5.2. MTODO DUAL SIMPLEXEl mtodo dual simplex es otro caso especial de aplicacin del mtodo simplex yen el concepto del autor se debe utilizar para aquellos problemas en los que seinvolucren restricciones del tipo =. Adems, se puede utilizar solamente cuandoProgramacin lineal aplicada178Humberto Guerrero Salasla funcin objetivo es minimizacin y los coeficientes en ella son positivos.Tal vez la mayor aplicacin de este mtodo se da en anlisis de sensibilidad paraobtener nuevas soluciones ptimas y su principal ventaja la constituye el hechode no utilizar variables artificiales.Para la aplicacin de este mtodo se deben seguir este procedimiento:Paso 1. Lleve la funcin objetivo a maximizacin.Paso 2. Mediante la utilizacin de las reglas de equivalencia, transforme lasrestricciones en igualdades.Paso 3. Multiplique por menos uno todas las restricciones que no tienen vectorunitario. (Siempre son las restricciones en donde se ha restado variable deexceso).Paso 4. Lleve los coeficientes del modelo al tablero simplex, tal como se harealizado hasta el momento.Paso 5. Establecer la variable que sale de la base. Para esto se toma la variableque tenga el XB ms negativo. Si no hay negativos es porque la solucin esptima.Paso 6. Establecer la variable que entra a la base. Para determinar que variableentra a la base se utiliza la siguiente relacin:MaxZ j C jKB

teniendo en cuentaque slo se evalan aquellos valores de KB menores que cero (negativos). KB esel vector fila de la variable que sale de la base.Paso 7. Seleccin del pivote: el pivote es aquella posicin donde se interceptala columna de la variable que entra y la fila de la variable que sale.Paso 8. Mediante operaciones matriciales, idnticamente como en el mtodosimplex avance hasta obtener la solucin ptima. Esto se establece en el paso 5.A continuacin se presentan algunos ejemplos de aplicacin de este mtodo.Ejercicio 5.2.1. Para la aplicacin de este ejercicio se utilizar el ejercicio 3.2.1presentado en el tercer captulo, para el cual su planteamiento y formulacinson las siguientes:Los Horses, una empresa dedicada al criadero de caballos de paso, ha establecidoque a cada uno de ellos se le debe suministrar diariamente un mnimo deCaptulo 5 179Programacin lineal: mtodos especiales200 miligramos de vitamina A, un mnimo de 160 miligramos de vitamina B yun mnimo de 150 miligramos de vitamina C. Los caballos son alimentados conmatas de pasto y mineral, las cules le cuestan a la compaa $300 por mata depasto y $500 por libra de mineral. Qu cantidad de cada alimento se le debesuministrar a cada caballo diariamente si se sabe que una mata de pasto contiene4 miligramos de vitamina A, 2 miligramos de vitamina B y 5 miligramos devitamina C; mientras que una libra de mineral contiene 5 miligramos de vitaminaA, 8 miligramos de vitamina B y 3 miligramos de vitamina C.X1 = Matas de pasto que se debe suministrar a cada caballo diariamente.X2 = Libras de mineral que se debe suministrar a cada caballo diariamente.De acuerdo con la anterior definicin el modelo queda as:Min. Z = 300 X1 + 500 X2S.A.4 X1 + 5 X2 > 2002 X1 + 8 X2 > 1605 X1 + 3 X2 > 150X1, X2 > 0.Aplicando las reglas de equivalencia el problema queda como se presenta acontinuacin:Min. Z = 300 X1 + 500 X2S.A.4 X1 + 5 X2 -S1 = 2002 X1 + 8 X2 -S2 =1605 X1 + 3 X2 -S3 = 150X1, X2 , S1, S2, S3 = 0.Obsrvese, que en ningn momento se han incorporado al problema variablesartificiales; pero el mtodo si requiere necesariamente de vectores unitarios,para lo cual se multiplica por menos uno todas las restricciones que no lo generen(transformar los coeficientes de las variables de exceso a uno positivo).Adems de esto, se pasar la funcin objetivo a maximizar. Con