del límite para diferencia de proporciones . . . . . . . . . . . . . . 407Cálculo del tamaño mínimo de muestra para proporciones muestras grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

11 .9 Teorema central del límite para distribuciones específicas . . . . . . 411Teorema central del límite para distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 413Distribuciones a las que no se puede aplicar el teorema central del límite . . . 414

11 .10 Ley de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414Desigualdades de Markov y Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415Convergencias en probabilidad y distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415Demostración del teorema central del límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

capítulo 12 Estimación puntual y por intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . 423

12 .1 Conceptos básicos sobre estimadores puntuales . . . . . . . . . . . . . . 425Espacio paramétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Valores de los estimadores puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Estimadores insesgados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Estimadores insesgados de distribuciones específicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

12 .2 Estadísticas suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433Propiedad de invarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434Búsqueda de estimadores insesgados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436Estimadores insesgados con menor varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

12 .3 Error cuadrado medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

12 .4 Propiedades asintóticas deseables de los estimadores . . . . . . . . . . 440

12 .5 Conceptos básicos de los intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . 442

12 .6 Intervalos de confianza para los parámetros de una población normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443Intervalos de confianza para la media de poblaciones normales o aproximadamente normales cuando se conoce s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443Intervalos de confianza para medias de poblaciones normales o aproximadamente normales cuando se desconoce s . . . . . . . . . . . . . . . . 443


xiv Contenido

Ejemplos variados para la estimación de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Intervalos de confianza para la varianza de poblaciones normales . . . . . . . . . 448Ejemplos variados para varianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

12 .7 Intervalos de confianza para comparar dos poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452Resultados posibles de las comparaciones entre dos medias . . . . . . . . . . . . . . 453Intervalos de confianza para la diferencia de medias, poblaciones aproximadamente normales cuando se conocen s1 y s2 . . . . . . . . . . . . . . . 453Intervalos de confianza para la diferencia de medias de poblaciones normales cuando se desconocen s1 y s2, pero se sabe que s2

1 = s22 . . . . . . 454

Intervalos de confianza para la diferencia de medias de poblaciones normales cuando se desconocen s1 y s2, pero se sabe s2

1 ≠ s22 . . . . . . . . . 455

Intervalos de confianza para la diferencia de medias de poblaciones aproximadamente normales, se desconocen s1 y s2 muestras grandes . . . . 456Intervalos de confianza para la diferencia de medias de observaciones pareadas con diferencias normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458Ejemplos variados para la estimación de diferencia de medias . . . . . . . . . . . . . 460Intervalos de confianza para la razón entre varianzas de poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

12 .8 Intervalos de confianza para proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Intervalos de confianza para proporciones muestras grandes . . . . . . . . . . . . . . 470Ejemplos variados para proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Intervalo de confianza de diferencia de proporciones muestras grandes . . . . . 473

capítulo 13 Metodología para pruebas de hipótesis sobre los parámetros de una distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

13 .1 Conceptos básicos sobre pruebas de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . 486Regiones de rechazo y no rechazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487Tipos de errores en una prueba de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488Función de potencia y tamaño de la prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491Elección de la hipótesis nula y alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494Cálculo de las probabilidades para los dos tipos de errores . . . . . . . . . . . . . . . 494Conceptos básicos sobre los tipos de pruebas de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . 498

13 .2 Pruebas de hipótesis para los parámetros de una distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499Pruebas de hipótesis para la media de poblaciones aproximadamente normales cuando se conoce s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499Pruebas de hipótesis para la media de poblaciones aproximadamente normales cuando se desconoce s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505Pruebas para la varianza de poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508


Contenido xv

13 .3 Pruebas de hipótesis para comparar dos poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias sobre poblaciones aproximadamente normales cuando se conocen s2

1 y s22 . . . . . . . . . . . . . . . 514

Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias sobre poblaciones aproximadamente normales cuando se desconocen s2

1 y s22

pero s21 = s

22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias sobre poblaciones aproximadamente normales cuando se desconocen s2

1 y s22

pero s21 ≠ s

22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias de observaciones pareadas con diferencias normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523Pruebas de hipótesis para la razón entre varianzas de poblaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

13 .4 Pruebas para poblaciones tipo Bernoulli, proporciones . . . . . . . . . . 533

capítulo 14 Regresión lineal simple y múltiple (véase en el CD-ROM)

14 .1 Regresión lineal simple Diagrama de dispersiónSupuestos de la variable dependiente en el análisis de regresión

14 .2 Método de mínimos cuadrados para optimizar el errorSupuestos del error en un modelo lineal

14 .3 Error estándar de estimación y propiedades de los estimadores

14 .4 Prueba de hipótesis para el parámetro de la pendiente

14 .5 Coeficientes de correlación y determinaciónCoeficiente de correlación linealCoeficiente de determinación

14 .6 Intervalos de confianza para la predicción y estimación

14 .7 Regresión lineal múltiplePlanteamiento general del modelo de regresión lineal múltipleGeneralización de resultados de la regresión lineal y prueba FUso de Excel de Microsoft para la regresión lineal múltipleSolución de un modelo de regresión lineal múltipleAnálisis de residuales en la regresión lineal múltipleProblemas en la regresión lineal múltipleRegresión curvilínea Modelos de regresión con variables de respuesta transformadas


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Bases de la probabilidad1

Objetivos generales

• Demostrarqueenlaactualidadlosfenómenosaleatoriosqueocurrenenlaindustria,lascienciassociales,losestudiosdemercadoylosjuegosdeazardebenserestudiadosmediantemodelosaleatorios.

• Explicarquelaprobabilidad,aunqueseutilizaconbaseendiferentescorrientes,constituyeunáreadelacienciaqueestábienestructuradaytieneunajustificaciónmatemáticaconsistente,razónporloqueesestudiadamásalládelosproblemasdejuegosdeazar.

• Explicarquéesunmodeloprobabilístico.

• Describiryenumerarlosespaciosmuestralesdeexperimentosprobabilísticos.

• Ejemplificarloseventosdeunexperimentoprobabilístico.

• Describirlascuatroprincipalescorrientesdelaprobabilidad.

• Definirlasoperacionesfundamentalesdelálgebradeeventos.

• ResolverproblemasdeoperacionesentreeventosmediantesusdefinicionesydiagramasdeVenn.

• Calcularprobabilidadesdeeventosconbaseenlosprincipalesteoremasdelaprobabilidadaxiomática.

Objetivos específicos

01 Probabilidad C1.indd 1 6/26/14 3:21 PM

2 CAPÍTULO 1 BAses de LA Pr OBABiLid Ad

IntroducciónDesde su aparición en la faz de la Tierra, el ser humano siempre ha estado en contacto con situaciones aleatorias, ya sean de experien-cias naturales o de juegos que él mismo crea, en las cuales prevalece la incertidumbre. Por ejemplo, en las tumbas egipcias se han encontrado restos de dados cúbicos que datan del año 2000 a.C. con marcas idénticas a las de los dados actuales; más aún, hay indi-cios de que cerca del año 3500 a.C. los egipcios practicaban juegos de azar con objetos de hueso.

Por estas razones, el estudio de la incertidumbre siempre ha tenido un interés particular para la humanidad, desde conocer el clima, el resultado del lanzamiento de una moneda o un dado, hasta situaciones modernas, como la cantidad de artículos defectuosos en un lote de tamaño n, cambios de voltaje en un circuito eléctrico, curso del valor del dólar en un día determinado y los movimien-tos en la bolsa de valores para conocer cuáles acciones tienen mayor o menor riesgo en su inversión, entre otras.

Así, desde su aparición, los juegos con incertidumbre han dejado un gran reto a diferentes matemáticos para calcular las proba-bilidades de éxito que tiene un jugador en un juego de azar. De manera que, haciendo un poco de historia, resulta que la crea-ción de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo xvii Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665) cuando lograron obtener probabilidades exactas para cierto tipo de problemas relacionados con el juego de los dados; por ejemplo, la solución al problema propuesto por el noble francés Antoine Gombauld (1607-1684), quien preguntó a Pascal, “¿cuál es la proba-bilidad de que ocurran dos seises al menos una vez al lanzar un par de dados 24 veces?” Aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano (1501-1576) y Galileo Galilei (1564-1642), en el siglo xvi, ya habían realizado importantes contribuciones a su desarrollo calculando algunas combinaciones numéricas para ciertos problemas relacionados con los dados. Uno de los proble-mas clásicos con los que dio inicio el cálculo de probabilidades consiste en saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabi-lidad de que salga algún 6 supere 50%. En la actualidad, en México hay una gran cantidad de juegos de azar para los cuales se requiere efectuar ciertos cálculos de probabilidades; por ejemplo, lotería, juegos de quinielas deportivas, juegos de quinielas numéri-cas, entre muchos otros.

La historia nos muestra que la teoría de la probabilidad dio sus primeros pasos en el siglo xvi con Gerolamo Cardano y Galileo Galilei; posteriormente, en el siglo xvii, con Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Jean y Jacques Bernoulli (1654-1705) y De Moivre (1667-1754); en el siglo xviii, con Daniel Bernoulli (1700-1782), Kart Friedrich Gauss (1777-1855) y Siméon Denis Poisson (1781-1840); en el siglo xx, con A. Markov, Chebyschev y Liapunov, entre otros. Pero, sin duda, quien sentó las bases teóricas para formalizar el de-sarrollo de la teoría de las probabilidades fue el matemático ruso Kolmogórov, en 1933, al introducir la teoría de la medida en el cálcu-lo de probabilidades.

Durante todo este texto se habla de probabilidad, pero, ¿qué se entiende por esta ciencia?Probabilidad es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra

un determinado suceso. Así, en el desarrollo del texto, principalmente en los primeros capítulos, se analiza cómo, en general, la probabilidad está basada

en el estudio de la Teoría combinatoria, ampliándose al cálculo, gracias al uso de las funciones.Hoy día, la teoría de la probabilidad es una herramienta importante en la mayoría de las áreas de ingeniería, ciencias y adminis-

tración. De manera que realizar un estudio adecuado de la probabilidad es fundamental para el éxito de muchas compañías, en particular las de seguros, ya que estas evalúan las probabilidades de los sucesos que les interesan (p. ej., accidentes de autos, inunda-ciones, epidemias, etc.) mediante una minuciosa recopilación de datos (experiencias) que permiten inferir dichas probabilidades con suficiente aproximación como para poder asignar las cuotas o costos de manera que la aseguradora no sufra pérdidas. Además de las compañías de seguros, la probabilidad tiene diversas aplicaciones en otras áreas como medicina, meteorología, mercadotecnia, pre-dicciones de terremotos, comportamiento humano, finanzas, etcétera.

En el presente capítulo tratamos los fundamentos teóricos en los que se basa la construcción de la Teoría de las probabilidades. Por tanto, el capítulo inicia con el tratamiento de los modelos y su importancia en el estudio de los diferentes fenómenos; de igual forma se hace énfasis en los modelos matemáticos, los cuales se clasifican en:

• Determinísticos. • Probabilísticos.

Después, definimos los experimentos aleatorios y determinísticos. Por su parte, el estudio de las bases de la probabilidad co-mienza con una discusión acerca de las diferentes corrientes para la asignación de probabilidades a un suceso, como:

• Corrientefrecuentista. • Corrienteclásica. • Corrientesubjetiva. • Corrientebayesiana.

Enseguida, se aborda la construcción matemática de la Teoría de las probabilidades, introduciendo los axiomas de Kolmogórov, con los que prácticamente iniciamos un estudio formal de las probabilidades como una ciencia.


1.1 Modelos determinísticos y probabilísticos 3

Es importante resaltar que la axiomatización de la Teoría de las probabilidades se conserva hasta el final de la presente obra. Para el desarrollo de esta se introduce una sección referente a la teoría de conjuntos a la que llamamos álgebra de eventos, la cual, junto con los axiomas de Kolmogórov, constituyen la base científica del desarrollo de la probabilidad.

El capítulo continúa con la formulación y demostración de diferentes teoremas y finaliza con una breve explicación de la aplica-ción de estos en el cálculo de probabilidades. Para terminar, revisamos algunas funciones en Excel para el cálculo de probabilidades.

1.1 Modelos determinísticos y probabilísticosUno de los objetivos del estudio de las ciencias es desarrollar estructuras conceptuales que permitan comprender los fenómenos que ocurren en la naturaleza para poder predecir los efectos que de ellos se deriven. De la experiencia científica, se deduce fácilmente que para poder estudiar un fenómeno es necesaria su imitación o reproducción en una cantidad suficiente, a fin de que su investiga-ción sea lo más precisa posible. Esta necesidad es lo que da origen a los modelos. Ahora bien, ¿qué entendemos por modelo y qué lo origina?

Por modelo, entenderemos la representación o reproducción de los fenómenos.Los modelos pueden ser de diferentes tipos, pero para los objetivos de este texto, son de interés los modelos matemáticos. Vea-

mos a continuación la definición de modelo matemático que se utiliza durante todo el texto.

Un modelo matemático es una representación simbólica de un fenómeno cualquiera, realizada con el fin de estudiarlo mejor, dichas representaciones puede ser fenómenos f ísicos, económicos, sociales, etcétera.

Los modelos matemáticos pueden clasificarse en determinísticos y probabilísticos, y para poderlos diferenciar es necesario cono-cer su definición y algunos ejemplos. Primero, presentamos la definición de modelos determinísticos.

Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno y en este se pueden manejar los factores que intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados, se llamará modelo determinístico.

A continuación se presentan algunos ejemplos de modelos determinísticos.

Ejemplos 1.1 Modelosdeterminísticos

1. El lanzamiento de una moneda con ambos lados iguales (p. ej., águilas). Al plantear este modelo es posible determinar que siem-pre es posible predecir el resultado (suponiendo que la moneda no puede quedar en posición vertical), puesto que solo hay una opción: águila.

