2.5 PRINCIPIO DE INTERVALOS ANIDADOS 57

2.21 A continuacin damos otra demostracin de la existencia de un nmero x0 Rtal que x20 = 2. Sea g : (0,) R la funcin definida por

g(x) = 2x + 2x + 2 .

Sea a1 = 1 y b1 = 2. Se define recursivamente an+1 = g(an) y bn+1 = g(bn). Demostrarlo siguiente.

a) Si 0 < x < y entonces 0 < g(x) < g(y). Concluir que 0 < an < bn , para todon N.

b) [an+1, bn+1] = g([an, bn]).

c) a2n < 2 y an < an+1. (Sugerencia: demostrar por induccin.)

d) b2n > 2 y bn < bn+1. Concluir que [an, bn] es una sucesin de intervalos anidados.

e) bn an < 3/2n para todo n N.

f) La interseccin de los intervalos es un nico punto. Esto es

n=1In = {x0} .

g) El punto x0 satisface g(x0) = x0. Concluir que x20 = 2.

2.22 Sea In = [an, bn], n N, una sucesin de intervalos cerrados y acotados deR tal que [an+1, bn+1] [an, bn] para toda n N. Sean = sup{an | n N}, y = inf{bn | n N}. En la demostracin del principio de intervalos anidados 2.5.2, sedemostr la contencin

[, ]

n=1In .

Demostrar la igualdad [, ] =

n=1In . (Sugerencia: considerar el teorema 2.3.5.)