Principio de incertidumbre de Heisenbergdepa.fquim.unam.mx/amyd//archivero/_22673.pdf · Dualidad...

1Estructura de la Materia, FQ UNAM Semestre 2007-II, Grupo 14

Principio de incertidumbre de Heisenberg

En un átomo de hidrógeno, nos se pueden medir simultáneamente la cantidad demovimiento mv y la posición x de su electrón.La cantidad de movimiento de una partícula se denomina momento, o momento linealde la partícula;

p=mv

Las dos medidas son independientes una de otra.

El principio de incertidumbre de Heisemberg establece que la indeterminación, ΔX y ΔY con que se pueden medir simultáneamente dos magnitudes complementarias a X y Y es:

π4hYX ≥Δ⋅Δ

h es la constante de Planck, h=6.6261x10-34 Js

http://www.imp.mx/


Cuanto mayor sea la precisión de la medición de una de éstas variables, -cuanto menor sea la indeterminación de su medida-, mayor será la indeterminación de la otra variable.

π4htE ≥Δ⋅Δ

π4hxpx

≥Δ⋅Δ

Dualidad de onda - partícula

Un rayo de luz puede en determinadas circunstancias, comportarse como un chorro de partículas (fotones) con una cantidad de movimiento bien definida. Así, al incidir un rayo de luz sobre la superficie lisa de un metal se desprenden electrones de éste (efecto fotoeléctrico). La energía de los electrones arrancados al metal depende de la frecuencia de la luz incidente y de la propia naturaleza del metal.

http://www.imp.mx/


La hipótesis de De Broglie, dice que cada partícula en movimiento lleva asociada una onda, de manera que la dualidad onda-partícula puede enunciarse de la siguiente forma: una partícula de masa m que se mueva a una velocidad v puede, en condiciones experimentales adecuadas, presentarse y comportarse como una onda, de longitud de onda, λ. La relación entre estas magnitudes fue establecida por el físico francés Louis de Broglie.

λhpmv ==

cuanto mayor sea la cantidad de movimiento (mv) de la partícula menor será la longitud de onda (λ), y mayor la frecuencia (ν) de la onda asociada.

http://www.nobel.se/physics/laureates/1929/index.html



http://www.imp.mx/


Problema.

Calcular la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve a una velocidad de 1x106 m/s; y a un coche de 1300 Kg de masa que se desplaza a una velocidad de 105 Km/ h. La masa del electrón es 0.91096x10-30 Kg.

a) para el electrón:

p = m · v = 0.91096 · 10-30 · 1 x106 = 0.91 · 1024 Kg · m/s

b) para el coche

p= m · v = 1300 Kg · 105 Km/h · 1000/3600 = 37916.66667 Kg · m/s

A partir del resultado, observarse que la menor cantidad de movimiento del electrón, comparada con la del coche, a pesar de su mayor velocidad, pero cuya masa es muchísimo más pequeña. En consecuencia, la longitud de onda asociada al coche es mucho más pequeña que la correspondiente al electrón.

http://www.imp.mx/


Problema. Una bola de billar de 200 g de masa se mueve en forma rectilínea a lo largo de la mesa de billar. Si mediante fotografías es posible medir su posición con una precisión del orden de la longitud de onda de la luz (5000 Angstroms), calcular la indeter-minación de la medida simultánea de su velocidad.

π4)( hmvX ≥Δ⋅Δ

π4)(

xhmv

Δ≥Δ

=6.6262 x 10-34/4(3.1416)(5.0 x 10-7)

= 1.054 x 10-28 kg m/s

mmvv )(Δ

≥Δ =1.054 x 10-28/0.2

= 5.27 m/s

http://www.imp.mx/


Mecánica Clásica

Comportamiento determinista

Mecánica Cuántica El mundo macroscópico se explica muy bien con layes de la mecánica clásica, con una serie de hipótesis y principios fundamentales; F= m a

Para el mundo microscópico, -la naturaleza de los átomos y moléculas- se necesita el uso de la mecánica cuántica. La MC se rige por una serie de postulados fundamentales.

FUNCION DE ONDA: Es una función analítica que describe el estado mecano Cuántico de un sistema de n-partículas, la cual es una función de 3n variablesEspaciales, n variables de espín y del tiempo τ.