2. Cuando tenemos una inversión c a una tasa r, podemos calcular su Valor Presente Neto, VPN (c). El modelo es determinístico, puesto que tiene una inversión fija c a una tasa fija r; por tanto, es posible predecir el resultado que ocurrirá al cabo de n años mediante el uso de la siguiente fórmula:

=+

c cr

VPN( )(1 )n

.

Por ejemplo, si vamos a recibir c = 150 000 pesos dentro de cuatro años, pero queremos saber cuánto vale hoy, VPN(c), debemos descontar los intereses que se generan desde hoy hasta dentro de cuatro años. Si el interés anual es de 8% en operaciones a cuatro años, entonces el día de hoy debemos invertir:

=+

=cVPN( ) 150 000(1 0.08)

110254.504 .

Entonces, si iniciamos la inversión con 110 254.50 al cabo de cuatro años tendremos 150 000 pesos. 3. Sea una economía en equilibrio determinada por el modelo económico de entradas y salidas de Wassiley Leontief, aplicado a

tres empresas distintas.

+ + + =+ + + =+ + + =

a x a x a x e xa x a x a x e xa x a x a x e x

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

Donde: xi representa la producción de la empresa i; ei representa la demanda externa sobre la empresa i; y aij representa el núme-ro de unidades de producto de la empresa i necesarias para producir una unidad de producto de la industria j. Conociendo la



demanda externa por empresa y la demanda interna entre empresas, con este modelo es posi-ble predecir la producción de cada empresa.

4. El modelo de una compañía donde se elaboran dos productos al pasar en forma consecutiva, a través de una línea de producción, por tres máquinas distintas. En este caso, el tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado por una cantidad determinada de horas por día; el tiempo de producción y la ganancia por artículo de cada producto se pueden esta-blecer de manera que al combinar los productos podemos obtener una ganancia óptima.

En el modelo anterior se puede notar que estamos controlando los diferentes parámetros que intervienen. Por tanto, al establecer el modelo matemático correspondiente y los valores para los factores es posible predecir su resultado.

5. Se puede diseñar un modelo que muestre la influencia de la fuerza de fricción sobre un cuerpo que se mueve en una superficie. Con este modelo se puede concluir que en superficies más ásperas se tiene mayor fuerza de rozamiento.

El modelo anterior es determinístico, ya que en este se manejan superficies y se puede pre-decir el resultado. Por ejemplo, la distancia a la que se puede detener el móvil; esto es, si se mueve el cuerpo con una fuerza inicial y cambiamos las asperezas podremos establecer una fórmula matemática que indique (como resultado de un cálculo numérico) la distancia en la que se detendrá el móvil.

6. La caída de voltaje en una resistencia de un circuito eléctrico se puede observar en la figura 1.1.

V-Voltaje iR-Resistencia

Figura 1.1 Circuito eléctrico con una resistencia.

Por los cursos de f ísica sabemos que la Ley de Ohm indica que la caída de vol-taje en este circuito eléctrico con una resistencia está dada por V = Ri, donde, R representa la resistencia, medida en ohms; i la corriente medida en amperes, y V el voltaje medido en volts.

El otro tipo de modelos que revisamos ocurre cuando no podemos controlar los factores que intervienen en dichos modelos. A partir de lo cual surge la defini-ción de modelo probabilístico o estocástico.

Los modelos probabilísticos o modelos estocásticos son aquellos modelos ma-temáticos de los fenómenos en los cuales no se pueden controlar los factores que intervienen en su estudio, además de que dichos factores ocurren de tal manera que no es posible predecir sus resultados.

Los modelos probabilísticos son de gran interés en el texto; por tanto, para una mejor comprensión de estos se presentan los siguientes ejemplos.

Ejemplos 1.2 Modelosprobabilísticos

1. Los modelos clásicos probabilísticos se refieren a los juegos de azar, como el lanzamiento de una moneda equilibrada o legal (es de-cir, que no está cargada a ningún lado), para determinar el resultado que va a ocurrir. En el lanzamiento de un dado no cargado (esto es, que un lado del dado no pesa más que los otros) no es posible predecir qué número quedará en la parte de arriba del dado.

Wassiley Leontief nació el 5 de agosto de 1906, en San Petersburgo, y murió el 5 de febrero de 1999, en Nueva York. Inició sus estudios superiores en la universidad de San Petersburgo y terminó el doctorado en la universidad de Humboldt, Berlín en 1928. En 1931 emigró de forma definitiva a Estados Unidos de América. El modelo de entradas y salidas fue presentado por primera vez en el artículo de Leontief Quantitative Input and Ouput Relations in the Economic System of the United States, Review of Economic Statistics 18 (1936), pp. 105-125. Una versión actualizada del modelo aparece en el libro de Leontief, Input-Output Analysis, Nueva York, Oxford University Press, 1966. Leontief ganó el premio Nobel de Economía en 1973 por su desarrollo del análisis de insumo y producción de entradas y salidas.

En general, sabemos que cualquier modelo físico es una aproximación de la realidad; no obstante, este no la puede representar en forma exacta, esto se debe a que en cada fenómeno intervienen infinidad de factores y no es posible involucrarlos a todos en el modelo. Por esta razón, salvo que se diga otra cosa, en el texto se consideran los modelos conocidos sobre diferentes fenómenos físicos como determinísticos. Por ejemplo, en el circuito anterior, la caída real de voltaje está influenciada por los factores: humedad, calentamiento del alambre conductor, temperatura, etcétera, que para fines prác ticos se pueden considerar despreciables. De manera similar, en el modelo del movimiento de un cuerpo sobre una superficie con fricción, se considera que las otras fuerzas que intervienen son despreciables.



2. En el lanzamiento de una moneda equilibrada 10 veces para obtener cinco águilas, el modelo es de tipo probabilístico, puesto que no podemos predecir el resultado que va a ocurrir en el siguiente lanzamiento.

3. Las cartas o fichas que le tocarán a una persona al inicio de una partida de un juego de cartas o domino, respectivamente. 4. En el ejemplo 2 de la lista 1.1 de ejemplos, la tasa anual de inversión para un año determinado en realidad está condicionada a

situaciones de incertidumbre del país; por consiguiente, bajo estas condiciones no podemos predecir el VPN para un año deter-minado si no conocemos con anterioridad la tasa r.

5. En una línea de producción, al realizar el control de calidad de los artículos se detecta cierta cantidad de productos defectuosos; no es posible determinar la cantidad o porcentaje de estos en la línea.

6. Si deseamos conocer los ingresos por acción para una compañía de teléfonos, estos se pueden estimar mediante el PIB (Produc-to Interno Bruto) que se mide en millones de pesos. Entonces, establecemos, mediante una ecuación, un modelo para su estima-ción, pero no podemos saber con exactitud sus resultados.

7. El conocimiento del curso de una acción referente a una empresa en la bolsa de valores es uno de los principales problemas que todo accionista quisiera saber cómo predecir. Este es un problema financiero muy complejo que depende de muchos factores, incluyendo los políticos, por lo que no se puede controlar el curso de la acción ya que esta se encuentra envuelta en mucha in-certidumbre; por tanto, solo es posible indicar un rango de valores posibles en el que se tengan evidencias que podrán encon-trarse en el curso de la bolsa para dicha acción. En el caso del dólar podríamos tener evidencias de que al día siguiente su costo estará entre 12.40 y 12.80 pesos, pero en realidad no conocemos cuál será su cotización exacta, puesto que este estará influido por factores que pueden tener mucha incertidumbre, como situaciones políticas.

8. Si deseamos conocer el lugar de caída de un satélite que se salió de su órbita y se dirige a la Tierra no podemos predecir el lugar donde caerá, puesto que no es posible controlar su movimiento; por tanto, solo es posible indicar una región en donde se cree que caerá, con un valor numérico que represente la aseveración.

9. La posición de un electrón en un momento dado, la cual no es posible establecer, pues, de los cursos de f ísica sabemos que un electrón no tiene una posición fija, ya que cambia constantemente, sin reglas en su movimiento. En tal caso, solo podemos esta-blecer un área en la que supongamos con un cierto valor numérico la posibilidad de que el electrón se encuentre ahí.

10. Si en el circuito eléctrico del ejemplo 6 de la lista 1.1 de ejemplos consideramos los demás factores que intervienen en el circui-to y medimos los voltajes con un voltímetro de alta calidad, podremos apreciar que al tomar diferentes mediciones existen cambios pequeños en estas. En estas condiciones, podremos considerar a la caída de voltaje V = Ri como un modelo probabi-lístico.

Al reproducir cualquier fenómeno, ya sea de manera determinística o probabilística, estamos experimentando, por lo que es necesario aclarar lo siguiente: ¿qué entenderemos por experimento al utilizar un modelo matemático de tipo probabilístico (cabe aclarar que hasta este momento no se ha dado la definición de probabilidad)? Así, para ir aclarando los conceptos, a continuación se presenta la definición formal de experimento aleatorio.

Llamaremos experimento aleatorio al proceso de obtención de una observación en que se cumple alguna de las siguientes condiciones:

a) Todos los resultados posibles son conocidos.b) Antes de realizar el experimento el resultado es desconocido.c) Es posible repetir el experimento en condiciones ideales.

Ahora, con el propósito de aclarar mejor la definición de experimentos aleatorios, en los siguientes ejemplos ilustramos algunos procesos aleatorios que muestran este tipo de experimentos.

Ejemplos 1.3 Experimentosaleatorios

1. Lanzamiento de tres monedas hasta obtener dos águilas. 2. Lanzamiento de una moneda tres veces hasta obtener dos águilas. ¿Existe alguna diferencia con el inciso anterior? 3. Lanzamiento de una moneda tres veces y la realización del conteo referente a la cantidad de soles que aparecen en estos lanza-

mientos. 4. Lanzamiento de un dado, observando la cara superior que resulte. 5. Lanzamiento de dos dados y la realización del conteo de la suma que resulta en sus caras superiores. 6. Un inspector de control de calidad analiza lotes de 60 artículos cada uno. El proceso de control de calidad consiste en elegir

cinco artículos sin reemplazo y determinar si son buenos o defectuosos. 7. Sea un lote de 60 artículos que tiene 10 defectuosos. Entonces, se define el proceso de seleccionar los artículos sin reemplazo y

anotar los resultados hasta obtener el último defectuoso.



8. Observar las cantidades máxima y mínima de personas que llegan a la estación Potrero del metro en la Ciudad de México, cada día, en intervalos de cinco minutos.

9. Medir cada 10 minutos la caída de voltaje en un circuito eléctrico con una sola resistencia.

Además de los experimentos aleatorios, también tenemos los deter-minísticos, de los cuales enseguida se presenta su definición y se muestran algunos ejemplos para su mejor comprensión.

Ejemplos 1.4 Experimentosdeterminísticos

1. En un modelo de valor presente neto de una serie de flujos de efectivo Vi de una inversión c, a una tasa fija r, podemos calcular su VPN(c) al cabo de n años, el cual se calcula de la siguiente forma:

∑=− ++=

c c Vr

VPN( ) inversión( )(1 )

ii

i

n

1.

2. El tiempo de caída libre de un objeto. Si se conoce la altura y no existen fuerzas externas, el tiempo de caída se puede predecir

por medio de la expresión obtenida en el curso de f ísica: =−h gt12

2 , donde h es la altura, g la aceleración de la gravedad y t el

tiempo de caída. 3. La mezcla de sustancias químicas para la obtención de algún compuesto.

Después de realizar un experimento, por lo general se registran sus resultados para obtener las conclusiones correspondientes al fenómeno en estudio, por lo que surge la necesidad de intro-ducir un nuevo concepto referente al conjunto de todos los resultados del experimento. El concep-to de espacio muestral se emplea en la sección 1.3, junto con sus propiedades de conjuntos; por ahora es suficiente introducir su definición.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico lo llamaremos espa-cio muestral del experimento y lo denotaremos por S. A su vez, a los elementos de un espacio muestral los llamaremos puntos muestrales.

Los espacios muestrales forman una parte primordial en el desarrollo de la teoría de las pro-babilidades, por lo que es indispensable mostrar algunos ejemplos de estos. Aunque de aquí en adelante se hablará de estos en los capítulos subsecuentes.

Ejemplos 1.5 Espaciosmuestrales

1. El experimento sobre el lanzamiento de una moneda se realiza tres veces y se anotan sus posibles resultados. El espacio muestral está representado por a, en el caso de águila, y por s, en el caso de cara o sol. Por tanto:

{ }=S sss ssa sas ass saa asa aas aaa, , , , , , , .

2. El experimento sobre el lanzamiento de una moneda se realiza tres veces y se anota la cantidad de águilas que aparecen. De este modo, 0 representa la ausencia de águilas, 1 representa la presencia de un águila, etcétera. De este modo, el espacio muestral sería:

{ }=S 0,1, 2, 3 .

Compare los resultados de los ejemplos 1 y 2, ¿qué puede concluir? 3. Se realiza el experimento sobre el lanzamiento de dos dados y se anota la suma de las caras superiores que resultan. En este caso,

el espacio muestral estará formado por:

{ }=S 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 .

Al proceso por el cual se describen los fenómenos cuyos resultados pueden predecirse, lo llamaremos experimento determinístico.

Entendemos por conjunto a una colección de objetos bien definida mediante alguna o algunas propiedades en común. En tanto, por objeto comprendemos no solo cosas físicas (como discos, computadoras, entre otras), sino también cosas abstractas, como los números o las letras. A los objetos que forman el conjunto, los llamamos elementos del conjunto.



4. Se realiza el experimento de lanzamiento de dos dados, de los cuales se toma la diferencia del valor mayor menos el valor menor que resulta en sus caras superiores. En este caso, el espacio muestral resultante es:

S 0, 1, 2, 3, 4, 5{ }= .