base en esto elproblema a solucionar es el siguiente:Max. (-Z) = -300 X1 - 500 X2S.A.Programacin lineal aplicada180Humberto Guerrero Salas-4 X1 - 5 X2 +S1 = -200-2 X1 - 8 X2 +S2 = -160-5 X1 - 3 X2 +S3 = -150X1, X2 , S1, S2, S3 = 0.La solucin de este modelo se presenta en la tabla 5.8.En esta tabla se observa que se ha eliminado la columna cociente, y se ha agregadoen cada iteracin la fila cociente (Fc) para establecer la variable que entraa la base mediante la utilizacin del paso 6 del procedimiento. La solucin presentadaen el ltimo tablero ya es ptima por cuanto no hay valores negativosen el XB. Como se puede apreciar, esta solucin es la misma determinada a travsde los diferentes mtodos y su interpretacin es exactamente la misma.Ejercicio 5.2.2. Mediante este ejercicio se pretende ejemplificar que no todaslas restricciones deben ser =. Para esto se trae el ejercicio 3.2.2 cuya formulaciny planteamiento se trasladan a continuacin:COMBUSTIBLES DEXTRA produce gasolina y Acpm a un costo de 2.000 y 4.000pesos por galn respectivamente. Mediante un estudio se ha establecido quepara producir un galn de gasolina se requieren 4 horas hombre de trabajo, 6horas mquina y 8 litros de petrleo; mientras que para producir un galn deAcpm se requieren 8 horas hombre de trabajo, 5 horas mquina y 10 litros depetrleo. Adems, se sabe que para que no haya subutilizacin de los recursosse debe consumir mnimo 320 horas hombre y mnimo 300 horas mquina almes. Qu cantidad de cada combustible se debe fabricar Si se sabe hay unadisponibilidad mensual de 800 litros de petrleo?Definicin de variablesX1 = Galones de gasolina que se deben fabricar por mes.X2 = Galones de acpm que se deben fabricar por mes.Teniendo en cuenta la definicin de las variables el modelo matemtico quedaplanteado de la siguiente manera:Min. Z = 2000 X1 + 4000 X2S.A.4 X1 + 8 X2 = 3206 X1 + 5 X2 = 3008 X1 + 10 X2 = 800X1, X2 = 0.Captulo 5 181Programacin lineal: mtodos especialesTABLA 5.8FILA OPERACINCJ -300 -500 0 0 0BASE XC B B X1 X2 S1 S2 S3F1 0 -4 -5 1 0 0 S1 -200F2 0 -2 -8 0 1 0 S2 -160F3 0 -5 -3 0 0 1 S3 -150FZ1 Zj-Cj 300 500 0 0 0 -Z= 0FC1 COCIENTE 300/-4-=-75 500/-5=-100F4 F1(-1/4) -300 1 5/4 -1/4 0 0 X1 50F5 F4(2)+F2 0 0 -11/2 -1/2 1 0 S2 -60F6 F4(5)+F3 0 0 13/4 -5/4 0 1 S3 100FZ2 Zj-Cj 0 125 75 0 0 -Z=-15000FC2 COCIENTE 125/-11/2=-22,775/-1/2=-150F7 F8(-5/4)+F4 -300 1 0 -4/11 5/22 0 X1 400/11F8 F5(-2/11) -500 0 1 1/11 -2/11 0 X2 120/11F9 F8(-13/4)+F6 0 0 0 -17/11 13/22 1 S3 710/11FZ3 Zj-Cj 0 0 700/11 250/11 0 -Z=-180000/11Programacin lineal aplicada182Humberto Guerrero SalasEl problema a resolver es el siguiente:Max. (-Z) = -2X1 -4X2S.A.4 X1 + 8 X2 -S1 = 3206 X1 + 5 X2 -S2 = 3008 X1 + 10 X2 +H1 = 800X1, X2, S1, S2, H1 = 0.Multiplicando las primeras dos restricciones por menos uno se obtiene el siguienteproblema:Max. (-Z) = -2X1 -4X2S.A.-4 X1 - 8X2 +S1 = -320-6 X1 - 5X2 +S2 = -3008 X1 +10X2 +H1 = 800X1, X2, S1, S2, H1 = 0.En la tabla 5.9 se presenta la solucin de este ejercicio mediante el mtodo dualsimplex.La solucin ptima de este problema est dada en el ltimo tablero, ya que nohay valores negativos en XB. Dicha solucin se interpreta de la siguiente manera:se deben producir 80 galones de gasolina y cero galones de acpm para obtenerun costo mnimo de $160 (se realiz el ejercicio maximizando y se obtuvo Z =-160). Adems, se observa que sobran 160 litros de petrleo.TABLA 5.9FILA OPERACINCJ -2 -4 0 0 0BASE XC B B X1 X2 S1 S2 H1F1 0 -4 -8 1 0 0 S1 -320F2 0 -6 -5 0 1 0 S2 -300F3 0 8 10 0 0 1 H1 800FZ1 Zj-Cj 2 4 0 0 0 -Z= 0FC1COCIENTE2/-4=-1/24/-8=-1/2F4 F1(-1/4) -2 1 2 -1/4 0 0 X1 80F5 F4(6)+F2 0 0 7 -3/2 1 0 S2 180F6 F4(-8)+F3 0 0 -6 2 0 1 H1 160FZ2 Zj-Cj 0 0 1/2 0 0 -Z=-160