ΨLa representaremos con:

http://www.imp.mx/


Requisitos para una función de onda

•La función debe ser continua

•La función debe ser monovalorada, es decir para cada valor del argumento la función debe adquirir un solo valor

•La función debe ser cuadráticamente integrable, es decir:

∞=∫Ψ ττ

d2

∫

Ψτ

Función de estado

Elemento de volumen

La integral corre sobre todo el espacio

http://www.imp.mx/


Densidad de probabilidad Ψ2

Es el valor absoluto de la función de onda elevado al cuadrado, que en forma explícitatiene la siguiente expresión:

),,,(),,,(2

ττ zyxxyx ΨΨΨ ∗=

Ψ∗La estrella nos indica el complejo conjugado de la función. En particular estafunción describe un sistema de una partícula en el espacio tridimensional.

NOTA: Por la teoría de complejo conjugado tenemos,

z=a + i b i=(-1)1/2 a y b pertenecen a los números reales R

z*=(a + i b)*= a* + (i b)* a*= a

z*= a + i* b*= a + i* b

Por reglas matemáticas

i*= - i

Por lo tanto z*= a – i ba* = a; b* = b siempre y cuando, a y b pertenezcan a los números reales

http://www.imp.mx/


dxΨ2

Definición de:

Esto nos representa la probabilidad de encontrar a la partícula en la región, x y x + dx.Esta función depende exclusivamente de la variable x y del tiempo.

ΨΨΨ = ),(*

),(

2

),( τττ xxx

La densidad de probabilidad nos determina la posible existencia de una partícula en algún punto del eje x.

Definición de:

∫ Ψτ

τd2 Es la suma de las probabilidades de encontrar a la partícula en el

espacio. Cuando la integral es igual a 1, se dice que la función de onda está normalizada.

http://www.imp.mx/


12

=∫Ψτ

τd

Es decir:

Condición de normalización

Esta integral nos representa la certeza de encontrar a la partícula del elemento extendido sobre todo el espacio.

τd

Definición de un operador:

Es un símbolo que contiene un conjunto de reglas matemáticas bien definidas que actúan sobre una función situada a su derecha. Frecuentemente dicha función se omite, no olvidar que la función está implícita.

Ejemplos:

244 ==∧

≡ A

eee xxdx

xdxdxd 2

2

2

2== Bdxd ∧

≡

Cxdxxx

dx +== ∫∫ ln11 ∫∧

≡ Cdx

http://www.imp.mx/


∧

Donde

son operadoresCBA y∧∧∧

,

Es un circumplejo

Qué nos indica ?x∧

Nos indica que hay que multiplicar por X a lo que se encuentra a la derecha.

⋅=∧

xx

⋅=∧

zz

⋅=∧

yy

http://www.imp.mx/


ELa teoría de la mecánica cuántica no relativista postula que la energía de un sistema,

se puede obtener a partir de la función de onda asociada al sistema, por medio de

la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

ΨΨ = EHdonde H es un operador diferencial de segundo orden que actúa sobre la función onda y E es la energíatotal del sistema, (Energía cinética + Energía potencial)

Una vez resuelta la ecuación de Schrödinger y conociendo las funciones de onda, que son su solución, se pueden obtener, la cantidad de movimiento, la energía, cualquier magnitud física.

Ψ

http://www.imp.mx/


La ecuación de onda para una partícula en una caja unidimensional es:

ΨΨ =− Exdhdm 2

2

2

2

8π

PARTÍCULA EN UNA CAJA

Y

x

∞=V ∞=V

L

0=V

xdhH dm 2

2

2

2

8Ψ−=

π

donde H es el operador Hamiltoniano que actúa sobre la función de onda.

http://www.imp.mx/


La resolución de esta ecuación diferencial de valores propios y de segundo ordengenera los valores de las energías permitidas para la partícula contenida en la caja,valores propios de la ecuación y las funciones de onda correspondientes (funciones propias de la ecuación).