5. Se realiza el experimento de lanzamiento de un dado dos veces, de las cuales se toma la diferencia del valor del primer resultado menos el valor del segundo resultado de las caras superiores. El espacio muestral resultante es:

S , , , , , , , , , ,5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5{ }= − − − − −

6. Suponga que se tiene un lote de tres refrigeradores de tamaño 3 (dos de estos están en buen estado y uno está defectuoso). En-tonces, se realiza el experimento de extraer dos refrigeradores del lote, sin que haya un reemplazo. Denotando al refrigerador bueno por b y al defectuoso por d, determine el espacio muestral.

a) Si en el par elegido se consideran diferencias solo entre los dos buenos, no importa el orden. Cuando se trata de conjuntos sabemos que no importa el orden en que se coloquen sus elementos. Entonces, denotando a los artículos buenos por b1 y b2, respectivamente, se tiene:

S b b b d b d, , , , ,1 2 1 2{ }{ } { } { }=

b) Si en el par elegido se consideran diferencias entre los dos buenos y el orden de extracción, para distinguir el orden de extrac-ción de los refrigeradores, los pares elegidos se escriben juntos sin separarlos, indicando que el de la izquierda se extrae antes que el de la derecha:

S b b b b b d db b d db, , , , ,1 2 2 1 1 1 2 2{ }= .

c) Solo es de interés si el refrigerador es bueno o defectuoso, no importa el orden:

S b, b b, d,{ }{ } { }= .

d) En el par elegido los dos buenos son indistinguibles, pero sí importa el orden de extracción:

S bb bd db, ,{ }= .

Después de tratar con los espacios muestrales, entonces nos preguntamos: ¿qué pasa si solo consideramos una parte de estos? Para poder dar una respuesta a la pregunta es necesario definir qué es un evento y qué es un evento simple.

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S, se llama evento a un conjunto de resultados posibles de S. Podemos notar que un evento no es más que un subconjunto de un espacio muestral.

A continuación definimos los eventos que contienen uno y solo un elemento del espacio muestral, y que serán utilizados de forma implícita en la siguiente sección cuando hablemos sobre la corriente clásica de probabilidad.

Al evento que consta de un solo elemento le llamaremos evento simple.

Ejemplos 1.6 Eventossimples

Obtenga el evento indicado en los espacios muestrales de los ejemplos anteriores.

1. Se lanza una moneda tres veces y se anotan los resultados posibles. Sea el evento E: “Aparece una sola águila”. Representando águila por a y sol por s, el evento será:

{ }=E ssa sas ass, , .

2. El lanzamiento de una moneda tres veces y el conteo de la cantidad de águilas que aparecen. Sea el evento E : “aparece un águila”, { }=E 1 .

3. El lanzamiento de un dado y la cara superior que resulta. Sea E el evento que denota: “el número de la cara que resulta no es mayor a 4”.

{ }=E 1, 2, 3, 4



4. El lanzamiento de dos dados de los cuales se cuenta la suma que resulta en sus caras superiores. Sea el evento E: “la suma de las caras resultantes es mayor que 4”.

{ }=E 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12 .

No obstante lo tratado hasta aquí, aún no hemos visto cómo asignar probabilidades a los eventos ni cómo definir a esta. La res-puesta está en la siguiente sección.

1. Suponga que se lanzan tres monedas no cargadas y se obser-va la cantidad de águilas que quedan hacia arriba.

a) Establezca los elementos del espacio muestral de este ex-perimento.

b) Sea A el evento: “obtención de al menos un águila”. Escri-ba los elementos de A.

2. Suponga que se lanzan tres monedas no cargadas y se obser-van las combinaciones posibles de resultados que pueden ocurrir con las tres monedas.

a) Establezca los puntos muestrales de este experimento. b) Sea A el evento “Observar al menos un águila”. Obtenga

los puntos muestrales de A. 3. Un aparato electrónico contiene cuatro sistemas electróni-

cos. Al azar se seleccionan dos de estos cuatro sistemas para someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como defec-tuosos o no defectuosos. Si dos de los cuatro sistemas en realidad son defectuosos, encuentre el espacio muestral del experimento suponiendo que:

a) No se diferencia entre uno y otro bueno, ni entre uno y otro defectuoso, ni importa el orden entre bueno y defec-tuoso, solo importa cuántos buenos y cuántos defectuo-sos hay.

b) Sí existe diferencia entre uno y otro bueno, y entre uno y otro defectuoso; sin embargo, no importa el orden entre bueno y defectuoso, solo importa cuántos buenos y cuántos defectuosos hay.

c) No se diferencia entre uno y otro bueno, ni entre uno y otro defectuoso, pero sí importa el orden entre defectuo-so y bueno.

d) Sí existe diferencia entre uno y otro bueno, y entre uno y otro defectuoso; además, sí importa el orden entre defec-tuoso y bueno.

4. Una agencia comercial compra papelería a uno de tres ven-dedores V1, V2, V3. El pedido se ordena en dos días sucesivos (sin repetir vendedor), un pedido por día, tal que V1V3, lo que significa que el vendedor V1 recibe el pedido el primer día y el vendedor V3 lo recibe el segundo día. Establezca los puntos muestrales de este experimento.

5. En un experimento que consiste en lanzar un dado no car-gado una vez, al salir un número par entonces se lanza una moneda no cargada. En cambio, si el lanzamiento del dado no resulta par, entonces se lanza el dado por última vez. Describa el espacio muestral para este experimento.

6. El administrador de una red logística de autobuses tiene que tomar la decisión de cómo distribuir dos de tres autobuses para viajar a otra ciudad. Represente con a1, a2 y a3 a los tres autobuses y describa el espacio muestral del experimento: “Seleccionar dos autobuses para viajar a la otra ciudad”.

7. El administrador de una red logística de autobuses debe to-mar la decisión de cómo ordenar la distribución de dos de tres autobuses con el fin de que viajen a otra ciudad en dos días sucesivos (sin repetir un autobús). Represente con a1, a2 y a3 los tres autobuses. Ordene los viajes de tal forma que a1a3, lo que significa que el autobús a1 viaja a la otra ciudad el primer día y el autobús a3 el segundo día.

a) Establezca los puntos muestrales de este experimento. b) ¿Qué diferencia observó con la respuesta del problema

anterior?

Ejercicios 1.1

1.2 Interpretaciones de la probabilidadEn la actualidad, la palabra probabilidad es empleada con demasiada frecuencia por las personas; por ejemplo, en expresiones como: “Es probable que hoy estudie estadística”; “El equipo mexicano de fútbol está jugando mal, y es muy probable que en su siguiente partido pierda”; “El cielo está bastante despejado; por tanto, no hay muchas posibilidades de que llueva”; entre otras. Como se pue-de notar en las expresiones anteriores, las palabras relacionadas con la probabilidad tienen la característica de basarse en sucesos que pueden ser verdaderos, además de que a causa de los hechos observados (resultados preliminares, tiempo, etcétera), se puede hablar de la posibilidad de su ocurrencia.

A pesar de los esfuerzos realizados por muchos matemáticos para asignar de forma única la probabilidad a un suceso, todo ha sido en vano, pues desde los inicios de su estudio hasta nuestros días no existe una forma única de asignación de probabilidades. Solo contamos con diferentes corrientes de probabilidad, las cuales se aplican para asignar un valor numérico a la posibilidad de la


1.2 Interpretaciones de la probabilidad 9

ocurrencia de algún suceso probabilístico.1 De hecho, el verdadero significado de la probabilidad aún se considera conflictivo; por tanto, en lugar de iniciar el siguiente texto con una definición formal de probabilidad, primero trataremos sus cuatro corrientes más comunes.

CorrientefrecuentistaEn la corriente frecuentista —tal vez una de las más empleadas— se asigna un valor de probabilidad a un evento E, a partir del cual se considera que ocurrirá. La definición o interpretación de la probabilidad está basada, como su nombre lo indica, en la frecuencia

relativa con la cual se obtendría E, si el experimento se repite una gran cantidad de veces, en con-diciones similares (no idénticas, puesto que en este caso el proceso no sería aleatorio).

Un ejemplo de la frecuencia relativa de un suceso es un experimento en el que se lanza una moneda tres veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen. Así, sea el evento E: “obtención de dos soles en los tres lanzamientos”; la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E?

Para responder a la pregunta desde el punto de vista frecuentista, se debe realizar el experimento una gran cantidad de ve-ces. Supóngase que el experimento se repite 1 000 veces en condiciones similares y como resultado se obtienen 400 casos con dos

soles; en tal situación, se diría que la probabilidad de que ocurra E, será: =4001000

0.4. Ahora bien, si el experimento se repite 100 000

veces, de las cuales 38 000 resultan con dos soles, diríamos que la probabilidad de que ocurra E es: =38 000100 000

0.38, de esta forma po-

dríamos repetir nuestro experimento tantas veces como se quiera y obtener una frecuencia relativa para la probabilidad del evento E. Entonces, surge la siguiente pregunta: ¿por qué diferentes resultados para un mismo evento? La respuesta está en la interpretación de qué entendemos por: “repetir el experimento una gran cantidad de veces”, ¿qué se entiende por una gran cantidad de veces?, y ¿cuál sería dicha cantidad de repeticiones? Dichas condiciones son muy vagas para servir de base en una definición científica de probabilidad. Aunado a lo anterior, no es posible repetir una gran cantidad de veces muchos de los fenómenos, por ejemplo: a) Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso, evidentemente no es posible realizar una gran

cantidad de lanzamientos de cohetes; por tanto, la probabilidad se obtiene en forma frecuentista del éxito de un lanzamiento. b) ¿Cómo calcular la probabilidad de que Manuel viva 70 años? ¿Cuáles serían las repeticiones? c) Para calcular la probabilidad de que Juan Pérez se case este año, tampoco podemos realizar una gran cantidad de repeticiones

del experimento; por tanto, se indica el valor numérico que represente desde el punto de vista de la frecuencia relativa que Juan Pérez se case o no este año.

Corrienteclásica(a priori )En la corriente clásica se consideran espacios muestrales uniformes, es decir, se asignan probabilidades a eventos con base en resul-tados equiprobables (igualmente verosímiles). Esto es, los clasistas asignan la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral

(es decir: 1n

, donde n es la cantidad de elementos del espacio muestral); posteriormente, para obtener la probabilidad de la ocurrencia

de un evento E, se suma la cantidad de elementos de E y se multiplica por la probabilidad de un elemento del espacio muestral n1

°

.

Cabe apuntar que de lo anterior se deduce que la probabilidad de los puntos muestrales se establece a priori; es decir, antes de cual-quier experimento.

Resolviendo el ejemplo anterior en la forma clásica tendremos, lo siguiente:

Se lanza una moneda equilibrada tres veces y se anotan los resultados posibles que aparecen; sea el evento E: “obtención de dos soles en los tres lanzamientos”, la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E?

Para responder a la pregunta, primero obtenemos el espacio muestral desde el punto de vista clásico; de este modo, representan-do águila por a y sol por s, tendremos:

{ }=S sss ssa sas ass saa asa aas aaa, , , , , , , .En estos casos, ssa representa que los primeros dos lanzamientos resultaron soles y el tercer lanzamiento águila. Considerando

que cada punto del espacio muestral es equiprobable con probabilidad de ocurrencia 18

, tendremos que la probabilidad del evento E

(resulten dos soles en los tres lanzamientos) se resuelve al conocer la cantidad de elementos del evento:

1 Existe una gran cantidad de sucesos en los que cada una de sus alternativas tiene varias soluciones, pero sin que se tenga la posibilidad de una asignación numérica de probabilidad, en tal caso se dice que el suceso ocurre bajo incertidumbre.

La frecuencia relativa de un suceso es igual al cociente de la cantidad de veces que ocurre el suceso entre el total de veces que se repite el experimento.



{ }=E ssa sas ass, , .En este caso, como E contiene tres elementos tenemos que la probabilidad de que ocurra el evento E es:

Probabilidad de E = 3 18

0.375× = .

Algunas de las dificultades por las cuales atraviesa esta interpretación de probabilidad son: • Enprimerlugar,alhablarderesultadosequiprobables(quetienenlamismaprobabilidad)estamosempleandoelconceptoque

estamos definiendo. • Ensegundolugar,cuandolosresultadosnosonequiprobables(enestecasoelejemplo3delasección1.5,sobreellanzamiento

de los dos dados, donde se anota la suma de los números resultantes { }=S 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12 , sus elementos no son equiprobables. ¡Calcúlelos!).

• Entercerlugarnoseindicaunmétodopararealizarelcálculodelasprobabilidades. • Enotroscasoscomolossiguientes,laprobabilidadclásicanodarespuesta: a) Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso, no podemos asignar probabilidades iguales

a los resultados del experimento; por tanto, es necesario un método diferente para el cálculo de probabilidades. b) Para calcular la probabilidad de que una persona se case este año, no podemos hablar de resultados equiprobables para

determinar el valor numérico que represente la probabilidad de que dicha persona se case este año, considerando a todos los años equiprobables.

CorrientesubjetivistaEn la corriente subjetivista (interpretación de la probabilidad que es muy empleada en el estudio del análisis de decisiones) se asig-nan probabilidades a eventos basándose en el conocimiento o experiencia que cada persona tiene sobre el experimento; por tanto, la probabilidad asignada está sujeta al conocimiento que el científico tenga con respecto al fenómeno estudiado. De este modo, para un mismo experimento las probabilidades asignadas por diferentes personas pueden ser distintas. En el ejemplo anterior del lanzamien-to de la moneda tres veces, donde se realiza el conteo de la cantidad de soles que aparecen, el evento E se definió como la obtención de dos soles en los tres lanzamientos. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E? Para responder a la pregun-ta anterior, desde el punto de vista subjetivista, la respuesta dependerá del conocimiento que se tenga del lanzamiento de la moneda. Por ejemplo, si el individuo que lanza la moneda puede tener cierta habilidad en el lanzamiento, dará una probabilidad mayor a la verosimilitud del evento E; por el contrario, si el sujeto no tiene tal habilidad, la probabilidad será pequeña.

La probabilidad subjetiva se suele asignar cuando se tiene poco o nada de conocimiento previo sobre el evento. Es decir, cuando los eventos se presentan solo una vez o un número muy reducido de veces. Por ejemplo, si en una empresa se está programando la logística de distribución de material final, la asignación de probabilidad de que los recorridos se realicen con éxito al no tener infor-mación de datos históricos, se puede asignar de forma subjetiva.

La interpretación subjetiva de la probabilidad tiene diferentes dificultades, y una de las principales es la dependencia en el juicio de cada persona al asignarla, además de que tal juicio debe estar completamente fuera de contradicciones, lo que es sumamente di-f ícil por depender de la persona que la asigna. Como se hizo mención antes, a un mismo experimento se le pueden asignar diferentes probabilidades de éxito, dependiendo del científico que lo está realizando, aun en el caso de que dos o más científicos trabajen en conjunto. Finalmente, podemos mencionar que en la asignación de probabilidades subjetivas se emplea, en muchos casos, el conoci-miento frecuentista que se tenga del experimento.

La asignación subjetiva de probabilidades fue introducida en 1926 por Frank Ramsey en su libro The Foundation of Mathematics and other Logical Essays. Posteriormente, Bernard Koopman, Richard Good y Leonardo Savage fueron perfeccionando esta manera de asignar probabilidades.

Corrientebayesiana(a posteriori )En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a los eventos después del experimento. Es decir, la asignación de probabilidades está basada en el conocimiento de la ocurrencia de eventos que estén en dependencia con el evento de estudio. Por ejemplo, si que-remos asignar una probabilidad al evento de que el día 3 de septiembre llueva y tenemos la siguiente información:

a) Los días 1 y 2 de septiembre no llovió. b) Los días 1 y 2 de septiembre llegó un huracán a 400 kilómetros de distancia y llovió ambos días.

Es obvio suponer que la asignación de probabilidades en ambos casos es muy diferente, ya que tenemos información que hace cambiar nuestra asignación de probabilidades. En tal situación decimos que la información obtenida influyó en la asignación de probabilidades. Otro ejemplo, es el caso anterior cuando se lanza una moneda equilibrada tres veces y se cuenta la cantidad de soles

Las probabilidades de este tipo se estudian en el capítulo 3, Probabilidad condicional.


1.3 Álgebra de eventos 11

que aparecen, el evento E: “obtención de dos soles en los tres lanza-mientos”; la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E?, si se sabe que el primer lanzamiento resultó sol.

Esta corriente de probabilidad es la base motora de la teoría de decisiones, puesto que cualquier toma de decisiones está influi-da por todo tipo de información que se pueda tener sobre un fenó-meno en estudio. El uso de esta corriente es posible en la parte de decisiones llamada árboles de decisión.

Después de revisar las corrientes de probabilidad y ver que no tenemos una forma universal de asignación de probabilidades para un evento, concluimos que no es posible construir una teoría matemática formal de las probabilidades. Por tanto, es necesario estructurar a la probabilidad sobre una base axiomática que le dé el formalismo que el álgebra, la geometría y las otras áreas de las matemáticas tienen, lo cual se logra haciendo uso de la teoría de conjuntos aplicada a los eventos, formando lo que denominaremos álgebra de eventos.

1. ¿En qué se basa la definición frecuentista para calcular la probabilidad de un evento?

2. ¿Cómo se considera el espacio muestral en la corriente clá-sica de probabilidad?

3. ¿Cómo es la asignación de probabilidades en los eventos de la corriente subjetiva?

4. ¿Por qué a la corriente bayesiana se le conoce también con el nombre de a posteriori?

5. ¿Cuáles son las dificultades por las que atraviesa la interpre-tación clásica para la asignación de probabilidades a los dife-rentes eventos?

6. Si quiere abrir un negocio en cierta localidad y desea esti-mar una probabilidad de éxito, qué tipo de corriente de pro-babilidad aplicaría en cada una de las situaciones indicadas considerando lo siguiente:

a) Cuenta con una gran cantidad de datos históricos sobre éxitos y fracasos en la apertura de negocios del mismo ramo que el de usted en localidades semejantes.

b) No tiene datos que le muestren algún histórico sobre las probabilidades de éxito de su negocio.

7. ¿Cómo asignaría probabilidades a los siguientes eventos?

a) La probabilidad de que salga una carta roja al seleccionar una carta de una baraja de 52.

b) La probabilidad de que salga un 2 o una carta negra al seleccionar una carta de una baraja de 52.

c) La probabilidad de que salga un 7 o un 8 al seleccionar una carta de una baraja de las 52 cartas que contiene el mazo.

d) La probabilidad de que en 2018 Marcelo Ebrard gane las elecciones para presidente .

e) La probabilidad de que 10 de los siguientes 80 usuarios del metro en la estación Universidad sean estudiantes.

f) La probabilidad de que el siguiente edificio más alto que se construye en China se caiga en 40 años.

8. En los siguientes ejemplos, ¿qué tipo de corriente se pudo haber utilizado para la probabilidad asignada?

a) La probabilidad de que Víctor llegue temprano al trabajo es de 0.65.

b) La probabilidad de que Raquel decida casarse este año es de 0.90.

c) La probabilidad de que Morelia gane el siguiente partido, si ha ganado los cuatro últimos juegos, es de 0.79.

Ejercicios 1.2

1.3 Álgebra de eventosEn la sección 1.1 se definieron los conceptos de espacio muestral y evento, entendiendo por este último un subconjunto del espacio muestral, entonces es posible utilizar los resultados obtenidos en la teoría de conjuntos para los espacios muestrales y los eventos para construir un álgebra de eventos.

ConceptosfundamentalesdeeventosEl espacio muestral fue denotado por S, los eventos con letras mayúsculas, A, B, C, etcétera, mientras que los resultados del experi-mento que cumplen las condiciones del evento se representan con letras minúsculas a, b, etcétera. Si el resultado a pertenece al evento A, lo simbolizamos ∈a A ; en caso contrario, por ∉a A . Los eventos también se representan con llaves, dentro de las que se escriben sus elementos (¡sin repetirlos!), o las propiedades que dichos elementos cumplen, por ejemplo:

{ }=A x x| es el lado que queda arriba al lanzar un dado evento por comprensión.

A 1, 2, 3, 4, 5, 6{ }= evento por extensión.

Los eventos que revisamos en el texto se pueden clasificar en dos grandes grupos. El primero de ellos se define y ejemplifica a continuación.



Si al contar los elementos de un evento, el proceso de conteo termina en el tiempo, es decir, resulta una cantidad determinada, entonces dicho evento se llama finito.

Ejemplos 1.7 Eventosfinitos

1. A: Número par resultado del lanzamiento de un dado: { }=A 2, 4, 6 . 2. A: Al menos se observan cuatro soles en seis lanzamientos de una moneda: { }=A 4, 5, 6 .

A continuación, definimos y mostramos dos ejemplos de eventos que no pueden ocurrir.

El evento que no contiene ningún elemento, esto es, en el que no existe algún resultado del experimento que cumpla las condiciones del evento, se llama evento vacío. El evento vacío suele denotarse por ∅ o { }.

Ejemplos 1.8 Eventovacío

1. A: “Lanzamiento de un par de dados y que la suma de los números de sus lados sea mayor a 13”. Es decir, { }=A , el evento A no tiene ningún elemento, puesto que la máxima suma de los números de las caras en el lanzamiento de dos dados es 12.

2. En una supervisión para el control de calidad se inspecciona un lote con 30 artículos, entre los cuales hay dos defectuosos. Sea el evento A: “Extraer cuatro artículos al mismo tiempo que contenga tres defectuosos”. Como el lote tiene únicamente dos defec-tuosos, entonces no existen eventos que contengan tres defectuosos; por tanto, =°A .

Antes de definir al otro gran grupo de eventos en que se pueden clasificar todos estos, aparte de los eventos finitos, veamos una definición de eventos que no necesariamente son finitos, pero que sí podemos establecer un proceso de conteo entre sus elementos.

Se dice que un evento A es numerable o contable si entre sus elementos y el conjunto de los números naturales, , o algún subconjunto de este existe una correspondencia en la que a cada elemento del evento A le corresponde uno y solo un elemento de (o de algún subconjunto de ), además a cada elemento de (o de algún subconjunto de ), le corresponde un elemento de A.

A continuación se muestran tres ejemplos de eventos numerables.

Ejemplos 1.9 Eventosnumerables

Los siguientes incisos son casos particulares de eventos numerables. 1. El conjunto { }=A x x| es una vocal . Este evento es numerable, ya que podemos ponerlo en correspondencia con el subconjun-

to de los números naturales { }1, 2, 3, 4, 5 de la siguiente manera:

a e i o u1 ; 2; 3; 4; 5 2. El conjunto de los enteros . Este evento es numerable, ya que podemos ponerlo en correspondencia con el conjunto de los

números naturales de la siguiente manera:

− −0 1 1 3 2 51 2 2 4 etcétera

En donde, 0 1 significa que al cero le corresponde el uno, de manera similar −1 2 , significa que al −1 le corresponde el 2, etcétera.

3. …{ }= − − − −A 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, . Este evento es numerable y su correspondencia la podemos establecer por:

− −−−

8 1 2 46 2 0 54 3 2 6 etcétera

Por último, definiremos al otro gran grupo de eventos entre los que podemos clasificar a todos los eventos que no son finitos.

Con la definición de numerable o contable se puede verificar que cualquier evento finito es numerable, ya que siempre será posible establecer un proceso de conteo entre sus elementos.



Se dice que un evento A es infi-nito si para cualquier evento D n1, 2, 3, 4, ,…{ }= no existe un valor de ∈n con el que se pueda establecer una correspon-dencia biunívoca entre A y D.

A continuación se muestran tres ejemplos de eventos infinitos.

Ejemplos 1.10 Eventosinfinitos

1. E: “La cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener la primera águila”, …{ }=E 1, 2, 3, . 2. El evento cuyos elementos son todos los puntos del intervalo indicado en donde los extremos son diferentes, E = (2, 7). 3. El evento que representa la temperatura corporal de una persona. Este evento es infinito ya que al medir la temperatura puede

ocurrir cualquier valor dentro de un intervalo.

Los conceptos anteriores, aunque sencillos, requieren de gran cuidado en su aplicación. En los casos de eventos infinitos, se presentan dificultades para encontrar la correspondencia que indique si son o no numerables. Si a esto agregamos que los eventos infinitos no siempre son numerables y que la demostración de esto no es sencilla surgen muchas dificultades para distinguir entre eventos numerables y no numerables, además de que es necesaria la introducción de algunos otros conceptos que quedan fuera del objetivo del libro. En el texto se tiene que los únicos eventos no numerables con los que tratamos son cuando resulten intervalos. Por ejemplo, cualquier evento cuyos elementos son los puntos del intervalo (a, b) con a ≠ b no es numerable.

RelacionesfundamentalesentreeventosCuando trabajamos con eventos observamos que entre sus elementos pueden existir algunas relaciones, mismas que revisamos a continuación.

Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales, si cualquier resultado de A es también elemento de B y vice-versa:

= ° ∈ ∈ ∀ ∈ ∈A B a A a B b B b A, si , entonces y viceversa, , entonces .

A continuación se muestra un par de ejemplos de eventos iguales.

Ejemplos 1.11 Igualdaddeeventos

1. Los eventos A a e i o u, , , ,{ }= y el evento { }=B x x| es una vocal ; en este caso, A = B. 2. Los eventos { }=A 1, 3, 5, 7, 9 y el evento { }=B x x| es un número dígito impar ; en este caso, A = B.

Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos los elementos de un evento dado están contenidos en el otro evento, suceso que se define a continuación.

Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento, se dice que A es subevento de B si cualquier elemento que esté en A está también en B. Lo anterior se simboliza A ⊂ B. Es decir, A ⊂ B; si a ∈ A, entonces a ∈ B. Cuando existe al menos un elemento de A que no está en B, entonces se dice que A ⊄ B.

Para una mejor comprensión de lo que son los subeventos se proporcionan algunos ejemplos.

Ejemplos 1.12 Subeventos

1. Dados los eventos A a e i o u, , , ,{ }= y { }=B x x| es una letra del alfabeto , se cumple ⊂A B . 2. Sean [ ]=A 2, 5 y [ ]= −B 9, 20 , vemos que ⊂A B. 3. Sean [ ]=A 2, 5 y ( ]=B 2,10 , en este caso ⊄A B , puesto que ∈ A2 , pero ∉ B2 .

Con la definición de eventos finitos se puede notar que un evento numerable es infinito, si al contar los resultados posibles del evento el proceso de conteo no termina en el tiempo. También cualquier evento no contable es infinito. La teoría de eventos infinitos requiere una preparación conceptual profunda que sale de los objetivos del texto, pero se recomienda consultar los trabajos de los mayores exponentes del tema, como el ruso Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor (San Petersburgo, Rusia, 3 de marzo de 1845-Halle, Alemania, 6 de enero de 1918) y de los alemanes Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de octubre de 1831-12 de febrero de 1916) y Friedrich Ludwing Gottlob Frege (8 de noviembre de 1848-26 de julio de 1925).



Como se mencionó antes, entre los elementos de dos o más eventos puede ser que no exista alguna propiedad en común, en dicho caso se dice que ambos se excluyen o, concretamente, que son mutuamente excluyentes, esto se formaliza con la definición y los ejemplos siguientes.

Los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, se llaman mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes. Es decir, para cualquier a ∈ A, se cumple a ∉ B; de igual manera, para todo b ∈ B, tenemos que b ∉ A.

Ejemplos 1.13 Eventosmutuamenteexcluyentes

1. Sean los eventos A a e i o u, , , ,{ }= y { }=B x x| es una consonante ; en este caso, A y B son mutuamente excluyentes, ya que no existe ningún elemento que sea vocal y consonante al mismo tiempo.

2. Sean A = [2, 5] y B = [9, 20]; en este caso, A y B son mutuamente excluyentes.

Entonces, podemos generalizar que el evento vacío es mutuamente excluyente con cualquier otro evento.