Entonces, la energía es;

y la función de onda es:

LhnE mn 2

22

)( 8=

xL

nsenLn

π2)( =Ψ

En las expresiones anteriores aparece n, que es un numero cuántico y puede tener cualquier valor entero positivo, mayor que cero, pero jamás cero.

http://www.imp.mx/


Una partícula de masa m se mueve a lo largo de una caja unidimensional de longitud Lestá asociada a una onda de longitud (dualidad).La relación y es:

λλmvp =

λhp =

Y

xL

La partícula esta confinada de 0 a 1L, la onda asociada debe anularse en los extre-mos de la trayectoria. L debe ser igual a un numero entero positivo.

http://www.imp.mx/


Entonces:

2λnL =

2λnL =

ynL2

=λ

La energía cinética se define como:

vmE 2

21

=

vmE 2

21

= o como: pmE

2

21

=

Entonces sustituyuendo la expresiones anteriores en la ecuación de la energía cinéticade momento lineal, tenemos;

nLh

nLhh

mmmE

2

2

2

2

22

421

21

21

2===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

http://www.imp.mx/


Finalmente nos queda:

LhnE mn 2

22

)( 8=

donde n es un número positivo (mayor que cero), denominado numero cuántico.

http://www.imp.mx/


•Los valores de la energía representan los posibles niveles de energía del sistema.•Los niveles de energía estan cuantizados y son discretos. Esta es una característica de los sistemas confinados.•El número n es llamado número cuántico•La exclusión de E=0 es una consecuencia de la mecánica cuántica.•La incertidumbre en la posición de la partícula dentro de la caja implica que

http://www.imp.mx/


Hasta ahora, en el problema de la partícula en una caja hemos establecido que la única energía que esta presenta es la energía cinética, porque la energía potencial es nula.

Para determinar la velocidad permitida de una partícula en una caja,

mE

p2

2

= y sustituyendo en: LhnE mn 2

22

)( 8=

Lhnp

mm 2

222

82=

mLhn

2=υ

mLhn

n 21 =Δ +υ

mvp = ( ) mEmv 2

2=

http://www.imp.mx/


Problema. Calcular las diferencias entre las velocidades permitidas, en dos niveles energéticos consecutivos, de un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio de Bohr; y de una bola de billar de 2 m de longitud perpendicularmente a las dos bandas opuestas mas alejadas.

Para el electrón:

mLhn

n 21 =Δ +υ

= 6.6262 x 10-34/2(0.91096 x 10-30)(0.52917715 x 10-10)= 6.8728 x 106

= 6.9 x 106 m/s

= 2.48 x 107 Km/h

Para la bola de billar:

= 6.6262 x 10-34/2(0.2)(2)= 8.2828 x 10-34 m/s

= 8.3 x 10-34 m/s

= 2.99 x 10-33 km/h= 3.0 x 10-33 km/h

http://www.imp.mx/


Transiciones de estado

La diferencia d energía entre dos niveles consecutivos:

LhEEE m

nnnnn 2

2

11

8)12( +=−=

+

+Δ

νhE =ΔSolo una radiación electromagnética, cuyo fotón tenga energía hv, exactamente igual a ΔE es capaz de interaccionar con la partícula y cederle su energía, desde un estadoinicial hasta un estado final.

http://www.imp.mx/


Problema. a) Calcular la diferencia de energía entre los dos primeros niveles correspondientes a un electrón confinado en una caja unidimensional de un radio de Bohr de longitud. b) Cuál será la frecuencia de la radiación capaz de excitar al electrón desde el primer nivel al segundo.

LhEEE m

nnnnn 2

2

11

8)12( +=−=

+

+Δ

Aplicando la ecuación:

LhE m 2

221 8

)1)1(2( +=Δ

( )( ) ( )10529.01091096.08

106262.61030

34)1)1(2( 2

2

21

xxxE −−

−+=Δ

( )( ) ( )107984.291096.08

106262.62130

343

2

21

xxE −−

−=Δ

a)

http://www.imp.mx/


JxE 1045.6 1721

−=Δ

b) Aplicando νhE =Δ

hEΔ=ν

sxxx 16

34

17

1073.9106262.61045.6 −

−

−

==ν

http://www.imp.mx/


Partícula en un caja tridimensional

Para este caso la ecuación de Schrödinger es:

ΨΨΨΨ =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++− Ez

dy

dx

dhdddm 2

2

2

2

2

2

2

2

8π

y las funciones de onda son:

xL

senL

nxx

π2)( =Ψ

yL

senL

nyy

π2)( =Ψ

zL

senL

nzz

π2)( =Ψ

x

z

y

L

( )L

hnnnE mzyx 2

2222

8++=

y los niveles energéticos son:

http://www.imp.mx/

Principio de incertidumbre de Heisenbergdepa.fquim.unam.mx/amyd//archivero/_22673.pdf · Dualidad...

Documents

Transcript of Principio de incertidumbre de Heisenbergdepa.fquim.unam.mx/amyd//archivero/_22673.pdf · Dualidad...