DiagramasdeVenn-EulerEn muchas ocasiones es preferible emplear una repre-sentación gráfica de los eventos de un experimento, la cual usualmente consiste en representar el espacio mues-tral por rectángulos y los eventos por figuras circulares u ovaladas en forma simple o sombreada, como se muestra en la figura 1.2. Estos diagramas se emplean para visuali-zar las operaciones fundamentales entre eventos y se les llama diagramas de Venn-Euler en honor a los matemá-ticos Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707-San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783) y John Venn (Hull, Yorkshire, Inglaterra, 4 de agosto de 1834-Cambridge, 4 de abril de 1923).

OperacionesfundamentalesentreeventosDado un espacio muestral y sus eventos, surge la pregunta sobre qué operaciones será posible y es conveniente definir entre estos. En esta subsección se estudian algunas operaciones fundamenta-les entre eventos, como unión, intersección, diferencia y complemento.

UniónentreeventosLa unión de los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, constituye, en sí mismo, otro evento formado por los resultados que pertenecen al evento A o al evento B o a ambos. La unión la simbolizaremos por A ∪ B (A unión B).

{ }∪ = ∈ ∈A B x x A x Bo la unión de los eventos A y B.La representación general de la unión, por medio de diagramas de Venn-Euler, se ilustra en la parte sombreada de la figura 1.3.

S

A

A ∪ B

B

Figura 1.3 Representación general de la unión entre dos eventos.

1. De las definiciones de igualdad de eventos y subeventos se deduce que si A = B, entonces A ⊂ B y B ⊂ A.

2. Podemos generalizar que el evento vacío es subevento de cualquier evento.

Figura 1.2 Representación de eventos por medio de diagramas de Venn-Euler.

S

A B

Se ha observado que muchos estudiantes cometen el gravísimo error, al realizar operaciones entre eventos, de indicar como resultado de estas operaciones solo a los elementos, sin formar un evento. Pero las operaciones entre eventos siempre deben dar como resultado otro evento.



Ejemplos 1.14 Uniónentredoseventos

1. Sean los eventos A a e i o u, , , ,{ }= y B e o h w, , ,{ }= . Entonces: A B a e i o u h w, , , , , ,{ }∪ = . 2. Sean los eventos [ )= −A 1, 5 y ( ]=B 3, 8 . Entonces: [ ]∪ = −A B 1, 8 . 3. Sean los eventos [ )=A 2, 5 y ( ]=B 3, 4 . Entonces: [ )∪ = =A B A2, 5 .

IntersecciónentreeventosLa intersección entre los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos. La intersección la simbolizaremos de la siguiente manera: A ∩ B (A intersección B).

{ }∩ = ∈ ∈A B x x A x By la intersección entre los eventos A y B.

La representación general de la intersección mediante diagramas de Venn-Euler, corresponde al área sombreada de la figura 1.4.

S

A

A ∩ B

B

Figura 1.4 Representación general de la intersección entre A y B.

Ejemplos 1.15 Intersecciónentredoseventos

1. Sean los eventos A a e i o u, , , ,{ }= y B e o h w, , ,{ }= . Luego, A B e o,{ }∩ = . 2. Sean los eventos [ )= −A 1, 5 y ( ]=B 3, 8 . Luego, ( )∩ =A B 3, 5 . 3. Sean los eventos [ )=A 2, 5 y ( ]=B 3, 4 . Luego, ( ]∩ = =A B B3, 4 .

DiferenciaentreeventosLa diferencia del evento A menos el evento B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos del evento A y que no pertenecen al evento B. La diferencia la simbolizaremos de la siguiente manera: A − B (A menos B).

{ }− = ∈ ∉A B x x A x By la diferencia del conjunto A menos B.

La representación general de la diferencia, mediante diagramas de Venn-Euler, se ilustra en el área sombreada de la figura 1.5.

S

A

A – B

B

Figura 1.5 Representación general de la diferencia A − B.

Observe que en el último ejemplo (3, 4] ⊂ [2, 5), y la unión fue [2, 5). En general, si A ⊂ B, se cumple que A ∪ B = A.

Observe que en el último ejemplo (3, 4] ⊂ [2, 5), y la intersección fue (3, 4]. En general, si A ⊂ B se cumple que A ∩ B = B.



Ejemplos 1.16 Diferenciaentreeventos

1. Sean los eventos A a e i o u, , , ,{ }= y B e o h w, , ,{ }= . Luego, A B a i u, ,{ }− = y B A h w,{ }− = . 2. Sean los eventos [ )= −A 1, 5 y ( ]=B 3, 8 . Luego, [ ]− = −A B 1, 3 y [ ]− =B A 5, 8 . 3. Sean los eventos [ )=A 2, 5 y ( ]=B 3, 4 . Luego, − =∅B A . 4. Sean los eventos [ )=A 2, 5 y ( ]=B 13, 24 . Luego, A − B = A y B − A = B.

Observe que en el último ejemplo A y B son mutuamente excluyentes. En general, si los eventos son mutuamente excluyentes, se cumple que A − B = A y B − A = B.

EventocomplementarioocomplementodeuneventoEl complemento del evento A es otro evento formado por los resultados del experimento que pertenecen al espacio muestral, pero que no pertenecen al evento A. El complemento del evento A, lo simbolizaremos como Ac o A' o Ā (complemento de A).

{ }= ∈ ∉A x x S x Ayc el evento complementario de A.

La representación general del complemento de un evento mediante diagramas de Venn-Euler se ilustra en el área sombreada de la figura 1.6.

S

A

AC

B

Figura 1.6 Representación general del complemento de A.

Ejemplos 1.17 Eventocomplementario

1. Sea { }=S x x| es una letra del alfabeto y { }=B x x| es una consonante . Luego, B a e i o u, , , ,c { }= . 2. Sea [ ]= −S 4,10 y [ )= −A 1, 5 , entonces [ ) [ ]= − − ∪A 4, 1 5,10c .

A continuación se muestra una serie de ejemplos de las operaciones entre eventos, en los que se consideran cualquiera de estas.

Ejemplos 1.18 Operacionesentreeventos

1. Dados el espacio muestral S = , el conjunto de los números enteros y los eventos { }=A 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , B 5, 6, 7, 8, , 30…{ }= ,{ }=C 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y …{ }= − −D 6, 4, , 10, 12 , encuentre:

a) A ∩ B, A ∪ B, C ∩ A, C ∪ D, A − B, C − A, A ∩ D. A B 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 5, 6, 7, 8, , 30 5, 7, 11, 13, 17…{ }{ } { }∩ = ∩ = . … …{ }{ } { }∪ = ∪ =A B 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 5, 6, 7, 8, , 30 2, 3, 5, 6, 7, 8, , 30 .

{ } { } { }∩ = ∩ =C A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 2, 3, 5, 7 .

{ }{ }{ }∪ = ∪ − − −

= − − −

C D 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12

6, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12

Observe que en este ejemplo (3, 4] ⊂ [2, 5) y la diferencia fue ∅. En general, si A ⊂ B se cumple que B − A = ∅.



…{ }{ } { }− = − =A B 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 5, 6, 7, 8, , 30 2, 3 .

{ } { } { }− = − =C A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 0, 1, 4, 6, 8, 9 .

{ }{ } { }∩ = ∩ − − − =A D 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 2 .

…{ } { } { }∩ = ∩ − − − =B D 5, 6, 7, 8, , 30 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 6, 8, 10, 12 .

2. Encuentre los resultados de las operaciones siguientes:

a) ( ) ( )∩ − ∩ =A B A D { } { }− =5, 7, 11, 13, 17 2 { }5, 7, 11, 13, 17 . b) { }( ) { } { }∩ ∩ = ∩ =B D C 6, 8, 10, 12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9c c . c) { } { } { }− ∩ = ∩ =A B C( ) 2, 3 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9c c . d) { }{ } { }− ∩ = ∩ − − − =C A D( ) 0, 1, 4, 6, 8, 9 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 0, 4, 6, 8 . e) ( ) { } { }∩ − = − =∅A D C 2 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . f)

… … … …{ }( ) ( ) { } { }

{ } { }∩ − ∩ = −

= − =

A B A D 5, 7, 11, 13, 17 2

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 0, 1, 3, 4, 2

c c c c

. 3. Con diagramas de Venn-Euler verifique si son válidas las siguientes igualdades entre conjuntos.

a) ∩ = −A B B Ac

S

A

AC ∩ B

B

S

A

AC

B

Figura 1.7 Representación de la igualdad entre Ac ∩ B = B − A.

4. Represente en diagramas de Venn-Euler los siguientes hechos: los eventos A y B son mutuamente excluyentes, ∩ ≠A C 0 ∅ y ∩ ≠B C 0 ∅.

S

A

C

B

Figura 1.8 Representación del ejemplo 4.

ParticionesdeeventosEn teoría del álgebra de eventos es de suma importancia trabajar con algunos eventos especiales donde sus mismos elementos son eventos de un espacio muestral dado. De hecho, el desarrollo teórico de las probabilidades está basado en dichos eventos, pero debi-do a los fines de un texto práctico de probabilidad y estadística, nos enfocaremos únicamente a uno de estos que definimos a conti-nuación.

Llamaremos familia de eventos al conjunto donde todos sus elementos son eventos. Para diferenciar en la notación de un simple evento, a la familia de eventos la representaremos por A, B, etcétera.



Ejemplos 1.19 Familiadeeventos

Indique cuáles son familia de eventos y cuáles no lo son.

1. { }{ } { } { }1, 2, 3 , 2, 3, 5, 7 , 4, 8, 12, 16 sí es una familia de eventos, ya que sus tres elementos { } { } { }1, 2, 3 , 2, 3, 5, 7 y 4, 8, 12, 16 son eventos.

2. { }{ } { }1, 2, 1, 2, 3 , 2, 3, 5, 7 no es una familia de eventos, puesto que sus elementos 1 y 2 no son eventos. 3. { }{ } { } { }∅, 1, 2, 3 , 2, 3, 5, 7 , 4, 8, 12, 16 sí es una familia de eventos, ya que sus cuatro elementos { } { } { }∅, 1, 2, 3 , 2, 3, 5, 7 y 4, 8, 12, 16 y

{ } { } { }∅, 1, 2, 3 , 2, 3, 5, 7 y 4, 8, 12, 16 son eventos. 4. { }1, 2, 3,4 no es una familia de eventos, puesto que ninguno de sus cuatro elementos es un evento.

GeneralizacióndelaunióneinterseccióndeeventosSean los eventos A1, A2, … , An, podemos generalizar las operaciones de unión e intersección entre ellos de la siguiente manera:

∪ … { }= ∪ ∪ ∪ = ∈ ∈=

A A A A x i I x A|existe una tal queii

n

n n i1

1 2 unión

∩ … { }= ∩ ∩ ∩ = ∈ ∈=

A A A A x x A i I| para todaii

n

n i n1

1 2 intersección.

Donde In denota al conjunto de todos los números naturales menores e iguales a n.

Ejemplos 1.20 Generalizacióndelaunióneinterseccióndeeventos

Sean los eventos A1 { }=A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 91 , A2 { }=A 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 222 , A3 { }=A 3, 5, 7, 9, 113 , A4 { }=A 2, 4, 6, 8, 104 y A5 = {0, 1, 2, …{ }=A 0, 1, 2, , 95 , encuentre la unión e intersección de estos eventos.

Solución

Unión: A 0, 1, 2, , 10, 11, 13, 16, 19, 22ii 1

5

∪ …{ }==

.

Intersección: Aii 1

5

∩ =°=

.

En el estudio de los eventos y sus operaciones surgen familias de eventos que debido a sus propiedades son de gran importancia en la formalización del desarrollo de la Teoría de las probabilidades, a dichas familias se les da el nombre de particiones.

ParticiónSea A un evento y A1, A2, … , An subeventos de A, que forman una familia A A A A, , , n1 2 …{ }= de eventos, se dice que A es una par-tición del evento A, si los subeventos cumplen: a) Para cualesquiera eventos Ai y Aj , de un mismo experimento, con i, j ∈ In, se cumple Ai = Aj o en caso contrario A Ai j∩ =∅ .

b) A Aii

n

1∪==

.

Ejemplos 1.21 Partición

Dado el evento …{ }=A 1, 2, , 100 indique si los eventos siguientes, del mismo experimento, forman una partición de A.

1. A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 71 { }= , A 8, 9, , 702 …{ }= , A 70, 71, 72, , 1003 …{ }= .

Observamos que los tres eventos son subeventos de A, y con esto la segunda condición de una partición se cumple, ya que A A A A1 2 3= ° ° ; sin embargo, la primera condición no se cumple, puesto que A2 ≠ A3 y A A2 3∩ ≠∅. Entonces los eventos no

forman una partición de A.



2. …{ }=A 10, 11, , 191 , …{ }=A 20, 21, , 292 , … , …{ }=A 90, 91, , 1009 y A10 —los números dígitos.

Aquí, se puede verificar que se cumple la primera condición de particiones, ya que los 10 eventos son mutuamente excluyentes, los eventos no forman una partición de A, ya que el evento A10 no es un subevento de A, puesto que 0 ∈ A10, pero 0 ∉ A.

3. …{ }=A 10, 11, , 191 , …{ }=A 20, 21, , 292 , … , …{ }=A 90, 91, , 1009 y …{ }=A 1, , 910 .

Estos eventos sí forman una partición del evento A, ya que se cumplen las condiciones:

…= ° ° °A A A A1 2 10 y todos los pares de eventos son mutuamente excluyentes.

4. …{ }=A 10, 11, , 191 , …{ }=A 20, 21, , 292 , … , …{ }=A 90, 91, , 1009 , …{ }=A 1, , 910 , …{ }=A 10, 11, , 1911 .

Estos eventos sí forman una partición del evento A, ya que se cumplen las condiciones:

…= ° ° °A A A A1 2 11 , y todos los pares de eventos son mutuamente excluyentes, excepto los eventos 1 y 11, pero en este caso se tiene que el evento 11 es igual al evento 1.

5. A = .

a) ( )= −∞ −A , 41 , [ )= −A 4, 72 , [ ]=A 7, 453 , ( ]=A 45, 10564 , ( )= +∞A 1056,5 . Se comprueba que estos eventos sí forman una partición del evento A.

b) ( )= −∞A , 01 , [ )= ∞A 0,2 , estos eventos también forman una partición del evento A.

En el último inciso, podemos observar que los dos eventos son complementarios. Es decir, Ac1 = A2 y Ac

2 = A1. Entonces, el ejem-plo 5b se puede generalizar.

6. Cualquier par de eventos A con su complemento Ac siempre forman una partición de S.

a) Por ejemplo, si { }=S 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , entonces una partición podría ser: { }=A 1, 3, 5, 7 y { }=A 2, 4, 6c . b) Si [ ]=S 0, 20 , entonces una partición estaría formada por la pareja [ ]=A 0, 4 y ( ]=A 4, 20c .

LeyesdelálgebradeeventosTrabajar con eventos basándose en la definición de sus operaciones o propiedades resulta bastante tedioso. La solución de problemas relacionados con los eventos también se puede hacer de manera fácil e intuitiva por medio de los diagramas de Venn-Euler, pero este método carece de un fundamento sólido teórico para cualquier caso en general. Por lo anterior, se introducen las siguientes leyes de la teoría de eventos, llamadas “Leyes o propiedades del álgebra de eventos”.

Sean S el espacio muestral y A una familia de eventos en S, con A, B y C, eventos cualesquiera de S, que pertenecen a A, llama-remos Leyes del álgebra de eventos a las siguientes propiedades.

Tabla 1.1 Leyes del álgebra de eventos.

Leyesdeidempotencia

A A A∪ = A A A∩ =

Leyesasociativas

A B C A B C( )( )∪ ∪ = ∪ ∪ A B C A B C( )( )∩ ∩ = ∩ ∩

Leyesconmutativas

A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩

Leyesdistributivas

A B C A B A C( ) ( )( )∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ A B C A B A C( ) ( )( )∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

Leyesdeidentidad

A A∪∅ = A S S∪ =

A ∩° = ° A S A∩ =

Leyesdecomplemento

A A Sc∪ = A A c∩ = ∅

A Ac c( ) = S c=∅,∅c=S

LeyesdeDeMorgan

A B A Bc c c( )∪ = ∩ A B A Bc c c( )∩ = ∪



Con ayuda de estas leyes se pueden efectuar demostraciones sobre la igualdad entre eventos, como se muestra en los ejemplos siguientes.

Ejemplos 1.22 Leyesdelálgebradeeventos

Con las leyes del álgebra de eventos verifique las igualdades siguientes:

1. ( )∩ ∪ = ∩A A B A Bc .( ) ( ) ( )

( )

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

=∅∪ ∩

= ∩

A A B A A A B

A BA B

ley distributiva,

ley del complemento,ley de identidad.

c c

2. ( )∩ ∪ =A A B A.( ) ( ) ( )

( )∩ ∪ = ∪∅ ∩ ∪

= ∪ ∅∩

= ∪∅=

A A B A A B

A BAA

ley de identidad,

ley distributiva,ley de identidad,

ley de identidad.

3. ( ) ( )( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ =A B C A B C B C Sc c c

( ) ( )( )∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ =A B C A B C B Cc c c

( ) ( )( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩

= ∩ ∩ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩

= ∩ ∩ ∪ ∪ ∩ ∩

= ∩ ∩ ∪ ∪ ∩

= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩

=

A B C A B C B C

A B C A B C B C B C

A B C A B C S

A B C A B C

A B C A B C

S

leyes deDeMorgan y asociativa,

ley distributiva,

ley del complemento,

ley de identidad,

ley deDeMorgan,

ley del complemento.

c

c

c

c

c

c

c c

c

c

1. Mencione dos ejemplos de eventos finitos y dos de eventos infinitos.

2. Indique si los siguientes eventos son numerables. a) …{ }=A 2, 4, 8, 16, 32, . b) …{ }=A a, b, c, d, . c) …{ }=A 45, 44, 43, 42, 41, 40, . d) [ ]=A 2, 1768 e) = −A ( 134, 234) . 3. Dado el espacio muestral …{ }=S 0, 1, , 20 , los eventos

{ }=A 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15 , …{ }=B 0, 2, 4, , 20 y { }=C 2, 3, 5, 7, 11 , encuentre:

a) ∩A Bc c . b) ( )∩ ∪A B Cc c

. c) ( )− ∩A B C . d) ( )− −B C Ac .

e) ( )− ∩A C Bc . 4. Por medio de diagramas de Venn-Euler verifique que son cier-

tas las igualdades siguientes: a) − = ∩A B A Bc . b) − = ∪A B A B( )c c . c) ( ) ( )( )∪ ∩ = ∩ ∩ ∩B A C B C A Cc c c . d) ( )∪ ∩ = ∪A A B A Bc . e) ( )∩ = ∪A B A Bc c c . 5. En los eventos siguientes construya una partición de cada

uno. a) { }=A 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20 . b) ( )=A 2, 24 . c) Números naturales. d) { }=A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ejercicios 1.3


1.4 Axiomatización de la probabilidad 21

1.4 Axiomatización de la probabilidadEn la sección 1.2 se trata el problema relativo a la asignación de probabilidades para un evento, donde también se destaca la impor-tancia de crear una base teórica para el estudio de la probabilidad. Dicha formalización comenzó en la sección anterior al introducir el espacio muestral y los eventos así como las leyes del álgebra de eventos.

En la presente sección daremos por hecho la asignación de probabili-dad a un evento y comenzaremos a desarrollar una teoría axiomática de las probabilidades, a partir de la siguiente definición.

Dado un experimento con espacio muestral S y una familia de eventos A de S tal que sus elementos cumplen con las leyes del álgebra de eventos, llamaremos probabilidad axiomática a la función numérica P, cuyo do-minio es A y rango el intervalo [0, 1], y es tal que los valores P(E) para cualquier E en A , cumplen con los siguientes tres axiomas, llamados axiomas de Kolmogórov, para familias finitas:

Axioma 1. Para cualquier evento E, de A, se cumple P(E) ≥ 0.Axioma 2. Para el espacio muestral S, P(S) = 1.Axioma 3. Para cualquier sucesión infinita (o finita) de eventos mutua-mente excluyentes, de A, E1, E2, E3, … , se cumple

P E P E P E P Ek

k kk1

1 21

∪ � ∑( ) ( ) ( )

= + + =

=

∞

=

∞

.

Hechas las aclaraciones anteriores y basándonos en los axiomas 1, 2 y 3 o los casos particulares del axioma 3, podemos formular los teoremas necesarios para desarrollar una teoría axiomática de la probabilidad.

Teorema 1.1Sea ∅ el evento vacío, entonces P(∅) = 0.

Demostración

• SeaelespaciomuestralS, por la ley de identidad S = S ∪ ∅. Como S y ∅ son mutuamente excluyentes, en virtud del axioma 3, se deduce que

( )= ∪∅ = + ∅P S P S P S P( ) ( ) ( ), restando la probabilidad de S en ambos lados de la igualdad, resulta que P(∅) = 0.

Teorema 1.2Para cualquier evento E, ( )= −P E P E1 ( )c .

Demostración

• SeaelespaciomuestralS, y E un evento en S. Por la ley del complemento, tenemos que S = E ∪ E c, por el axioma 2 se cumple ( )= = ∪P S P E E1 ( ) c .

Por otro lado, E y E c son mutuamente excluyentes, de esta manera empleando el axioma 3 tendremos:

( ) ( )= = ∪ = +P S P E E P E P E1 ( ) ( )c c

pasando P(E) al otro lado de la igualdad se obtiene ( )= −P E P E1 ( )c .

Teorema 1.3Para cualquier evento E, 0 ≤ P(E ) ≤ 1.

Demostración

• SeaS el espacio muestral y E un evento en S, del axioma 1 tenemos que P(E) ≥ 0 y P(E c) ≥ 0. Por el teorema 1.2, P(E c) = 1 − P(E ), de donde se deduce que P(E ) = 1 − P(E c) ≤ 1. Por tanto, 0 ≤ P(E ) ≤ 1.

Teorema 1.4Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tales que A ⊂ B, entonces

P(A) ≤ P(B).

Andréi Nikoláyevich Kolmogórov (Tambov, Rusia, 25 de abril de 1903-Moscú, 20 de octubre de 1987), fue un matemático que trabajó en probabilidad, topología, series de Fourier, teoría de conjuntos, turbulencias, mecánica clásica, y teoría de la complejidad algorítmica. En 1929 obtuvo su doctorado en la universidad estatal de Moscú. Junto con Márkov trabajaron en procesos estocásticos y de forma indepen diente al matemático británico Sydney Chapman desarrollaron las ecuaciones de Chapman-Kolmogórov de las cadenas de Márkov. En 1933 publicó el libro Los fundamentos de la teoría de la probabilidad, en el que establece las bases de una teoría axiomática de la probabilidad; gracias a este trabajo adquiere una gran reputación y popularidad entre los matemáticos que investigaban sobre la probabi lidad.

• A la terna (S, A, P ) se le suele llamar espacio probabilístico.• Note que en la definición de probabilidad axiomática no se

menciona el método de obtención de la probabilidad, es decir, al número P(E ) para cualquier evento E en A, se le puede asignar un valor numérico de probabilidad según alguna de las interpretaciones de probabilidad conocidas. Por tanto, llamaremos a P(E ) la probabilidad del evento E, si para cualquier evento E en A, cumple con los axiomas de Kolmogórov.

• En particular, la asignación de probabilidades según las corrientes de probabilidad mencionadas cumplen con los axiomas de Kolmogórov.

• El axioma 3 generalmente en los textos metodológicos se formula para dos eventos A y B mutuamente excluyente, quedando P A B P A P B( ) ( ) ( )∪ = + . En el caso de n eventos E1, E2, E3, … , En mutuamente excluyentes, el axioma está dado por:

P E P E P E P E P Ek

n

k n kk

n

11 2

1

∪ � ∑( ) ( ) ( ) ( )

= + + + =

= =

.



Demostración

• DelascondicionesdelteorematenemosqueA ⊂ B, por tanto, B se puede representar como = ° −B A B A( ), en donde A y B − A son mutuamente excluyentes. Del axioma 3, tenemos ( )= ∪ − = + −P B P A B A P A P B A( ) ( ) ( ) ( ). Por el axioma 1

− °P B A( ) 0, entonces se cumple

= + − ≥P B P A P B A P A( ) ( ) ( ) ( ), de donde ≤P A P B( ) ( ).

Teorema 1.5Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral, se cumple que:

∪ = + − ∩P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ).

Demostración

• Empleandolasleyesdelálgebra,tenemosque:

( )( )

∪ = ∪ ∩

= ∪ ∩ ∪

= ∪ ∩

A B A B S

A B A A

A B A

( ) ley de identidad,

( ) ley del complemento,

ley distributiva.

c

c

Además A y B ∩ Ac, son mutuamente excluyentes, entonces

( )( ) ( )∪ = ∪ ∩ = + ∩P A B P A B A P A P B A( ) ( )c c (1)

De manera similar, se tiene que ( )= ∩ ∪ ∩B A B B A( ) c , donde A ∩ B y B ∩ Ac son mutuamente excluyentes. Por tanto:

( )( ) ( )= ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩P B P A B B A P A B P B A( ) ( ) ( )c c

Despejando ( )∩P B Ac , resulta ( )∩ = − ∩P B A P B P A B( ) ( )c y sustituyendo en la igualdad (1), se obtiene:

∪ = + − ∩P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )

El siguiente teorema muestra la generalización del teorema 1.5.

Teorema 1.6Para k eventos cualesquiera A1, A2, … , Ak , de un mismo espacio muestral, se cumple que:

P A A A P A P A A P A A A

P A A A

( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( )

k ii

k

i ji j

k

i j ri j r

k

kk

1 21 2 3

11 2

∑ ∑ ∑° ° ° = − ∩ + ∩ ∩

+ + − ∩ ∩ ∩

= < = < < =

−

Teorema 1.7Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral, se cumple que

− = − ∩P A B P A P A B( ) ( ) ( ).

Demostración

• Delejercicio4adelosejercicios1.3, − = ∩A B A Bc . Por otro lado, = ° ∪ ∩A A B A B( ) ( )c pero A ∩ B c y A ∩ B son mutuamente excluyentes, entonces del axioma 3

= ° + °P A P A B P A B( ) ( ) ( )c , de donde − = − ∩P A B P A P A B( ) ( ) ( ).

La formulación y demostración de los teoremas del 1.1 al 1.7 fue fundamental para iniciar la construcción de una teoría de las proba-bilidades que será utilizada en la parte estadística del texto. Para una mejor comprensión de los teoremas se han diseñado algunos ejemplos que se muestran a continuación.

Ejemplos 1.23 Teoremas

1. Sean los eventos A y B, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que: ( )=P A 0.6c , ( )=P B 0.7c y ∩ =P A B( ) 0.2 . Calcule: P(A ∪ B).



Solución

Empleando el teorema 1.2, tenemos que

( )= − = − =P A P A( ) 1 1 0.6 0.4c y

( )= − = − =P B P B( ) 1 1 0.7 0.3c .

Finalmente, del teorema 1.5 resulta que

∪ = + − ∩ = + − =P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) 0.4 0.3 0.2 0.5 .

2. Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que: ( )∪ =P A B( ) 0.2c , ( )=P A 0.2c y ∩ =P A B( ) 0.2, calcule P(A) y P(B).

Solución

Empleando el teorema 1.2 tenemos

( )= − = − =P A P A( ) 1 1 0.2 0.8c .

Similarmente,

( )∪ = − ∪ = − =P A B P A B( ) 1 ( ) 1 0.2 0.8c .

Finalmente, del teorema 1.5 resulta

∪ = + − ∩P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ).

Despejando P(B)

= ° − + ∩ = − + =P B P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ( ) 0.8 0.8 0.2 0.2 .

3. Sean los eventos A y B, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que ( )=P A 0.4c , =P B( ) 0.5 y ∪ =P A B( ) 0.7. Calcu le P(A − B) y P(Ac − B c ).

Solución

Del teorema 1.2, ( )= − = − =P A P A( ) 1 1 0.4 0.6c , y del teorema 1.5 despejando la probabilidad de la intersección P(A ∩ B ) =∩ = + − ∪ = + − =P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.5 0.7 0.4 , del teorema 1.7, tenemos

− = − ∩ = − =P A B P A P A B( ) ( ) ( ) 0.6 0.4 0.2 .

De igual manera, para calcular la probabilidad ( )−P A Bc c recurrimos al teorema 1.7

( ) ( ) ( )( ) ( )

− = − ∩

= − ∪

= −=

P A B P A P A B

P A P A B

aplicando la ley deDeMorgan,

( ) con los complementos,

0.4 0.30.1.

c c c c c

c c

Una de las dificultades de utilizar álgebra de eventos, axiomas de Kolmogórov y teoremas demostrados es que se deben memorizar sus resultados para poder emplear estas. En lugar de seguir este camino, mostraremos que combinando las leyes del álgebra, los teoremas del 1.1 al 1.7 y los diagramas de Venn-Euler, la solución para este tipo de problemas se simplifica en gran medida. Por ejemplo, podemos calcular con facilidad las dos probabilidades anteriores si trazamos el diagrama de probabilidades de Venn-Euler. El diagrama de probabilidades de Venn-Euler se obtiene al agregar las probabilidades a los sectores del diagrama que resultan de las condiciones del problema. Por ejemplo, en el problema anterior calculamos:

( )= − = − =P A P A( ) 1 1 0.4 0.6c y ∩ = + − ∪ = + − =P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.5 0.7 0.4 .

Entonces, el diagrama de Venn-Euler de probabilidades para calcular −P A B( ) y ( )−P A Bc c está dado en la figura 1.9.

Figura 1.9 Diagrama de Venn-Euler de probabilidades para el ejemplo 1.23 inciso 3.

S

A

AC

B

0.2 0.4 0.1

0.3



ExplicaciónLa probabilidad de la intersección resultó ∩ =P A B( ) 0.4; como =P B( ) 0.5, entonces la parte de B que no pertenece a la intersección vale 0.1. De manera similar, del valor =P A( ) 0.6 podemos concluir que la probabilidad para la parte de A, que no está en la intersección, debe ser 0.2. Por último, la probabilidad para el complemento de la unión vale 0.3. De aquí se pueden calcular las probabilidades deseadas mediante los diagramas de Venn-Euler. Enseguida, dibujamos el diagrama de Venn-Euler para −P A B( ) y ( )−P A Bc c , obteniendo los diagramas de la figura 1.10.

S

A

A – B

B

S

A

AC – BC

B

0.2 0.4 0.1

0.3

0.2 0.4 0.1

0.3

Figura 1.10 Representación general de la diferencia A − B y A c − B c.

Al observar el diagrama de la figura 1.10, la parte sombreada corresponde a − =P A B( ) 0.2 y ( )− =P A B 0.1c c , cuyos resultados coinciden con los encontrados a través de los teoremas.

4. Un juego consiste en extraer de manera aleatoria dos pelotas al mismo tiempo de una urna que contiene cinco pelotas numera-das de 1 a 5, de igual forma y tamaño. La persona gana si las dos pelotas extraídas tienen número par, en otro caso la persona pierde. Calcule la probabilidad de que la persona gane.

Solución

En este ejemplo el experimento consiste en extraer dos pelotas aleatoriamente de un total de cinco, numeradas del 1 al 5. Definido el experimento el espacio muestral, en este caso lo podemos numerar, resulta:

{ }= − − − − − − − − − −S 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 2 3, 2 4, 2 5, 3 4, 3 5, 4 5 En donde la pareja i − j, representa a la extracción de las pelotas i con la j, con i ≠ j e i, j desde 1 hasta 5. El evento E lo definimos,

como: “las dos pelotas extraídas tienen número par”. Así,

{ }= −E 2 4 .

Por tanto, del espacio muestral encontrado, y considerando a los puntos muestrales equiprobables (¡explique esto último!), tene-mos que la probabilidad del evento E estará dada por:

= =P E( ) 110

0.10 .

5. Un experimento consiste en lanzar un dado no cargado una vez y, si sale un número impar entonces se lanza una moneda no cargada. Si el lanzamiento del dado resulta par, entonces se lanza el dado por última vez.

a) Describa el espacio muestral para este experimento. b) Asigne probabilidades a los puntos muestrales de acuerdo con las condiciones del experimento. ¿Son equiprobables los pun-

tos muestrales?

• Ladescripcióndelespaciomuestralessencilla,simbolizandolosresultadosdeldadopor1, 2, 3, 4, 5 y 6; mientras que los de la moneda por s para sol y a en el caso de águila, resultando

{

}

=S s as as a

(1, ), (1, ), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)(3, ), (3, ), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, ), (5, ), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) .

Es decir, el espacio muestral tiene 24 elementos.

• Paralaasignacióndeprobabilidadesenestemomentosedificultaenformaconsiderable,estosedebeaquenotenemoslasherramientas necesarias para tal efecto (en el capítulo tres regresaremos al problema y, como veremos, el cálculo de sus probabilidades es demasiado sencillo, si se resuelve por medio de eventos independientes). Primero, notamos que los puntos que están en A:



}{=A (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) .

Dichos puntos deben tener la misma probabilidad de ocurrir, puesto que todos se obtienen lanzando el dado dos veces. Similarmente, los puntos que pertenecen a B deben tener la misma probabilidad de ocurrir (primero se lanza el dado una vez y después la moneda):

{ }=B s a s a s a(1, ), (1, ), (3, ), (3, ), (5, ), (5, ) .

Observamos que en los dos casos de puntos muestrales A y B una pareja cualesquiera, considerando un punto por evento, por ejemplo ∈ ∈A s B(2, 1) y (1, ) , no han de tener la misma probabilidad de ocurrir, puesto que la probabilidad de que al lanzar

el dado resulte 1 es igual a que resulte 2, y son iguales a 16

; mientras que la probabilidad de que al lanzar la moneda resulte sol, la

podemos considerar como 0.5. Es decir:

Para la pareja (2, 1):

°

probabilidadde 2: 16


; para la pareja (1, s):

°

s


probabilidadde : 12

.

Hasta ahora se ha descompuesto al espacio muestral S en dos eventos A y B, mutuamente excluyentes y se ha demostrado que los puntos muestrales de S no son equiprobables, pero ¡aún no hemos asignado probabilidades a los puntos muestrales!

AsignacióndeprobabilidadesparalospuntosdelasparejasdeASi consideramos un espacio muestral S *, que contenga a los puntos muestrales que correspondan al experimento de lanzar un dado dos veces, vemos que:

S *

{

}

=S (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

*

.

En este caso A ⊂ S *, y como todos los puntos de este espacio muestral tienen la misma probabilidad de ocurrir, puesto que se obtienen de forma semejante (lanzando el dado dos veces) y la cantidad de puntos muestrales es 36, tenemos que la probabilidad de

cualquier punto del evento A es 136

. Por tanto, de la definición clásica de probabilidad resulta: = =P A( ) 1836

12

.

AsignacióndeprobabilidadesparalospuntosdelasparejasdeBComo los eventos A y B son mutuamente excluyentes, por los axiomas 2 y 3 de Kolmogórov:

= = ° = + = +P S P A B P A P B P B1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 ( ).

Despejando la probabilidad del evento B, resulta: =P B( ) 12

.

Como ya se mencionó, los puntos { }=B s a s a s a(1, ), (1, ), (3, ), (3, ), (5, ), (5, ) deben tener la misma probabilidad de ocurrir. Luego, simbolizando el evento simple { }=E k x( , )k , para k = 1, 3, 5 y x = s, a, ahora con la definición clásica de probabilidad se tiene

= =P B P E( ) 6 ( ) 12k , despejando P(Ek):

=P E( ) 112k , para k = 1, 3, 5 y x = s, a.

Con esto se concluye que los puntos muestrales de S no son equiprobables.



1. Sean A y B dos eventos, en un mismo espacio muestral, tales que =P A( ) 0.3, =P B( ) 0.3 y ∪ =P A B( ) 0.4 . Calcule:

a) ∩P A B( ) b) ( )∪P A Bc c

2. Sean A y B dos eventos, en un mismo espacio muestral, tales que ∪ =P A B( ) 0.9 . Calcule ( )∩P A Bc c .

3. Sean los eventos A y B, en un mismo espacio muestral, tales que =P A( ) 0.5, =P B( ) 0.7 y ∩ =P A B( ) 0.4. Calcule:

a) ( )∩P A Bc b) −P A B( )c . 4. Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes tales que

=P A( ) 0.3 y =P B( ) 0.6. Calcule ( )∩P A Bc c . 5. Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes tales que

=P A( ) 0.4 . Calcule ∪P A B( )c . 6. Suponga que se lanzan tres monedas perfectas y se observa

la cantidad de águilas que quedan hacia arriba. Establezca los puntos muestrales de este experimento y

a) Asigne una probabilidad razonable a cada punto. ¿Son los puntos igualmente probables?

b) Sea A el evento de observar exactamente una vez águila y B el evento de observar al menos un águila. Obtenga los puntos muestrales de A y B y calcule ( )∩P A Bc .

7. Un aparato electrónico contiene cinco sistemas electróni-cos, de los cuales dos son realmente defectuosos. Se selec-cionan al azar y al mismo tiempo dos de los cinco sistemas para someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como de-fectuosos o no defectuosos. Encuentre el espacio muestral y los eventos en cada caso si la probabilidad de que los dos sistemas probados sean buenos

a) Si no hay diferencia entre buenos, ni entre defectuosos (son indistinguibles entre sí).

b) Si existen diferencias entre buenos y entre defectuosos (son distinguibles entre sí).

8. Resuelva el ejercicio anterior cuando la selección se realiza analizando o seleccionando un sistema tras otro. Comente los resultados obtenidos en ambos casos.

9. Sean los eventos A, B y C en un mismo espacio mues-tral, tales que A y B son mutuamente excluyentes, con

( )∪ ∪

=P A B C 0.1c , ∩ =P A C( ) 0.2, ( )∩ =P B C 0.1 y P(C)

=P C( ) 0.4. Calcule: ( )∪P A B . Sugerencia: Trace un diagrama de Venn-Euler.

Ejercicios 1.4

Ejercicios de repaso

Preguntasdeautoevaluación

1.1 Explique qué es un modelo matemático. 1.2 ¿Cómo se le llama al proceso por el que se describen los

resultados de un modelo probabilístico? 1.3 ¿Cómo se le llama al conjunto de todos los resultados po-

sibles de un experimento estocástico? 1.4 ¿Cómo se le llama al conjunto que representa a una parte

de todos los resultados posibles (pueden ser todos los re-sultados o ninguno) de un experimento estocástico?

1.5 ¿Cuáles son las corrientes de probabilidad más comunes? 1.6 Si una persona asigna probabilidades a eventos depen-

diendo de su experiencia para realizar una toma de de cisión, estaría empleando la corriente de probabilidad llamada ____________________.

1.7 Cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento se asigna antes que se realice el experimento se le llama pro-babilidad de tipo ____________________.

1.8 Explique cuándo dos eventos son mutuamente exclu-yentes.

1.9 Enumere las operaciones fundamentales entre eventos. 1.10 El resultado de operaciones entre eventos siempre debe

resultar otro ____________________. 1.11 Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espa-

cio muestral. Determinar qué incisos son correctos. a) ∩ ⊂A B A y ∩ ⊂A B B

b) ∪ ⊂A B A y ∪ ⊂A B B c) A − B ⊂ A d ) A − B ⊂ B e) A ⊂ A − B f ) Ac ∩ A = S 1.12 Defina una partición del espacio muestral. 1.13 Escriba las leyes de De Morgan de álgebra de eventos. 1.14 Describa los tres axiomas de Kolmogórov para álgebra

finita. 1.15 Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espa-

cio muestral. Determine qué incisos son correctos. a) ∩ =P A B P A( ) ( ) b) ∩ ≥P A B P A( ) ( ) c) ∩ ≤P A B P A( ) ( ) d) = −P A P A( ) ( ) 1c

e) = −P A P A( ) 1 ( )c

1.16 Responda la siguiente cuestión y justifique su respuesta: ¿si el evento E está constituido de solo elementos negati-vos, entonces su probabilidad tendrá que ser negativa?

1.17 ¿Qué evento es un subevento de cualquier otro evento? 1.18 A ∪ B = ∅, solo puede ocurrir si A y B son ___________. 1.19 A ∩ B = ∅ solo puede ocurrir si: 1.20 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, ¿qué

incisos son correctos? a) Ac y B también son mutuamente excluyentes. b) Ac y B c también son mutuamente excluyentes.


Ejercicios de repaso 27

c) ∪ = +P A B P A P B( ) ( ) ( ) . d ) ∩ = −P A B P A P B( ) ( ) ( ) . e) B es un subconjunto de Ac. f ) − =P A B( ) 0 . g) − =P A B P A( ) ( ) . 1.21 En términos generales, el cálculo de probabilidades es

equivalente a: a) Predecir el futuro. b) Encontrar valores numéricos que permitan cuantifi-

car la incertidumbre. c) Establecer relaciones causa-efecto para fenómenos

naturales o experimentales. d) Ninguna de las anteriores. 1.22 Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o

falsas y explique su respuesta. a) El evento [ ]=A 0,1 es un ejemplo de un evento infi-

nito contable, porque contiene un primer y último elemento.

b) El evento …{ }=A 1, 2, 3, es un ejemplo de un even-to infinito, por tanto no es contable, además pode-mos agregar que no es contable; porque no contiene un último elemento.

1.23 En la formulación de las siguientes preguntas existe un error, indique cuál es.

Nota: ¡No se pide resolver el problema! a) Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes

con: P(A) = 0.5, P(Bc) = 0.6 y P(A ∩ B) = 0.1. Calcu-le P(A ∪ B).

b) Sean A y B dos eventos que forman una partición del espacio muestral, con: P(A) = 0.5 y P(B) = 0.3. Calcule P(A ∪ B).

c) Sean A, B y C eventos que forman una partición del espacio muestral S, con: P(A) = 0.4, P(B) = 0.6 y P(C) = 0.3. Calcule P(A ∪ B ∪ C).

d ) ¿Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general ( )∩ =P A B P A P B( ) ( )?

Ejercicioscomplementarioscongradodedificultaduno

1.24 Dado el espacio muestral …{ }=S 0, 1, , 20 , los eventos { }=A 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15 , …{ }=B 0, 2, 4, , 20

y { }=C 2, 3, 5, 7, 11 , encuentre: a) ∩A Bc c b) ( )∩ ∪A B Cc c

1.25 Si A es el evento formado por las vocales, indique cuál de las siguientes familias representa una partición de A.

a) { }{ } { }a e i o u, , , , c) { }{ }a e i o u, , , , b) { }{ } { } { }a e i o u, , , , d) { }{ }a e i o u, , , , 1.26 Suponga que se lanzan cinco monedas no cargadas y ob-

servamos la cantidad de águilas que quedan hacia arriba. Establezca los elementos del espacio muestral de este ex-perimento.

1.27 Sean A y B eventos mutuamente excluyentes, tales que =P A( ) 0.3, ( )=P B 0.6c . Calcule:

a) ( )∩P A Bc c b) ( )−P A Bc . 1.28 Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes tales

que P(A) = x y P(B) = y, con 0 < x + y < 1 y x, y > 0. Calcule ( )( )∩P A B c .

1.29 Sean los eventos A y B, mutuamente excluyentes, con P(Ac) = 0.6 y P(Bc) = 0.7. Calcule P(A ∪ B).

1.30 Sean los eventos A y B, en un mismo espacio muestral, tales que P(A ∪ B) = 0.4. Calcule P(Ac ∩ B c).

1.31 Sean A y B dos eventos, en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.7, P(A ∪ B) = 0.9 y P(B) = 0.6. Calcu-le P(Ac ∪ B).

1.32 Sean los eventos A y B, en un mismo espacio muestral, tales que P(A) = 0.7, P(B c) = 0.6 y P(A ∪ B) = 0.9. Cal-cule:

a) P(Ac ∩ B) b) P(Ac ∩ B c) 1.33 ¿Qué corriente de probabilidad será conveniente em-

plear para la asignación de un valor numérico al suceso de que Miguel Pérez se case este año?

1.34 El administrador de la logística de la red de distribución de una línea de autobuses tiene que tomar la decisión de cómo distribuir dos de cinco autobuses que viajen a Guadalajara. Represente por a1, a2, a3, a4 y a5 a los cinco autobuses y contesta lo siguiente.

a) Describa al espacio muestral del experimento al se-leccionar dos autobuses para viajar a Guadalajara.

b) Serán los puntos muéstrales equiprobables. Justifi-que su respuesta.

1.35 Suponga que se lanzan dos dados. Calcule la probabilidad de que la suma de los números de las caras que quedan hacia arriba sea 7.

1.36 Suponga que se lanzan tres monedas no cargadas y que se observa la cantidad de águilas que quedan hacia arri-ba. Establezca los puntos muestrales de este experimen-to y asigne una probabilidad razonable a cada punto. Sea A el evento de observar exactamente un águila y B el evento de observar al menos un águila. Calcule P(A ∩ B).

1.37 Sean los eventos {=A x x| es un profesionista de Méxi-co y es administrador} y {=B x x| es un profesionista de México y sabe finanzas}; el espacio muestral se refiere a todos los profesionistas de México, según datos del censo de 2005, 10% de los profesionistas mexicanos son administradores; 30% de los profesionistas mexicanos sa-ben finanzas, pero solo 7% de los profesionistas son ad-ministradores y saben finanzas.

a) ¿Son los eventos A y B mutuamente excluyentes? Jus-tifique su respuesta.

b) Calcule la probabilidad de que al seleccionar aleato-riamente a un profesionista mexicano sea adminis-trador o conozca de finanzas.

c) Calcule la probabilidad de que al seleccionar aleato-riamente a un profesionista mexicano no sea admi-nistrador, pero que sí conozca de finanzas.

1.38 Dos ajedrecistas, I y II, tienen la misma capacidad y jue-gan el uno contra el otro una serie de 5 partidas. En cada



partida, no podrá haber tablas, ya que en caso contrario, se jugarán a cinco minutos, hasta obtener un ganador de la partida. Se registra el resultado de cada partida. Sea A el evento de que el ajedrecista I gane la serie (gane al me-nos tres veces, en caso de que gane tres partidas la serie se termina), encuentre P(A).

Ejercicioscomplementarioscongradodedificultaddos 1.39 Los eventos A, B y C del espacio muestral S, son tales que

A y B forman una partición de C, P(C c ) = 0.2 y P(C) = 4P(A). Calcule P(A), P(B) y P(C ).

1.40 Si A y B son eventos diferentes definidos en el mismo es-pacio muestral, y si P(A ∩ B) = 0.4 y P(Ac ∩ B c) = 0.1 Determine ( ) ( )∩ ∪ ∩

P A B A Bc c .

1.41 Sean los eventos A, B y C en un mismo espacio mues-tral, tales que A y B son mutuamente excluyentes, con

( )∪ ∪

=P A B C 0.1c , ∩ =P A C( ) 0.2 , ( )∩ =P B C 0.1,

P(C) = 0.6, calcule: P(A) y P(B) si a) P(A) = P(B). b) P(A) = 2P(B). c) 2P(A) = P(B). 1.42 Los eventos A, B y C del espacio muestral S, son tales que

A y B son mutuamente excluyentes, P(A) + P(B) = 1, P(C) = 0.3, P(A ∩ C) = 0.1 y P(B) = 4P(A). Calcule P(A) y P(B).

1.43 Un experimento consiste en lanzar un dado no cargado una vez y, si sale un número mayor a 2 entonces se lan-za una moneda no cargada. Si el lanzamiento del dado es un número menor o igual a 2, entonces se lanza por últi-ma vez el dado. Asigne probabilidades a los puntos mues-trales e indique, si son o no equiprobables.

1.44 Hay cuatro billetes de 200 pesos cada uno, de igual aspec-to, dos de los cuales son falsos, y se va a pagar una cuenta con dos de esos billetes. La cuenta la cobra el encargado, eligiendo al mismo tiempo dos de los cuatro billetes al azar. Encuentre la probabilidad de que el encargado elija al menos uno de los billetes falsos.

1.45 Suponga que se lanzan dos monedas cargadas de for-ma contraria, es decir, considérese que la probabilidad de que resulte águila en una moneda es 0.3, en dicho caso la probabilidad de que resulte sol en la otra moneda será también 0.3. Observe las combinaciones de todos los re-sultados posibles que pueden ocurrir con las dos mo-nedas.

a) Establezca los puntos muestrales de este experimento. b) Asigne una probabilidad razonable a cada punto.

¿Son los puntos igualmente probables? 1.46 Suponga que se lanzan dos monedas cargadas de forma

contraria es decir, considérese que la probabilidad de que resulte águila en una moneda es 0.3; en dicho caso la pro-babilidad de que resulte sol en la otra moneda será tam-bién 0.3. Observe la cantidad de águilas que quedan hacia arriba.

a) Establezca los puntos muestrales de este experimento. b) Asigne una probabilidad razonable a cada punto. ¿Son

los puntos igualmente probables? c) Sea A el evento de observar exactamente una vez

águila y B el evento de observar al menos un águila. Obtenga los puntos muestrales de A y B.

d) A partir de la respuesta en c), calcule P(A), P(B), P(A ∩ B) y P(Ac ∩ B).

1.47 Una constructora que trabaja para Casas ARPA ha calcu-lado con datos históricos que cuando inicia dos casas al mismo tiempo, la probabilidad de que termine a tiempo ambas casas es 0.3, mientras que la probabilidad de que termine a tiempo al menos una de las dos casas es de 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de que en estas condicio-nes construya a tiempo exactamente una casa?

1.48 El encargado de llevar a cabo la logística de la red de dis-tribución de una empresa repartidora de refrescos en la Ciudad de México ha calculado que la probabilidad de retrasos en su reparto de los días viernes y sábado tiene los siguientes valores. La probabilidad de retrasarse exac-tamente un día es de 0.3, mientras que la probabilidad de retrasarse al menos uno de los dos días es de 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente semana se retrasen en ambos días?

1.49 Supóngase el problema anterior, pero en donde un repartidor que trabaja de lunes a viernes tiene dos causas por las que puede retrasar sus repartos. Una es por el día y tráfico de la semana, La otra causa se debe a manifestaciones que le ocasio-nan retrasos de hasta una hora, entre una y dos horas y entre dos y tres horas. Las probabilidades se muestran en la tabla 1.2.

Tabla 1.2

Día de la semana

Manifestaciones Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

0-1hora 0.04 0.05 0.10 0.10 0.20

1-2horas 0.02 0.03 0.08 0.10 0.10

2-3horas 0.00 0.01 0.05 0.08 0.04

a) ¿Cuál es probabilidad de que el trabajador se retrase una hora el miércoles? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador se retrase al menos una hora cada día? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador se retrase menos de una hora los primeros tres días de la semana?


Proyectos del capítulo 1 29

1.50 El ingeniero de control de calidad de una fábrica de refri-geradores tiene que revisar tres de seis refrigeradores en donde hay dos defectuosos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en los tres revisados estén los dos defectuosos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre los tres revisa-dos no exista ningún defectuoso?

Ejercicioscomplementarioscongradodedificultadtres

1.51 Sean los eventos A, B y C, tales que, = ° °S A B C ,( )∩ ∩

=P A B C 0.9c , P(C) = 0.6, P(A ∩ B) = 0.15,

P(A ∩ C) = 0.2, P(B ∩ C) = 0.1, y P(A) = 2P(B). Calcule P(A) y P(B).

1.52 Los eventos A, B y C forman una partición del espa-cio muestral S. En estas condiciones asigne subjetiva-mente probabilidades adecuadas a los eventos y calcule

∪ − −

P A C A B( ) ( )c c .

1.53 Sean los eventos A, B y C correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que B y C son mutuamente exclu-yentes y A y B también son mutuamente excluyentes: P(A ∩ C) = 0.2, ∪ ∪°

=P A B C( ) 0.2c y P(A) = P(B) =

2P(C). Calcule P(A), P(B) y P(C).

1.54 Sean A y B dos eventos tales que P(A) = 0.35 y P(B) = 0.85, determine el rango de valores que puede tomar P(A ∩ B) y las condiciones para sus valores máximos y mínimos.

1.55 Los eventos A, B y C del espacio muestral S, son tales que: A y B son mutuamente excluyentes P(B) = 0.4,

∪ ∪°

=P A B C( ) 0.1c , P(A ∩ C) = 0.1 y P(A) = 3P(C).

Calcule P(A) y P(C). 1.56 Demuestre que para cualquiera de dos eventos A y B, la

probabilidad que exactamente uno de los dos ocurra está dada por la expresión + − ∩P A P B P A B( ) ( ) 2 ( ).

1.57 Sean A y B dos eventos, demuestre que Ac ∩ B y A ∩ B c son mutuamente excluyentes.

1.58 Para cualesquier eventos A1, A2, …, An, demuestre que

a) ∪ ∑°

≤

= =

P A P A( )ii

n

ii

n

1 1

b) ∩ ∑°

≥ − −

= =

P A P A n( ) ( 1)ii

n

ii

n

1 1

c) ∩ ∑°

≥ −

= =

P A P A1 ( )ii

n

ic

i

n

1 1.

d) ∩

°

= −

°

= =

P A P A1ii

n

ic

i

n

1 1.

Proyectos del capítulo 1 I. En un circuito serie como el mostrado en la figura 1.1 se mide la caída de voltaje en la resistencia con un voltímetro de alta pre-

cisión, durante intervalos de tres minutos, obteniendo las mediciones siguientes en volts.

119.95 119.98 120.37 119.50 119.74 118.03 120.04 119.37 121.07 120.08120.54 119.89 119.49 118.99 120.99 119.57 121.68 118.35 120.17 118.84118.38 119.21 118.98 120.65 119.27 118.51 121.22 118.95 120.29 120.72119.46 119.69 120.92 120.73 119.96 118.41 120.14 120.65 120.31 120.44121.25 119.47 121.09 119.74 121.95 120.17 120.40 120.60 119.13 119.26121.33 120.58 120.27 121.38 120.80 118.84 120.45 120.31 120.48 119.05

Resuelva los siguientes incisos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la caída de voltaje en la resistencia sea mayor a 120.15 volts? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la caída de voltaje en la resistencia esté fuera de los rangos especificados 120 ± 0.25 para el

circuito? Defina cuál sería el espacio muestral en este modelo. c) ¿Cuál será la probabilidad de que la caída de voltaje en la resistencia sea mayor a 122 volts? ¿Qué significa este resultado? d) Explique qué tipo de corriente utilizó en los incisos anteriores para asignar probabilidades y, ¿por qué no utilizó a las otras

corrientes de probabilidad?

II. En la hoja “Divorcios por entidad” del archivo Datos de divorcios.xls que se encuentra en el CD-ROM, está una base de datos extraída del INEGI de todos los divorcios registrados en la República Mexicana para cada estado de 1985 a 2011. Con esta infor-mación:


Probabilidad y estadística - Grupo Editorial...

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